A intenção de compreender o que os professores precisam de saber e de ser capazes de fazer, em articulação com a dificuldade em relacionar o conhecimento da Matemática detido pelo professor com os conhecimentos adquiridos pelos alunos foi, segundo Hill e Ball (2009), o ponto de partida para a conceptualização do Conhecimento Matemático para Ensinar – MKT (Mathematical Knowledge for Teaching). Embora a importância do conhecimento da Matemática fosse reconhecida, existia evidência que esse conhecimento só por si era insuficiente. As autoras começaram assim a analisar a prática de vários professores, procurando identificar as exigências, do ponto de vista matemático, do processo de ensino. Aperceberam-se da compreensão matemática envolvida no questionamento aos alunos, na interpretação das respostas destes, na disponibilização de explicações e na utilização de representações. Atenderam à Matemática presente na forma como os professores falavam e na linguagem que ensinavam os alunos a usar. Concluíram então que a capacidade de ver os conteúdos pela perspectiva do aluno e compreender o que este está a fazer envolve um raciocínio e uma capacidade matemática que não são necessários a um matemático. Identificaram deste modo um conhecimento matemático que vai para além do conhecimento do conteúdo matemático propriamente dito.
No conhecimento matemático para ensinar (MKT), Ball, Thames e Phelps (2008) consideram o que designam por Conhecimento Comum do Conteúdo – CCK (Common Content Knowledge) e que é idêntico ao utilizado noutras profissões em que existe conhecimento matemático envolvido. Inclui conhecimento da definição de um conceito ou objecto, saber como realizar um procedimento e como resolver problemas matemáticos correctamente e até identificar a correcção de uma resposta dada por outrem. Consideram também um conhecimento específico dos professores e que designam por Conhecimento Especializado do Conteúdo – SCK (Specialized Content Knowledge). Este é um conhecimento central neste modelo e corresponde a um conhecimento que é utilizado na sala de aula e que é necessário para que o professor possa ensinar de forma eficiente. Corresponde, por exemplo, ao conhecimento de como modelar as
38
operações aritméticas com números inteiros, envolvendo diferentes representações. Inicialmente, estes foram os dois conhecimentos associados ao conhecimento do conteúdo identificados, mas, como referem Hill e Ball (2009), um pouco mais tarde identificaram também um outro conhecimento. Designaram- no por Conhecimento do Horizonte Matemático – HCK (Horizon Content
Knowledge), uma vez que este corresponde ao que descrevem como uma espécie
de visão periférica necessária para ensinar. Este conhecimento engloba uma visão geral e abrangente do panorama de ensino da Matemática, incluindo uma consciência dos tópicos matemáticos abordados em anos anteriores e da forma como estes se relacionam com os abordados no presente e no futuro.
Para além destes domínios do conhecimento, Ball, Thames e Phelps (2008) e Hill e Ball (2009) fazem também referência a um conjunto de conhecimentos que correspondem a uma certa integração do conhecimento do conteúdo com outro tipo de conhecimento. Referem-se assim a três domínios: o conhecimento do conteúdo e dos alunos, o conhecimento do conteúdo e do ensino, e o conhecimento do conteúdo e do currículo.
O Conhecimento do Conteúdo e dos Alunos – KCS (Knowledge of
Content and Students) combina conhecimento dos alunos e da Matemática, o que
corresponde à capacidade de antecipar as dificuldades dos alunos, atender aos pensamentos expressos por estes e responder-lhes de forma conveniente e fazer uma escolha adequada de exemplos e de representações para ensinar. Tanto no processo de preparação de aulas como no decorrer da sua implementação, o professor deve mostrar-se consciente das concepções detidas pelos alunos relativamente ao tópico em estudo e, em particular, relativamente às concepções erradas.
O Conhecimento do Conteúdo e do Ensino – KCT (Knowledge of Content
and Teaching) articula o conhecimento sobre a Matemática e sobre ensinar.
Refere-se às decisões do professor relativamente à sequência das actividades, à sua consciência relativamente a possíveis vantagens e desvantagens das representações utilizadas para ensinar, às suas decisões sobre quando interromper uma discussão na aula para clarificar alguns aspectos ou de usar a opinião de um aluno para fazer uma chamada de atenção sobre certo aspecto matemático.
