PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias na
formação de professores: matrizes e determinantes
Mestrado Profissional em Ensino de Matemática.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Roberto Meconi Junior
Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias na
formação de professores: matrizes e determinantes
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre Profissional em Ensino de Matemática, sob orientação do Professor Doutor Gerson Pastre de Oliveira.
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadora ou eletrônicos.
À minha amada esposa Magna
Aos meus queridos filhos Henrique e Laura
Aos meus Pais Roberto e Myrian
Agradecimentos
Inicialmente a Deus, por ter me dado amparo em todo este trajeto.
A minha esposa Magna, por ter ajudado e me amparado nos momentos mais difíceis.
Ao Professor Gerson Pastre de Oliveira, pela orientação, paciência, dedicação e amizade e, acima de tudo, por contribuir para a minha formação.
Aos Professores Doutores Armando Traldi e Viviane Rezi Dobarro, que gentilmente aceitaram participar da Banca Examinadora, pelas valiosas contribuições oferecidas. Aos Professores da rede pública, que participaram das oficinas, pois sem eles este trabalho não existiria.
Ao meu amigo Ricardo, que esteve comigo desde o início do programa.
Aos meus colegas de trabalho da Escola Estadual “Profª Rituco Mitani”, que acreditaram e contribuíram para a realização deste trabalho.
A Secretaria de Estado da Educação, que me proporcionou esta oportunidade
Finalmente, as minhas amigas Simone e Shirley, pela ajuda na correção e finalização desde trabalho.
Muito Obrigado!
Resumo
Este trabalho relata uma experiência investigativa relacionada à formação continuada de professores de Matemática do Ensino Médio, mais precisamente no que tange ao preparo dos mesmos em relação ao uso de tecnologias como mediadoras em suas aulas. Através de uma Oficina Didática de Educação Matemática e Tecnologias, oferecida no âmbito das atividades do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP (grupo TecMEM), um grupo de professores da rede pública do Estado de São Paulo foi acompanhado na realização de atividades dinâmicas com uso do software Winmat, bem como na consecução de tarefas em com mídias tradicionais, todas relacionadas ao tema “matrizes e determinantes”. Através de análise qualitativa dos dados, foi possível constatar diversas dificuldades por parte dos sujeitos da pesquisa, tanto conceituais quanto técnicas, que puderam ser minoradas à medida que se alcançava uma articulação entre o desenvolvimento do domínio tecnológico da interface e a recuperação dos conceitos matemáticos envolvidos. Além disso, os docentes envolvidos nesta investigação indicaram perceber a importância das estratégias pedagógicas que incluam tecnologias nas aulas de Matemática, muito além da mera inserção de softwares e ou artefatos para o uso de seus estudantes.
Abstract
This work describes an investigative experience related to High School Math teachers Studies, more precisely about their performance in relation to the use of technologies as mediators during their classes. Through a Math Educational Didactic and technological work- shop offered in the ambit of activities in the Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP (grupo TecMEM), where a group of teachers from Estado de São Paulo Public School were under observation in the realization in dynamic activities using the software WinMat as well as in the executions of tasks with traditional medias, all of them related to the theme "matrices and determinants". Through qualitative analysis of data, it was possible to verify several difficulties by these groups of researchers, conceptual and technical, but these difficulties could decrease as soon as this articulation was being reached between the interface technological domain and the recover of mathematics concepts involved. Besides, the teachers who are in this investigation have noticed the importance of pedagogical strategies in which mathematics technological classes should be included, more than the simple use of software or other artifact to the students use.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO... 14
Trajetória pessoal ... 14
Motivações da pesquisa ... 15
CAPÍTULO UM... 18
PROBLEMATIZAÇÃO DO TEMA... 18
1.1. A formação do professor de Ensino Básico no Brasil... 18
1.2. Formação do professor e TICs... 27
1.3. Tecnologias como mediadoras: estratégias didático-pedagógicas ... 32
1.4. As Oficinas Didáticas de Educação Matemática e TICs... 35
1.5. Questões relativas à pesquisa ... 39
A ABORDAGEM DO TEMA “MATRIZES E DETERMINANTES” ... 41
CAPÍTULO TRÊS... 57
APORTES METODOLÓGICOS ... 57
3.1 Pesquisa qualitativa: análise de conteúdo ... 57
3.2 Descrição dos sujeitos ... 60
3.2.1 Primeira questão... 61
3.2.2 Segunda questão... 61
3.2.3 Terceira questão ... 61
3.2.4 Quarta questão ... 62
3.2.5 Quinta questão... 62
3.2.6 Sexta questão ... 64
3.2.7 Sétima questão ... 66
3.2.8 Oitava questão... 69
3.2.9 Nona questão... 71
3.2.10 Décima questão ... 73
CAPÍTULO QUATRO ... 74
CONHECIMENTOS E POSSIBILIDADES DOS PROFESSORES AO ABORDAREM QUESTÕES RELACIONADAS A MATRIZES E DETERMINANTES NOS AMBIENTES ESTÁTICO E DINÂMICO ... 74
4.1 As atividades da oficina e os livros didáticos ... 74
4.2 Breves explicações ... 74
4.3 Primeira questão ... 75
4.4 Segunda questão ... 77
4.5 Terceira questão ... 78
4.6 Quarta questão ... 80
4.7 Ambientação para uso do WinMat; ... 84
4.8 Atividades com uso do Winmat... 84
4.9 Elaboração de aula com uso do WinMat... 93
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 97
REFERÊNCIAS... 101
ANEXO I - Slides utilizados na apresentação das oficinas ... 105
ANEXO II – Material para Oficina de Winmat... 107
ANEXO III – Primeiro Instrumento... 113
ANEXO IV – Segundo Instrumento ... 114
ANEXO V – Tabulação das quatro primeiras questões... 115
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Respostas da primeira questão, segundo instrumento... 75
Tabela 2 – Respostas da segunda questão, segundo instrumento... 77
Tabela 3 – Respostas da terceira questão, segundo instrumento... 79
Lista de Quadros
Quadro 1 – Primeira questão ... 60
Quadro 2 – Segunda questão... 60
Quadro 3 – Terceira questão... 60
Quadro 4 – Quarta questão... 61
Quadro 5 – Quinta questão... 61
Quadro 6 – Sexta questão... 63
Quadro 7 – Sétima questão... 64
Quadro 8 – Oitava questão... 68
Quadro 9 – Nona questão... 69
Quadro 10 – Décima questão... 71
Quadro 11 – Primeira questão, segundo instrumento... 74
Quadro 12 – Segunda questão, segundo instrumento... 75
Quadro 13 – Terceira questão, segundo instrumento... 77
Quadro 14 – Quarta questão, segundo instrumento... 79
Quadro 15 – Primeira questão, terceiro instrumento... 83
Quadro 16 – Segunda questão, terceiro instrumento... 84
Quadro 17 – Terceira questão, terceiro instrumento... 84
Quadro 18 – Quarta questão, terceiro instrumento... 85
Quadro 19 – Quinta questão, terceiro instrumento... 87
Quadro 20 – Sexta questão, terceiro instrumento... 88
Quadro 21 – Sétima questão, terceiro instrumento... 88
Quadro 22 – Situação-Problema 1, terceiro instrumento... 89
Listas de Figuras
Figura 1 – Tela do Winmat... 37
Figura 2 – O ciclo do uso de tecnologias em Educação Matemática... 38
Figura 3 – Abordagem sobre matrizes... 42
Figura 4 – Abordagem sobre matrizes... 43
Figura 5 – Abordagem sobre matrizes... 44
Figura 6 – Abordagem sobre matrizes... 45
Figura 7 – Abordagem sobre matrizes... 46
Figura 8 – Abordagem sobre matrizes... 47
Figura 9 – Abordagem sobre matrizes... 48
Figura 10 – Abordagem sobre matrizes... 49
Figura 11 – Abordagem sobre matrizes... 51
Figura 12 – Abordagem sobre matrizes... 52
Figura 13 – Abordagem sobre matrizes... 53
Lista de Gráficos
Gráfico 1 – Respostas dos professores à primeira questão... 61
Gráfico 2 – Resposta dos professores à segunda questão... 63
Gráfico 3 – Resposta dos professores à terceira questão ... 65
Gráfico 4 – Resposta dos professores à quarta questão ... 68
Gráfico 5 – Resposta dos professores à quinta questão ... 69
APRESENTAÇÃO
Trajetória pessoal
Desde quando cogitei escolher uma carreira profissional, duas possibilidades se apresentaram: seguir a mesma de meus pais (comerciantes) ou optar pela docência. Logo a carreira na educação tornou-se mais atrativa, não pela questão salarial, mas pelo crescimento pessoal como indivíduo, pela possibilidade de interação com os colegas e alunos, bem como pela oportunidade de continuar, sempre, a minha aprendizagem.
