Até agora discutimos a radiação para uma superfície única ou de uma superfície única. Entretanto, nas aplicações de engenharia, os problemas de interesse prático envolvem troca de radiação entre duas ou mais superfícies. Quando as superfícies estiverem separadas por um meio inerte, que não absorve, nem emite, nem difunde a radiação, a troca de radiação entre as superfícies não é afetada pelo meio. O vácuo, por exemplo, é um perfeito meio inerte; entretanto, o ar e muitos gases se aproximam quase exatamente desta condição. Para quaisquer duas superfícies dadas, a orientação entre elas afeta a fração da energia radiante emitida por uma superfície e que, incide diretamente na outra superfície.
Por isso, a orientação das superfícies tem papel importante na troca radiativa de calor.
Para formalizar os efeitos da orientação na análise da troca radiativa de calor entre superfícies, adota-se o conceito de fator de forma. Os termos fator de vista, fator de visada e fator de configuração também são utilizados na literatura. Deve-se fazer uma distinção entre o fator de forma difuso e o fator de forma especular. O primeiro se refere à situação em que as superfícies são refletores difusos e emissores difusos, enquanto o último se refere à situação em que as superfícies são emissores difusos e refletores especulares. Neste livro vamos considerar apenas os casos em que as superfícies são emissores difusos e refletores difusos; por isso, não precisamos fazer a distinção. Vamos empregar simplesmente o termo fator de forma, e este termo corresponde ao fator de forma difuso.
O significado físico do fator de forma entre duas superfícies é representar a fração de energia radiante emitida por uma superfície que incide diretamente na outra superfície.
9.5.1) Fator de forma entre duas superfícies elementares
A fim de termos uma visão mais profunda da dedução das relações que definem os fatores de forma, vamos demonstrar a expressão que define o fator de forma entre duas superfícies elementares.
Fig 9.10 Coordenadas para a definição do fator de forma
Consideremos duas superfícies elementares dA1 e dA2, como está ilustrado na Fig.
9.10. Seja r a distância entre essas duas superfícies:θ1 o ângulo polar entre a normal n1 ao elemento de superfície dA1 e a reta r que liga dA1 a dA2; e θ2, o ângulo polar entre a normal n2 a elemento de superfície dA2 e a reta r.
Seja dw12 o ângulo sólido sob o qual um observador em dA1 vê o elemento de superfície dA2, e I1, a intensidade da radiação emitida difusivamente pelo elemento de superfície em todas as direções do espaço hemisférico. A taxa de energia radiante dQ1 emitida por dA1 e que incide na superfície dA2 é direções sobre o espaço hemisférico é
∫ ∫
= = intensidade da radiação emitida pela superfície é independente da direção. Então, com I1, constante, a Eq. (9.44) é integrada e nos dá emitida por dA1, que incide diretamente sobre dA2, e a energia radiante emitida por dA1, em todas as direções no espaço hemisférico. Portanto, essa razão é obtida dividindo-se a O fator de forma elementar1 2 dA
dFdA− , de dA2 para dA1 é agora obtido imediatamente da Eq.
(9.46) pela permutação dos índices 1 e 2. Encontramos
1
A relação de reciprocidade entre os fatores de forma
2 Esta relação implica que, dadas duas superfícies elementares dA1 e dA2, se um dos fatores de forma for conhecido, o outro é facilmente calculado pela relação de reciprocidade.
9.5.2) Fator de forma de superfícies finitas
Já desenvolvemos o fator de forma entre duas superfícies elementares dA1 e dA2. Esses resultados são agora generalizados para se obterem os fatores de forma entre um elemento de superfície dA1 e uma superfície finita A2 ou entre duas superfícies finitas A1 e A2.
O fator de forma
2
1 A
FdA− , de dA1 para A2, é determinado imediatamente integrando-se o fator de forma elementar,
2 dividindo-se o resultado por A1:
FA1 – A2 =
∫ ∫
1 2 2 2 1A divisão por A1 no segundo membro faz da energia incidente na superfície A2 uma fração da energia emitida por A1 em todo o espaço hemisférico.
Das Eqs. (9.52) e (9.53), a relação de reciprocidade entre os fatores de forma
As relações de reciprocidade são úteis para determinar um fator de forma a termos o conhecimento do outro.
9.5.3) Propriedades dos fatores de forma
Vamos considerar agora uma cavidade fechada consistindo em N zonas, cada uma com a área superficial Ai, i = 1, 2, ... N, como está ilustrado na Fig. 9.11. Admite-se que cada zona seja isotérmica, emissor difuso e refletor difuso. A superfície de cada zona pode ser plana ou convexa ou côncava. Os fatores de forma entre as superfícies Ai e Aj da cavidade fechada obedecem à seguinte relação de reciprocidade:
AiFAi−Aj= AjFAj−Ai (9.55) A soma dos fatores de forma de uma superfície da cavidade fechada, digamos A1 para todas as superfícies da cavidade, inclusive para si mesma, deve ser igual à unidade, pela própria definição de fator de forma.
Esta é a relação da adição dos fatores de forma de uma cavidade fechada, e é escrita como 1
1
∑
==
− N
k
A Ai k
F (9.56)
Fig. 9.11 Cavidade fechada com N zonas
onde N é o número de zonas da cavidade fechada. Nesta soma, o termo
i
i A
FA− é o fator de forma da superfície Ai para si mesma; representa a fração da energia radiante emitida pela superfície Ai que incide diretamente sobre si própria. Evidentemente,
i
i A
FA− se anulará quando Ai for plana ou convexa, e será não-nulo se Ai for côncava; esta afirmação se escreve
=0
− i
i A
FA se Ai for plana ou convexa (9.57a) 0
− i ≠
i A
FA se Ai for côncavo (9.57 b) As regras da reciprocidade e da adição são úteis, pois proporcionam relações simples adicionais para se calcularem os fatores de forma num espaço fechado a partir do conhecimento de outros fatores. Isto é, para determinação de todos os possíveis fatores de forma numa cavidade fechada, não se precisa calcular cada um deles diretamente, mas deve-se fazer uso das regras de reciprocidade e de adição, sempre que possível. Esta situação é mais bem visualizada se todos os fatores de forma numa cavidade fechada com N zonas forem expressos em notação matricial, como
(9.58) Evidentemente há N2 fatores de forma a serem determinados numa cavidade fechada de N zonas. Entretanto, a regra da reciprocidade fornece N(N - 1)/2 relações e a regra da adição fornece N relações adicionais entre os fatores de forma. Então, o número total de fatores de forma que devem ser calculados, numa cavidade fechada de N zonas, a partir das expressões do fator de forma, é
N2 – ½ N(N - 1) - N = ½ N(N - 1) (9.59) Se as superfícies forem convexas ou planas, N desses fatores de forma de uma superfície para si mesma se anulam e o número total de fatores de forma a serem calculados diretamente, a partir da disposição geométrica das superfícies, reduz-se a
½ N(N - 1) - N = 2
) 3 (N−
N (9.60) Por exemplo, numa cavidade fechada com N = 5 zonas, com superfície plana em cada zona, de todos os possíveis N2 = 25 fatores de forma, o número de fatores de forma a serem determinados pela disposição geométrica das superfícies é somente 1/2(N)(N - 3) = 5.
Se a geometria possuir simetria, alguns dos fatores de forma são conhecidos a partir da condição de simetria, o que reduz mais ainda o número de fatores de forma a serem calculados.