39
Aos professores compete ainda ter um conhecimento do currículo, assim como da forma como os diferentes conteúdos se interrelacionam e evoluem ao longo do ano lectivo.
Figura 2.2
Conhecimento Matemático para Ensinar (Hill & Ball, 2009, p. 70)
Estes três domínios do conhecimento são também apontados por Ball, Thames e Phelps (2008) como um refinamento da noção de conhecimento pedagógico do conteúdo de Shulman. Segundo os autores, nos últimos vinte anos esta noção tem sido usada em referência a um vasto conjunto de aspectos relativos tanto ao conhecimento do conteúdo como ao ensino do conteúdo, o que indicia a forma como a investigação realizada não tem conseguido desenvolver definições precisas e consensuais sobre esta noção. Em consequência, apesar do reconhecimento da importância do que designam por uma ponte entre o conteúdo e os aspectos pedagógicos, a compreensão dessa articulação permanece aquém do que seria desejável e o conceito teórico a necessitar de aprofundamento. Os autores criticam ainda a linha seguida pela investigação realizada, onde muito poucos foram os estudos que procuraram identificar a existência efectiva de conhecimentos distintos com impacto sobre o ensino, adoptando quase sempre posturas argumentativas que rompem radicalmente com a ligação à prática na origem da proposta de Shulman. Essa é também uma das razões porque procuram
Conhecimento do conteúdo Conhec. pedagógico do conteúdo
Conhecimento especializado do conteúdo (SCK) Conhecimento do horizonte matemático (HCK) Conhec. comum do conteúdo (CCK) Conhecimento do conteúdo e dos alunos (KCS) Conhecimento do conteúdo e do ensino (KCT) Conhecimento do currículo (KC)
40
refinar a noção de PCK adoptando uma abordagem directamente relacionada com a prática.
Um aspecto importante para que Ball, Thames e Phelps (2008) chamam a atenção é para a fragilidade das linhas que separam os diferentes domínios que consideram e, em particular, o conhecimento comum do conteúdo (CCK), o conhecimento especializado do conteúdo (SCK), o conhecimento do conteúdo e dos alunos (KCS) e o conhecimento do conteúdo e do ensino (KCT). Por exemplo, identificar uma resposta errada é conhecimento comum do conteúdo (CCK), mas identificar a natureza do erro já pode ser conhecimento especializado do conteúdo (SCK) ou conhecimento do conteúdo e dos alunos (KCS), conforme o professor recorre mais ao seu conhecimento matemático e à sua capacidade de realizar uma análise matemática ou se apoia mais na experiência que tem com os alunos e na familiaridade com os erros que estes cometem com mais frequência. Por outro lado, a decisão quanto a como proceder para ultrapassar o erro pode requerer conhecimento do conteúdo e do ensino (KCT).
Ball, Thames e Phelps (2008) enfatizam ainda a quantidade de tarefas realizadas pelos professores no decorrer do processo de ensino que requerem conhecimento matemático específico do professor, mas que não requerem conhecimento relativo aos alunos ou ao ensino. São tarefas como as constantes do quadro 2.1, que exigem conhecimento de como o conhecimento é gerado e estruturado no seio da disciplina, entre outros aspectos, e isto é um conhecimento que entendem não ser ensinado aos professores no decurso da sua formação. O que os autores já não abordam é como é que os professores desenvolvem um conhecimento que não é alvo de atenção na sua formação sem que a experiência e, consequentemente, o seu conhecimento dos alunos e do ensino tenham uma forte influência sobre este. Ruthven (2011, p. 84) levanta a questão da independência do conhecimento especializado do conteúdo (SCK) relativamente ao PCK, afirmando que as tarefas realizadas pelo professor, onde este mobiliza o seu conhecimento especializado do conteúdo (SCK), também requerem “um envolvimento potencial de aspectos do PCK”.