Minha história como estudante começou em 1983, quando iniciei os estudos no antigo 1º grau (1ª a 8ª série do Ensino Fundamental) na escola estadual Prof. Domingos Cambiaghi, na cidade de Franco da Rocha. Em 1993 ocorreu o término do 2º grau (1º ao 3º ano do Ensino Médio), também num colégio estadual em Franco da Rocha, a escola E.E. Profª Rituco Mitani. Nessa fase da vivência escolar, tomei conhecimento da importância da Matemática na educação e de como ela era defrontada pelos alunos. Percebi que esta disciplina, na maioria das vezes, não era bem vista pelos jovens.
O ingresso na educação ocorreu na mesma unidade de conclusão do ensino médio, o que me permitiu, além de rever velhos amigos, trabalhar em um local cujo ambiente fora referência na adolescência, uma relação de afeto muito grande. Iniciei nesta escola como professor em cargo efetivo de Matemática para o Ensino Médio.
Nesta empreitada como educador, em 2008 surgiu à oportunidade de participar de um processo seletivo para o curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática, oferecido pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, oportunidade esta que só foi possível porque o Governo do Estado de São Paulo implementou o sistema de Bolsa Mestrado1 para os professores
efetivos.
Tendo ingressado no referido programa de Mestrado, pude conhecer os estudos mais diversificados sobre Educação Matemática, desde os mais
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recentes até os clássicos, estes últimos muito relevantes, uma vez que, em minha opinião, tais assuntos deveriam ser conhecidos por todos os professores de Matemática, o que não ocorre em decorrência da má formação nas Licenciaturas e afins, por responsabilidade das instituições promotoras ou do próprio egresso.
A partir destas constatações, busquei compreender teorias e práticas que me permitiriam colaborar para alterar esta realidade, seja durante a formação ou na formação continuada. De minha parte, achei que não podia ter conhecimento destes problemas sem estudar possibilidades para alterar essa situação.
Motivações da pesquisa
Ao ingressar na faculdade de Matemática em 1994, logo após ter completado 18 anos, surgiu a oportunidade de trabalhar como professor e, a partir desta ocasião, a visão de como os alunos percebiam a Matemática foi ficando mais clara, bem como algumas questões sobre o porquê da Matemática ser a vilã na vida escolar de muitos alunos foram sendo desveladas, já que esta disciplina não é compreendida em sua essência.
Com a possibilidade de pesquisar sobre os problemas de aprendizagem em relação à Matemática surgem diversas questões, sendo que algumas devem ser comuns a todos que iniciam seus estudos: O que se deve pesquisar? Qual conceito deve ser abordado? Que ferramentas podem-se utilizar para alcançar os objetivos propostos? Com que grupo trabalhar em educação, professores ou alunos?
Para tentar responder a esses questionamentos, vem à tona a experiência e a vivência no ambiente escolar, tanto como professor como aluno, pois ao mudar de função na sala de aula, pude conhecer a maioria das dificuldades enfrentadas por ambas as partes desta relação. Claro que maior clareza para envidar uma pesquisa que viesse a auxiliar a mudança deste cenário só chegou com os estudos na pós-graduação.
maneira expositiva e formal, sem problematizações ou momentos nos quais os alunos fossem convidados a mobilizar conhecimentos que os ajudassem a avançar neste conteúdo.
De minha parte, como professor, permaneceu o questionamento: o que fazer? Tendo consciência desta realidade, sabia que este conteúdo não poderia continuar sendo trabalhado da mesma maneira, ou seja, de maneira tradicional, expositiva: era necessário buscar uma nova estratégia.
Nota-se, pelo discurso acima, que algumas das questões anteriormente levantadas puderam alcançar algum encaminhamento. O tema desta pesquisa foi definido pela minha própria experiência como professor. Os sujeitos, também: os professores. Restava uma variável importante para compor o cenário esperado: quais ferramentas deveriam ser utilizadas? Surge então, como estratégia, a possibilidade de utilizar ferramentas as quais, para alguns professores, seriam novas. São ferramentas que, se utilizadas com estratégias coerentes e bem elaboradas, possibilitariam abordar as dificuldades suscitadas nestas cogitações. Assim, o delineamento da pesquisa que apresento neste trabalho foi feito a partir da utilização das tecnologias de informação e comunicação (TICs), já que semelhantes interfaces haviam sido apresentadas de maneira muito promissora no curso de Mestrado pelo Prof. Dr. Gerson Pastre de Oliveira, na disciplina “Autoformação pelo uso das Tecnologias da Informação e da Comunicação”, como elementos importantes na estruturação de uma estratégia docente que permitisse, por sua vez, trabalhar com questões Matemáticas de forma mais dinâmica e eficiente.
Encerradas neste ponto as questões de caráter pessoal, prossigo, nas próximas páginas com o desenvolvimento da pesquisa propriamente dita. Deste ponto de vista, a organização do trabalho segue a seguinte lógica:
• O capítulo 1 traz a problematização relativa ao tema em análise, mais especificamente no que trata da formação do professor de Matemática de forma geral e para o uso das tecnologias, culminando com a questão norteadora desta investigação;
• O capítulo 3 alinha os aportes metodológicos da pesquisa, definida como um estudo qualitativo;
• O capítulo 4 traz a análise das atividades realizadas pelos professores participantes da oficina didática, relacionando suas intervenções com os aportes teóricos antes considerados;
CAPÍTULO UM
PROBLEMATIZAÇÃO DO TEMA
1.1. A formação do professor de Ensino Básico no Brasil
Atualmente, pode-se sugerir que a formação inicial do professor falha, entre outros aspectos, no que diz respeito às práticas empregadas em sala de aula, já que nem sempre os professores em processo de formação inicial têm contato direto com este ambiente. Semelhante descolamento entre a parte teórica e a realidade cotidiana da profissão docente causa descompassos quando do efetivo exercício dos profissionais no ambiente escolar. (SAVIANI, 2009)
Saviani (2009), em artigo sobre a formação do professor, resgata os aspectos históricos desta prática. A necessidade da formação docente já fora preconizada por Comenius, no século XVII, e o primeiro estabelecimento de ensino destinado à formação de professores teria sido instituído por São João Batista de La Salle, em 1684, em Reims, com o nome de Seminário dos Mestres. Entretanto, a questão da formação de professores exigiu uma resposta institucional apenas no século XIX, quando, após a Revolução Francesa, foi colocado o problema da instrução popular. É daí que deriva o processo de criação de Escolas Normais como instituições encarregadas de preparar professores.
