Um corpo, em qualquer temperatura acima do zero absoluto, emite radiação em todos os comprimentos de onda, em todas as direções possíveis no espaço. O conceito de corpo negro é uma idealização que serve para comparar as características da emissão e da absorção dos corpos reais.
Um corpo negro absorve toda a radiação incidente vinda de todas as direções, em todos os comprimentos de onda, sem que o corpo a reflita, transmita ou espalhe. Numa dada temperatura, num dado comprimento de onda, nenhum outro corpo, à mesma temperatura pode emitir mais radiação do que um corpo negro. A emissão de radiação por um corpo negro, a qualquer temperatura T, é a emissão máxima possível nesta temperatura.
O termo negro deve ser distinguido do seu uso ordinário em relação ao negrume de uma superfície sob observação visual. O olho humano pode detectar o negrume somente na região visível do espectro. Por exemplo, um objeto como o gelo é brilhante ao olho mas é quase negro para a radiação térmica de grande comprimento de onda. Entretanto, um corpo negro é completamente negro à radiação térmica, em todos os comprimentos de onda desde
λ = 0 até λ=∞.
A radiação é emitida por um corpo em todas as direções. É de interesse saber a quantidade de radiação emitida por um corpo negro em uma dada direção. A quantidade fundamental que especifica a grandeza da energia da radiação emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, num comprimento de onda λ, em qualquer direção dada, é a intensidade da radiação espectral do corpo negro Ibλ (T). O termo espectral é utilizado para denotar a dependência entre o comprimento de onda e a intensidade da radiação, e o índice b se refere ao corpo negro.
A grandeza de Ibλ (T) para a emissão no vácuo foi determinada primeiro por Planck e é dada por
( )
[ ]
{
exp / 1}
) 2
( 5 2
= −
kT hc T hc
Ib
λ
λ λ (9.3)
onde h = 6,6256 x 10-34 J. s e k = 1,38054 x 10-23 J. K são as constantes de Planck e de Boltzmann, respectivamente, c = 2,9979 x l08 m/s é a velocidade da luz no vácuo, T, em kelvins, é a temperatura absoluta, e λ é o comprimento de onda. Ibλ (T) representa a energia radiante emitida por um corpo negro, à temperatura T, passando através de uma unidade de área perpendicular à direção de propagação, por unidade de comprimento de onda em torno do comprimento de onda λ, por unidade de ângulo sólido em torno da direção de propagação do feixe. Com base nesta definição, as unidades de Ibλ (T) podem ser escritas como
Energia /(Área)(comprimento de onda)(ângulo sólido) (9.4a) onde a área é medida perpendicularmente à direção da propagação.
1Fig. 9.3 Definição de ângulo sólido
Se a energia for medida em watts, a área em metros quadrados, o comprimento de onda em micrômetros e o ângulo sólido em esterorradianos (sr), a Eq. (9.4a) tem a dimensão
sr m m
W .
2.µ (9.4b) O significado físico do ângulo sólido é mais bem visualizado se nos referirmos à Fig.
9.3. Seja Ω a direção de propagação e 0 a posição de referência. Consideremos uma pequena área dA a um distância r de 0 e normal à direção Ω. O ângulo sólido dw subtendido por dA, em O, é definido como
r2
dw= dA (9.5)
Com base nesta definição, podemos inferir facilmente que o ângulo sólido subtendido por um hemisfério, no seu centro, é 2π (isto é, 2πr2/r2) e por toda a esfera no seu centro é 4π (isto é, 4π r2/r2).
Na Eq. (9.3), Ibλ (T) é a intensidade da radiação do corpo negro, por unidade de comprimento de onda, em torno do comprimento de onda λ. Entretanto, a radiação é emitida em todos os comprimentos de onda. Para determinar a intensidade da radiação do corpo negroIbλ (T), emitida à temperatura T, sobre todos os comprimentos de onda, integramos Ibλ (T) desde λ = 0 até λ=∞:
∫
∞=( )
= 0 bI )
(T λ λ T dλ
Ib W/(m2.sr) (9.6) Aqui, Ib( T) é a intensidade da radiação do corpo negro.
9.2.1) Poder emissivo do corpo negro
Há interesse prático em conhecer-se a quantidade de energia radiante emitida por unidade de área de um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, em todas as direções de um espaço hemisférico. Para calcular esta grandeza, consideremos uma área elementar dA à temperatura T, como está ilustrado na Fig. 9.4a. Seja n a normal a esta superfície, θ o ângulo polar medido a partir desta normal, e θ o azimute. A superfície emite radiação de intensidade espectral Ibλ(T) em todas as direções. De acordo com esta definição, esta intensidade, dada pela Eq. (9.3), é independente da direção. A grandeza
λ
Ib (T)dAcosθ dw (9.7) representa a energia radiante espectral emitida pelo elemento de superfície dA, que se propaga através do ângulo sólido elementar dw, em uma dada direção Ω. Nesta expressão, o termo dA cosθ é a projeção de dA sobre um plano normal à direção Ω; o emprego da área projetada é necessário poisIbλ(T), por definição, está baseada na área normal à direção de propagação.
Dividindo a Eq. (9.7) por dA, obtemos
λ
Ib (T)cosθ dw (9.8) que representa a energia radiante espectral do corpo negro, emitida por unidade de área da superfície, que se propaga através do ângulo sólido elementar dw em qualquer direçãoΩ. Observe a Fig. 9.4b. Um ângulo sólido elementar dw pode ser relacionado ao ângulo polar θ e ao azimute φ por
( )( )
θ θ φ
θ sen
r sen rd rd r
dw= dA21 = 2 = dθ dφ (9.9) Então a Eq. (9.8) se torna
λ
Ib (T)cosθ senθ dθ dφ (9.10)
Fig. 9.4 Nomenclatura para (a) emissão de radiação por uma superfície dA; (b) definição do ângulo sólido dw em termos de θ,φ .
