∆ (8.23) Apresentamos, na Tabela 8.2, uma comparação entre as médias logarítmica e aritmética das duas grandezas ∆To e ∆TL. Notamos que as médias aritmética e logarítmica são iguais para ∆To = ∆TL .Quando ∆To ≠ ∆TL, a DTML é sempre menor do que a média aritmética; se ∆To não é mais do que 50% maior do que ∆TL, A DTML pode ser aproximada pela média aritmética dentro de cerca de 1,4%.
8.5) CORREÇÃO DA DTML EM TROCADORES COM CORRENTES CRUZADAS E MULTIPASSE
A DTML, desenvolvida na Sec. 8.4, não se aplica à análise da transferência de calor em trocadores de correntes cruzadas e muitos passes. As diferenças efetivas de temperatura foram determinadas nos escoamentos de correntes cruzadas e também multipasse, mas as expressões resultantes são muito complicadas. Por isso, nessas situações, é costume introduzir um fator de correção F de modo que a DTML simples possa ser ajustada para representar a diferença efetiva de temperatura ∆Tcorr para a disposição de correntes cruzada e multipasse na forma
ente) contracorr em
T F(
= ln
Tcorr
∆
onde ∆Tln deve ser calculada nas condições de contracorrente. Especificamente, ∆T0 e
∆TL, que aparecem na definição da DTML dada pela Eq. (8.12), devem ser (veja Fig.
8.12b)
∆T0 = Th,ef - Tc,af ( 8.25 a)
∆TL = Th,af - Tc,ef (8.25 b) onde os índices c e h se referem, respectivamente, aos fluidos frio e quente. A Fig. 8.16 mostra o fator de correção F em algumas configurações usualmente empregadas nos trocadores de calor. Nestas figuras, a abscissa é a razão dimensional P, definida como
1 1
1
P 2
t T
t t
−
= − (8.26 a)
onde T se refere à temperatura do lado do casco, t é a temperatura do lado dos tubos, e os subscritos 1 e 2 se referem, respectivamente, às condições de entrada e de saída. O parâmetro R que aparece nas curvas é definido como
o ladodocasc p
ladodotubo p
mc mc t
t T T
) (
) R (
1 2
2
1 =
−
= − (8.26 b)
Observe que os fatores de correção, na Fig. 8.16, podem ser aplicados quer o fluido quente esteja do lado do casco, quer do lado dos tubos.
Fig. 8.16 Fator de correção F para o cálculo de ∆Tcorrigida em trocadores multipasse com correntes cruzadas. (a) um passe no casco e dois passes nos tubos; (b) dois passes no casco e quatro passes nos tubos, ou múltiplo de quatro passes nos tubos; (c) correntes cruzadas, um só passe, os dois fluidos sem misturação.
Em geral, F é menor do que a unidade nos arranjos de correntes cruzadas e multipasses; é igual à unidade nos trocadores de calor em verdadeira contracorrente.
Representa o grau de afastamento da verdadeira diferença média de temperatura em relação à DTML na contracorrente.
Na Fig. 8.16 notamos que o valor do parâmetro P se situa entre 0 e 1, e representa a eficiência térmica do fluido do lado do tubo. O valor de R vai de zero até o infinito, com o zero correspondendo à condensação pura do vapor no lado do casco e infinito à evaporação no lado dos tubos.
8.6) MÉTODO ε-NUT PARA ANÁLISE DOS TROCADORES DE CALOR
O cálculo da capacidade e das dimensões dos trocadores de calor são os dois problemas importantes da análise térmica dos trocadores de calor. O cálculo da capacidade se refere à determinação da taxa de transferência de calor, das temperaturas de saída do fluido, e das perdas de carga num determinado trocador de calor ou num trocador já dimensionado; portanto, pode-se dispor da área da superfície de transferência de calor e das dimensões dos canais de passagem das correntes. O problema do dimensionamento se refere à determinação das dimensões do feixe de tubos para atingir as exigências da transferência de calor e da perda de carga. Se não considerarmos a perda de carga, o cálculo térmico envolve a determinação da taxa total de transferência de calor a um determinado trocador de calor; e o dimensionamento envolve a determinação da superfície total de transferência de calor necessária para atingir a taxa de transferência de calor especificada.
Se as temperaturas de entrada e de saída do fluido quente e do fluido frio, assim como o coeficiente da transferência de calor global, forem especificadas, o método da DTML, com ou sem a correção, pode ser empregado para resolver o problema do cálculo térmico ou do dimensionamento.
