Os conceitos básicos discutidos na última seção sobre o desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana também se aplicam ao escoamento na região da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o escoamento no interior de um tubo circular.
4.2.1) Camada limite cinética
Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como está ilustrado na fig.
4.4.
Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cinética na região de entrada de um tubo circular
O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme u0. Quando o fluido entra no tubo, começa a se desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede. A velocidade das partículas do fluido, na superfície da parede, anula-se, e a velocidade nas vizinhanças da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo aumenta para ser cumprida a exigência da continuidade do fluxo. A espessura da camada limite cinética δ(z) cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que ocupa todo o tubo. A região que se estende desde a entrada do tubo até um pouco além da posição hipotética em que a camada limite atinge o eixo do tubo é a região hidrodinâmica de entrada. Nesta região, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direção axial como na radial. A região além da distância hidrodinâmica de entrada é chamada região
hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta região o perfil de velocidade é invariante com a distância ao longo do tubo.
Se a camada limite permanece laminar até encher todo o tubo, o perfil
parabólico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na região hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, há um escoamento turbulento completamente desenvolvido na região hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o escoamento é turbulento, o perfil de velocidade é mais achatado do que o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar.
No escoamento no interior de um tubo circular, o número de Reynolds, definido por
v D um
Re≡ (4.16) é utilizado como critério para a passagem do escoamento laminar a turbulento. Nesta definição um é a velocidade média do escoamento, D é o diâmetro interno do tubo, e v é a viscosidade cinemática do fluido. No escoamento no interior de um tubo circular, observa-se ordinariamente escoamento turbulento para
2300 Re= >
v D um
(4.17) Entretanto, este valor crítico depende fortemente da rugosidade da superfície, das condições de entrada e das flutuações no escoamento. Em geral, a transição pode ocorrer no domínio 2000<Re<4000.
4.2.2) Fator de atrito e perda de carga
Nas aplicações de engenharia, o gradiente de pressão dP/dz associado ao escoamento é uma grandeza de interesse, pois a perda de carga (queda de pressão) ao longo de um dado comprimento do tubo pode ser determinada pela integração de dP/dz sobre o comprimento. Para desenvolver uma expressão que defina dP/dz, consideremos um balanço de forças sobre um comprimento diferencial dz do tubo. Igualando a força da pressão à força de cisalhamento na parede, obtemos (veja fig. 4.5)
Fig. 4.5 Equilíbrio de forças num elemento diferencial de volume
w z
z
z PA S z
PA) −( ) +∆ = ∆ τ (
w w
w D D
D A
S dz
dP τ τ
π
τ π 4
) 4 /
( 2 =−
−
=
−
= (4.18 a)
onde A é a área de seção reta e S é o perímetro.
A tensão de cisalhamento τw na parede está relacionada com o gradiente de velocidade por
parede Nas aplicações de engenharia, a Eq. (4.18 c) não é prática para determinação de dP/dz, pois exige o cálculo do gradiente de velocidade na parede. Para calcular a perda de carga (queda de pressão) nas aplicações de engenharia, define-se um fator de atrito f.
D
Igualando as Eqs. (4.18 c) e (4.18 d) obtém-se a seguinte expressão para o fator de atrito:
parede
Portanto, dada a distribuição de velocidades u do escoamento no interior do tubo, o fator de atrito f pode ser determinado pela Eq. (4.18 e).
Dado o fator de atrito, a perda de carga P1 - P2≡∆P sobre a distância z2 – z1≡L no tubo é determinada pela integração da Eq. (4.18 d):
∫
PP12dP=−f ρ2uDm2∫
ZZ12dz Se M for a vazão, em metros cúbicos por segundo, através do tubo, a potência da bomba exigida para movimentar o fluido no tubo contra a perda de carga ∆P se tornaPotência da bomba = ( )( 2)
No caso da distribuição de temperaturas no escoamento no interior de um tubo circular, é mais difícil visualizar o desenvolvimento da camada limite térmica e a exigência de uma
região termicamente desenvolvida. Entretanto, sob certas condições de aquecimento, ou de resfriamento, como fluxo de calor constante ou temperatura uniforme na parede do tubo, o conceito é possível.
Considere um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um fluxo de calor uniforme nas paredes. Sejam r e z as coordenadas, respectivamente, radial e axial. Define-se uma temperatura adimensional θ(r,z)como
) paralelamente a superfície da parede. A espessura da camada limite térmica δt(z) cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que preenche todo o tubo. A região da entrada do tubo até a posição hipotética onde a espessura da camada limite térmica atinge o eixo do tubo é a região de entrada térmica. Nesta região, a forma do perfil da temperatura adimensional θ(r,z) muda tanto na direção axial quanto na radial. A região além da distância de entrada térmica é chamada região termicamente desenvolvida, porque nesta região o perfil da temperatura adimensional permanece invariante com a distância ao longo do tubo, isto é, variável z, pois as temperaturas no segundo membro da Eq. (4.20 b) dependem tanto de r como de z. Entretanto, pode-se demonstrar matematicamente que, não só com uma temperatura constante mas também com um fluxo de calor constante na parede, a temperatura adimensional θ(r)depende somente de r para valores suficientemente grandes de z.
4.2.4) Coeficiente de transferência de calor
Nas aplicações de engenharia envolvendo o escoamento de um fluido num tubo, a taxa de transferência de calor entre o fluido e o tubo é uma informação de muito interesse.
Discutiremos o conceito de coeficiente de transferência de calor que é utilizado com mais freqüência nas aplicações de engenharia para determinar a transferência de calor entre o fluido e a superfície da parede.
Considere um fluido escoando dentro de um tubo circular de raio interno R. Seja T(r,z) a distribuição de temperaturas no fluido, onde r e z são as coordenadas radial e axial, respectivamente. O fluxo de calor do fluido para a parede do tubo é determinado por
parede onde k é a condutividade térmica do fluido.
Nas aplicações de engenharia não é prático utilizar a Eq. (6.21 a) para determinar a transferência de calor entre o fluido e a parede do tubo, pois essa equação envolve o cálculo da derivada da temperatura na parede. Para evitar esta dificuldade, define-se um coeficiente de transferência de calor local h (z)
[
( ) ( )]
onde Tm(z) = temperatura média global calculada sobre a área da seção transversal do tubo na posição zTw(z) = temperatura na parede do tubo em z
Evidentemente se o coeficiente de transferência de calor for conhecido, é questão muito simples determinar o fluxo de calor na parede para uma dada diferença entre a temperatura média do fluido e a da parede do tubo. Por isso o uso do coeficiente de transferência de calor é muito conveniente nas aplicações de engenharia e sua determinação, em várias condições de escoamento, foi objeto de numerosas investigações experimentais e analíticas.
Trataremos da relação entre o coeficiente de transferência de calor h(z) a partir de T(r,z).
Igualando (4.21 a) e (4.21 b), obtemos:
Rparede numerador e no denominador de (4.22 b).
A Eq. (4.22 a) pode ser escrita em termos da temperatura adimensional independente de z. Então, a equação (4.23 a) se reduz a
Rparede onde θ(r)é definida pela Eq. (4.20 b). Este resultado implica que, na região termicamente desenvolvida,o coeficiente de transferência de calor não varia com a distância ao longo do tubo; e vale para a transferência de calor sob condições de fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante na parede.
As definições dadas pela Eq. (4.23) podem ser empregadas para desenvolver expressões do coeficiente de transferência de calor se a distribuição da temperatura adimensional no fluido, definida pela equação (4.20 b), for conhecida.