Condic¸˜ao necess´aria e condic¸˜ao suficiente

eq¨uil´ateros e ligar os centros desses novos triˆangulos por segmentos de reta, a figura formada ser´a um triˆangulo eq¨uil´atero”.

Os interessados podem encontrar uma demonstrac¸˜ao desse teorema em [Matsufuji, 1989], e outra em [Dalc´ın, 2000].

Veja tamb´em no final da Subsec¸˜ao 7.3.8 outro interessante caso de paix˜ao pela Matem´atica. Naquela sec¸˜ao apresentaremos a Conjectura de Beal, um banqueiro texano apaixonado por Matem´atica, que paga $100.000,00 a quem conseguir provar a conjectura que ele enunciou!

OBSERVAC¸ ˜AO: uma conjectura ´e uma sentenc¸a que ainda n˜ao foi poss´ıvel determinar se ´e ver- dadeira ou falsa.

4.2 Condic¸˜ao necess´aria e condic¸˜ao suficiente

Vimos que, mesmo n˜ao estando expl´ıcita, todo teorema encerra em sua estrutura uma forma condi- cional ‘Se P , ent˜ao Q’, a qual tamb´em pode ser considerada como ‘P ⇒ Q’. Sabemos que essa ´ultima sentenc¸a ´e lida como ‘P implica Q’.

Vamos agora aprender dois outros estilos de apresentar uma sentenc¸a implicativa ‘P ⇒ Q’, muito comuns na L´ogica-Matem´atica ao se enunciar teoremas:

“P ´e (uma) condic¸˜ao suficiente para Q”, ou

“Q ´e (uma) condic¸˜ao necess´aria para P ”.

EXEMPLO 1: Uma das duas maneiras que apresentamos o Teorema 2 da Sec¸˜ao 4.1 foi

Vers˜ao 1: “Seja n um n´umero inteiro. Se n ´e um m´ultiplo de 5, ent˜ao n termina em 0 ou em 5.” Nesse teorema vamos considerar:

P : Um n´umero inteiro n ´e m´ultiplo de 5 e

Q: n termina em 0 ou em 5.

Sabemos que ‘P ⇒ Q’. Pelo que acabamos de expor, duas outras maneiras de enunciar esse resul- tado s˜ao:

Vers˜ao 2: Um n´umero inteiro n ser m´ultiplo de 5 ´e uma condic¸˜ao suficiente para que ele termine em 0 ou em 5.

ou

Vers˜ao 3: Um n´umero inteiro n terminar em 0 ou 5 ´e uma condic¸˜ao necess´aria para que ele seja m´ultiplo de 5.

Note que usando as Vers˜oes 1 e 2, estamos apenas apresentando o mesmo resultado de formas dis- tintas; o que muda ´e unicamente a maneira de enunci´a-lo.

Para justificar essa terminologia, recordemos que uma sentenc¸a implicativa ‘P ⇒ Q’ ou condicional ‘Se P ent˜ao Q’ ´e v´alida, caso seja poss´ıvel provar que a sentenc¸a Q ocorre, todas as vezes em que con- siderarmos que P ocorre. Quando isso acontece, observe que ´e suficiente (´e bastante!) a sentenc¸a P valer, para que a sentenc¸a Q valha; ou ainda, ´e necess´ario que a sentenc¸a Q valha todas as vezes em que a sentenc¸a P valer.

Esses conceitos devem ficar bem claros pois, em geral, percebemos que podem ser facilmente con- fundidos pelos iniciantes. Talvez por exigirem atenc¸˜ao para entendˆe-los, v´arios livros publicados hoje em dia est˜ao abandonando essa linguagem t˜ao espec´ıfica da Matem´atica e preferem fingir que ela n˜ao existe. Em nossa opini˜ao, essa ´e uma linguagem tradicional que deve ser preservada.