Ainda segundo Saviani (2009), no Brasil, a questão do preparo de professores emerge de forma explícita após a independência, quando se cogita da organização da instrução popular. O autor faz uma crítica contundente a respeito da formação dos professores após a nova Lei de Diretrizes e Bases de 1996. Segundo ele, a lei sinalizou para uma política educacional tendente a efetuar um nivelamento por baixo: os institutos superiores de educação emergem como instituições de segunda categoria, provendo uma formação mais aligeirada, mais barata, por meio de cursos de curta duração.
políticas formativas, as quais não conseguiram manter um padrão consistente de preparação docente para dar conta dos problemas enfrentados pela educação escolar do país.
O autor expõe os dois modelos contrapostos de formação docente: a) Modelo dos conteúdos culturais-cognitivos: para este modelo, a
formação do professor se esgota na cultura geral e no domínio específico dos conteúdos da área de conhecimento correspondente à disciplina que irá lecionar;
b) Modelo pedagógico-didático: contrapondo-se ao anterior, este modelo considera que a formação do professor propriamente dita só se completa com o efetivo preparo pedagógico-didático.
Segundo o mesmo Saviani (1996), o processo de formação do educador deve contemplar os saberes relacionados às vivências e as experiências vividas por ele, a sua compreensão da realidade sob o foco histórico e social, o conhecimento específico de sua área, o conhecimento pedagógico que orienta sua prática educativa, o conhecimento sobre as formas de organização e realização da atividade educativa, ao ponto que suas ações caracterizem a tolerância às diversas formas de apropriação do conhecimento matemático que ocorrem no meio educacional.
Mello (2000), em artigo que trata sobre a formação inicial dos professores na educação básica, reconhece que a tal formação é apenas um componente de uma estratégia mais ampla de profissionalização do professor, indispensável para implementar uma política de melhoria da educação básica.
A autora relembra a história da educação brasileira, no que diz respeito à formação docente, enfocando a divisão entre o professor polivalente e o especialista.
conhecimento de um objeto de ensino, ou seja, o conteúdo, que corresponde à teoria, foi desvinculado da prática.
A autora revela que não há avaliação da qualidade dos resultados desses cursos de preparação docente, sejam eles públicos ou privados, porque a formação de professores tem sido tratada como qualquer outro curso de nível superior, sem considerar seu papel estratégico para todo o sistema educacional do país.
Feiman-Nemser e Floden (apud PONTE, 1992) citam que a formação inicial, mesmo executada de forma razoável, pode ser totalmente comprometida no processo de adaptação às realidades da prática pedagógica que ocorre nos anos iniciais de serviço.
Ponte (1992) considera, ainda, que a organização adequada de um sistema de apoio nas fases iniciais poderá não só permitir que o professor se adapte às realidades da prática pedagógica que ocorre nos anos iniciais de serviço, mas também auxiliar o docente a ter uma maior continuidade e uma transição natural da formação inicial para a formação continuada.
No Brasil, embora se discuta a importância de uma formação inicial de qualidade que proporcione aos futuros professores saberes específicos e pedagógicos e, também, a oportunidade de uma formação continuada que lhes dê condições para o exercício do magistério, a análise da situação atual tem mostrado que as escolas de formação inicial de professores estão caminhando muito lentamente para ter condição de formar um profissional competente.
Ponte (1998) traz a idéia de desenvolvimento profissional, ou seja, a noção de que a formação do professor para o exercício da sua atividade profissional é um processo que envolve múltiplas etapas e que, em última análise, está sempre incompleto. O autor destaca outro importante aspecto, qual seja o de que a formação está muito associada à idéia de “frequentar” cursos, enquanto o desenvolvimento profissional ocorre por meio de múltiplas formas, que incluem cursos, mas também atividades como projetos, trocas de experiências, leituras, reflexões, entre outras atividades:
lhe são transmitidos, enquanto que no desenvolvimento profissional temos um movimento de dentro para fora, cabendo ao professor as decisões fundamentais relativamente às questões que quer considerar, aos projetos que quer empreender e ao modo como os quer executar. (PONTE, 1998, p-2)
Assim, o desenvolvimento profissional ao longo de toda a carreira é, hoje em dia, um aspecto marcante da profissão docente, combinando processos formais e informais. O professor deixa de ser objeto para passar a ser sujeito da formação e seu desenvolvimento profissional é, no essencial, decidido por ele.
Este tipo de reflexão contradiz o que se pensava no passado, ou seja, a idéia de que o mais importante era a formação sobre o conteúdo a ser ensinado e que essa formação deveria ser suficiente para o professor, deixando totalmente de lado as metodologias, os projetos, as dinâmicas e a avaliação. Para Ponte (1992), a formação antigamente era vista como tendo de ser extremamente sólida em termos de conteúdo de ensino, sendo pouco valorizado os componentes pedagógicos. Agora, estes aspectos são tanto ou mais valorizados como os temas de Matemática.
Para Saraiva (2001), não se trata, portanto, de simplesmente rever a formação inicial que, por mais qualificada que seja, não consegue e nem pode responder a todas as necessidades que o professor encontra ao longo da sua vida profissional. As situações profissionais que o professor tem de enfrentar são muito variadas e exigem, em muitos casos, respostas inovadoras. Mesmo sendo considerada um fator fundamental para o desenvolvimento do professor, a experiência é insuficiente para dar respostas aos problemas da prática, pois muitas vezes as soluções requerem o conhecimento da teoria.
O mesmo autor acrescenta que, ao longo de sua carreira profissional, o professor de Matemática necessita aprofundar e ampliar os seus conhecimentos sobre a matéria que leciona e, também, sobre o currículo, os alunos e a sua aprendizagem, a didática, o contexto e sobre si mesmo (idem, ibidem).
ensinar provém de sua própria história de vida e, sobretudo, de sua história de vida escolar. Os professores são trabalhadores que foram mergulhados em seu espaço de trabalho durante aproximadamente 16 anos (em torno de 15 mil horas), antes mesmo de começarem a trabalhar. Essa imersão se manifesta através de toda uma bagagem de conhecimentos anteriores, de crenças, de representações e de certezas sobre a prática docente. Esses fenômenos permanecem fortes e estáveis ao longo do tempo. Além disso, o autor relata que a maioria dos dispositivos de formação inicial dos professores não consegue mudá-los nem abalá-los. Ou seja, os alunos passam pelos cursos de formação de professores sem modificar suas crenças anteriores sobre o ensino. E, quando começam a trabalhar como professores, são principalmente essas crenças que eles reativam para solucionar seus problemas profissionais.
O autor destaca que os primeiros anos de prática profissional são decisivos na aquisição do sentimento de competência e no estabelecimento das rotinas de trabalho, ou seja, na estruturação da prática profissional. Ainda hoje, a maioria dos professores aprendem a trabalhar na prática, às apalpadelas, por tentativa, erro e acerto, ou ainda, tendem a repetir modelos e práticas já ultrapassadas (TARDIF, 2000).
