UMA BREVE HISTÓRIA DA ÁLGEBRA

A história da Matemática vem sendo construída paralelamente à história do homem, a partir dos problemas, necessidade e/ou curiosidades humanas. Ao longo da história diferentes formas de representações foram criadas para expressar os números e suas operações, tais como gestos, expressões, palavras, até serem criados os diferentes símbolos que usamos hoje.

Em certa época pensou-se que a matemática se ocupava do mundo que nossos sentidos percebem e foi somente no século dezenove que a matemática pura se libertou das limitações sugeridas por observações da natureza. É claro que a matemática originalmente surgiu como parte da vida diária do homem, e se há validade o princípio biológico da “sobrevivência dos mais aptos” a persistência da raça humana provavelmente tem relação com o desenvolvimento de conceitos matemáticos (BOYER, 1996, p. 1).

Assim como as outras áreas da Matemática a Álgebra foi sendo construída a partir dessas experiências humanas. No Egito Antigo, por exemplo, foram encontrados no

Papiro de Rhind3 _{alguns problemas considerados algébricos. Em relação aos} problemas contidos nesse Papiro, Boyer (1996, p. 12) descreve que,

Os problemas egípcios descritos até agora são do tipo digamos, aritméticos, mas há outros que merecem a designação de algébricos. Não se referem a objetos concretos, específicos, como pães e cerveja, nem exigem operações entre números conhecidos. Em vez disso, pede o que equivale a soluções de equações lineares, da forma x+ax=b ou x+ax+bx=c, onde a, b, e c são conhecidos e x é desconhecido. A incógnita é chamada de “aha”.

Segundo Boyer (1996) a resolução desses problemas no papiro de Rhind não é apresentada da forma como vemos hoje e, sim, por meio do chamado “método da falsa posição”, ou “regra de falso”. Esse método consiste em admitir um valor qualquer para a incógnita chamada de “aha” que é igualada as operações a serem efetuadas. Devemos depois de realizar as operações, comparar o resultado obtido e o resultado que pretendemos alcançar, e por meio de proporções obteremos o valor desejado. A seguir, apresentamos a resolução apresentada por Boyer (1996, p. 11) do problema 24 que é resolvido pelo método da falsa posição, nesse problema é pedido o valor de “aha” (incógnita), sabendo que “aha” mais um sétimo de “aha” é igual a 19,

No problema 24 o valor tentado para a incógnita é 7, de modo que x+1/7x é 8, em vez de 19 como se queria. Como 8(2+1/4+1/8) = 19, deve-se multiplicar 7 por 2+1/4+1/8 para obter a resposta: Ahmes achou 16+1/2+1/8. Então conferiu sua resposta mostrando que se a 16+1/2+1/8 somarmos um sétimo disto (que é 2+1/4+1/8), de fato obteremos 19.

No antigo Egito a Álgebra era mais voltada para a resolução de equações lineares, já os babilônios a utilizavam para a resolução de problemas mais elaborados tais como as de equações quadráticas e cúbicas. Os babilônicos ainda criaram tabelas, que nos levam a acreditar que eles já haviam encontrado as fórmulas gerais da Progressão Geométrica e a soma dos n primeiros cubos perfeitos mesmo não apresentando tal generalização. Boyer (1996) apontava que o povo da Babilônia Antiga não demonstrava dificuldade em resolver problemas algébricos e que o domínio que tinham dessa ciência era admirável, apesar de haver muitas críticas em

3 _{Henry Rhind comprou em 1958 o Papiro de Rhind e por isso recebeu esse nome. Também é}

conhecido por Papiro de Ahmes em homenagem a um dos escribas do Egito Antigo e é um dos mais extensos papiros matemáticos, mede cerca de 0,30 metros de altura e 5m de comprimento.

relação à ausência de abstração na Matemática apresentada por esse povo e pelos egípcios.

A solução de equações quadráticas e cúbicas na Mesopotâmia é um fato notável, admirável não tanto pelo alto nível de habilidade técnica quanto pela maturidade e flexibilidade dos conceitos algébricos envolvidos. Com o simbolismo moderno é fácil ver que (ax)³+(ax)²=b é essencialmente o mesmo tipo de equação que y³+y²=b; mas reconhecer isso sem nossa notação é uma realização de significado muito maior para o desenvolvimento da matemática que até o louvado princípio posicional na aritmética, que devemos à mesma civilização. A álgebra babilônica tinha atingido um tal nível de abstração que as equações ax4_{+ax²=c e ax}8_+ax4_=c

eram reconhecidas como sendo apenas equações quadráticas disfarçadas, isto é, quadrática em x² e x4 _{(BOYER, 1996, p. 23).}

Outro fator a ser destacado é que para os babilônicos a Geometria era apenas um campo de aplicação da Álgebra e da Aritmética, que servia de visualização das operações por meio da representação geométrica. De acordo com os textos deixados por eles podemos observar que o teorema de Pitágoras era bastante utilizado. Acredita-se também que eles já tinham conhecimento que um ângulo inscrito num semicírculo é reto, essa demonstração foi apresentada por Tales. Lembrando que Tales só nasceu muito tempo depois dessa época.