Vamos treinar mais um pouco. Comecemos agora com um exemplo fora da Matem´atica, onde os significados das palavras necess´aria e suficiente s˜ao bem instrutivos:

EXEMPLO 2:

Suponha que T seja a asserc¸˜ao “Pedro ´e terr´aqueo”, e que B seja a asserc¸˜ao “Pedro ´e brasileiro”. Como Pedro ´e brasileiro, e todo brasileiro ´e um terr´aqueo, conclu´ımos que Pedro ´e terr´aqueo, logo, B ⇒ T , ou seja:

Vers˜ao 1:“Pedro ´e brasileiro, implica Pedro ´e terr´aqueo”. Como mencionamos, outra maneira de expressar essa frase ´e:

Vers˜ao 2: “Pedro ser brasileiro ´e uma condic¸˜ao suficiente para Pedro ser terr´aqueo” ou

Vers˜ao 3: “Pedro ser terr´aqueo ´e uma condic¸˜ao necess´aria para Pedro ser brasileiro”. Insistimos que estamos apenas enunciando o mesmo resultado de trˆes maneiras diferentes.

Observe os significados das palavras suficiente e necess´aria nesse exemplo. Atente que ´e suficiente (´e bastante) que Pedro seja Brasileiro para ser terr´aqueo. Por outro lado, como n˜ao h´a brasileiros que n˜ao sejam terr´aqueos, ´e necess´ario que Pedro seja terr´aqueo para ser brasileiro.

Voltemos o mais rapidamente para outros exemplos dentro da Matem´atica.

EXEMPLO 3:

TEOREMA 1 (1a_{Vers˜ao): Se dois n´umeros inteiros terminam em 6, ent˜ao o mesmo ocorre com seu} produto.

Nesse caso, se R ´e a sentenc¸a ‘dois n´umeros inteiros terminam em 6’, e S ´e a sentenc¸a ‘o produto desses n´umeros termina em 6’, ´e poss´ıvel provar que ‘R ⇒ S’. Visto dessa forma, torna-se simples reenunciar o teorema das seguintes maneiras:

TEOREMA 1 (2a_{Vers˜ao): Dois n´umeros inteiros terminarem em 6 ´e uma condic¸˜ao suficiente para} que seu produto termine em 6.

4.2. Condic¸˜ao necess´aria e condic¸˜ao suficiente

TEOREMA 1 (3a _{Vers˜ao): O produto de dois n´umeros terminar em 6 ´e uma condic¸˜ao necess´aria} para que esses n´umeros terminem em 6.

Seguindo a pr´atica, ´e bem mais usual se enunciar a 2a _{Vers˜ao do Teorema 1 da seguinte forma:}

TEOREMA 1 (4a_{Vers˜ao): Uma condic¸˜ao suficiente para que o produto de dois n´umeros termine em} 6, ´e que esses n´umeros terminem em 6.

Vamos tamb´em escrever a 3a_{Vers˜ao do Teorema 1 de uma maneira que ´e mais utilizada:}

TEOREMA 1 (5a _{Vers˜ao): Uma condic¸˜ao necess´aria para que dois n´umeros terminem em 6 ´e que} seu produto termine em 6.

Passemos agora ao seguinte exemplo, um pouco mais longo: EXEMPLO 4:

TEOREMA 2 (1a_{Vers˜ao): Se duas pirˆamides tˆem mesma altura e ´areas das bases iguais, ent˜ao as} secc¸˜oes transversais a mesma distˆancia de seus v´ertices tˆem ´areas iguais.

Para esse teorema, definindo

P : Duas pirˆamides tˆem mesma altura e ´areas das bases iguais

Q: As secc¸˜oes transversais `a mesma distˆancia dos v´ertices de duas pirˆamides tˆem ´areas iguais como P ⇒ Q, podemos reenunciar o teorema das seguintes maneiras:

TEOREMA 2 (2a _{Vers˜ao): Duas pirˆamides terem mesma altura e ´areas da base iguais ´e uma} condic¸˜ao suficiente para que elas tenham secc¸˜oes transversais a mesma distˆancia de seus v´ertices com ´areas iguais.

