Quando um fluido escoa sobre um corpo sólido, a distribuição de velocidades e de temperaturas na vizinhança imediata da superfície influencia fortemente a transferência convectiva de calor. O conceito de camada limite é freqüentemente introduzido para
modelar os campos de velocidade e de temperatura próximos da superfície sólida, a fim de simplificar a análise da transferência convectiva de calor. Assim, estaremos envolvidos com dois tipos de camadas limites: a camada limite cinética e a camada limite térmica.
4.1.1) Camada limite cinética
Para ilustrar o conceito de camada limite cinética, consideremos o escoamento de um fluido sobre uma placa, como está ilustrado na fig. 4.1. O fluido na borda frontal da placa (isto é, em x = 0) tem uma velocidade u∞ que é paralela à superfície da placa. À medida que o fluido se move na direção x ao longo da placa, as partículas do fluido em contato com a face da placa assumem velocidade zero (isto é, não há deslizamento sobre a face da placa). Portanto, a partir da superfície da placa haverá um retardamento da componente x da velocidade u(x,y) = u. Isto é, na superfície da placa, em y = 0, a componente axial da velocidade é zero, ou u = 0. O efeito do retardamento é reduzido quando o fluido se move em uma região afastada da face da placa; a distâncias suficientemente grandes da placa, o efeito de retardamento é nulo, isto é, u = u∞ para grandes y. Portanto, a cada posição x ao longo da placa, há uma distância y = δ(x), medida a partir da superfície da placa, onde a componente axial da velocidade u é igual a 99% da velocidade da corrente livre u∞, isto é, u = 0,99 u∞. O lugar geométrico destes pontos, onde u = 0,99 u∞, é a camada limite cinética δ(x). Com o conceito de camada limite cinética assim introduzido no escoamento sobre uma placa plana, o campo do escoamento pode ser dividido em duas regiões distintas: (1) Na região da camada limite, a componente axial da velocidade u(x,y) varia rapidamente com a distancia y à face da placa; portanto, os gradientes de temperatura e as tensões de cisalhamento são grandes. (2) Na região fora da camada limite, na região de escoamento potencial, os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são desprezíveis.
Fig. 4.1 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana
Referindo-nos à ilustração na Fig. 4.1, vamos examinar o comportamento do escoamento na camada limite em função da distância x medida a partir da borda frontal da placa. A característica do escoamento é governada pelo valor da grandeza número de Reynolds. No escoamento sobre uma placa plana, como está na Fig. 4.1, este número é definido por
ν x u
x
≡ ∞
Re (4.1) onde u∞ = velocidade da corrente livre
x = distância à borda frontal
ν = viscosidade cinemática do fluido
A camada limite começa na borda frontal (isto é, em x =0) da placa como uma camada limite laminar, na qual o escoamento permanece ordenado e as partículas do fluído se movem ao longo das linhas de corrente. Este movimento ordenado continua ao longo da placa até que se atinge uma distância crítica, ou o número de Reynolds alcance um valor crítico. Depois de este número de Reynolds crítico ser atingido, os pequenos distúrbios no escoamento começam a ser amplificados, e flutuações no fluído começam a se desenvolver, o que caracteriza o final da camada limite laminar e o início da transição para a camada limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o número de Reynolds crítico, no qual acontece a transição do escoamento laminar para o turbulento, é geralmente tomado, na maior parte das finalidades analíticas, como
105
5
Re x
v x u
x ≡ ∞ ≅ (4.2) Entretanto este valor crítico é fortemente dependente da rugosidade da superfície e do nível de turbulência da corrente livre. Por exemplo, com distúrbios muito grandes na corrente livre, a transição pode começar em um número de Reynolds tão baixo como 105, e, nos escoamentos livres de perturbações, pode não começar até que o número de Reynolds atinja um valor de 106 ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, a camada limite é sempre turbulenta para Rex≥4x106. Na camada limite turbulenta próxima da parede, há uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamento retém seu caráter laminar. Adjacente a subcamada laminar existe uma região chamada camada amortecedora, na qual há turbulência muito fina e a velocidade média axial aumenta rapidamente com a distância à superfície sólida. A camada amortecedora é seguida pela camada turbulenta, na qual há turbulência em alta escala e a velocidade muda relativamente pouco com a distância à parede.
A fig 4.2 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo.
Neste caso, a coordenada x é medida ao longo da superfície curva do corpo; principiando pelo ponto de estagnação, e em cada posição x segundo a normal à superfície do corpo. A velocidade da corrente livreu∞(x) não é constante, mas varia com a distância ao longo da superfície curva. O conceito de camada limite, discutido acima, também se aplica a esta situação particular. A espessura da camada limite δ(x) cresce com a distância x ao longo da superfície. Entretanto, devido a curvatura da superfície, depois de uma certa distância x, o perfil de velocidade u(x,y)mostra um ponto de inflexão, isto é, δu/∂yse anula na superfície do sólido. Além do ponto de inflexão, há uma inversão do escoamento, e diz-se que a camada limite está descolada da superfície do sólido. Além do ponto de inversão do fluxo, os padrões do fluxo são muito complicados e o conceito da camada limite não é mais aplicável.