Os gregos se interessaram principalmente pela Geometria e procuraram identificar as técnicas e a utilidade dessa área da Matemática. O primeiro grande matemático grego foi Tales de Mileto que além de “transmitir o que aprendera, introduziu um conceito revolucionário: as verdades matemáticas precisam ser demonstradas”. (Garbi, 2010, p. 15). Atribuiu-se a Tales o raciocínio dedutivo no campo da Matemática, ou seja, segundo ele era necessária a inferência de particularidades, dada uma generalização. Isso significa que deveriam ser analisadas as particularidades dos conceitos apresentados e não somente generalizações.

Por meio do comércio no Mediterrâneo Oriental os gregos tiveram contato com outras culturas, dentre elas, a da Mesopotâmia e a do Egito. Esse intercâmbio comercial e cultural permitiu que os gregos tivessem acesso a diferentes estudos e trabalhos desenvolvidos, dentre eles relacionados à Matemática.

Além de Tales outros matemáticos gregos também são considerados importantes, dentre eles, podemos destacar Pitágoras, Teorodo de Cirene, Hípias de Elis, Zenão de Eleia, Hipócrates de Quios, Platão, Eudóxio de Cnidos, Euclides e Diofante.

Pitágoras demonstrou o teorema dos triângulos retângulos, apresentando a relação: a²=b²+c². Isso significa que a relação entre os lados do triângulo equivale a uma equação de grau 2 em relação a cada uma das variáveis.

Outra questão apontada na Matemática grega está relacionada aos números figurativos, que são aqueles que podem ser encontrados por meio de uma sequência definida, por exemplo, uma sequência de números ímpares que somados chega-se a um quadrado de n número de termos representados pela fórmula, N=1+3+5+7+...+(2n-1).

A Pitágoras também foi atribuída duas grande contribuições matemáticas, a primeira relacionada à construção de alguns sólidos regulares e a segunda a proporcionalidade. Segundo Boyer (1996, p. 38),

Conta-se que Pitágoras soube na Mesopotâmia das três médias, aritméticas, geométricas e a subcontrária (mais tarde chamada harmônica) – e da “proporção áurea” que relaciona duas delas: o primeiro de dois números está para a sua média aritmética como a média harmônica está para o segundo número.

Já na época de Platão a Matemática grega passou por grandes transformações, segundo Boyer (1996) a “álgebra aritmética” foi substituída pela “álgebra geométrica”, e tinha como objetivo acabar com a dicotomia entre números e grandezas contínuas. Isso significa que não poderia mais somar segmentos com áreas ou áreas com volumes, considerando que são grandezas diferentes. A Geometria na Grécia foi tão bem estruturada que, os gregos conseguiram resolver algumas equações de 2º grau utilizando apenas régua e compasso. Um exemplo disso é a identidade (a+b)² = a² + 2ab +b², que podemos verificar por meio da construção geométrica na figura 2 a seguir:

Figura 2 – Construção geométrica da equação (a+b)² = a² + 2ab +b²

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Fonte: Organizado pela Pesquisadora

Na figura 1 construímos o quadrado de lado “a” e área “a²”, ao prolongarmos na figura 2, dois lados opostos desse quadrado encontramos um retângulo de lado a e b e área ab. Neste caso os lados dessa nova construção geométrica é um retângulo de lados a e (a+b) e área a.(a+b), ou seja, área a²+ab. Na figura 3 prolongamos o retângulo construído na figura 2 de lados a e (a+b) em a, construindo um novo quadrado de lados (a+b), sendo, portanto sua área de (a+b)². Como podemos observar (a+b)² equivale a soma de todas as áreas, então, (a+b)² = a²+ab+ab+b², ou seja, (a+b)² = a²+2ab+b². Por meio dessas construções geométricas é que foram sendo descobertas diversas fórmulas utilizadas hoje.