Em algumas situações são dadas apenas as temperaturas de entrada e as vazões dos fluidos quente e frio, e o coeficiente de transferência de calor global pode ser estimado. Em tais casos, a temperatura média logarítmica não pode ser determinada, pois as temperaturas de saída não são conhecidas. Por isso, o método da DTML na análise térmica dos trocadores de calor envolverá iterações tediosas para se determinar o valor próprio da DTML que satisfaça a exigência de o calor transferido no trocador de calor ser igual ao calor arrastado pelo fluido.
Para ilustrar o tedioso processo de iteração envolvido nestes cálculos, consideremos o cálculo térmico com as seguintes condições:
Dados: Propriedades físicas dos fluidos quente e frio.
Temperaturas de entrada Tc, af e Th,af
Vazões mc e mh, kg/s
Coeficiente de transferência de calor global Um Superfície total de transferência de calor A Carta de correção da DTML
Determinar: A taxa total de transferência de calor Q
Podem-se seguir os seguintes passos para resolver o problema:
1. Admita uma temperatura de saída, e determine P e R de acordo com as Eqs. (8.26a) e (8.26b), respectivamente; encontre também o fator de correção F da DTML na carta.
2. Calcule ∆Tln nas condições de escoamento em corrente.
3. Determine Q a partir de Q = A UmF∆Tln
4. Calcule as temperaturas de saída a partir de Q e das vazões.
5. Compare as temperaturas de saída, calculadas no passo 4, com os valores admitidos no passo 1.
6. Se os valores admitidos e calculados das temperaturas de saída forem diferentes, repita os cálculos até obter uma convergência especificada.
Evidentemente, estes cálculos são muito tediosos. A análise pode ser significativamente simplificada se usarmos o método ε −NUT ou o método da efetividade, desenvolvido originalmente por Kays e Londor.
Neste método, a efetividade εé definida como Qmax
= Q ε
ε = taxa real de transferência de calor / taxa máxima possível de transferência de calor de uma corrente para outra
A taxa máxima possível de transferência de calor Qmax é obtida num trocador em contracorrente se a variação de temperatura do fluido que tiver o valor mínimo de mcp for igual à diferença entre as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio. Consideramos (mcp)min, porque a energia perdida por um fluido deve ser igual à recebida pelo outro fluido.
Se considerarmos (mcp)máx, então o outro fluido deve sofrer uma variação de temperatura maior do que a maior diferença de temperatura disponível; isto é, a ∆T do outro fluido seria maior do que Th,af – Tc,af. Isto não é possível. Com esta consideração, Qmax é escolhido como
Qmax = (mcp)min * (Th,af – Tc,af) (8.27) Então, dados ε e Qmax , a taxa real de transferência de calor Q é
Q = ε * (mcp)min * (Th,af – Tc,af) (8.28) Aqui, (mcp)mín é a menor entre mhcph e mccpc dos fluidos quente e frio; Th,af e Tc,af são as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio, respectivamente.
Evidentemente, se a eficiência ε do trocador for conhecida, a Eq. (8.28) dá uma expressão explícita para a determinação de Q no trocador. Vamos agora descrever a dedução da expressão da efetividade ε.
8.6.1) Determinação de ε: A equação da efetividade depende da geometria do trocador de calor e da disposição das correntes. Para ilustrar o procedimento geral da dedução de ε, consideramos novamente o escoamento em correntes paralelas da Fig. 8.15.
Da Eq. (8.28) nós escrevemos
(
mcp) (
mín Thaf Tcaf)
Q
,
, −
ε = (8.29) A taxa real de transferéncia de calor Q é dada por
(
hin hef)
c pc(
cef caf)
ph
hc T T m c T T
m
Q= , − , = , − , (8.30)
A substituição da Eq. (8.30) em (8.29) dá temperaturas, digamos, na Eq. (8.31b). O processo é o seguinte:
Consideramos a Eq. (8.17)
A onde, com a disposição de escoamento paralelo, temos
af Leva-se a Eq. (8.33) para a forma exponencial, e usam-se os resultados da Eq. (8.34):
BAUm Este resultado entra na Eq. (8.35) para eliminar Th,ef:
BAUm
Este resultado entra na Eq. (8.31b) e se elimina a razão entre as temperaturas. A efetividade ε é determinada como
h Evidentemente, se considerarmos uma disposição de escoamento diferente, teremos uma expressão diferente para a efetividade.
8.6.2) Relação ε -NUT
Por conveniência, nas aplicações práticas, define-se um parâmetro adimensional, o número de unidades de transferência (de calor) (NUT) como
mín m
C NUT AU
N = = (8.39a) Para simplificar a notação, adotamos a seguinte abreviação
NUT ≡ N (8.39 b) Então, a Eq. (8.40) é escrita mais compactamente como
( )
Esta equação dá a relação entre a efetividade ε e o número de unidades de transferência de calor N num trocador de calor com correntes paralelas, independentemente de Cmín ocorrer no lado quente ou no lado frio.