Fig. 4.2 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo
4.1.2) Coeficiente de arraste e força de arraste
Suponha que o perfil de velocidade u(x,y)na camada limite seja conhecido. A tensão de cisalhamento τx que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinada a partir de sua definição por
0
) , (
∂ =
= ∂
y
x y
y x µ u
τ (4.3) A constante de proporcionalidade µ é a viscosidade do fluido. Logo, conhecendo-se a distribuição de velocidades na camada limite, pode-conhecendo-se determinar a força de cisalhamento, devida ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. A definição de tensão de cisalhamento, dada pela Eq. (4.3), entretanto, não é prática para aplicações de engenharia. Na prática, a tensão de cisalhamento ou força de arraste local τx por unidade de área está relacionada com o coeficiente local de arraste cx pela relação
2
2
= u∞
cx
x
τ ρ (4.4)
ondeρ é a densidade do fluido e u∞ é a velocidade da corrente livre. Portanto, conhecendo o coeficiente de arraste, podemos calcular a força de arraste exercida pelo fluido que está escoando sobre a placa plana. Igualando as Eqs. (4.3) e (4.4), obtemos:
o y
x y
y x u c u
∞ ∂ =
= 2 ∂ ( , )
2
ν (4.5)
Portanto, o coeficiente local de arraste pode ser determinado pela Eq. (4.5), se o perfil de velocidade u(x,y), na camada limite for conhecido.
O valor médio do coeficiente de arraste Cm, de x=0 até x=L, é definido como
∫
== L
o x cxdx L
Cm 1
(4.6) Sabendo o coeficiente médio de arraste Cm, podemos calcular a força de arraste F, que está atuando sobre a placa de x=0 até x=L e numa largura w, com a fórmula
2
2
= u∞
wLC
F mρ
(N) (4.7) 4.1.3) Camada limite térmica
Análogo ao conceito de camada limite cinética, pode-se imaginar o desenvolvimento de uma camada limite térmica ao longo da placa, associada ao perfil de temperatura no fluido.
Para ilustrar o conceito, consideremos um fluido a uma temperatura uniforme T∞ que escoa sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante TW. Sejam x e y os eixos coordenados paralelo e perpendicular à superfície da placa, respectivamente, como está na figura 4.3.
Fig. 4.3 Conceito de camada limite térmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa fria
Definimos a temperatura adimensional θ(x,y) como
W W
T T
T y x y T
x −
= −
∞
) , ) (
,
θ( (4.8) onde T(x,y) é a temperatura local no fluido. Na superfície da placa, a temperatura do fluido é igual à temperatura da parede; portanto
θ(x,y) = 0 em y = 0(superfície da placa) (4.9 a) A distâncias suficientemente grandes da placa, a temperatura do fluido é a mesma T∞; então
1 ) , (x y →
θ a medida que y→∞ (4.9 b)
Por isso em cada posição x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posição y =δ(x) no fluido onde θ(x,y)seja igual a 0,99. O lugar geométrico destes pontos onde θ(x,y)=0,99 é chamado a camada limite térmica δ(x).
A espessura relativa da camada limite térmica δt(x) frente a camada limite cinética δ(x) depende da grandeza do número de Prandtl do fluido. Nos fluidos que tem um número de Prandtl igual a unidade, como os gases, δt(x)=δ(x). A camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr <1, como os metais líquidos, e é muito mais delgado do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr >1.
4.1.4) Coeficiente de transferência de calor
Suponha que a distribuição de temperatura T(x,y) na camada limite térmica seja conhecida.
Então o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa é determinado por
0 onde k é a condutividade térmica do fluido. Entretanto, nas aplicações de engenharia, não é prático empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferência de calor entre o fluido e a placa. Na prática define-se um coeficiente de transferência de calor local h(x) para calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa:
) Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos
[ ]
Esta expressão agora é escrita em termos da temperatura adimensional θ(x,y) como0
Logo as Eqs. (4.11) fornecem a relação para determinar o coeficiente de transferência de calor local h(x) a partir do conhecimento da distribuição da temperatura adimensional
) , (x y
θ na camada limite térmica.
O coeficiente de transferência de calor médio hm sobre a distância x=0 até x=L, ao longo da superfície da placa, é determinado a partir de
Sabendo o coeficiente de transferência de calor médio hm, podemos determinar a taxa de transferência de calor Q do fluido para a placa de x=0 até x=L e para a espessura w.
) número de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana,
2 Definimos o número de Stanton local, Stx, como
∞ que pode ser reordenado na forma
x
Então, a expressão (4.14 b) do número de Nusselt local pode ser reescrita como
2 Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relação entre o número de Stanton e o coeficiente de arraste:
Pr2/3 Cx2
Stx = (4.15 a) Esta expressão recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn e relaciona o coeficiente local de arraste cx ao número de Stanton local Stx num escoamento laminar sobre uma placa plana. Portanto, fazendo-se as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre uma placa plana, quando não há transferência de calor, pode-se determinar o coeficiente de transferência de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). É muito mais fácil fazer medidas de arraste do que medidas de transferência de calor.
Pode-se também aplicar a Eq. (4.15 a) ao escoamento turbulento sobre uma placa plana, porém não se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo.
No caso de valores médios, a Eq. (4.15 a) é escrita como
Pr2/3 2m
m
St =C (4.15 b)
onde Stm e Cm são, respectivamente, o número de Stanton médio e o coeficiente médio de arraste.