Sentenc¸as condicionais

Em nosso texto, sentenc¸a condicional ´e uma sentenc¸a composta “Se P ent˜ao Q”,

formada por duas sentenc¸as P e Q, ligadas pelo conectivo “Se...ent˜ao” e tal que a sentenc¸a Q pode ser deduzida da sentenc¸a P , todas as vezes em que admitirmos a ocorrˆencia de P .

Vejamos exemplos de sentenc¸as condicionais.

EXEMPLO 1: Se n ´e um n´umero inteiro divis´ıvel por 10, ent˜ao n ´e um n´umero par. ´e uma sentenc¸a condicional, onde

P : n ´e um n´umero inteiro divis´ıvel por 10 e

Q: n ´e um n´umero par.

Como todo n´umero divis´ıvel por 10 tamb´em ´e divis´ıvel por 2, ou seja, ´e par, temos a sentenc¸a Q deduzida da sentenc¸a P .

EXEMPLO 2: Se um triˆangulo ´e retˆangulo, ent˜ao o quadrado da medida da hipotenusa ´e igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos

Neste exemplo temos: R: Um triˆangulo ´e retˆangulo e

S: O quadrado da medida da hipotenusa ´e igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos Apesar de n˜ao ser t˜ao imediato como no exemplo anterior, sabemos que a proposic¸˜ao R pode ser deduzida da proposic¸˜ao S (faremos isso no Cap´ıtulo 14).

Para nossos objetivos, a maneira de checar que uma sentenc¸a “Se P ent˜ao Q” ´e condicional, ser´a por meio de uma demonstrac¸˜ao, com a qual se pode deduzir a sentenc¸a Q, assumindo-se a sentenc¸a P . Este procedimento ´e chamado m´etodo dedutivo.

Como vimos na sec¸˜ao precedente, os argumentos s˜ao usados para se fazer deduc¸˜oes e, assim, executar os passos de uma demonstrac¸˜ao. Neste texto, al´em de estarmos trabalhando com a L´ogica Bivalente, nossos argumentos estar˜ao sustentados por duas regras que precisamos admitir. A primeira ´e a gene- ralizac¸˜ao: se algo vale para todos elementos de um conjunto, ent˜ao vale para cada elemento desse conjunto. A segunda regra ´e a modus pones: se as sentenc¸as “Se P , ent˜ao Q” e “P ” ocorrem, ent˜ao, necessariamente, a sentenc¸a “Q” tamb´em ocorre. Note que mesmo sem nos darmos conta, aplicamos constantemente essas regras nos racioc´ınios do dia-a-dia.

Em termos gerais, uma demonstrac¸˜ao matem´atica ´e um processo de racioc´ınio l´ogico-dedutivo no qual, admitindo-se a sentenc¸a P , deduz-se, por argumentac¸˜ao, a sentenc¸a Q. Ou ainda, uma demonstrac¸˜ao garante que a sentenc¸a Q ocorre todas as vezes em que P ocorrer. Retornaremos mais detalhadamente a esses temas na Sec¸˜ao 6.1. Neste ponto, apenas as id´eias b´asicas que se tˆem desses conceitos s˜ao o suficiente para o que queremos.

Numa deduc¸˜ao matem´atica, os elementos usados como ponto de partida para armar um racioc´ınio s˜ao chamados premissas. As conclus˜oes s˜ao deduzidas por argumentac¸˜oes a partir de um conjunto estabelecido de premissas.

Na pr´atica, dependendo das circunstˆancias, muitas vezes usa-se uma express˜ao do tipo “Se P ent˜ao Q”, sem que necessariamente tenha-se uma demonstrac¸˜ao de que Q se infere de P . Mesmo quando isso ocorre, ´e comum ainda chamar-se sentenc¸a condicional a uma sentenc¸a desse tipo. Por este fato, ao trabalharmos com sentenc¸as escritas na forma condicional, e caso seja necess´ario distinguir as que possuem uma demonstrac¸˜ao das que n˜ao possuem, iremos substituir a express˜ao sentenc¸a condicional por sentenc¸a condicional v´alida, no caso em que existir essa demonstrac¸˜ao, e adotaremos a terminologia sentenc¸a condicional n˜ao-v´alida, caso contr´ario.