TEOREMA 2 (3a_{Vers˜ao): As secc¸˜oes transversais `a mesma distˆancia dos v´ertices de duas pirˆamides} terem ´areas iguais ´e uma condic¸˜ao necess´aria para que elas tenham mesma altura e ´areas das bases iguais.

TEOREMA 2 (4a_{Vers˜ao): Uma condic¸˜ao necess´aria para que duas pirˆamides tenham mesma altura} e ´areas das bases iguais ´e que as secc¸˜oes transversais `a mesma distˆancia de seus v´ertices tenham ´areas iguais.

TEOREMA 2 (5a _{Vers˜ao): Uma condic¸˜ao suficiente para que duas pirˆamides tenham secc¸˜oes} transversais `a mesma distˆancia de seus v´ertices com ´areas iguais ´e que elas tenham mesma altura e ´areas das bases iguais.

OBSERVAC¸ ˜AO FINAL: Ainda tem-se as seguintes opc¸˜oes, n˜ao t˜ao usuais, de ler a implicac¸˜ao “P ⇒ Q”:

1. P somente se Q;

2. Se P for verdadeira, ent˜ao Q ser´a verdadeira;

4. Q ´e implicada por P ;

5. Q segue de P .

Por conseguinte, n˜ao se pode reclamar de falta de opc¸˜ao para expressar uma sentenc¸a implicativa! S´o n˜ao vale enunci´a-la de forma errada!

EXERC´ICIOS:

1. Reescreva cada teorema abaixo usando, primeiramente, os termos ‘condic¸˜ao necess´aria’, e depois, usando os termos ‘condic¸˜ao suficiente’:

(a) Se dois n´umeros terminam em 76, ent˜ao o mesmo ocorre com o produto desses n´umeros.

(b) Se {a, b, c, d, e} ´e uma seq¨uˆencia de cinco n´umeros inteiros consecutivos n˜ao-negativos que satisfazem a identidade

a2_{+ b}2_{+ c}2 _{= d}2_{+ e}2_{, ent˜ao {a, b, c, d, e} = {10, 11, 12, 13, 14}.}

(c) Se uma matriz quadrada de ordem 3 possui duas colunas proporcionais, ent˜ao seu determi- nante ´e nulo.

(d) Os pontos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) do plano cartesiano s˜ao colineares se

y2− y1

x2− x1

= y3− y2 x3− x2

.

(e) Um polinˆomio de grau n possui exatamente n ra´ızes complexas.

(f) Um n´umero inteiro ´e divis´ıvel por 4, se o n´umero formado pelos seus ´ultimos dois algarismos for divis´ıvel por 4.

(g) Todo pol´ıgono regular pode ser inscrito em um c´ırculo.

2. Reescreva cada teorema abaixo na sua forma condicional ‘Se...ent˜ao...’

(a) Uma condic¸˜ao necess´aria para que um n´umero seja divis´ıvel por 6 ´e que ele seja simultanea- mente divis´ıvel por 2 e por 3.

(b) Em todo triˆangulo retˆangulo a altura correspondente ao v´ertice do ˆangulo reto ´e a m´edia geom´etrica entre as projec¸˜oes dos catetos sobre a hipotenusa.

(c) Uma condic¸˜ao suficiente para que um triˆangulo seja is´osceles ´e que ele tenha dois ˆangulos internos congruentes.

(d) Ter duas colunas iguais ´e uma condic¸˜ao suficiente para que uma matriz quadrada tenha de- terminante nulo.

(e) N˜ao ser primo ´e uma condic¸˜ao necess´aria para que o n´umero seja da forma n4 _{+ 4, para}

n ≥ 2.

(f) Uma condic¸˜ao necess´aria para que dois n´umeros terminem em 1 ´e que seu produto tamb´em termine 1.

3. Reescreva o seguinte teorema de cinco maneiras realmente distintas: “Se o n´umero n4 _{+ 4 ´e primo para algum n ∈ N, ent˜ao n = 1”}