O que ´e uma definic¸˜ao matem´atica?

Saber definir e manipular corretamente as definic¸˜oes ´e uma habilidade essencial para quem estuda Matem´atica. Nos cap´ıtulos anteriores j´a apresentamos algumas definic¸˜oes. Como vocˆe pˆode observar, definir ´e dar nomes a objetos matem´aticos, mediante determinadas propriedades interessantes que pos- suam. Esses nomes devem se constituir de uma ´unica palavra, como ‘triˆangulo’, ou de uma frase curta, como ‘n´umeros primos entre si’.

As definic¸˜oes s˜ao importantes, pois evitam repetic¸˜oes longas e desnecess´arias e, juntamente com as notac¸˜oes, s˜ao mais um aliado na ajuda da economia da linguagem. Com as definic¸˜oes ´e que nasce a terminologia apropriada para ser usada ao construir uma teoria matem´atica.

Veja as definic¸˜oes:

Definic¸˜ao 1: Dados trˆes pontos n˜ao colineares, chamamos triˆangulo `a uni˜ao dos trˆes segmentos de reta que ligam esses pontos e os tˆem como extremidades. (Nesta definic¸˜ao estamos dando um nome a um objeto matem´atico: triˆangulo)

Definic¸˜ao 2: Chamamos operac¸˜ao de uni˜ao a operac¸˜ao que a cada dois conjuntos A e B associa o conjunto A ∪ B. (Aqui estamos definindo uma operac¸˜ao com objetos matem´aticos; neste caso, a operac¸˜ao de uni˜ao de conjuntos)

Definic¸˜ao 3: Um triˆangulo ´e dito is´osceles quando tem dois dos seus lados congruentes. (Estamos classificando certos triˆangulos que possuem a propriedade de terem dois de seus lados congruentes)

Uma boa definic¸˜ao ´e clara, sucinta, na medida do poss´ıvel, classifica e distingue plenamente o objeto definido, e nela n˜ao aparecem termos inadequados ao contexto.

Devemos observar que em toda definic¸˜ao, o nome do objeto definido est´a diretamente associado `as propriedades que o caracterizam, e essas propriedades, por sua vez, identificam plenamente esse objeto de modo que ele n˜ao possa ser confundido. Por exemplo, de acordo com a Definic¸˜ao 3, um triˆangulo ´e is´osceles se possui dois lados congruentes. Quando consideramos esta frase como uma definic¸˜ao, a rec´ıproca deve ser tamb´em v´alida: se um triˆangulo possui dois lados congruentes, ent˜ao ele ´e is´osceles. Da mesma maneira, conforme a Definic¸˜ao 1, se um objeto matem´atico ´e a uni˜ao de trˆes segmentos de retas que ligam trˆes pontos n˜ao colineares e que os tˆem como extremos, ent˜ao esse objeto ´e um triˆangulo; e reciprocamente, se chamarmos um objeto de ‘triˆangulo’, ent˜ao ele tem de ser a uni˜ao de trˆes segmentos de retas que ligam trˆes pontos n˜ao colineares e os tˆem como extremos. A conjunc¸˜ao ‘se’, expl´ıcita ou n˜ao numa definic¸˜ao, deve sempre ser entendida da maneira que acabamos de explicar.

ATENC¸ ˜AO:

1. S´o deve-se definir um objeto se for estritamente necess´ario.

2. Quem escreve algum texto matem´atico deve tomar cuidado para n˜ao sair inventando terminologias que, muitas vezes, s´o complicam o entendimento.

Deve-se tamb´em preservar as definic¸˜oes e terminologias j´a consagradas.

3. Veremos na pr´oxima sec¸˜ao que definic¸˜oes n˜ao s˜ao afirmac¸˜oes que precisam ser demonstradas, como no caso dos teoremas. Atente para o fato de que ningu´em prova definic¸˜oes!!!

4. Outro fato que conv´em ressaltar: n˜ao ´e recomend´avel - de jeito algum!- usar as palavras da´ı, ent˜ao ou portanto ao redigir uma definic¸˜ao. Estas palavras devem ser reservadas para serem usadas em sentenc¸as nas quais haja alguma deduc¸˜ao matem´atica, como no caso dos teoremas. Observe que n˜ao h´a deduc¸˜ao matem´atica alguma em uma definic¸˜ao.