UM FATO MUITO IMPORTANTE:

Conv´em agora comparar a definic¸˜ao da Tabela-verdade 2.3 de uma sentenc¸a condicional P → Q que demos na Subsec¸˜ao 2.4.3, com o que pode ocorrer com a demonstrac¸˜ao de uma sentenc¸a condicional “Se P , ent˜ao Q”, que definimos nesta sec¸˜ao2_:

i) De uma sentenc¸a verdadeira P s´o ´e poss´ıvel deduzir-se uma sentenc¸a verdadeira Q (Compare com o 1o _{caso da Tabela-verdade 2.3), ou ainda, de uma sentenc¸a verdadeira n˜ao se pode deduzir uma}

sentenc¸a falsa (Compare com o 2o_{caso da Tabela-verdade 2.3);}

Por exemplo, sabemos que a sentenc¸a ‘1 = 0’ n˜ao ocorre (´e uma sentenc¸a falsa), e que a sentenc¸a ‘1 = 1’ ocorre (´e uma sentenc¸a verdadeira), logo, por um processo l´ogico-dedutivo, n˜ao ser´a poss´ıvel deduzir a sentenc¸a ‘1 = 0’ da sentenc¸a 1 = 1. A regra geral ´e: n˜ao se pode deduzir sentenc¸as falsas de sentenc¸as verdadeiras.

ii)J´a no caso em que a sentenc¸a P for falsa (ou uma das premissas for falsa) ´e poss´ıvel deduzir uma sentenc¸a Q que pode ser falsa ou verdadeira (O mesmo ocorre com os 3o_{e 4}o _{casos da tabela-verdade).}

2_{Em textos bem mais avanc¸ados ´e poss´ıvel provar que existe uma correlac¸˜ao do conceito de sentenc¸a condicional (Se P ,}

ent˜ao Q) dado nesta sec¸˜ao, com aquele (P → Q), dado na Sec¸˜ao 2.4.3. Isso ´e garantido pelo Teorema da Adequac¸˜ao e Correc¸˜ao.

2.4. Argumentos, sentenc¸as condicionais e sentenc¸as implicativas

Vamos ilustrar este fato com dois exemplos:

Sejam ‘P : 1 = 0’ e ‘Q : 1 = 1’. Da sentenc¸a P , decorre que 1 = 0 e 0 = 1. Da´ı, somando os respectivos termos dos lados esquerdo e direito dessas igualdades, temos 1 + 0 = 0 + 1, donde 1 = 1. Logo, a sentenc¸a ‘Se P , ent˜ao Q’ ´e v´alida nesse caso em que P ´e falsa e Q ´e verdadeira. No exemplo que demos, deduzimos uma sentenc¸a verdadeira de uma sentenc¸a falsa (Compare com o 3o _{caso da}

Tabela-verdade 2.3).

Ainda da sentenc¸a P , podemos deduzir que, se 1 = 0, ent˜ao 1 + 2 = 0 + 2 ou seja, 3 = 2. Dessa maneira, considerando‘Q : 3 = 2’, a sentenc¸a ‘Se P , ent˜ao Q’ ´e v´alida, nesse caso em que P ´e falsa e Q ´e falsa. Neste exemplo, deduzimos uma sentenc¸a falsa de uma outra tamb´em falsa ( Compare com o 4o_{caso da Tabela-verdade 2.3).}

Finalizamos esse par´agrafo afirmando que todas as proposic¸˜oes matem´aticas, mesmo n˜ao estando expl´ıcito, s˜ao sentenc¸as condicionais do tipo

‘Se P ent˜ao Q’.

EXERC´ICIOS:

1. Nos exerc´ıcios a seguir, assinale as alternativas verdadeiras.

(a) Ao se utilizar premissas falsas, pode-se deduzir conclus˜oes:

i. Verdadeiras

ii. Falsas

iii. Nada se pode afirmar.

(b) Ao se utilizar premissas verdadeiras, pode-se deduzir conclus˜oes:

i. Verdadeiras

ii. Falsas

iii. Nada se pode afirmar.

2. Enuncie dois silogismos na forma de sentenc¸as condicionais.

3. Complete os silogismos:

(a) O que tem folhas ´e um livro (Premissa maior falsa) Uma ´arvore tem folhas (Premissa menor verdadeira)

(Conclus˜ao falsa)

(b) Todo n´umero par ´e maior do que cinco (Premissa maior falsa) 9 ´e um n´umero par (Premissa menor falsa)

(Conclus˜ao verdadeira)

4. Dˆe exemplos de silogismos na Matem´atica que tenham premissas falsas e conclus˜ao falsa; premis- sas falsas e conclus˜ao verdadeira; premissa maior verdadeira, premissa menor falsa e conclus˜ao verdadeira.

5. Verifique se as afirmac¸˜oes matem´aticas que vocˆe conhece podem ser formuladas na forma “Se P , ent˜ao Q”.