41 Quadro 2.1
Tarefas matemáticas (Ball, Thames, & Phelps, 2008, p. 398)
Apresentar ideias matemáticas Responder aos “porquês” dos alunos
Encontrar um exemplo para focar uma questão matemática específica Reconhecer o que está envolvido ao usar determinada representação Relacionar as representações com as ideias subjacentes e com outras representações
Relacionar um tópico em estudo com outros de anos anteriores ou futuros
Explicar os objectivos e as intenções da Matemática aos pais Avaliar e adaptar os conteúdos do manual
Modificar as tarefas para as tornar mais fáceis ou difíceis
Avaliar a plausibilidade das afirmações dos alunos (geralmente com rapidez)
Dar ou avaliar justificações matemáticas Escolher definições úteis
Usar linguagem e notação matemática e criticar o seu uso Colocar questões matemáticas relevantes
Escolher representações adequadas para propósitos específicos Analisar equivalências
De acordo com Petrou e Goulding (2011), este modelo aprofunda a distinção entre a noção de conhecimento do conteúdo e de conhecimento pedagógico do conteúdo desenvolvida por Shulman, inclui o conhecimento do conteúdo e dos alunos (KCS) e o conhecimento do conteúdo e do ensino (KCT) como aspectos importantes do PCK e desenvolve a caracterização de Shulman relativamente ao conhecimento do conteúdo. Os autores criticam, no entanto, que não tenha em conta as crenças dos professores e o impacto que estas podem ter sobre a forma como as situações matemáticas são abordadas. E defendem a importância de se atender às crenças dos professores, referindo a forma como a convicção de que a Matemática é fundamentalmente um conjunto de regras e procedimentos que têm que ser memorizados, pode interferir com o processo de
42
ensino. E salientam ainda o impacto das crenças sobre o desenvolvimento do conhecimento sintáctico da Matemática, onde conjecturar, encontrar evidência ou procurar é muito diferente de encontrar regras ou rotinas em contextos familiares. Criticam também a semelhança entre a forma como Ball, Thames e Phelps (2008) consideram o conhecimento específico do conteúdo (SCK), o conhecimento matemático usado nas aulas e necessário para que o professor seja eficiente, e o PCK de Shulman (1986), uma amalgama especial de conteúdo e pedagogia que é específica dos professores, constituindo a sua forma especial de compreensão profissional.
Uma outra questão tem a ver com o conhecimento do horizonte matemático (HCK) e a sua integração como um domínio do conhecimento do conteúdo. Ruthven (2011) considera que este domínio foi proposto de um modo algo hesitante e pouco confiante e que o respectivo conhecimento está mais relacionado com o currículo do que propriamente com o conteúdo. Fernández, Figueiras, Deulofeu e Martínez (2011) dão também atenção a este domínio, no entanto questionam essa relação com o currículo, encarando-o mais como um conhecimento da evolução da Matemática. Carrillo (2011) questiona igualmente este domínio, assim como o relativo ao conhecimento do currículo (KC), apontando a necessidade de ambos serem desenvolvidos com maior precisão e profundidade. Esta é, aliás, uma crítica reconhecida por Ball, Thames e Phelps (2008), que encaram o modelo como um trabalho ainda em curso, referindo não ter ainda concluído se o conhecimento do currículo (KC) deve ser uma categoria do conhecimento do conteúdo e do ensino (KCT), ou se deve abranger os diversos domínios do conhecimento, ou se deve antes ser um domínio independente. E os autores fazem uma apreciação similar relativamente ao conhecimento do horizonte matemático (HCK), afirmando tê-lo incluído provisoriamente no âmbito do conhecimento do conteúdo, mas não estarem ainda convictos relativamente à integração deste domínio no seio do conhecimento do conteúdo, mantendo em aberto a possibilidade de este dever abranger todos os domínios. Fernández et al. (2011) defendem uma posição intermédia entre estas duas, considerando que o conhecimento do horizonte matemático (HCK) não constitui uma componente, mas antes um conhecimento que se revela na prática e, portanto, influencia todos
43
os domínios directamente ligados à acção, ou seja, o conhecimento específico do conteúdo (SCK), o conhecimento do conteúdo e do ensino (KCT) e o conhecimento do conteúdo e dos alunos (KCS). Na sua opinião, o conhecimento do horizonte matemático (HKC) tem uma natureza diferente dos demais e não será possível observá-lo na prática na ausência do conhecimento específico do conteúdo (SCK), do conhecimento do conteúdo e do ensino (KCT) ou do conhecimento do conteúdo e dos alunos (KCS). Muito recentemente, também Jacobsen, Thames, Ribeiro e Delaney (2012) procuraram caracterizar melhor o conhecimento do horizonte matemático (HKC). Definem-no então como uma
orientação para e uma familiaridade com a disciplina que contribui para o ensino
do conteúdo escolar, permitindo aos professores uma noção de como o conteúdo se insere e se relaciona no seio da disciplina, incluindo conhecimento da estrutura da disciplina e das formas de construção do saber e possibilitando a tomada de decisões relativamente à importância das ideias e questões dos alunos, perspectivando a disciplina de forma integrada para permitir o acesso do aluno a uma vasta área do saber.