Em se tratando da formação continuada, Gatti (2008) analisa que, nos últimos dez anos, cresceram geometricamente as iniciativas de “educação continuada”. Porém, não foi encontrado, nas pesquisas observadas por ela, um conceito preciso sobre o termo. A Educação Continuada, segunda a autora, é muitas vezes compreendida de modo amplo e genérico, como qualquer tipo de atividade que venha a contribuir para o desempenho profissional – horas de trabalho coletivo na escola, reuniões pedagógicas, trocas cotidianas com os pares, participação na gestão escolar, congressos, seminários, cursos de diversas naturezas e formatos, oferecidos pelas Secretarias de Educação ou outras instituições para pessoal em exercício nos sistemas de ensino, relações profissionais virtuais, processos diversos a distância, grupos de sensibilização profissional, enfim, tudo que possa oferecer ocasião de informação, reflexão, discussão e trocas que favoreçam o aprimoramento profissional, em qualquer de seus ângulos, em qualquer situação. Há, portanto, uma vastidão de possibilidades dentro do rótulo de educação continuada.
Para Candau (1999) o modelo de formação continuada para docentes exprime-se no que vem ocorrendo com as iniciativas de renovação pedagógica. O destaque é dado na atualização da formação recebida ou numa “reciclagem”. Segundo a autora, o termo reciclagem não é atribuído ao processo industrial, mas sim de “refazer o ciclo”, diferentemente de outros preocupados com o assunto que discordam da expressão.
Já para Prada (1997), na nomeação dos programas de formação continuada, os termos utilizados estão abarcados de uma concepção filosófica que norteia o processo, sendo, também influenciados pela região, país e instituição envolvida, entre outros. Este autor apresenta em seu trabalho uma relação com as diferentes expressões e seus respectivos significados que auxiliam essa compreensão, a saber:
• Qualificação: Não implica a ausência de capacidade, mas continua sendo mecanicista, pois visa melhorar apenas algumas qualidades já existentes.
• Aperfeiçoamento: Implica tornar os professores perfeitos. Está associado à maioria dos outros termos.
• Reciclagem: Termo próprio de processos industriais e, usualmente, referente à recuperação do lixo.
• Atualização: Ação similar à do jornalismo; informar aos professores para mantê-los atualizados em relação aos acontecimentos. Neste caso, o termo recebe críticas semelhantes à educação bancária.
• Formação Continuada: Alcançar níveis mais elevados na educação formal ou aprofundar a formação, como continuidade dos conhecimentos que os professores já possuem.
• Formação Permanente: Realizada constantemente, visa à formação geral da pessoa sem se preocupar apenas com os níveis da educação formal.
• Especialização: É a realização de um curso superior sobre um tema específico.
• Aprofundamento: Tornar mais profundo alguns dos conhecimentos que os professores já têm.
• Treinamento: Adquirir habilidades por repetição. É um meio utilizado para manipulação de máquinas em processos industriais. No caso dos professores, estes interagem com pessoas.
• Re-treinamento: Voltar a treinar o que já havia sido treinado.
• Aprimoramento: Melhorar a qualidade do conhecimento dos professores.
• Desenvolvimento Profissional: Cursos de curta duração que procuram a “eficiência” do professor.
• Profissionalização: Tornar profissional. Conseguir, para quem não tem, um título ou diploma.
• Compensação: Suprir algo que falta. Atividades que pretendem subsidiar conhecimentos que faltaram na formação anterior. Gatti (2008) explica que o surgimento de tantos tipos de formação não é gratuito. Tem base histórica em condições emergentes na sociedade contemporânea, nos desafios colocados aos currículos e ao ensino, nos desafios postos aos sistemas pelo acolhimento cada vez maior de crianças e jovens, nas dificuldades do dia-a-dia nos sistemas de ensino, anunciadas e enfrentadas por gestores e professores e constatadas e analisadas por pesquisas. Criaram-se o discurso da atualização e o discurso da necessidade de renovação.
Segundo esta autora, observa-se a precariedade em que se encontram os cursos de formação de professores em nível de graduação. Assim, problemas concretos das redes inspiraram iniciativas chamadas de educação continuada, especialmente na área pública, pela constatação, por vários meios (pesquisas, concursos públicos, avaliações), de que os cursos de formação básica dos professores não vinham (e não vêm) propiciando adequada base para sua atuação profissional. A partir do seu estudo, percebe-se que muitas das iniciativas públicas de formação continuada no setor educacional adquiriram, então, a feição de programas compensatórios e não propriamente de atualização e aprofundamento em avanços do conhecimento, sendo realizados com a finalidade de suprir aspectos da má-formação anterior, alterando o propósito inicial dessa educação.
a 8ª séries), em sistema presencial. As ações do projeto foram desenvolvidas com base em necessidades colocadas pela rede em 19 pólos, por universidades e agências capacitadoras, cada uma responsável por um ou mais pólos regionais.
Em relação à formação dos professores de Matemática, podem-se evidenciar algumas características ligadas tanto à formação inicial ou à continuidade desta.
Nesse contexto, Costa (2005) coloca que as experiências vivenciadas pelos professores de Matemática constituem um aspecto importante no seu processo pessoal de desenvolvimento profissional ao focalizar sua atenção para novas questões presentes na prática educativa. Ao refletir sobre e analisar os problemas presentes na prática pedagógica, supõe-se que os professores iniciem um processo de mudança, melhorando sua ação educativa.
Outro aspecto também evidenciado é em relação ao domínio do conteúdo a ser ensinado: o professor de Matemática deve ter um conhecimento profundo do assunto a ser discutido em sala de aula, mas também possuir conhecimento de como esse mesmo conteúdo pode ser abordado. Portanto, além dos professores possuírem conhecimento pedagógico e do conteúdo, devem relacionar estes conhecimentos a fim de, por meio desta dialética, promover a aprendizagem.
Além dos aspectos mencionados, procura-se aqui um posicionamento teórico em relação aos conhecimentos dos professores de Matemática, os quais se apresentam de maneira insatisfatória, não proporcionando a dialética entre o conhecimento matemático e o conhecimento pedagógico. Lorenzato e Fiorentini (2001) afirmam que estudos sobre os saberes dos professores de Matemática revelam baixo níveis de compreensão e domínio do conhecimento matemático a ser ensinado e, ainda, de como combinar o conhecimento matemático com o conhecimento pedagógico.
se “interdependem”, “co-pertencem” e “co-evoluem”, continuamente em transformação.
Em relação ao professor em geral, e o de Matemática, em particular, um aspecto importante diz respeito à integração do mesmo e ao preparo em relação às tecnologias contemporâneas. A questão extravasa a mera manipulação de artefatos e atinge um requisito fundamental: articular o emprego de interfaces como mediadoras de um processo de ensino-aprendizagem em Matemática em relação ao próprio conteúdo, às condições dos estudantes, à disponibilidade de infraestrutura e à convicção de que não basta adicionar elementos tecnológicos para que a evolução cognitiva se dê – há a necessidade de elaborar estratégias pedagógicas que empreguem corretamente as tecnologias (OLIVEIRA, 2009). Discutem-se tais aspectos mais adiante.
