SISTEMAS COM CONDUÇÃO E CONVECÇÃO – ALETAS

O calor conduzido através de um corpo deve ser freqüentemente removido (ou fornecido) por algum processo de convecção. Por exemplo, o calor perdido por condução através de um forno deve ser dissipado para o ambiente por convecção. Em aplicações de trocadores de calor, um arranjo de tubos aletados pode ser empregado para a remoção de calor de um líquido quente. A transferência de calor do líquido para o tubo aletado é por convecção. O calor é conduzido através do material e finalmente dissipado no ambiente por convecção. Obviamente, uma análise dos sistemas que combinam condução e convecção é muito importante do ponto de vista prático.

Parte desta análise dos sistemas que combinam condução e convecção será feita no capítulo que trata de trocadores de calor. Aqui serão examinados alguns problemas simples de superfícies protuberantes. Considere a aleta unidimensional exposta a um fluido cuja temperatura é T∞, como mostrado na Fig.2-9. A temperatura da base da aleta é T_o. Para o estudo deste problema devemos fazer um balanço de energia sobre o elemento da aleta de espessura dx, como mostrado na figura. Assim

Fig. 7.1 Aleta retangular

Energia entrando pela face esquerda = energia saindo pela face direita + energia perdida por convecção A equação que define o coeficiente de calor por convecção é

q = hA(T_p - T∞,) 7.1

onde a área nesta equação é a área da superfície que troca calor por convecção. Seja A a área transversal da aleta e P o seu perímetro.

Portanto, as quantidades de energia são Energia entrando pela face esquerda:

dx kAdT q_x =−

Energia saindo pela face direita 

 comprimento diferencial dx. Quando combinamos estas quantidades, o balanço de energia fica

Este resultado é escrito mais compactamente na forma 0

A Eq. 7.2 é a equação unidimensional da aleta para aletas com seção transversal uniforme. A solução desta equação diferencial ordinária sujeita às condições de contorno apropriadas nas extremidades da aleta dá a distribuição de temperatura na aleta. Uma vez conhecida a distribuição de temperatura, o fluxo de calor através da aleta é facilmente determinado.

A Eq. 7.2 é uma equação diferencial ordinária, linear homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. Sua solução geral pode ser da forma

θ(x) = C1e^-mx + C2e^mx 7.3 onde as constantes são determinadas a partir das duas condições de contorno especificadas no problema da aleta. A solução da Eq. 7.3 é a mais conveniente para utilizar na resolução da equação da aleta 7.2, no caso de uma aleta longa.

Relembrando que o seno hiperbólico e o co-seno hiperbólico podem ser construídos pela combinação de e^-mx e e^mx , é possível exprimir a solução 2.31 nas seguintes formas alternativas

θ(x) = C1cosh mx + C2senh mx 7.4a θ(x) = C1cosh m(L – x) + C2senh m(L – x) 7.4b A solução dada pelas Eq. 7.4 é mais conveniente para analisar aletas de comprimento finito.

A distribuição de temperatura θ(x) numa aleta com seção reta uniforme pode ser determinada a partir da Eq. 7.3 ou da Eq. 7.4, se as constantes de integração C1 e C2 forem determinadas pelas duas condições de contorno do problema, uma na base da aleta e a outra no topo da aleta. Ordinariamente, a temperatura na base x= 0 é conhecida, isto é

θ(0) = To - T∞ = θ o 7.5

onde To é a temperatura na base da aleta. Diversas situações físicas diferentes são possíveis no topo da aleta x = L; pode ser considerada qualquer das três seguintes condições:

Caso 1. A aleta é muito longa e a temperatura da extremidade da aleta é essencialmente a mesma do fluido ambiente.

Caso 2. A extremidade da aleta é isolada ou perda de calor desprezível na ponta, e, assim dT/dx = 0

Caso 3 A aleta tem comprimento finito e perde calor por convecção pela sua extremidade.

7.1) Aletas longas

Numa aleta suficientemente longa, é razoável admitir que a temperatura na ponta da aleta se aproxima da temperatura T∞ do fluido que a rodeia. Com esta admissão, a formulação matemática do problema das aletas é

0

que é a solução mais simples do problema da aleta.

Agora, uma vez que a distribuição de temperatura é conhecida, o fluxo de calor através da aleta é determinado calculando-se o fluxo de calor condutivo na base da aleta de acordo com a equação

( )

Derivando-se a Eq. 7.8 em função de θ(x) e substituindo o resultado na Eq.7.9, obtém-se PhkA

m Ak

Q= θ_o =θ_o 7.10

uma vez que m= Ph/(kA)

7.2) Aletas com perda de calor desprezível na ponta

A área de transferência de calor na ponta da aleta é em geral muito pequena diante da área lateral da aleta para a transferência de calor. Nesta situação, a perda de calor na ponta da aleta é desprezível em comparação com a perda pelas superfícies laterais, e a condição de contorno na ponta da aleta, que caracteriza essa situação, é dθ/dx = 0 em x = L. Dessa forma, a formulação matemática do problema da aleta se torna

0

Escolhemos a solução na forma da Eq. 7.4b

θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 7.12 A razão desta escolha está em que a solução 7.12 tem uma forma na qual uma das constantes de integração é imediatamente eliminada pela aplicação de uma das condições de contorno. De fato, a condição de contorno (7.11c) exige que C2 = 0; então, a aplicação da condição de contorno (7.11b) dá C1 = θo/cosh mL, e a solução se torna

A taxa de fluxo de Q através da aleta é agora determinada introduzindo-se a solução Eq 7.13 na Eq 7.9. Assim, obtemos

Q = Akθom tg mL = θ_o PhkAtgmL 7.14

7.3) Aletas com convecção na ponta

Uma condição de contorno na ponta da aleta, fisicamente mais realista, é a que inclui transferência de calor por convecção entre a ponta e o fluido ambiente. Então, a formulação matemática do problema da condução de calor se torna

0

onde k é a condutividade térmica da aleta e he é o coeficiente de transferência de calor entre a ponta da aleta e o fluido ambiente.

A solução é escolhida na forma da Eq. 7.4b

θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 7.16 A aplicação das condições de contorno 7.15b e 7.15c, respectivamente, nos dá

θo = C1 cosh mL + C2 senh mL 7.17a

A taxa do fluxo de calor através da aleta é obtida quando introduzimos este resultado na Eq.

7.9. Então, vem