“Ambas as palavras ‘figura’ e ‘ficc¸˜ao’ derivam da mesma raiz latina, fingire. (Portanto,) cuidado!” M.J. Moroney, Facts from Figures.
Raramente vemos algu´em resolvendo algum problema matem´atico que n˜ao seja tentado a rabiscar alguma equac¸˜ao ou fazer algum desenho.
Os desenhos ajudam a sintetizar o racioc´ınio e, decisivamente, contribuem com id´eias e argumentos usados para entender, enunciar, demonstrar ou descobrir algum fato.
Reconhecemos que em diversas circunstˆancias, as figuras dizem mais que palavras. Entretanto, ´e bom atentar que os desenhos s˜ao apenas dispositivos que servem para auxiliar, eles sozinhos n˜ao podem demonstrar coisa alguma. ´E necess´ario extrair deles as informac¸˜oes que precisamos.
Nesse ponto, vale ressaltar o cuidado com a qualidade dos desenhos que algu´em deseja fazer. As figuras, principalmente as mal desenhadas, intencionalmente ou n˜ao, podem enganar e induzir falsas conclus˜oes. Lembre-se das figuras da sec¸˜ao anterior.
Ningu´em ´e obrigado a ser um artista para fazer um desenho que possa auxiliar em alguma demons- trac¸˜ao, mas n˜ao se deve descuidar: por exemplo, as retas n˜ao podem ser sinuosas, os ˆangulos retos n˜ao podem ser trac¸ados como obtusos, tampouco os c´ırculos serem ovais como batatas, e assim por diante. Esse ´e um detalhe que deve merecer atenc¸˜ao.
Deixamos claro que, com certeza, usando-se desenhos ´e poss´ıvel auxiliar, e muito, a demonstrac¸˜ao de v´arios resultados, e essa pr´atica tem sido assim por milˆenios entre as mais diversas civilizac¸˜oes que usaram ou desenvolveram a Matem´atica.
A seguir daremos duas demonstrac¸˜oes que usam fortemente o uso de figuras geom´etricos.
TEOREMA DE PIT ´AGORAS: Num triˆangulo retˆangulo, o quadrado da medida da hipotenusa ´e igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Demonstrac¸˜ao: A demonstrac¸˜ao que segue ´e aquela sobre a qual falamos no final da Sec¸˜ao 4.1.1 , que ´e creditada ao presidente americano James Garfield. Entre as diversas opc¸˜oes de demonstrac¸˜oes do Teorema de Pit´agoras, decidimos apresent´a-la; n˜ao pela importˆancia hist´orica de seu autor, mas porque julgamos ser uma das mais simples e que envolve um argumento que chega a ser pueril: usa apenas as f´ormulas das ´areas do trap´ezio e do triˆangulo.
Demonstrac¸˜oes com o aux´ılio de figuras
“Ambas as palavras ‘figura’ e ‘ficc¸˜ao’ derivam da mesma raiz latina, fingire. (Portanto,) cuidado!” M.J. Moroney, Facts from Figures.
Raramente vemos algu´em resolvendo algum problema matem´atico que n˜ao seja tentado a rabiscar alguma equac¸˜ao ou fazer algum desenho.
Os desenhos ajudam a sintetizar o racioc´ınio e, decisivamente, contribuem com id´eias e argumentos usados para entender, enunciar, demonstrar ou descobrir algum fato.
Reconhecemos que em diversas circunstˆancias, as figuras dizem mais que palavras. Entretanto, ´e bom atentar que os desenhos s˜ao apenas dispositivos que servem para auxiliar, eles sozinhos n˜ao podem demonstrar coisa alguma. ´E necess´ario extrair deles as informac¸˜oes que precisamos.
Nesse ponto, vale ressaltar o cuidado com a qualidade dos desenhos que algu´em deseja fazer. As figuras, principalmente as mal desenhadas, intencionalmente ou n˜ao, podem enganar e induzir falsas conclus˜oes. Lembre-se das figuras da sec¸˜ao anterior.
Ningu´em ´e obrigado a ser um artista para fazer um desenho que possa auxiliar em alguma demons- trac¸˜ao, mas n˜ao se deve descuidar: por exemplo, as retas n˜ao podem ser sinuosas, os ˆangulos retos n˜ao podem ser trac¸ados como obtusos, tampouco os c´ırculos serem ovais como batatas, e assim por diante. Esse ´e um detalhe que deve merecer atenc¸˜ao.
Deixamos claro que, com certeza, usando-se desenhos ´e poss´ıvel auxiliar, e muito, a demonstrac¸˜ao de v´arios resultados, e essa pr´atica tem sido assim por milˆenios entre as mais diversas civilizac¸˜oes que usaram ou desenvolveram a Matem´atica.
A seguir daremos duas demonstrac¸˜oes que usam fortemente o uso de figuras geom´etricos.
TEOREMA DE PIT ´AGORAS: Num triˆangulo retˆangulo, o quadrado da medida da hipotenusa ´e igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Demonstrac¸˜ao: A demonstrac¸˜ao que segue ´e aquela sobre a qual falamos no final da Sec¸˜ao 4.1.1 , que ´e creditada ao presidente americano James Garfield. Entre as diversas opc¸˜oes de demonstrac¸˜oes do Teorema de Pit´agoras, decidimos apresent´a-la; n˜ao pela importˆancia hist´orica de seu autor, mas porque julgamos ser uma das mais simples e que envolve um argumento que chega a ser pueril: usa apenas as f´ormulas das ´areas do trap´ezio e do triˆangulo.