1.2. Formação do professor e TICs
As tecnologias digitais trazem consigo um diferencial em relação às tecnologias já existentes. Segundo Kenski (1998), tais meios alteram as dinâmicas na sala de aula, fisicamente falando: as atividades são orientadas de modo a privilegiar o trabalho em equipe e o professor surge em um novo papel, o de participar junto com os outros membros.
Para propor um trabalho em sala de aula utilizando as tecnologias é necessário não só o material físico, mas também o interesse por parte dos professores para este fim. E considerando que o fazer escolar está voltado para a prática docente, percebe-se o atual modelo de atuação do professor ultrapassado, revelando a necessidade de se promover a atualização do professor.
tecnologias provoca a perda de seu potencial para os fins que se procuram, pois o processo através do qual os educandos e os professores devem apropriar-se adequadamente dos novos meios e tecnologias não é um processo automático nem autodidata. O trânsito de um determinado uso dos meios e tecnologias da diversão e entretenimento para um uso destinado a objetivos de aprendizado e análise também não são espontâneos: requer capacitação específica e especializada (GOMÉZ, 2002, p. 66).
Ponte (1992) coloca que um dos principais trunfos da formação utilizando tecnologias é o interesse que estas geram entre os professores, mas umas das grandes dificuldades é que não se apresentam como soluções prontas, ou seja, dependem da intervenção dos professores envolvidos.
O mesmo autor acrescenta que os professores de Matemática devem saber usar em sua prática as ferramentas das tecnologias de informação e comunicação (TICs), incluindo software educacional próprio para sua disciplina e software de uso geral (PONTE,1995).
Outro aspecto relevante versa sobre a experiência docente, que é muito valorizada dentro das escolas pela comunidade de maneira geral, o que influencia diretamente a prática pedagógica dos professores mais jovens. Essa valorização pode ser uma das razões para o fato de ainda existir uma concentração significativa na metodologia expositiva como forma de mediação pedagógica e na repetição de tarefas determinadas pelo professor ou seus correspondentes tecnológicos, como aponta Vasconcellos (1993).
novidades (utiliza-se uma série de técnicas para “variar a aula”, tornando-a “descontraída” e “criativa”, mas sem atenção ao conteúdo) (VASCONCELLOS, 1993).
As tecnologias exigem dos professores algo antes não realizado por eles: a reflexão sobre sua prática. É necessário, antes de qualquer trabalho com tecnologia, um planejamento elaborado e um questionamento sobre as estratégias e serem adotadas (OLIVEIRA, 2009).
Em relação à reflexão, Kenski (1998) assevera que devem ser dadas aos professores oportunidades de conhecimento e reflexão sobre sua identidade pessoal como profissional docente, seus estilos e seus anseios.
Atualmente os professores não têm tempo disponível para este processo, pois, normalmente, estão sobrecarregados de afazeres que acabam não considerando essas reflexões sobre suas práticas. É necessária uma reorganização de suas cargas horárias, para que possa incluir estes processos no seu tempo que é dedicado a escola em que lecionam.
A rotina da escola também se modifica. Aos professores é necessária uma reorientação da sua carga horária de trabalho para incluir o tempo em que pesquisam as melhores formas interativas de desenvolver atividades fazendo o uso dos recursos multimidiáticos disponíveis. (KENSKI, 1998, p. 71)
Demo (2008), em um artigo sobre TICs e educação, afirma que se devem considerar como processos formativos quaisquer ambientes nos quais se construam potencialidades de autonomia/autoria, conjugando qualidade formal e política: na qualidade formal está em jogo a habilidade de lidar com informação e conhecimento, saber pesquisar e elaborar, ser capaz de assumir postura científica e análise metódica; na qualidade política, está em jogo a cidadania que sabe pensar, autora, autônoma. Já os processos educacionais devem ser entendidos por ambientes autopoiéticos2, reconstrutivos,
interpretativos de aprendizagem, marcados pela condição de sujeito envolvido por parte do aprendiz.
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Segundo Almeida (2004), em entrevista fornecida ao site microsoft.com, em relação à proposta inovadora de uso das TICs na educação, o cenário nacional não está atrasado. A diferença está na disponibilidade de equipamentos e principalmente de profissionais devidamente qualificados para preparar os professores. Por exemplo, há 15 anos, seria necessário muito esforço para disponibilizar equipamentos para capacitar 50 educadores. Atualmente, a maioria das instituições brasileiras de formação dispõe de equipamentos para realizar essa preparação. Mas ainda faltam profissionais para atuar na formação docente. A adequada preparação de educadores exige muito mais recursos e tempo do que a aquisição de equipamentos.
Para a autora, é necessário promover a interação dos professores com a tecnologia, levando-os a apreender suas principais propriedades e potencialidades para o uso pedagógico. Isso não significa apenas facilitar a compra de computadores, mas trata-se de uma formação continuada que integra as dimensões de domínio tecnológico, prática pedagógica com o uso da tecnologia, teorias educacionais e gestão de espaços, tempos e recursos. O sentido da inclusão digital do aluno está inter-relacionado com o sentido da inclusão digital do professor, do gestor escolar e de todos que atuam na escola.
Já para Demo (2004), a escola continua instrucionista, disciplinar, tradicional, voltada para o século passado. O aproveitamento escolar é mínimo e está em queda constante (desde pelo menos 1995), indicando que a proposta pedagógica atual é inócua. Até mesmo por conta de tamanho fracasso, visualiza-se nas TICs alguma esperança, alguma alternativa, ainda que confusamente ou como consolo. E, ainda, segundo o autor, as TICs continuam sendo algo externo e estranho ao ambiente escolar da aprendizagem e formação.
indicadores mostram uma evolução na qualidade da educação em todos os níveis de ensino - primeira e segunda etapas do ensino fundamental e ensino médio.
Na primeira fase do ensino fundamental, o Ideb passou de 4,2 para 4,6. O percentual de 28,9% da evolução se deu em razão da melhora nas taxas de aprovação escolar. Nos anos finais do ensino fundamental, o Ideb do País evoluiu de 3,8 para 4,0. No caso do ensino médio, o Ideb do Brasil avançou de 3,5 para 3,6, superando a meta nacional de 2009.
Os índices contrastam com as proposições defendidas por Demo (2004). Além disso, muitos educadores não reconhecem esse índice oficial como uma imagem da aprendizagem que ocorre em sala de aula. Esta afirmação pode ser encontrada na justificativa apresentada pelo Prof. Dr. José Sérgio de Carvalho, professor da Faculdade de Educação da USP e atual presidente do conselho gestor da Escola de Aplicação desta Universidade, ao Jornal do Campus, asseverando que,
...os índices reúnem informações muito distintas num único número, dando um resultado aproximado do rendimento escolar naquele ano, o que é superficial e não indica a qualidade do ensino como um todo. (CARVALHO, 2010, http://www.jornaldocampus.usp.br/ index.php/2009/04/avaliacoes-confundem-educadores/)
1.3. Tecnologias como mediadoras: estratégias pedagógicas
De acordo com o artigo 2º da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB (Brasil, 1996), a educação, dever da família e do Estado, inspirada nos princípios de liberdade e nos ideais de solidariedade humana, tem por finalidade o pleno desenvolvimento do educando, seu preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para o trabalho. Neste cenário, pode-se dizer que a educação constitui hoje a bapode-se de toda a formação e organização humana. Os educadores têm um compromisso com a formação plena do educando, devendo criar condições para que os estudantes construam independência intelectual e desenvolvam autonomia na busca de conhecimentos. Nesse contexto, as estratégias utilizadas durante todo o processo educacional são de extrema importância para a construção do conhecimento, para a formação de cidadãos efetivamente participativos e estimulados. Partindo desse pressuposto, torna-se necessário repensar o modelo atual de ensino, calcado no trabalho individual e no aprendizado determinado pelo professor.
