Tendo em vista as apreciações anteriores, pode-se pensar sobre quais características um professor de Matemática da Educação Básica deveria
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possuir, ou adquirir, para utilizar as interfaces computacionais de modo a facilitar a aprendizagem, no papel de orientador.
Para tentar responder esses problemas, a seguinte questão de pesquisa é suscitada: Uma Oficina de Tecnologias e Educação Matemática pode
oferecer os professores de Matemática em serviço contribuições, visando melhorar aspectos matemáticos e tecnológicos de sua formação, tendo como mediador o software Winmat e como conteúdo o tema “matrizes e determinantes”?
Nesse contexto, a presente pesquisa tem como dados o processo de organização, implantação e avaliação da aplicação de matrizes e determinantes fazendo uso das TICs como mediadoras nos processos educativos. Embora existam obstáculos, não houve a pretensão de se eliminar os problemas identificados nas oficinas didáticas usadas para trabalhar com docentes de Matemática da Educação Básica, mas de discuti-los com os participantes das mesmas, de modo a torná-los mais autônomos no trato dessas dificuldades, encontrando soluções vindas de seus próprios fazeres, o que poderá servir de base à construção de uma nova prática (FREIRE, 1970; MION e BASTOS, 2001; OLIVEIRA, 2009).
Outro aspecto relevante em relação ao apresentado refere-se ao que as tecnologias podem oferecer a esse professor, por meio do planejamento e de elaboração de estratégias, práticas de ensino mais atualizadas, e de que forma isto poderia ocorrer.
CAPÍTULO DOIS
A ABORDAGEM DO TEMA “MATRIZES E DETERMINANTES”
2.1 Conceitos principais: temas relacionados às matrizes e determinantes nos Livros Didáticos
Para averiguar como os conceitos relativos aos estudos sobre o tema Matrizes e Determinantes são apresentados durante as aulas de Matemática, buscou-se as fontes às quais os professores do Ensino Médio recorrem para elucidar ou auxiliar suas exposições em sala de aula, no caso, os livros didáticos.
Segundo Razzini (2000), o livro didático torna-se material de pesquisa privilegiado, seja como fonte documental na definição de práticas do passado, quer seja como representação de tais práticas.
Já Lajolo (1996) descreve a importância do livro didático em países como o Brasil, onde a situação educacional faz com que ele acabe determinando conteúdos e, ainda, “condicionando estratégias de ensino, marcando, pois, de forma decisiva, o que se ensina e como se ensina o que se ensina” (LAJOLO, 1996, p. 4).
A escolha dos livros a serem analisados ocorreu através da constatação, surgida em entrevista informal feita pelo autor da pesquisa com professores de Matemática do Ensino Médio, na qual se perguntava quais os livros que os docentes utilizavam no planejamento de suas aulas. Esta entrevista foi realizada em caráter presencial com três professores que lecionam na E.E. “Profª Rituco Mitani” em Franco da Rocha, unidade de trabalho comum dos professores entrevistados e do pesquisador. Com base nos relatos destes professores, surgiram, assim, três livros, a seguir analisados.
O primeiro livro selecionado foi Matemática para o 2º grau – Volume
Dois, de Gentil (1998), da editora Ática. O capítulo 7 inicia a apresentação com um curto histórico sobre matrizes e, em seguida, é dada a definição formal do conceito: “matrizes são tabelas com m linhas e n colunas, são denominadas matrizes m x n (sendo m e n números naturais diferentes de zero)” (GENTIL, 1998, p. 150).
Figura 3 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GENTIL, 1998, p.150
Em seguida apresenta a nomenclatura de alguns tipos de matrizes, como matriz quadrada, matriz nula, matriz identidade, etc. Adiante, faz alusão a
igualdade entre matrizes para, só então, iniciar com as operações entre matrizes.
Figura 4 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GENTIL, 1998, p.151
Dentre as operações, inicia-se, com a adição entre matrizes indicando a condição para existir a adição, e as propriedades, tais como associativa, comutativa, elemento neutro e elemento oposto. E, logo a seguir, apresenta a operação de subtração, seguida da multiplicação de um número real por uma matriz – nesta operação, apresenta as propriedades associativa, distributiva de um número real em relação à adição de matrizes, distributiva de uma matriz em
Complementando as operações, indica a multiplicação de matrizes, apresentando que o produto ocorre de forma distinta de outras operações, cita alguns exemplos de produto e como decorrência da definição apresenta a condição para existência do produto, mencionando propriedades, como a associativa, distributiva em relação à adição e do elemento neutro. Antecipa propriedades que não são válidas para o produto de matrizes, como a comutativa e do elemento nulo. E para concluir o capítulo de matrizes, encerra a parte das operações com matrizes apresentando o conceito de matriz inversa.
Este autor inicia o capítulo 8 com o conceito de determinante, sem apresentar histórico algum. A seguinte definição é apresentada: ”Determinante é um número associado a uma matriz quadrada” (GENTIL, 1998, p.175). Apresenta o cálculo do determinante pelo Teorema de Laplace e o cálculo do determinante de ordem 3 através da Regra de Sarrus.
Figura 6 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GENTIL, 1998, p.175
Para dar continuidade ao estudo de determinantes apresenta a matriz de Vandermonte, além da propriedade dos determinantes, como determinante nulo, determinante que não se altera e o Teorema de Jacobi, a regra de Chió e
encerra este capítulo dando a inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes.
Percebe-se que a abordagem é meramente conteudista, sem preocupação com subsidiar o professor com elementos para discutir conceitos ou convidar o aluno a pensar em situações-problema que o auxiliassem a ganhar autonomia na compreensão do conceito.