Outras demonstrações foram sendo apresentadas por diversos estudiosos. Ainda na Grécia Antiga, podemos citar Euclides que foi um pesquisador grego muito importante nesse processo de construção e apresentação de verdades Matemáticas que são consideradas até hoje. Ele deixou cinco importantes obras sendo elas, Os Elementos, Os dados, Divisão de figuras, Os fenômenos e Óptica. Os Elementos, com 13 volumes apresenta a Álgebra geométrica que equivale à Álgebra simbólica.

Na Matemática moderna temos a Álgebra simbólica e a Trigonométrica que equivalem à Geometria grega, mas atualmente é baseada quase exclusivamente na linguagem simbólica. Euclides deixou algumas noções comuns que são consideradas tanto para a Geometria como para a Álgebra, como podemos observar no quadro 2 a seguir: a a a a b a² a² _a.b a a b a² a.b b b² b b a a a a.b

Quadro 2 – Relações entre noções comuns e representação algébrica

Noções Comuns Representação Algébrica

Coisas que são iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si.

a=b e b=c, então, a=c

Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais. Se a+c=d, e a=b, então, b+c=d.

Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.

Se a-c=d e a=b, então, b- c=d.

Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma a outra.

a=b então, a-c=b-c.

O todo é maior que a parte a>a/b.

Fonte: Organizado pela pesquisadora

Entre os gregos que se destacaram no processo de construção da Álgebra temos Diofante de Alexandria, que hoje é considerado por alguns pesquisadores como o pai da Álgebra. Esse título se deve ao fato de que Diofante criou uma linguagem própria utilizando as letras gregas para representar as potências e as incógnitas. Além disso, conseguia resolver equações elevadas até a sexta potência.

A Álgebra grega também foi estudada na Índia de onde saíram grandes contribuições. O califa al-Mansur, que governou entre 754 a 775, construiu Bagdad e organizou uma equipe de sábios e artistas. Ele solicitou que fosse feita uma tradução para o árabe dos Elementos de Euclides. O filho do califa, Al-Mamun, seguindo o exemplo do pai, procurou fazer o mesmo com outras obras gregas criando uma escola científica. Garbi (2010, p. 24) aponta que Al-Mamun convidou o astrônomo e matemático Abu-Abdullah Muhammed ibn-Musa al-Khwwarizmi (783- 850) para trabalhar em Bagdad e, que foi o nome desse estudioso que deu origem às palavras algarismo, algoritmo e Álgebra.

Tendo-lhe sido solicitado por Al-Man que produzisse uma obra popular sobre as equações, ele escreveu o livro Al-Kitab al-jabr wa’l Muqabalah, título que pode ser aproximadamente traduzido por “O Livro de restauração e do Balanceamento”. A palavra Al-jabr era empregada por al-Khwarizmi para designar operações em que, por exemplo, a equação x-3=6 passa a x=9, significando uma “restauração” de x-3 de modo a tornar-se a incógnita completa x. Foi assim que nasceu a palavra Álgebra, presente em todos os idiomas do planeta, tão empregada na Matemática e que está claramente relacionada às noções comuns de Euclides.

Al-Khwarizmi, ao tentar simplificar a resolução de algumas equações também acabou popularizando o sistema de numeração decimal (algarismos posicionais de 0 a 9) criado pelos hindus, sendo esse usado até nos dias de hoje. Outro nome indiano muito famoso é Bhaskara que hoje dá o nome a uma fórmula utilizada para a resolução de equações do 2º grau, mesmo não sendo o responsável pela sua descoberta. A fórmula de Bhaskara, já identificada pelos babilônios, demonstra que em uma equação quadrática do tipo ax² + bx + c = 0, sendo a≠0, devem ser encontradas duas raízes, tais que, .

Ainda na Índia destacamos o estudioso Brahmagupta que deu grandes contribuições a Álgebra. Dentre essas contribuições está a relacionada à equação diofantina do tipo ax+by=c, onde a, b e c são números inteiros. Brahmagupta descobriu que para que essa equação tenha soluções inteiras é necessário que o máximo divisor comum de a e b, seja um divisor de c. Ele sabia que a e b, são números primos e as soluções são do tipo x=p+mb, y=q-ma.

Outras civilizações também contribuíram para o desenvolvimento algébrico, como a China Antiga que apesar de ter o trabalho com a Matemática, voltado principalmente para a Aritmética e para a Geometria apresentou certa habilidade para a resolução de equações lineares por meio de diagramas. Os chineses apresentaram também algumas equações indeterminadas e quadráticas resolvidas, mas nenhum estudo mais detalhado sobre a Álgebra. O maior matemático chinês foi Chu Shih-chieh e escreveu o livro SSu-yüan yü-chien, que apresenta os quatros elementos (céu, terra, homem e matéria) que representam quatro incógnitas em uma equação.