Para D´Ambrósio (2001), é preciso substituir os processos de ensino que priorizam a exposição, que levam a um receber passivo do conteúdo através de processos que não estimulem os alunos à participação. Finger, Silveira e Pinheiro (2008) colocam que os processos educacionais utilizados nas escolas não satisfazem mais às condições de aprendizagem da sociedade, caracterizadas pela necessidade de rapidez e independência na busca de informações e construção do conhecimento oriundo das transformações socioculturais e tecnológicas a que está submetido o ser humano contemporâneo. Diante desse contexto, o professor precisa perceber que a Educação está mudando, que hoje é inevitável a inserção das novas tecnologias nas escolas e que as estratégias didáticas também precisam mudar.
máquina e trabalhar a resistência do professor em aceitá-la como ferramenta para utilizá-la com normalidade, aumentando a eficiência da aprendizagem e motivando os alunos em relação às novas formas. (FINGER, SILVEIRA e PINHEIRO, 2008). De acordo com os PCN’s:
As novas tecnologias da comunicação e da informação permeiam o cotidiano, independente do espaço físico, e criam necessidades de vida e convivência que precisam ser analisadas no espaço escolar. A televisão, o rádio, a informática, entre outras, fizeram com que os homens se aproximassem por imagens e sons de mundos antes inimagináveis. (...) Os sistemas tecnológicos, na sociedade contemporânea, fazem parte do mundo produtivo e da prática social de todos os cidadãos, exercendo um poder de onipresença, uma vez que criam formas de organização e transformação de processos e procedimentos. (BRASIL, 2000,p.11-12)
O professor, como peça fundamental nesse processo, precisa ter consciência da necessidade de renovar sua metodologia de ensino, buscando novos saberes, propiciando oportunidades de construção e conhecimentos por parte de seus alunos e reconhecer que a utilização dos recursos tecnológicos como estratégia metodológica no ensino são fundamentais na transformação do atual cenário da educação.
A utilização de tecnologias no ambiente escolar deve ser vista como uma forma de facilitar a construção do conhecimento. Este recurso, porém, como integrante de uma metodologia, precisa ser compreendido como apoio para o entendimento dos conteúdos propostos, visto que por si só não garante uma aprendizagem significativa, pois a presença do professor é indispensável.
Oliveira (2008) ressalta a idéia de que o uso de tecnologias digitais não tem, por si só, o efeito de produzir melhorias no processo de ensino-aprendizagem em Matemática, mas pode ampliar, nas diversas instâncias da transposição para o saber a ensinar, as possibilidades que os aprendizes têm em alcançar a melhor forma de construir conhecimentos.
Com a utilização de novas tecnologias em sala de aula, a atuação do professor passará da comunicação baseado no monólogo da sala de aula para o diálogo interativo. Para Sommerman (2005), neste cenário, o aluno está ativo, dá sentido às aprendizagens e não é colocado em posição de se sujeitar a um ensino concebido e planificado sem que sejam consideradas as suas necessidades reais, o que ele já sabe e aquilo que ele aspira.
Destacando o aluno como sujeito na construção do conhecimento, Papert (1994) utilizou a teoria construtivista de Piaget para repensar a educação, influenciado pelas oportunidades oferecidas pelas novas tecnologias. De acordo com o autor, o construcionismo postula que o aprendizado ocorre especialmente quando o aprendiz está engajado em construir um produto de significado pessoal, que possa ser mostrado a outras pessoas. Portanto, ao conceito de que se aprende melhor fazendo, o construcionismo acrescenta: aprende-se melhor ainda quando se gosta, pensa e conversa sobre o que faz.
Nesse contexto, de acordo com Almeida (1998), o professor é desafiado a assumir uma postura de aprendiz ativo, crítico e criativo, articulador do ensino com a pesquisa, constante investigador sobre o aluno, seu nível de desenvolvimento cognitivo, social e afetivo, sua forma de linguagem, expectativas e necessidades, seu estilo de escrita, seu contexto e cultura.
Para a autora, o professor que atua nessa perspectiva tem uma intencionalidade enquanto responsável pela aprendizagem de seus alunos e esta constitui o seu projeto de atuação, elaborado com vistas a respeitar os diferentes estilos e ritmos de trabalho dos alunos, além de incentivar o trabalho colaborativo em sala de aula no que se refere ao planejamento.
Ao se inserir na sala de aula a utilização de um novo instrumento, não só em relação às TICs, deve se pensar como realizar esta aplicação por meio de estratégias bem elaboradas. Desta forma, para Oliveira (2008),
...a estratégia didática adotada como proposta para uma trajetória de aprendizagens em Educação Matemática é, em tudo, muito mais relevante do que a mera adoção de um software qualquer. Mais que isto: o uso de TICs no processo de ensino-aprendizagem de Matemática ocorre nas iniciativas de mediação, experimentação, diversificação dos registros, enfim, em uma série de iniciativas justificáveis a partir de uma estratégia que considera o saber a ser ensinado, os estudantes e o professor. (OLIVEIRA, 2008, p. 309)
Logo, uma das características fundamentais para a utilização das tecnologias são as estratégias adotadas pelo professor, ao realizar atividades. Este deve repensar suas atitudes, reelaborar seus conceitos e reestruturar suas aulas, de modo a se tornar um facilitador no processo de ensino-aprendizagem.
1.4. As Oficinas Didáticas de Educação Matemática e TICs
no âmbito desta pesquisa, na forma de uma Oficina Didática de Educação Matemática e TICs.
Do ponto de vista desta pesquisa, as estratégias pedagógicas, segundo Oliveira (2008),
...contemplam a participação de alunos e professores como figuras principais do processo, a partir da proposta de que o foco deve ser posto nas pessoas, de modo a promover nas mesmas novas possibilidades de interação, de aprendizado compartilhado e colaborativo, com vistas à ampliação da autonomia... . (OLIVEIRA, 2008, p. 298)
Os objetivos da oficina eram variados. Em caráter inicial e subsidiário pretendia-se, além de promover a interação dos professores com as interfaces computacionais, também apresentar o software Winmat aos sujeitos, para que estes, por sua vez, pudessem utilizá-lo, conhecendo suas operações e suas propriedades no trato com matrizes e determinantes, tema central da iniciativa, pois além de fazer parte dos conteúdos sugeridos pelos PCNs,
O currículo do Ensino Médio deve garantir também espaço para que os alunos possam estender e aprofundar seus conhecimentos sobre números e álgebra, mas não isoladamente de outros conceitos, nem em separado dos problemas e da perspectiva sócio-histórica que está na origem desses temas. Estes conteúdos estão diretamente relacionados ao desenvolvimento de habilidades que dizem respeito à resolução de problemas, à apropriação da linguagem simbólica, à validação de argumentos, à descrição de modelos e à capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real. (BRASIL, 1999, p.44)
E, também, em termos práticos, durante a pesquisa sobre trabalhos relacionados com o tema, foi verificado que este assunto era pouco discutido, o que se constatou pelo escasso número de investigações sobre o tema.
de Jesus. Este software possui funcionalidades relacionadas às matrizes, como posto, traço, determinante, etc., permitindo, assim, realizar operações de soma, subtração, produto, determinação da inversa, entre outras, com matrizes, bem como resolver sistemas matriciais, sistemas lineares, determinação do polinômio característico (assim como determinar suas raízes), etc.
