6.1) COEFICIENTE DE TRANSFERËNCIA DE CALOR NO ESCOAMENTO SOBRE UMA PLACA PLANA

Vamos considerar agora a transferência de calor para um fluido, ou de um fluido, que escoa sobre uma placa plana. Suponha que a transferência de calor se inicia na borda frontal da placa. Como foi discutido no Cap. 4, as camadas limite cinética e térmica começam a se desenvolver simultaneamente, e sua espessura relativa depende do valor do número de Prandtl. Se a distribuição de temperatura T(x, y) na camada limite for conhecida, o coeficiente de transferência de calor local h(x) pode ser determinado a partir de sua definição, dada na Eq. (4.11 a) como

[[[[ ]]]]

W 0 y

T T

y k T

) x (

h −−−−

∂

∂∂

∂

∂∂

= ∂

∞∞∞

∞

===

= (6.1)

onde T^∞ e Tw, são as temperaturas da corrente livre do fluido e da parede, respectivamente.

Apresentaremos primeiro uma análise aproximada da determinação da distribuição de temperaturas na camada limite térmica e, a seguir, o coeficiente de transferência de calor no caso especial em que Pr < 1, isto é, nos metais líquidos. A razão para considerar primeiro os metais líquidos está na simplicidade da análise neste caso particular; além disso, ela nos ajudará a aprofundar a compreensão do papel da camada limite térmica na transferência de calor. O caso de Pr = 1 (gases), que envolve análise mais elaborada, será considerado mais tarde.

6.1.1) Metais líquidos num escoamento laminar

O número de Prandtl é muito baixo nos metais líquidos; por isso, a camada limite térmica é muito mais espessa que a camada limite cinética (isto é,δt> δ).

Fig. 6.1 Camadas limites cinética e térmica na transferência de calor em metais líquidos, Pr <1.

A Fig. 6.1 ilustra as camadas limites cinética e térmica quando ambas começam a se desenvolver a partir da borda frontal da placa plana. Sejam T∞ e u∞ a temperatura e a velocidade do fluido, respectivamente, fora das camadas limites; T^w é a temperatura da superfície da placa. Admitiremos um fluido incompressível, de propriedades constantes, num escoamento bidimensional, estacionário, com dissipação viscosa de energia desprezível. A equação da energia, que governa a distribuição de temperaturas T(x, y) na camada limite térmica, é obtida pela equação:

2 2

y T y

v T x u T

∂

∂∂

∂

∂∂∂

= ∂

∂ =

∂∂

∂

∂∂∂

+ ∂ + +

∂ +

∂∂

∂

∂∂∂

∂ αααα (6.2)

Para conveniência de análise, definimos uma temperatura adimensional θ(x, y) como

( )

w w

T T

T y x y T

x −

= −

∞

) , , (

θ (6.3) onde θ(x, y) varia de zero na superfície da parede até a unidade na extremidade da camada limite térmica. Então, a equação da energia é escrita em termos de θ(x, y) como

e as condições de contorno são θ onde as Eqs. (6.5 a) e (6.5 b) dão, respectivamente, a temperatura na superfície da parede igual a Tw, e a temperatura na fronteira da camada limite térmica, com espessura δδδδ_t(x), igual a T_∞_∞_∞_∞.

A análise exata deste problema de temperatura é bastante elaborada, pois as componentes da velocidade u e v devem ser determinadas a partir do problema cinético antes que a equação da energia (6.4) possa ser resolvida.

Entretanto, uma solução aproximada deste problema, com o método integral, é relativamente simples. Os passos básicos são os seguintes:

A equação da energia (6.4) é integrada em relação a y na camada limite térmica, e a componente da velocidade v(x, y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A equação resultante, chamada a equação integral da energia, é dada por

u θ . Por isso, precisamos de relações adicionais.

Neste estágio são introduzidas aproximações a fim de desenvolverem-se expressões analíticas simples para u(x, y) e θθθθ (x, y) coerentes com a realidade física. Uma vez que a camada limite cinética é muito delgada, a velocidade do escoamento em uma grande porção da camada limite térmica é uniforme e igual a u∞, como está ilustrado na Fig. 6.1. Por isso, numa primeira aproximação, o perfil de velocidades é tomado como

u (x, y) = u_∞_∞_∞_∞ = constante (6.7) O perfil de temperaturas θθθθ (x, y) pode ser representado como uma aproximação polinomial dentro da camada limite térmica. Suponhamos uma aproximação cúbica para θθθθ (x, y), com a forma

θθθ aplicação das condições (6.9) à Eq. (6.8) dá o perfil de temperaturas na forma

3 Os perfis de velocidades e de temperaturas, dados pelas Eqs. (6.7) e (6.10), são

introduzidos na equação integral da energia (6.6). Obtemos

0 t integração em relação a y, a equação diferencial ordinária para a espessura δδδδ_t da camada limite térmica:

O gradiente de temperatura na parede, com o perfil cúbico da temperatura, Eq. (6.10), fica e o coeficiente de transferência de calor, definido pela Eq. (6.1), escreve-se em termos de

) transferência de calor local h(x) como

O número de Nusselt local Nux no escoamento laminar de metais líquidos sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme fica

Re_x u número de Reynolds local

A solução dada pela Eq. (6.18) foi obtida por uma análise aproximada. Este resultado deve ser comparado com a solução exata de Pohlhausen para este problema de transferência de calor, no caso limite Pr → 0, dada por '

Nux = 0,564 Pe¹_x^/² (exato) para Pr → 0 (6.19) Esta equação foi deduzida sob a hipótese de que Pr → 0; na prática, esta hipótese implica que se trata de metais líquidos (isto é, Pr < 0,05). A solução aproximada, dada pela Eq.

(6.18), é razoavelmente próxima deste resultado exato.

No começo desta análise, estabelecemos que nos metais líquidos a camada limite cinética é muito menor do que a camada limite térmica. Para testar a validade desta

afirmação, dividamos a espessura da camada limite cinética δδδδ(x), pela espessura da

Nos metais líquidos, com Pr ^≅ 0,01, encontramos 164

6.1.2) Fluidos ordinários em escoamento laminar

Examinaremos agora a determinação do coeficiente de transferência de calor no escoamento laminar de fluidos ordinários, que tem Pr > 1, sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme. Admite-se que um fluido, a uma temperatura T_∞_∞_∞_∞, flui com a velocidade u_∞_∞_∞_∞ sobre uma placa plana. O eixo x é paralelo à placa, na direção do escoamento, com a origem x = 0 na borda frontal, e o eixo y é perpendicular à placa, no sentido da placa para o fluido. A placa é mantida a uma temperatura T^∞ na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ x0 e a uma temperatura uniforme Tw, na região x > xo. Isto é, a transferência de calor entre a placa e o fluido não começa até a posição x = xo. A Fig. 6.2 ilustra as camadas limite cinética e térmica na situação física que acabamos de descrever. Ressaltamos que a camada limite cinética é mais espessa do que a camada limite térmica, pois Pr>1; e δδδδ(x) começa a se desenvolver na borda frontal da placa, enquanto δδδδ_t(x) começa a se desenvolver em x = xo, onde principia a seção de transferência de calor. Novamente, admitiremos um fluido incompressível, de propriedades constantes num escoamento bidimensional, estacionário, laminar, com dissipação viscosa desprezível. A equação da energia na camada limite é

Fig. 6.2 Camadas limite cinética e térmica, num fluido com Pr > 1

e as condições de contorno são

0 novamente consideremos a solução pelo método integral:

1. A equação da energia (6.21) é integrada em relação a y sobre a camada limite térmica, e a componente de velocidade v(x,y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A equação integral da energia é determinada como

( )

que é a mesma Eq. (6.6). Esta equação não pode ser resolvida, pois envolve três incógnitas, )

δ . Por isso precisamos de relações adicionais.

2. Introduzimos aproximações para desenvolver expressões analíticas de u(x,y) e de polinomial cúbica e tomamô-la na forma

y 3 obtemos a sua expressão pela Eq. (6.10)

levados á equação integral da energia (6.23). Obtemos

A integração em relação a y é então realizada:

∞ limite térmica e a espessura da camada limite cinética:

) menor do que a espessura da camada limite cinética δδδδ, como está ilustrado na Fig 6.2, para Pr>1. Então, ∆∆∆∆<1, e na Eq. (6.29), o termo (3/280)∆∆∆∆⁴pode ser desprezado em comparação

A espessura da camada limite cinética δδδδ foi determinada como

∞∞∞ A substituição das equações (6.32) na equação (6.31) leva a

A constante de integração C é determinada pela condição de contorno δδδδ_t ====0 em x = xo, que é equivalente a

Se admitimos que a transferência de calor para o fluido principia na borda frontal da placa, fazemos x₀ →→→→0 e a Eq. (6.36) simplifica-se para

Esta relação mostra que a razão entre a espessura da camada limite térmica e da cinética, num escoamento laminar sobre uma placa plana, é inversamente proporcional à raiz cúbica do número de Prandtl.

A substituição de δδδδ(x), da Eq. (6.32 a), na Eq. (6.37) dá a espessura da camada limite transferência de calor local h(x) foi relacionado anteriormente com a espessura da camada limite térmica δδδδ_t(x), pela Eq. (6.16).