O livro apresenta o ápice do desenvolvimento da álgebra chinesa, pois trata de equações simultâneas e de equações de grau até quatorze. Nele o autor descreve um método de transformação que chama fan-fa, cujos elementos parecem ter surgido muito antes na China, mas que tem o nome de Horner, que viveu meio século depois. Para resolver a equação x²+252x-5292=0, por exemplo, Chu Shih-chieh primeiro obteve x=19 como aproximação (uma raiz cai entre x=19 e x=20) depois usou o fan-fa, nesse caso a transformação y=x-19, para obter a equação y²+290y-143=0 (com uma raiz entre y=0 e y=1). Deu então a raiz dessa como (aproximadamente) y=143/(1+290); daí o valor correspondente x é 19 143/291 (BOYER, 1996, p. 139).

Muitos anos mais tarde, na Itália do segundo milênio, nasceu Fibonacci (Leonardo de Pisa), que trouxe grandes contribuições para a Matemática. Na área específica de Álgebra ele utilizou algumas palavras tais como “radix” (raiz) para representar a incógnita, “census” o quadrado, “cubus” para cubo e “aequalis” para igualdade.

No período do Renascimento na Itália a resolução de equação de 3º grau foi apresentada por Girolamo Cardano na publicação da “Ars Magna” apesar da resolução não ter sido encontrada por ele, mas, sim, por Nìcolo Fontana, conhecido como Tartáglia. A solução da equação quadrática também foi demonstrada na publicação de Cardano, mas esse deu o mérito ao seu discípulo Luigi Ferrari. Não demonstraremos aqui a resolução dessas equações, mas descreveremos no quadro 3 a seguir, a solução encontrada por esses matemáticos:

Quadro 3 – Equações de 3º e 4º grau e as respectivas fórmulas publicadas por Cardano em 1545.

Equação Fórmula

x³ + px + q = 0

x=

x4_{+(p+α)x²+(Ƭ+β) = αx²-qx+β}

=

Fonte: Organizado pela pesquisadora

O problema que ocorre com a fórmula apresentada por Cardano referente à equação de terceiro grau é que muitas vezes nos deparamos com uma raiz de um número negativo. Na época em que essa resolução foi demonstrada, a possibilidade de um resultado negativo causava um desconforto entre os matemáticos por ir além do conhecimento que tinham. Ao tentar obter uma solução para as raízes negativas, Rafael Bombelli, nascido em 1530, na Itália, construiu a Teoria dos números complexos.

Na segunda metade do século XVI, destacamos como importante no campo da Álgebra os estudos de um francês, François Viète. Segundo Boyer (1996) Viète usou uma Vogal para representar algebricamente uma quantidade desconhecida ou indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostamente conhecidos ou apresentados no problema. No entanto, Boyer (1996)

aponta que a linguagem algébrica utilizada por ele é sincopada e não simbólica, ou seja, ele ainda utilizava abreviações de palavras e não símbolos para a construção do problema.

Outras contribuições importantes deixadas por esse matemático foi a redução de uma equação cúbica para uma quadrática, apresentando mais de uma forma de encontrar a solução. Além disso, por ser grande conhecedor de trigonometria, fez uma substituição de incógnita com o intuito de identificar outras possibilidades de encontrar as raízes que satisfizessem as equações. Garbi (2010, p.58-59) apresenta o método utilizado por Viète; primeiro o matemático fez a substituição x=kcosθ, modificando a equação proposta:

(1)

(2)

(3)

Viète naquela época já sabia que ou

. Utilizando essa propriedade fez uma equivalência com a dessa equação trigonométrica:

(4)

Nessa equivalência encontrou que . Desenvolvendo tais

igualdades Viète verificou que e . Lembrando

que no método trigonométrico Viète substituiu x= fazendo, portanto essa multiplicação, encontramos as raízes da equação.

Outro francês que se destacou no desenvolvimento da Álgebra foi René Descartes (1596-1650). Seu trabalho apresenta uma relação entre as operações algébricas e construções geométricas, utilizando uma linguagem simbólica, mostrando uma interpretação geométrica da Álgebra. Segundo Boyer (1996, p. 232), Descartes em sua obra, La Géometrie, utilizou letras do começo do alfabeto para parâmetros e as do final para representar as incógnitas, fez a adaptação do exponencial e utilizou os símbolos germânicos de + e -, criando uma notação algébrica bem próxima a utilizada hoje.