O grande contributo reconhecido ao trabalho de Ball, Thames e Phelps (2008) parece centrar-se no progresso feito na identificação de uma relação entre o conhecimento do professor e o nível de conhecimento alcançado pelos alunos e, muito em particular, nos progressos feitos para medir o conhecimento dos professores (Petrou & Goulding, 2011). Mas este modelo tem também servido de base a outros desenvolvimentos. É o caso de Tirosh, Tsamir e Levenson (2011) que se apoiam na teoria de conceito imagem – conceito definição de Tall e Vinner (1981) e a combinam com este modelo do conhecimento. A partir daqui definem duas categorias para cada domínio do modelo do conhecimento, uma centrada na imagem e outra na definição, a partir das quais afirmam conseguir uma perspectiva mais focada para estudar o conhecimento matemático para ensinar dos professores. A limitação óbvia desta abordagem é o facto de requerer conceito imagem e conceito definição para cada noção matemática.
44
O quarteto do conhecimento
A convicção que o PCK é particularmente difícil de definir e caracterizar, conceptualizando tanto a ligação como a distinção entre o saber algo para si próprio e o ser capaz de fazer com que outros saibam algo, em articulação com a ideia que definir o que um professor deve saber é em certo sentido uma futilidade, levaram Rowland, Huckstep e Thwaites (2005) a abordar o conhecimento do professor de uma forma um pouco diferente. O Quarteto do Conhecimento – KQ (Knowledge Quartet) surge no decorrer de uma investigação que pretendia desenvolver um quadro conceptual de base empírica, adequado para a análise e discussão de aulas e com um foco no conhecimento matemático e no conhecimento pedagógico do conteúdo. É assim uma conceptualização com raízes no trabalho de Shulman (1986) e nos desenvolvimentos subsequentes, mas com uma forte valorização da prática e uma orientação relativamente diferente. A intenção não é prescrever os conhecimentos que um professor deve ter ou caracterizar os domínios desse conhecimento, muito pelo contrário, o objectivo é a concepção de um meio que permita a reflexão sobre o ensino e o conhecimento do professor, tendo em vista o seu desenvolvimento. O quarteto do conhecimento (KQ) é então “desenvolvido para identificar, descrever e analisar o conhecimento do conteúdo matemático revelado no ensino, com a intenção de disponibilizar um quadro teórico adequado para a reflexão e discussão de aulas” (Turner & Rowland, 2011, p. 202). E a reflexão é aqui encarada como a base do desenvolvimento profissional, englobando a reflexão na acção e sobre a acção, numa clara influência de Schön (1983). O desejo de desenvolver uma ferramenta útil, leva então os autores a considerar a necessidade de apreender um conjunto de ideias e factores relativos ao conhecimento matemático em relação com o ensino, num pequeno número de categorias conceptuais, com algumas designações adequadas que facilitem a sua compreensão e posterior utilização.
A partir da análise de um conjunto de 24 aulas de seis professores em formação, Rowland, Huckstep e Thwaites (2005) identificaram 18 tipos de situações diferentes a que atribuíram um código (numa revisão posterior do modelo foram acrescentadas mais duas situações e os correspondentes códigos
45
(Rowland, Jared, & Thwaites, 2011)). Estas foram posteriormente organizadas em categorias, as quatro categorias do quarteto do conhecimento: fundação, transformação, conexão e contingência.
A primeira componente do quarteto encontra-se enraizada na fundação do conhecimento teórico do professor e das suas crenças. Engloba assim o conhecimento adquirido pelo professor durante a sua formação, na escola e na universidade. Difere das restantes três componentes no sentido em que se foca no conhecimento detido pelo professor independentemente deste ser ou não mobilizado na acção. Os principais elementos desta componente são o conhecimento e a compreensão da Matemática per se, o conhecimento de aspectos significativos da literatura e ideias decorrentes de um questionamento sistemático relativamente ao ensino e aprendizagem, e crenças sobre a Matemática, incluindo sobre as razões e a forma como esta deve ser aprendida.