Para a obtenção deste software, basta ter um computador com acesso à
Internet. O endereço na rede mundial é
http://math.exeter.edu/rparris/winmat.html.
Figura 1 – Tela do Winmat
Fonte: http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/interfaces/winmat.jpg
Figura 2 – O ciclo do uso de tecnologias em Educação Matemática – Fonte: OLIVEIRA, 2009
Desta forma, na visão de Oliveira (2009), os professores se aproximam das tecnologias de forma acrítica, em um primeiro momento, de maneira a desenvolverem domínio sobre seu uso e conhecimento sobre seus recursos. O conhecimento matemático, neste ponto, deve subsidiar o avanço no entendimento da interface, de modo a não gerar qualquer dependência do artefato. Em um passo seguinte, o professor pode incorporar as tecnologias em suas práticas, de modo a utilizar as interfaces como extensões de suas possibilidades como docente. Após esta etapa, passa a ser possível explorar e desenvolver aplicações, exemplos, contextualizações e cotidianizações das tecnologias a partir da Matemática (e vice-versa), para, depois, reconhecer nas tecnologias os elementos para a composição de estratégias didáticas que permitam a dinamização efetiva das aulas.
de informações entre os participantes sobre vários aspectos, inclusive a respeito dos trabalhos e projetos desenvolvidos na oficina.
Para que a oficina pudesse ser realizada, havia a necessidade de um local disponível para receber os professores participantes, convidados pelas diretorias regionais de ensino e com inscrição gratuita. As oficinas puderam contar com a infraestrutura da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, que disponibilizou uma sala de com projetor multimídia e um laboratório com computadores novos e os softwares adequados, com acesso à Internet e ao ambiente virtual TelEduc instalado na instituição. A oficina serviu, então, de contexto, a partir do qual pode emergir a pesquisa aqui relatada, cujo cerne, na forma de questões motivadoras, aparece a seguir.
A oficina em questão foi iniciada com uma apresentação para os professores participantes, de modo que os mesmos pudessem entender a iniciativa, o seu caráter formativo e de pesquisa e também para que os participantes se sentissem motivados em relação aos encontros. A apresentação contou com a presença dos pesquisadores envolvidos – o autor desta pesquisa, outro mestrando, também realizando sua pesquisa no âmbito da oficina, além do professor orientador dos dois trabalhos mencionados. Em um primeiro momento, houve a apresentação de todos os envolvidos no processo, tanto dos professores participantes como dos professores pesquisadores; em um segundo momento, apresentou-se, em forma de slides3, os objetivos e os conceitos relativos às oficinas, solicitando-se dos participantes a leitura do material elaborado pelos envolvidos no processo de formação4, além de dois artigos (OLIVEIRA, 2009; OLIVEIRA, 2007b).
1.5. Questões relativas à pesquisa
Tendo em vista as apreciações anteriores, pode-se pensar sobre quais características um professor de Matemática da Educação Básica deveria
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possuir, ou adquirir, para utilizar as interfaces computacionais de modo a facilitar a aprendizagem, no papel de orientador.
Para tentar responder esses problemas, a seguinte questão de pesquisa é suscitada: Uma Oficina de Tecnologias e Educação Matemática pode oferecer os professores de Matemática em serviço contribuições, visando melhorar aspectos matemáticos e tecnológicos de sua formação, tendo como mediador o software Winmat e como conteúdo o tema “matrizes e determinantes”?
Nesse contexto, a presente pesquisa tem como dados o processo de organização, implantação e avaliação da aplicação de matrizes e determinantes fazendo uso das TICs como mediadoras nos processos educativos. Embora existam obstáculos, não houve a pretensão de se eliminar os problemas identificados nas oficinas didáticas usadas para trabalhar com docentes de Matemática da Educação Básica, mas de discuti-los com os participantes das mesmas, de modo a torná-los mais autônomos no trato dessas dificuldades, encontrando soluções vindas de seus próprios fazeres, o que poderá servir de base à construção de uma nova prática (FREIRE, 1970; MION e BASTOS, 2001; OLIVEIRA, 2009).
CAPÍTULO DOIS
A ABORDAGEM DO TEMA “MATRIZES E DETERMINANTES”
2.1 Conceitos principais: temas relacionados às matrizes e determinantes nos Livros Didáticos
Para averiguar como os conceitos relativos aos estudos sobre o tema Matrizes e Determinantes são apresentados durante as aulas de Matemática, buscou-se as fontes às quais os professores do Ensino Médio recorrem para elucidar ou auxiliar suas exposições em sala de aula, no caso, os livros didáticos.
Segundo Razzini (2000), o livro didático torna-se material de pesquisa privilegiado, seja como fonte documental na definição de práticas do passado, quer seja como representação de tais práticas.
Já Lajolo (1996) descreve a importância do livro didático em países como o Brasil, onde a situação educacional faz com que ele acabe determinando conteúdos e, ainda, “condicionando estratégias de ensino, marcando, pois, de forma decisiva, o que se ensina e como se ensina o que se ensina” (LAJOLO, 1996, p. 4).
O primeiro livro selecionado foi Matemática para o 2º grau – Volume Dois, de Gentil (1998), da editora Ática. O capítulo 7 inicia a apresentação com um curto histórico sobre matrizes e, em seguida, é dada a definição formal do conceito: “matrizes são tabelas com m linhas e n colunas, são denominadas matrizes m x n (sendo m e n números naturais diferentes de zero)” (GENTIL, 1998, p. 150).
Figura 3 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GENTIL, 1998, p.150
igualdade entre matrizes para, só então, iniciar com as operações entre matrizes.
Figura 4 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GENTIL, 1998, p.151
Complementando as operações, indica a multiplicação de matrizes, apresentando que o produto ocorre de forma distinta de outras operações, cita alguns exemplos de produto e como decorrência da definição apresenta a condição para existência do produto, mencionando propriedades, como a associativa, distributiva em relação à adição e do elemento neutro. Antecipa propriedades que não são válidas para o produto de matrizes, como a comutativa e do elemento nulo. E para concluir o capítulo de matrizes, encerra a parte das operações com matrizes apresentando o conceito de matriz inversa.
Este autor inicia o capítulo 8 com o conceito de determinante, sem apresentar histórico algum. A seguinte definição é apresentada: ”Determinante é um número associado a uma matriz quadrada” (GENTIL, 1998, p.175). Apresenta o cálculo do determinante pelo Teorema de Laplace e o cálculo do determinante de ordem 3 através da Regra de Sarrus.
Figura 6 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GENTIL, 1998, p.175
encerra este capítulo dando a inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes.
Percebe-se que a abordagem é meramente conteudista, sem preocupação com subsidiar o professor com elementos para discutir conceitos ou convidar o aluno a pensar em situações-problema que o auxiliassem a ganhar autonomia na compreensão do conceito.
Figura 7 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GOULART, 1999, p.102
Figura 8 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GOULART, 1999, p.109
Figura 9 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GOULART, 1999, p.116
Como complementos deste capítulo sobre sistemas lineares, aparece a matriz transposta, seguida dos determinantes de matrizes transpostas, propriedades dos determinantes, determinante do produto de matrizes quadradas (Teorema de Binet) e, como consequência deste produto, a condição para existência da matriz inversa, finalizando, assim, este tema.
