Qo = ρcpV(Ti - T∞) 3.22
representa a energia interna inicial da placa na temperatura ambiente.
Fig. 3.6 Calor adimensional transferido Q/Qo numa placa de espessura 2L.
3.4) CILINDRO LONGO E ESFERA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURAS TRANSIENTES
A distribuição das temperaturas adimensionais transientes e os resultados da transferência de calor, semelhantes aos que estão nas Figs 3.5 e 3.6, também podem ser calculados nos casos de um cilindro longo e no de uma esfera.
3.4.1) Carta de temperaturas transientes num cilindro longo
Considere a condução de calor, unidimensional, transiente, num cilindro longo de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti. Repentinamente, no tempo t = 0, a superfície em r = b é sujeita a convecção, com um coeficiente de transferência de calor h para um ambiente à temperatura T∞ e mantida assim em t > 0. A formulação matemática deste problema de condução de calor é dada em forma adimensional como
τ θ θ
∂
=∂
∂
∂
∂
∂ R R R R
1 em 0 < R < 1, e τ > 0 3.23a
=0
∂
∂ R
θ em R = 0, e τ > 1 3.23b
0
=
∂ +
∂θ θ
R Bi em R = 1, e τ > 0 3.23c
θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, e τ = 0 3.23d
onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte
=
= k
Bi hb número de Biot 3.24a
=
= 2 b αt
τ tempo adimensional, ou número de Fourier 3.24b
( )
=−
= −
∞
∞
T T
T t r T
i
θ , temperatura adimensional 3.24c
=
=b
R r coordenada radial adimensional 3.24d
O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro To ou θ(0,τ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários valores do parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do cilindro com a temperatura no plano médio To. Por isso, dada To, as temperaturas nas diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b.
Fig. 3.7 Carta de temperaturas transientes num cilindro maciço longo, de raio r=b sujeito a convecção na superfície r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a).
A Fig. 3.8 mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional com diversos valores do número de Biot, no problema do cilindro dado pelas Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equação 3.22, e Q representa a quantidade total de energia perdida pelo cilindro até certo tempo t, durante a transferência transiente de calor.
Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b
3.4.2) Carta de temperaturas transientes numa esfera
Numa esfera de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e em t > 0, sujeita a convecção na superfície r = b, com um coeficiente de transferência de calor h, para um ambiente à temperatura T∞, o problema da condução transiente de calor é dado na forma adimensional como
τ θ θ
∂
=∂
∂
∂
∂
∂ R R R R
2 2
1 em 0 < R < 1, e τ > 0 3.24a
=0
∂
∂ R
θ em R = 0, e τ > 0 3.24b
0
=
∂ +
∂θ θ
R Bi em R = 1, e τ > 0 3.24c
θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, se for τ = 0 3.25c Aqui, os parâmetros adimensionais Bi, θ e R são definidos como as Eqs. 3.24.
A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro To, ou θ (0,τ), da esfera em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi.
A Fig. 3.9b apresenta a relação entre as temperaturas em diferentes posições dentro da esfera e a temperatura no centro To.
Fig. 3.9 Carta de temperaturas transientes numa esfera maciça, de raio r=b sujeito a convecção na superfície r=b.
(a) Temperatura To no centro da esfera; (b) correção de posição para empregar com a parte (a).
A Fig. 3.10 mostra o calor adimensional Q/Qo em função do tempo adimensional com diferentes valores do número de Biot. Aqui, Q e Qo são definidos como previamente.
Fig. 3.10 Calor adimensional transferido Q/Qo numa esfera de raio b
4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS
Até aqui consideramos a transferência condutiva de calor nos sólidos, nos quais não há movimento do meio. Nos problemas de condução, a convecção participou na análise, simplesmente como condição de contorno, na forma de um coeficiente de transferência de calor.
Nosso objetivo, neste e nos capítulos seguintes a respeito da convecção, é estabelecer as bases físicas e matemáticas para a compreensão do transporte convectivo de calor e revelar as várias correlações na transferência de calor.
Nas aplicações de engenharia, há interesse na perda de carga e na força de arraste associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos. Por isso, são apresentadas as correlações apropriadas para prever a queda de pressão e força de arraste num escoamento.
A análise da convecção é complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de carga, a força de arraste e a transferência de calor. Para determinar a força de arraste, ou a perda de carga, deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanças imediatas da superfície. Para determinar a transferência convectiva de calor também se precisa da distribuição de velocidades no escoamento do fluido, porque a velocidade participa da equação da energia; a solução da equação da energia determina a distribuição de temperaturas no campo do escoamento.
A literatura a respeito da transferência convectiva de calor é superabundante e está sempre crescendo. Nestes últimos anos, com a disponibilidade de computadores digitais rápidos e de elevada capacidade, têm-se feito notáveis progressos na análise, com grandes detalhes, de problemas muito complicados de transferência de calor. Não obstante, um grande número de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o emprego de correlações padrões de transferência de calor. Por isso, vamos focalizar nossa atenção sobre esses casos. Para atingir este objetivo, apresentaremos neste capítulo uma visão coerente da convecção, a fim de propiciar uma base firme para aplicações. Serão discutidos os conceitos básicos associados ao escoamento sobre um corpo, ao escoamento dentro de um duto e à turbulência. Ilustraremos também o papel da distribuição de temperaturas e o da distribuição de velocidades, num escoamento, sobre a transferência de calor e a força de arraste.
As distribuições de velocidades e de temperaturas no escoamento são determinadas a partir da solução das equações do movimento e da energia. Por isso, estas equações são apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades constantes, incompressível, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas. A simplificação destas equações é ilustrada a fim de se obterem as equações que governam a análise dos problemas mais simples de transferência de calor.
Finalmente, discute-se o significado físico dos parâmetros adimensionais e apresentam-se as equações das camadas limites.