Esta componente tem bastantes semelhanças com a componente a que Shulman (1987) chama compreensão, no seu modelo do raciocínio e acção pedagógica. Este é um modelo com seis fases (compreensão; transformação: preparação, representação, selecção, adaptação e adequação às características dos alunos; instrução; avaliação; reflexão e nova compreensão) onde são caracterizadas as diferentes etapas de um ciclo correspondente à acção do professor e que começa e termina na compreensão. Uma semelhança que é de resto também reconhecida por Turner e Rowland (2011).
As restantes três componentes do quarteto respeitam a formas e contextos em que o conhecimento é envolvido, seja na preparação ou na implementação do processo de ensino. Trata-se assim de um conhecimento em acção. A segunda componente, transformação, é influenciada pela ideia de que o professor transforma o seu conhecimento matemático de forma a torná-lo compreensível aos alunos. Uma ideia que de algum modo é partilhada tanto por Shulman (1987) como por Ball et al. (2005) e que se encontra igualmente aqui presente. Esta componente engloba então o comportamento adoptado pelo professor na sequência de uma análise e tomada de decisões apoiada no conhecimento fundação. É o caso do uso de exemplos para apoiar a formação de conceitos, para demonstrar procedimentos e da selecção de exercícios para colocar aos alunos.
46
A terceira componente, conexão, agrega as decisões e escolhas que são feitas para partes específicas do conteúdo matemático, como a aprendizagem de um conceito ou procedimento. Respeita à coerência da planificação ou do ensino, o que inclui a forma como é concebida a sequência dos conteúdos a ensinar, incluindo a ordenação das tarefas. Reflecte assim decisões que se apoiam não só no conhecimento de conexões estruturais no seio da Matemática, mas também numa noção da exigência cognitiva de diferentes tópicos e tarefas.
A última componente, contingência, refere-se à reacção do professor perante os acontecimentos da aula que não antecipou. A resposta às questões dos alunos é um dos aspectos que os autores consideram mais difíceis, em especial para professores inexperientes, e que é em muito determinado pelo conjunto de conhecimento a que o professor pode recorrer.
O quadro 2.2 sintetiza as principais características das quatro componentes do quarteto do conhecimento (KQ) e dos respectivos códigos que estiveram na origem de cada um deles, tal como elaborado pelos seus autores.
Quadro 2.2
Quarteto do Conhecimento (Rowland, Huckstep, & Thwaites, 2005, pp. 265-266; Rowland, Jared, & Thwaites, 2011, pp. 2827-2837)
Quarteto do Conhecimento
Fundação Conhecimento proposicional e crenças relativamente: - aos significados e descrições dos conceitos matemáticos
relevantes e das relações entre estes;
- aos múltiplos factores que a investigação mostrou serem significativos no ensino e na aprendizagem da matemática;
- ao estatuto ontológico da Matemática e aos objectivos de a ensinar.
Códigos: consciência dos objectivos, adesão ao manual, foco nos procedimentos, identificação de erros, apresentação directa dos conhecimentos, fundamentação teórica da pedagogia, utilização de terminologia matemática.
Transformação Conhecimento na acção tal como revelado na deliberação e escolha ao planificar e ensinar. Os significados e descrições
47
próprios do professor são transformados e apresentados de formas concebidas para permitir que os alunos as aprendam. Estas formas incluem a utilização de poderosas analogias, ilustrações, explicações e demonstrações. A escolha de exemplos efectuada pelo professor é especialmente visível:
- para uma aquisição optimizada dos conceitos matemáticos, procedimentos ou vocabulário essencial; - para confrontar e resolver concepções erradas comuns; - para a justificação (por exemplificação genérica) ou
refutação (por contra-exemplo) de conjecturas matemáticas.
Códigos: escolha de exemplos, escolha de representação, uso de materiais, demonstração pelo professor (para explicar um procedimento).
Conexão Conhecimento na acção tal como revelado nas deliberações e nas escolhas realizadas no decorrer do processo de planificação e de ensino. No decorrer de uma aula ou ao longo de uma série de aulas, o professor unifica o tema e estabelece coerência relativamente:
- a conexões entre diferentes significados e descrições de conceitos específicos ou entre formas alternativas de