PROBLEMA: Desenhe um análogo em paralelo para o sistema mecânico da Figura 2.17(a).
admitâncias elétricas. As admitâncias associadas a M1 formam os elementos conectados ao primeiro nó, onde as admitâncias mecânicas entre as duas massas são comuns aos dois nós. As admitâncias mecânicas associadas a M2 formam os elementos conectados ao segundo nó. O resultado é mostrado na Figura 2.44, em que v1(t) e v2(t) são as velocidades de M1 e M2, respectivamente.
FIGURA 2.44 Análogo em paralelo do sistema mecânico da Figura 2.17(a).
Exercício 2.12
PROBLEMA: Desenhe um análogo em série e um análogo em paralelo para o sistema mecânico rotacional da Figura 2.22.
RESPOSTA: A solução completa está no site da LTC Editora.
2.10 Não Linearidades
Os modelos até agora foram desenvolvidos a partir de sistemas que podem ser descritos aproximadamente por equações diferenciais lineares e invariantes no tempo. Uma hipótese de linearidade estava implícita no desenvolvimento desses modelos. Nesta seção, definimos formalmente os termos linear e não linear, e mostramos como fazer a distinção entre eles. Na Seção 2.11 mostramos como aproximar um sistema não linear por um sistema linear, de modo que possamos utilizar as técnicas de modelagem apresentadas anteriormente neste capítulo (Hsu, 1968).
FIGURA 2.45 a. Sistema linear; b. sistema não linear.
Um sistema linear possui duas propriedades: superposição e homogeneidade. A propriedade de superposição significa que a resposta de saída de um sistema à soma de entradas é a soma das
respostas às entradas individuais. Assim, se uma entrada r1(t) produz uma saída c1(t), e uma entrada r2(t) produz uma saída c2(t), então, uma entrada r1(t) + r2(t) produz uma saída c1(t) + c2(t). A propriedade de homogeneidade descreve a resposta do sistema para uma multiplicação da entrada por um escalar. Especificamente, em um sistema linear, a propriedade de homogeneidade é demonstrada se, para uma entrada r1(t) que produz uma saída c1(t), uma entrada Ar1(t) produz uma saída Ac1(t); isto é, a multiplicação de uma entrada por um escalar produz uma resposta que é multiplicada pelo mesmo escalar.
Podemos visualizar a linearidade como mostrado na Figura 2.45. A Figura 2.45(a) é um sistema linear cuja saída é sempre da entrada, ou f(x) = 0,5x, independentemente do valor de x. Assim, cada uma das duas propriedades dos sistemas lineares se aplica. Por exemplo, uma entrada de valor 1 produz uma saída de , e uma entrada de 2 produz uma saída de 1. Utilizando a superposição, uma entrada que é a soma das duas entradas originais, isto é 3, deve produzir uma saída que é a soma das saídas individuais, isto é 1,5. Pela Figura 2.45(a) uma entrada de 3 realmente produz uma saída de 1,5.
Para testar a propriedade de homogeneidade, admita uma entrada de 2, a qual produz uma saída de 1. A multiplicação dessa entrada por 2 deveria produzir uma saída duas vezes maior, isto é 2. Pela Figura 2.45(a) uma entrada de 4 produz realmente uma saída de 2. O leitor pode verificar que as propriedades da linearidade certamente não se aplicam à relação mostrada na
Figura 2.45(b).
A Figura 2.46 mostra alguns exemplos de não linearidades físicas. Um amplificador eletrônico é linear sobre uma faixa específica de valores, porém apresenta a não linearidade denominada
saturação para tensões de entrada elevadas. Um motor que não responde a tensões de entrada
muito baixas, devido às forças de atrito, apresenta uma não linearidade denominada zona morta. Engrenagens que não se ajustam firmemente apresentam uma não linearidade denominada folga: a entrada se move sobre uma pequena faixa sem que a saída responda. O leitor pode verificar que as curvas mostradas na Figura 2.46 não atendem às definições de linearidade ao longo de toda a faixa de valores. Outro exemplo de subsistema não linear é um detector de fase, utilizado em uma malha de captura de fase (phase-locked loop) em um receptor de rádio FM, cuja resposta de saída é o seno do sinal de entrada.
Um projetista pode frequentemente fazer uma aproximação linear de um sistema não linear. As aproximações lineares simplificam a análise e o projeto de um sistema, e são utilizadas desde que os resultados forneçam uma boa aproximação da realidade. Por exemplo, uma relação linear pode ser estabelecida em um ponto da curva não linear se a faixa de variação dos valores de entrada em torno desse ponto for pequena e se a origem for transladada para esse ponto. Os amplificadores eletrônicos são um exemplo de dispositivos físicos que realizam uma amplificação linear com pequenas excursões em torno de um ponto.
2.11 Linearização
Os sistemas elétricos e mecânicos cobertos até agora foram admitidos como lineares. Entretanto, caso algum componente não linear esteja presente, devemos linearizar o sistema antes que possamos determinar a função de transferência. Na última seção definimos e discutimos não linearidades; nesta seção mostramos como obter as aproximações lineares de sistemas não lineares com a finalidade de determinar funções de transferência.
linear. Quando linearizamos uma equação diferencial não linear, nós a linearizamos para pequenas variações do sinal de entrada em torno da solução em regime permanente quando a variação do sinal de entrada é igual a zero. Esta solução em regime permanente é chamada de equilíbrio, e é escolhida como o segundo passo do processo de linearização. Por exemplo, quando um pêndulo está em repouso, ele está em equilíbrio. O deslocamento angular é descrito por uma equação diferencial não linear, porém ele pode ser expresso por uma equação diferencial linear para pequenas variações em torno deste ponto de equilíbrio.
FIGURA 2.46 Algumas não linearidades físicas.
FIGURA 2.47 Linearização em torno do ponto A.
Em seguida, linearizamos a equação diferencial não linear e então aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial linearizada, admitindo condições iniciais nulas. Finalmente, separamos as variáveis de entrada e de saída e formamos a função de transferência. Vamos primeiro ver como linearizar uma função; depois aplicaremos o método na linearização de uma equação diferencial.
Caso admitamos um sistema não linear operando em um ponto A, [x0, f(x0)] na Figura 2.47, pequenas variações na entrada podem ser relacionadas às variações na saída em torno do ponto através da inclinação da curva neste ponto A. Assim, se a inclinação da curva no ponto A é ma,
então pequenas variações da entrada em torno do ponto A, δx, produzem pequenas variações na saída, δf(x), relacionadas pela inclinação no ponto A. Assim,
de que
e
Esta relação é mostrada graficamente na Figura 2.47, em que um novo conjunto de eixos, δx e δf(x), é criado com a origem no ponto A, e f(x) é aproximadamente igual a f(x0), a ordenada da nova origem, somada a pequenas excursões, ma δx, a partir do ponto A. Vamos ver um exemplo.