Em relação ao segundo livro, Matemática no Ensino Médio – Volume 2, da editora Scipione, Goulart (1999) apresenta o conceito de matrizes sem nenhuma menção sobre seu histórico, sendo exposto como: “Chamamos de matriz a tabela formada por m.n números, colocados em m linhas e n colunas” (GOULART, 1999, p.102). Após esta exposição indica a classificação de matriz quadrada.
Figura 7 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GOULART, 1999, p.102
Para iniciar as operações com matrizes, sugere a igualdade entre matrizes e, a seguir, introduz as operações começando pela adição, seguida da subtração, da multiplicação de um número por uma matriz e finaliza as operações com a multiplicação indicando a condição para sua existência. Apresenta em seguida as propriedades relativas à adição e ao produto como a associativa e a distributiva.
Figura 8 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GOULART, 1999, p.109
Antes de expor sobre a matriz inversível, apresenta a matriz identidade e só então considera a inversível, explicitando como obtê-la não relevando, ainda, as condições da existência da inversa.
Figura 9 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GOULART, 1999, p.116
Diferente dos dois outros livros, este não apresenta o determinante de uma matriz quadrada em um capítulo, mas insere este conceito no mesmo módulo em que apresenta sistemas lineares, descrevendo inicialmente sobre o determinante de ordem cuja definição apresentada é: “O que chamamos de
determinante de uma matriz quadrada é um número associado à matriz, mediante uma definição” (GOULART, 1999, p.138). Para o determinante de ordem 3, apresenta a Regra de Sarrus; para determinante de ordem n, indica a definição de Laplace.
Como complementos deste capítulo sobre sistemas lineares, aparece a matriz transposta, seguida dos determinantes de matrizes transpostas, propriedades dos determinantes, determinante do produto de matrizes quadradas (Teorema de Binet) e, como consequência deste produto, a condição para existência da matriz inversa, finalizando, assim, este tema.
Figura 10 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GOULART, 1999, p.116
Com respeito ao livro de Goulart (1999), pode-se dizer que a análise indica a valorização das regras e de exercícios de aplicação. Novamente, não surgem propostas para o envolvimento dos estudantes por meio de situações-
problema, nem a sugestão de abordagens pedagógicas que pudessem suscitar a reflexão sobre o tema.
O último livro analisado foi Matemática Aula por Aula – Volume 2 para o
Ensino Médio, de Barreto (1998), editora FTD. Este autor inicia este capítulo com um breve histórico sobre o tema “matrizes” e, a seguir, apresenta a definição: “Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem m X n (lê-se: m por n), sendo m > 1 e n > 1” (BARRETO, 1998, p.112).
Dando sequência ao capítulo, distingue os tipos de matrizes como matriz linha, coluna, nula, quadrada e identidade. A seguir, mostra a matriz transposta e a igualdade entre matrizes. Após estes aspectos, coloca as operações com matrizes, iniciando pela adição, seguida pela subtração, multiplicação de um número real por uma matriz, multiplicação de matrizes (com sua condição de existência para o produto) e as propriedades distributiva e associativa. Para finalizar as operações, considera a matriz inversa.
Para dar inicio ao capítulo de determinantes, este autor apresenta um histórico sobre o tema e, a seguir, define que “determinante de uma matriz quadrada é um número real que associamos a essa matriz segundo algumas regras”(BARRETO, 1998, p.138). E, para a determinação deste número, considera o cofator de um elemento seguido pelo Teorema de Laplace e pela Regra de Sarrus.
Após estas apreciações, aborda sobre o determinante de uma matriz quadrada de ordem n maior que três e, a seguir, apresenta algumas propriedades:
• Quando o determinante de uma matriz é igual a zero;
• O determinante de A e de sua transposta são iguais;
• Quando da multiplicação de uma coluna de uma matriz por um número real m, seu determinante fica multiplicado por m;
• Quando da troca de duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante troca de sinal;
• Teoremas de Jacobi e de Binet; e
• Na matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal principal.
Figura 14 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: BARRETO, 1998, p.138
Este autor finaliza o capítulo destinado aos determinantes com a matriz de Vandermonde e o seu determinante e, finalmente, a regra de Chió.
Assim como nos outros livros analisados, também a obra de Barreto (1998) não avança do ponto de vista do envolvimento dos alunos através de situações-problema, centralizando toda a lógica sobre o tema nas regras e em exercícios de aplicação.
Da análise dos três livros, algumas asserções surgem como importantes:
• A análise tomou por base livros com mais de dez anos de edição. Não obstante existirem livros mais novos, estes foram os indicados pelos professores ouvidos na entrevista mencionada anteriormente. Esta característica pode sinalizar que os docentes não atualizaram suas referências, ainda que não seja possível generalizar, pois não há dados para tanto. Além disso, claro, deve-se lembrar que este grupo de professores não constituiria, estatisticamente, amostra representativa da população de professores que lecionam no Ensino Médio no Estado de São Paulo;
• Livros antigos não previram intervenções através de TICs, nem consideraram as dinâmicas que daí adviriam;
• O excesso de formalismo e o rigor exagerado na exposição das regras pode ter tido efeito sobre os professores também, de tal forma que os mesmos têm dificuldade de usar os pressupostos estudados no tema “matrizes e determinantes” em quaisquer contextos distintos dos exercícios de aplicação a que estão habituados.
Estas três considerações são levadas em conta nas análises das produções dos professores na oficina.
CAPÍTULO TRÊS
APORTES METODOLÓGICOS