Havia, porém uma diferença importante na maneira de ver as coisas, pois ao passo que pensamos em parâmetros e incógnitas como números Descartes pensava neles como segmentos. Num ponto essencial ele rompeu com a tradição grega, pois em vez de considerar x² e x³, por exemplo, como uma área e volume, ele também os interpretava como segmentos. Isso permitiu-lhe abandonar o princípio de homogeneidade, ao menos explicitamente, e no entanto preservar o significado geométrico.

Além disso, Descartes criou o plano cartesiano que possibilitou que curvas diversas, tais como parábolas e hipérboles, fossem tratadas como equações algébricas. Quando Descartes construiu o plano apareceu mais uma incógnita, o “y”, sendo que até agora era utilizado apenas o “x”. Esse fato foi muito importante principalmente porque, com apenas uma incógnita temos um número finito de soluções enquanto com duas variáveis, podemos ter um número infinito de pares como solução (x, y).

A ideia básica da Geometria Analítica é fazer com que cada ponto do plano (o raciocínio pode ser generalizado para o espaço) seja caracterizado por suas distâncias x e y em relação a dois eixos de coordenadas e estudar o relacionamento entre x e y em relação a dois eixos quando o ponto se encontra sobre diferentes tipos de linha geométricas (GARBI, 2010, p. 73).

Garbi (2010) também destaca que apesar de Descartes não ter apresentado novas técnicas que pudessem auxiliar na resolução de equações algébricas, ele contribuiu com a aceitação das raízes negativas como possíveis soluções para as mesmas. Além disso, o autor destaca que Descartes desenvolveu um critério para verificar o número de raízes negativas e positivas de uma equação, mesmo sem conhecer os resultados, somente por meio de análise das variações e análise dos sinais dos coeficientes da equação.

Pierre de Fermat (1601-1665) também francês, um verdadeiro curioso sobre a obra de Diofanto, contribuiu imensamente com o estudo da Matemática. Ele conseguiu

demonstrar que todo número primo é divisível apenas por ele mesmo e pela unidade, ou seja, por um.

Todo número primo [...] do tipo 4k+1 (k inteiro positivo) pode ser, sempre e de maneira única, decomposto como a soma de dois quadrados perfeitos. [...] Por outro lado, os primos do tipo 4k+3, como 7, 19, 31, 43, etc., nunca podem ser decomposto como soma de dois quadrados. Mas Fermat fez outra surpreendente descoberta a respeito dos primos do tipo 4k+1: qualquer potência positiva inteira s deles pode ser hipotenusa de s diferentes triângulos retângulos de lados inteiros (GARBI, 2010, p.68).

Fermat ainda disse que nenhum cubo pode ser a soma de dois cubos, ou seja, que não é verdade a igualdade x³+y³=z³, sendo x, y e z números inteiros positivos. Estendeu essa proposição enunciando o termo geral de seu teorema, xn_+ynue _=zn_, afirmando não tem solução para todo n>2. Esse teorema só foi solucionado em 1993, por Andrew Wiles por meio de técnicas computacionais avançadas. Fermat além de contribuir com a Teoria dos Números, ainda teve grande importância para o estudo de Probabilidade.

Outras contribuições foram apresentadas ao longo da história da Matemática, tais como a de Isaac Newton (1642-1727), que por meio do teorema binomial demonstrou que era possível trabalhar com séries infinitas de maneira semelhante ao utilizado para trabalhar com expressões polinomiais finitas.

Carl Friederich Gauss (1777-1855) desenvolveu o Teorema Fundamental da Álgebra que afirma que “toda equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, no campo complexo, pelo menos uma raiz” (GARBI, 2010, p. 114). Gauss conseguiu demonstrar que o número de raízes de uma equação equivale ao grau do polinômio calculado, ou seja, que uma equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes.

Brook Taylor (1683-1731), Coli Maclaurin (1698-1746) e Gabriel Cramer (1704- 1752), dentre outros matemáticos contribuíram imensamente para a construção da Álgebra que estudamos hoje.

O século XIX segundo Boyer (1996, p. 399) foi marcado por duas características em relação à Álgebra, sendo elas, uma tendência crescente em relação à generalização

e abstração e a outra relacionada a “expressões sujeitas a restrições mais cuidadosamente definidas que as consideradas em séculos precedentes”.

Podemos dizer que a história da Álgebra teve três fases distintas, sendo elas: “1) o primitivo, ou retórico, em que tudo é completamente escrito em palavras; 2) um