Figura 10 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: GOULART, 1999, p.116
situações-problema, nem a sugestão de abordagens pedagógicas que pudessem suscitar a reflexão sobre o tema.
Dando sequência ao capítulo, distingue os tipos de matrizes como matriz linha, coluna, nula, quadrada e identidade. A seguir, mostra a matriz transposta e a igualdade entre matrizes. Após estes aspectos, coloca as operações com matrizes, iniciando pela adição, seguida pela subtração, multiplicação de um número real por uma matriz, multiplicação de matrizes (com sua condição de existência para o produto) e as propriedades distributiva e associativa. Para finalizar as operações, considera a matriz inversa.
Para dar inicio ao capítulo de determinantes, este autor apresenta um histórico sobre o tema e, a seguir, define que “determinante de uma matriz quadrada é um número real que associamos a essa matriz segundo algumas regras”(BARRETO, 1998, p.138). E, para a determinação deste número, considera o cofator de um elemento seguido pelo Teorema de Laplace e pela Regra de Sarrus.
Após estas apreciações, aborda sobre o determinante de uma matriz quadrada de ordem n maior que três e, a seguir, apresenta algumas propriedades:
• Quando o determinante de uma matriz é igual a zero;
• O determinante de A e de sua transposta são iguais;
• Quando da multiplicação de uma coluna de uma matriz por um número real m, seu determinante fica multiplicado por m;
• Quando da troca de duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante troca de sinal;
• Teoremas de Jacobi e de Binet; e
Figura 14 – Abordagem sobre matrizes – Fonte: BARRETO, 1998, p.138
Este autor finaliza o capítulo destinado aos determinantes com a matriz de Vandermonde e o seu determinante e, finalmente, a regra de Chió.
Da análise dos três livros, algumas asserções surgem como importantes:
• A análise tomou por base livros com mais de dez anos de edição. Não obstante existirem livros mais novos, estes foram os indicados pelos professores ouvidos na entrevista mencionada anteriormente. Esta característica pode sinalizar que os docentes não atualizaram suas referências, ainda que não seja possível generalizar, pois não há dados para tanto. Além disso, claro, deve-se lembrar que este grupo de professores não constituiria, estatisticamente, amostra representativa da população de professores que lecionam no Ensino Médio no Estado de São Paulo;
• Livros antigos não previram intervenções através de TICs, nem consideraram as dinâmicas que daí adviriam;
• O excesso de formalismo e o rigor exagerado na exposição das regras pode ter tido efeito sobre os professores também, de tal forma que os mesmos têm dificuldade de usar os pressupostos estudados no tema “matrizes e determinantes” em quaisquer contextos distintos dos exercícios de aplicação a que estão habituados.
CAPÍTULO TRÊS
APORTES METODOLÓGICOS
3.1 Pesquisa qualitativa: análise de conteúdo
Como a presente pesquisa não consiste em coleta de dados para comprovar teorias, hipóteses ou modelos preconcebidos, mas sim, para o desenvolvimento de conceitos, idéias e entendimentos a partir de padrões encontrados nos dados, segundo Reneker (1993), caracteriza-se a mesma como sendo de caráter qualitativo.
De uma forma geral, Dias (1999) coloca que os métodos qualitativos são menos estruturados, proporcionam um relacionamento mais longo e flexível entre o pesquisador e os entrevistados, e lidam com informações mais subjetivas, amplas e com maior riqueza de detalhes do que os métodos quantitativos.
O pesquisador tem papel fundamental no processo de análise de dados, sendo este a figura que faz as anotações, revisa os dados coletados - seja por meio de anotações, gravações, filmagens, etc. – atua intimamente no cerne da pesquisa e, neste trabalho, o mesmo deve atentar para o contexto da observação, pois este deve ser o foco de seu trabalho.
Bogdan e Bliken (1994) citam o pesquisador como instrumento mais relevante na investigação qualitativa, sendo o “ambiente natural” o local de onde surgem os dados de interesse e, ainda, o contexto é de importância fundamental, pois ele influencia o comportamento dos sujeitos, o que faz com que o investigador freqüente-o, com intuito de compreendê-lo em seus múltiplos aspectos.
intenção desta pesquisa, no que diz respeito às estratégias adotadas pelos professores, sendo estas mais importantes do que o resultado final.
Outros autores que concordam com este fato são Bogdan e Bliken (1994), quando mencionam que “o processo é o foco da pesquisa qualitativa, muito mais do que resultados ou produtos”. Como não se trata de, simplesmente, verificar se uma mudança ocorreu, por exemplo, e em que percentual, mas de que forma, em que contexto, o processo serve mais à descrição do que os resultados em si (BOGDAN E BLIKEN, 1994). No caso desta pesquisa, semelhantes assertivas se aplicam integralmente: as análises baseiam-se nos conteúdos, os quais, por sua vez, são obtidos no processo representado pela oficina a qual os professores se submeteram, e suas produções, levantadas por instrumentos específicos, explicados mais adiante, receberam tratamento relativo à mudança de posturas e aprendizados realizados, e não no que se refere a índices ou notas.
Outro aspecto relevante na pesquisa qualitativa é o fato dela girar em torno das hipóteses, que são construídas após a observação e, ainda, o fato de não poder prever os resultados, já que estes dependem diretamente do desenrolar da análise. Nesse tipo de abordagem, a possibilidade de imersão do pesquisador no contexto e a perspectiva interpretativa de condução da pesquisa se apresentam como características marcantes (KAPLAN e DUCHON, 1988). De fato,
Não se trata de montar um quebra cabeças cuja forma final conhecemos de antemão, mas de construir um quadro que vai ganhando forma à medida que se recolhem e examinam as
partes. (BOGDAN E BLIKEN, p. 50)
De acordo com Miles e Huberman (1984), a análise dos dados em pesquisas qualitativas consiste em três atividades iterativas e contínuas, que são a redução dos dados, a apresentação dos dados e o delineamento e verificação da conclusão.
Para os autores, a redução dos dados consiste em um processo contínuo de seleção, simplificação, abstração e transformação dos dados originais provenientes das observações de campo. A apresentação desses incide sobre a organização dos mesmos, de forma a permitir que o pesquisador consiga tomar decisões e tirar conclusões a partir dos dados (textos narrativos, matrizes, gráficos, esquemas etc.). Já o delineamento e verificação da conclusão irão permitir a identificação de padrões, as possíveis explicações, configurações e fluxos de causa e efeito, seguida de verificação, retornando às anotações de campo e à literatura, ou ainda replicando o achado em outro conjunto de dados.
Como a proposta desta pesquisa visava o processo que envolvia os professores na resolução das atividades, bem como as interações entre eles e o pesquisador, todos os dados coletados foram analisados sob a luz da abordagem qualitativa que proporcionava uma visão clara das estratégias executadas pelos professores, assim como as observações relevantes continuamente realizadas pelo pesquisador.
Com esta finalidade, foram elaborados três instrumentos distintos, trabalhados como atividades da oficina com os professores:
• Um primeiro instrumento, em formato de questionário, foi dividido em duas categorias, sendo a primeira relativa ao perfil dos professores, e que foi objeto de análise descritiva. A segunda categoria relaciona-se ao de uso de TICs e foi objeto de análises mais amplas neste mesmo capítulo;