5. Ao estabelecer uma definic¸˜ao, tome cuidado com os c´ırculos viciosos: definir um objeto A usando um outro objeto B e, para definir B, usar o objeto A. (Damos um exemplo desse caso no Exerc´ıcio 3-c).

EXERC´ICIOS:

1. Defina os seguintes elementos de um triˆangulo (vocˆe pode consultar outros livros):

(a) lado;

(b) v´ertice;

(c) ˆangulos internos;

(d) altura;

3.1. O que ´e uma definic¸˜ao matem´atica?

2. Como definir ‘ˆangulo reto’ sem ser necess´ario falar em qualquer tipo de medida de ˆangulo?

3. (a) Intuitivamente ´e natural aceitar que uma reta ´e um conjunto de pontos. Mas ´e preciso conce- ber com cuidado esta id´eia.

Levando em considerac¸˜ao o que afirmamos antes da observac¸˜ao do final desta sec¸˜ao, analise criticamente a seguinte “definic¸˜ao”:

“DEFINIC¸ ˜AO”: “Uma reta ´e um conjunto de pontos”.

(b) CASOS VER´IDICOS

Em um livro para o Ensino M´edio o autor redigiu a seguinte “definic¸˜ao”:

“DEFINIC¸ ˜AO”: “Chamamos de intervalo a determinados conjuntos de n´umeros reais”. Analise e critique vigorosamente esta “definic¸˜ao”.

(c) Critique a seguinte “definic¸˜ao”, na qual pretende-se definir ˆangulo reto.

“DEFINIC¸ ˜AO”: “Um ˆangulo reto ´e um ˆangulo que mede 90 graus. Definimos 1 grau com sendo 1/90 da medida de um ˆangulo reto”.

4. Vejamos como surge uma definic¸˜ao.

A) PRIMEIRO PASSO: Nesse est´agio da construc¸˜ao de uma definic¸˜ao, parte-se das noc¸˜oes do objeto a ser definido, para uma concepc¸˜ao mais elaborada desse objeto. Deve-se levar em conta, principalmente, a descoberta das principais propriedades que o caracterizam. Essa ´e a fase de conceituac¸˜ao, quando pode-se usar exemplos particulares para descobrir essas propriedades. Suponhamos que se queira definir objetos que tenham quatro lados, da forma em que se vˆe no desenho abaixo:

De que maneira podemos fazer isso?

B) SEGUNDO PASSO: A formalizac¸˜ao da definic¸˜ao, usando as propriedades que foram conce- bidas na conceituac¸˜ao do objeto. Neste est´agio ´e necess´ario usar o formalismo e a terminologia adequada. Essa ´e a fase da redac¸˜ao do que foi conceituado, ´e o momento de redigir a definic¸˜ao, que deve ter um car´ater geral.

Considere num plano, quatro pontos A, B, C, e D de sorte que: i) trˆes deles n˜ao sejam colineares;

ii) quaisquer dois pares de segmentos, AB, BC, CD e DA n˜ao possuam pontos em comum, al´em dos extremos.

Chamamos quadril´atero ao conjunto formado pela uni˜ao desses quatro segmentos.

Cada um dos segmentos chama-se lado do quadril´atero, e cada um dos pontos A, B, C, e D chama-se v´ertice do quadril´atero.

(a) As palavras empregadas na definic¸˜ao para batizar o objeto que aparece no Primeiro Passo foram apropriadas? Comente.

(b) Formulada a definic¸˜ao, defina os seguintes elementos de um quadril´atero:

i. ˆangulos internos

ii. lados opostos

iii. diagonal

(c) Defina paralelogramo. (Aqui, ´e necess´ario usar a palavra ‘paralelo’.)

C) EM TODO O PROCESSO DE FORMULAC¸ ˜AO DA DEFINIC¸ ˜AO: O cuidado para que as pro- priedades listadas na definic¸˜ao caracterizem, de fato, o objeto.

Na definic¸˜ao de quadril´atero, quais das condic¸˜oes que fossem relaxadas, nos levaria admitir os seguintes objetos como quadril´ateros?