Cálculos semelhantes podem ser feitos e as relações ε -NUT podem ser desenvolvidas em trocadores de calor que têm outros arranjos de correntes, como contracorrente, correntes cruzadas, passes múltiplos, etc.
Fig. 8.17 Efetividade num trocador de calor com correntes Fig. 8.18 Efetividade num paralelas. trocador de calor em contracorrente.
Fig. 8.19 Efetividade num trocador de calor, com correntes Fig. 8.20 Efetividade trocador de
cruzadas, ambas não misturadas. um passe no casco e dois, quatro, etc. passes nos tubos.
Fig. 8.21 Efetividade num trocador de calor de dois passes no casco e quatro, oito, doze, etc. passes nos tubos.
Nas Figs. 8.17 a 8.21 apresentamos algumas cartas de efetividade para arranjos típicos de escoamento. Também listamos, na Tabela 8.3, algumas relações funcionais para rápida referência.
Condensadores e caldeiras. No caso de condensadores e caldeiras, a temperatura do fluido no lado da ebulição ou no da condensação permanece essencialmente constante.
Lembremo-nos da Eqs. (8.31) para a definição de efetividade. Se a efetividade deve permanecer finita, Cc ou Ch, no lado em que há mudança de fase, deve comportar-se como um calor específico infinito, pois Taf - Tef neste lado é praticamente zero. Essa exigência implica que, numa caldeira ou num condensador, devemos ter Cmáx →°°, e, como resultado,
→0
=
máx mín
C
C C (7.43)
Nestas situações, as expressões da Tabela 8.3 simplificam-se para e−N
−
=1
ε para C →0 (7.44) Onde N = AUm / Cmín .
7.6.3) Significado físico do NUT O significado físico do parâmetro adimensional NUT pode ser visto como segue:
NUT =
mín m
C
AU (7.45) (capacidade calorífica do trocador /capacidade calorifica das correntes)
Para um determinado valor de Um/Cmín, o NUT é uma medida da área real de transferência de calor A, da "dimensão física" do trocador. Quanto mais alto o NUT, maior é a dimensão física.
Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados de NUT e de C, C = Cmín/Cmáx não tem muito efeito sobre a efetividadeε.
Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados de NUT e de C, em comparação com os valores de outras configurações do escoamento.
Tab. 8.3 Fórmulas efetivas de trocador de calor.
Por isso, dados NUT e C, a configuração em contracorrente proporciona o melhor desempenho na transferência de calor.
8.6.4) Emprego das relações
ε
-NUTAs relações ε-NUT podem ser facilmente empregadas para a resolução dos problemas de cálculo térmico e de dimensionamento.
Problema do cálculo térmico Suponha que as temperaturas de entrada Tc,af e Th,af, as vazões mc e mh, as propriedades físicas de ambos os fluidos, o coeficiente de
transferência de calor global Um, e a área total de transferência de calor A sejam dados. O tipo e a configuração do escoamento do trocador são especificados. Desejamos determinar a taxa total de fluxo de calor Q e as temperaturas de saída Th,ef e Tc,ef. Os cálculos são os seguintes:
1. Calcule C = Cmín / Cmáx e N = NUT = UmA/Cmín a partir dos dados de entrada especificados.
2. Sabendo N e C, determine
ε
a partir da carta ou da equação para a geometria e configuração do escoamento especificado.3. Sabendo
ε
, calcule a taxa total de transferência de calor Q a partir de )( h,af c,af
mín T T
C
Q=ε −
4. Calcule as temperaturas de saída a partir de Th.,ef = Th,af
Ch
− Q
c af c ef
c C
T Q T, = , +
A discussão precedente do método
ε
-NUT ilustra claramente que o problema do cálculo térmico, quando as temperaturas de saída não são dadas, pode ser resolvido rapidamente com o métodoε
-NUT, mas será necessário um tedioso processo de iteração para resolvê-lo com o método DTML, e a convergência pode não ser fácil.Problema do dimensionamento. Suponha que sejam dados as temperaturas de entrada e de saída, a vazão, o coeficiente de transferência de calor global e a taxa total de transferência de calor; também a disposição do escoamento é especificada. Desejamos determinar a superfície total de transferência de calor A.
1. Sabendo as temperaturas de entrada e de saída, calcule
ε
de acordo com as Eqs. (8.31).2. Calcule C = Cmín /Cmáx .
3. Sabendo
ε
e C, determine NUT a partir da carta apropriada deε
-NUT.4. Sabendo NUT, calcule a superfície de transferência de calor A segundo a Eq. (8.39a):
( )
m mín
U C A= NUT
O emprego do método