A radiação espectral do corpo negro, emitida por unidade de área da superfície, em todas as direções, dentro do espaço hemisférico, é obtida pela integração da Eq. (9.10) sobre
π
φ 2
0≤ ≤ e 0<θ 2
≤ π .
Obtemos, Ebλ(T) =Ibλ(T)
∫
φ2=π0∫
θπ=/02cosθ.senθ.dθ.dφ= 2π Ibλ(T)
∫
= 2 /
0 cos .sen . .
π
θ θ θ dθ
= 2π Ibλ(T)
2 /
0
sen2
2
1 π
θ
λ
Eb (T) = π Ibλ(T) (9.11)
λ
Ib (T) é o poder emissivo espectral do corpo negro. Representa a energia radiante emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, por unidade de área, por unidade de tempo, por unidade de comprimento de onda em torno de λ, em todas as direções de um espaço hemisférico. Representa realmente o fluxo de radiação espectral do corpo negro.
A função de Planck, definida pela Eq. (9.3), entra agora na Eq. (9.11). Obtemos
λ
Eb (T) =
[ ( ) ]
{
exp 2/ 1}
5
1
− T c
c λ
λ W/(m
2.µm) (9.12) onde c1 = 2π hc2 = 3,743 x 108 W .µm4 /m2
c2 = hc/k = 1,4387 x 104 µm.K T = temperatura absoluta, K
λ = comprimento de onda, µm
A Eq. (9.12) pode ser usada para calcular Ebλ(T) para quaisquer λ e T. A Fig. 9.5 mostra o gráfico de Ebλ(T) em função de λ em várias T. Notamos, a partir desta figura, que, a um dado comprimento de onda, a radiação emitida cresce com a elevação de temperatura, e, para uma dada temperatura, a radiação emitida varia com o comprimento de onda e apresenta um máximo. Esses máximos tendem a se deslocar para os comprimentos de onda menores à medida que a temperatura cresce. As posições destes máximos são dadas pela lei do deslocamento de Wien como
(λT)máx =2897,6µm..k (9.13)
As posições dos máximos estão mostradas, na Fig. 9.5, pela linha tracejada.
Fig. 9.5 Poder emissivo espectral do corpo negro a diferentes temperaturas.
9.2.2) Lei de Stefan-Boltzmann
A energia radiante emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, em todos os comprimentos de onda, por unidade de tempo, por unidade de área, é determinada pela integração da Eq. (9.12) desde λ =0 até λ=∞:
Eb(T) =
[ ( ) ]
{ }
∫
∞=0 −2 5
1
1 /
exp
λ λ
λ
λ c T d
c
A variável de integração é modificada de λ para λT ≡x:
Eb(T) =T4
[ ]
{
c x}
dxx
c
∫
x∞=0 5 2 −
1
1 ) / (
exp (9.14) Esta integração pode ser realizada e o resultado é expresso como
Eb(T) =
σ
T4 W/m2 (9.15) onde T está em kelvins eσ
é a constante de Stefan-Boltzmann, cujo valor numérico éσ
= 5,67 x 10-8 W/(m2. K4) (9.16) Aqui, Eb(T) é o poder emissivo do corpo negro, e a Eq. (9.15) é a lei de Stefan-Boltzmann.O significado físico de Eb(T) é representar o fluxo de radiação do corpo negro, emitido por uma superfície unitária a uma temperatura absoluta T.
Pode-se determinar a relação entre Eb(T) e Ib(T) pela integração da Eq. (9.11), sobre todos os comprimentos de onda. Obtemos
Eb(T) = πIb(T) W/m2 (9.17) e das Eqs. (9.15) e (9.17) escrevemos
Ib(T) = 1σT4
π W/(m2.sr) (9.18) 9.2.3) Funções de radiação do corpo negro
Tab. 9.1 Funções de radiações do corpo negro
Em numerosas aplicações, o interesse está centrado na emissão de radiação por um corpo negro no intervalo de comprimento de onda desde λ= 0 atéλ, em função da emissão total, desde λ= 0 até λ= ∞. Esta grandeza é determinada, conforme sua definição, por
4 0
0
0 ( )
) (
) ) (
( T
d T E d
T E
d T E T
f b
b b
o σ
λ λ
λ λ λ
λ λ
λ λ
∫
∫
∫
== ∞
− (9.19)
Entrando com Ebλ(T), da Eq. (9.12), na Eq. (9.19):
( )
[ ]
∫
Τ− =
= λ −
λ σ 0 5 2
1
1 / ) exp
( x
o x c x
dx T c
f (9.20) onde a variável de integração foi modificada de λ para λ T = x. A integração na Eq.
(9.20) pode ser efetuada e f0−λ( )T ,calculada para um dado λ T. A tabela 9.1 dá a função de radiação do corpo negro f0−λ( )T , em termos de λT, originalmente calculada por Dunkle .Nesta tabela, a primeira e a Segunda coluna dão λT em µm . K e µm . oR , respectivamente. A terceira coluna é útil para computar o poder emissivo espectral do corpo negro Ebλ(T) numa temperatura e num comprimento de onda especificados.
Até aqui discutimos a intensidade da radiação do corpo negro e o poder emissivo, que são úteis para comparação da energia radiante emitida por superfícies reais . Um corpo negro não existe na realidade; entretanto podemos chegar a situações bastante próximas dele. Considere, por exemplo, uma esfera oca cuja superfície interna é mantido a uma temperatura uniforme T, com um pequeno orifício na sua superfície. A radiação que sai pelo orifício é a melhor aproximação da radiação do corpo negro, à temperatura T.