Cap´ıtulo 14. Demonstrac¸˜oes com o aux´ılio de figuras
Considere um triˆangulo retˆangulo com hipotenusa medindo c e catetos medindo a e b. Usando esse triˆangulo, construa o trap´ezio abaixo (Figura 14.1). Igualando a ´area do trap´ezio, de bases a, b e altura a + b, com a soma das ´areas dos trˆes triˆangulos, temos
Figura 14.1: Trap´ezio µ a + b 2 ¶ × (a + b) = ab 2 + ab 2 + c2 2, e fazendo as devidas simplificac¸˜oes, obtemos
a2+ b2 = c2,
C.Q.D.1
A segunda demonstrac¸˜ao, usando figuras, ´e uma bel´ıssima demonstrac¸˜ao da irracionalidade de √2, que emprega argumentos geom´etricos simples e inteligentes. Essa demonstrac¸˜ao est´a bem no modelo da demonstrac¸˜ao da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado de um quadrado (ou seja, que√2 6∈ Q) dada pelos antigos gregos (Vide [de Souza ´Avila, 1998]).
DEMONSTRAC¸ ˜AO DA IRRACIONALIDADE DE√2 : (A demonstrac¸˜ao ´e devida a Apostol. Vide [Apostol, ])
Suponha, por absurdo, que√2 seja racional e que possa ser escrito como√2 = p
q, com p e q inteiros positivos. Logo, p
q ´e a hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo de catetos iguais a 1. Multiplicando os comprimentos dos lados desse triˆangulo por q, encontramos um novo triˆangulo retˆangulo 4ABC de hipotenusa de comprimento p e catetos de comprimentos q (Figura 14.2 na pr´oxima p´agina). Nosso trabalho, a partir desse ponto, ´e provar que n˜ao pode existir um triˆangulo desse tipo: is´osceles com lados de comprimentos inteiros.
Trac¸ando uma circunferˆencia de centro no ponto B e raio BC, ela corta o lado AB no ponto D. Observe que AD ´e um segmento de comprimento inteiro valendo p − q. Baixe por D uma perpendicular ao lado AB, que toca o lado AC no ponto E. Verifica-se que DE ´e cˆongruo a EC, e que os segmentos AD e DE tamb´em s˜ao cˆongruos. Dessa forma, o triˆangulo 4ADE ´e um triˆangulo retˆangulo is´osceles cujas medidas dos lados ainda s˜ao n´umeros inteiros.
1Note que nesta demonstrac¸˜ao usamos o fato de que o triˆangulo cujos comprimentos dos lados valem c ´e retˆangulo, e
Podemos repetir os mesmos argumentos anteriores, agora, usando o triˆangulo 4ADE, encontrando um outro triˆangulo com as mesmas propriedades: sempre triˆangulos retˆangulos is´osceles com lados de comprimentos inteiros. Continuando esse processo, as medidas dos lados desses triˆangulos est˜ao diminuindo e, a partir de um certo passo do procedimento, esses comprimentos n˜ao mais poder˜ao ser n´umeros inteiros. Chegamos assim a um absurdo. Portanto,√2 6∈ Q. Q.E.D.
Compare essa demonstrac¸˜ao da irracionalidade de√2 com aquela que demos na Sec¸˜ao 12.
EXERC´ICIOS:
1. Readapte a demonstrac¸˜ao da irracionalidade de √2 que demos nesta sec¸˜ao, para provar que os n´umeros√n2+ 1 e√n2 − 1 s˜ao ambos irracionais, para qualquer n´umero inteiro n > 1.
Dica: No primeiro caso, considere um triˆangulo retˆangulo de catetos 1 e n; no segundo, considere um triˆangulo retˆangulo de cateto 1 e hipotenusa n.
2. Os pitag´oricos, com sua forte ligac¸˜ao com os n´umeros, os classificaram em v´arias categorias que subsistiram at´e nossos dias: n´umeros pares e ´ımpares, n´umeros perfeitos, n´umeros amigos, etc., e n´umeros poligonais, que apresentaremos a seguir. A id´eia de definirem n´umeros poligonais est´a ligada ao desejo de se transferir aos n´umeros certas propriedades conhecidas, intr´ınsecas a objetos geom´etricos. Veja a seguir.
N ´umeros triangulares:
Cap´ıtulo 14. Demonstrac¸˜oes com o aux´ılio de figuras
N ´umeros pentagonais:
Ao dispor os n´umeros dessa forma, ´e poss´ıvel detectar v´arias propriedades deles: Vˆe-se que os n´umeros triangulares fornecem a soma da seq¨uˆencia de n´umeros naturais: 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, etc.
J´a os n´umeros quadrados determinam a soma dos n´umeros ´ımpares: 1, 1 + 3 = 4 = 22, 1 + 3 + 5 = 9 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42, etc.
Mais adiante voltaremos aos n´umeros poligonais. Por ora, aproveite a oportunidade e com o aux´ılio da forma geom´etrica que esses n´umeros est˜ao dispostos, se convenc¸a e prove que todo n´umero quadrado ´e a soma de dois n´umeros triangulares consecutivos.
3. Uma outra maneira de demonstrar o Teorema de Pit´agoras ´e utilizando a figura a seguir. A id´eia ´e observar que as ´areas das figuras geom´etricas achuradas s˜ao iguais. Usando essas figuras, encontre e escreva uma demonstrac¸˜ao do Teorema de Pit´agoras.
4. Quaisquer dois quadrados podem ser recortados em cinco partes, de forma que quando reagrupa- dos, formem um novo quadrado. A figura abaixo indica como isso pode ser feito. Com essa id´eia em m˜aos, dˆe uma outra demonstrac¸˜ao para o Teorema de Pit´agoras. Redija essa demonstrac¸˜ao.
pontos (x, f (x)) obtidos de um tabela que apresenta certos valores de x e de f (x). Comente o rigor desse processo.