2 Note que a relação de transferência de calor, dada pela Eq. (6.40), foi deduzida por uma análise aproximada com a hipótese δδδδ_t <<<<δδδδ ou Pr>1. Entretanto, a comparação com os resultados exatos mostra que ela é válida no domínio 0,6<Pr<10, que cobre muitos gases e líquidos. recomenda-se que as propriedades do fluido sejam calculadas na média aritmética entre a temperatura da parede Tw e a temperatura do escoamento externo T_∞_∞_∞_∞, isto é,

Notando que hx = x ^-1/2, encontramos que o coeficiente de transferência de calor médio no escoamento laminar paralelo a uma placa plana, sobre a distância de x = 0 até x = L, é dado por

L m 2h(x)x

h ==== ==== (6.44) Então, os números de Nusselt médios, no escoamento laminar paralelo à placa plana, são dados por

e as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. A Eq. (6.45 b), deduzida para o caso limite Pr→→→→∞∞∞∞, é aplicável aos fluidos que têm um número de Prandtl grande, como os óleos.

6.1.3) Escoamento turbutento

A transição do escoamento laminar para o turbulento ocorre no domínio dos números de Reynolds entre 2 x 10⁵ e 5 x 10⁵, no escoamento sobre uma placa plana. As correlações da

transferência de calor podem ser desenvolvidas no escoamento turbulento sobre uma placa plana utilizando-se as relações entre o coeficiente de transferência de calor e o de arraste dados pela Eq. (6.15a)

Pr²^/³ Cx2

e todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular.

Mais recentemente, Whitaker utilizou os dados experimentais de Zukauskas e Ambrazyavichyus e modificou a expressão de Colburn, para desenvolver a seguinte correlação para a camada limite turbulenta sobre uma placa plana:

Nas aplicações práticas, há interesse no coeficiente de transferência de calor médio hm na distância 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L da placa. Quando o escoamento é turbulento, é sempre precedido por uma camada limite laminar na qual a equação que governa a transferência de calor é diferente da que governa o escoamento turbulento. Por isso, a promediação deve ser feita em ambas as regiões, como descreveremos agora.

Admita um escoamento laminar na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ c e turbulento na região c < x ≤≤≤≤ L. Os coeficientes de transferência de calor locais, nestas duas regiões, são obtidos das Eqs.

(6.41) e (6.48), respectivamente, como v em

k L

Nu_m ==== h^m (6.49 b)

Depois de feitas a integrações, o número de Nusselt médio nas regiões de escoamento Laminar e turbulento é

((((

0,8

))))

1/3 c⁰^,⁵

c 8 , 0 L 43 , 0

m 0,036Pr Re Re 0,664Pr Re

Nu ==== −−−− ++++ (6.50) válida para ReL > Rec, onde ReL = u_∞_∞_∞_∞L/v e Rec = número de Reynolds crítico para a transição. Evidentemente, o Num, dado pela Eq. (6.50), depende do valor do número de Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para o turbulento. O nível da turbulência da corrente livre afeta a transição. Quando há geração elevada da turbulência na corrente livre, a transição para o escoamento turbulento ocorre em um número de Reynolds crítico mais baixo. Entretanto, se se tomar cuidado para eliminar a turbulência da corrente livre, retarda-se a transição para o escoamento turbulento.

Com o número de Reynolds crítico Rec = 2 * 10⁵, a Eq. (6.50) se torna

((((

⁰L^,⁸

))))

¹^/³

43 , 0

m 0,036Pr Re 17400 297 Pr

Nu ==== −−−− ++++ (6.51) O último termo do segundo membro pode ser aproximado por

43 , 0 3

1 297Pr

Pr 297 ≅≅≅≅

e a correção de viscosidade pode ser introduzida multiplicando-se o segundo membro da expressão resultante por (µµµµ_∞_∞_∞_∞ / µµµµ_w )⁰^,²⁵. Então, obtém-se a seguinte expressão:

((((

^Re ⁹²⁰⁰

))))

Pr 036 , 0

Nu_m ==== ⁰^,⁴³ ⁰_L^,⁸−−−− (µµµµ_∞_∞_∞_∞ / µµµµ_w )⁰^,²⁵ (6.52) Todas as propriedades físicas são calculadas na temperatura da corrente livre, excetoµµµµ_w, que é calculado na temperatura da parede. Nos gases, a correção de viscosidade é desprezível, e, neste caso, as propriedades físicas são calculadas na temperatura pelicular.

A Eq. (6.52) dá o número de Nusselt médio nas camadas limite laminar e turbulenta, sobre uma placa plana, com ReL > 2 *10⁵. Foram propostas por Whitaker e usadas para correlacionar os dados experimentais de vários investigadores com o ar, a água e óleos, cobrindo as seguintes faixas:

2 * 10⁵ < ReL < 5,5 * 10⁶ 0,70 < Pr < 380 0,26 < µµµµ_∞_∞_∞_∞ / µµµµ < 3,5

A Eq. (6.52) relaciona os dados experimentais razoavelmente bem, quando a turbulência da corrente for pequena. Se estiver presente turbulência de alto nível na corrente livre, a Eq.

(6.52), sem a constante 9.200, correlaciona os dados razoavelmente bem.

6.2) ESCOAMENTO TRANSVERSAL A UM CILINDRO CIRCULAR ISOLADO

No documento TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA (páginas 64-75)