FIGURA 2.51 Modelo cilíndrico de uma perna humana.
Neste estudo de caso determinamos a função de transferência de um sistema biológico. O sistema é uma perna humana, que gira em torno da articulação do quadril. Neste problema, a componente do peso é não linear, de modo que o sistema requer uma linearização antes da determinação da função de transferência.
PROBLEMA: A função de transferência de uma perna humana relaciona o deslocamento angular de saída em torno da articulação do quadril ao torque de entrada fornecido pelos músculos da perna. Um modelo simplificado para a perna é mostrado na Figura 2.51. O modelo admite um torque muscular aplicado, Tm(t), e um amortecimento viscoso, D, na articulação do quadril e uma inércia, J, em torno dela.15 Além disso, uma componente do peso da perna, Mg, em que M é a
massa da perna e g é a aceleração da gravidade, cria um torque não linear. Se admitirmos que a perna tenha densidade uniforme, o peso pode ser aplicado em L/2, em que L é o comprimento da perna (Milsum, 1966). Faça o seguinte:
Calcule o torque não linear.
Determine a função de transferência, θ(s)/Tm(s), para pequenos ângulos de rotação, em que θ(s) é o deslocamento angular da perna em torno da articulação no quadril.
FIGURA 2.52 Diagrama de corpo livre do modelo da perna.
SOLUÇÃO: Primeiro, calcule o torque devido ao peso. O peso total da perna é Mg atuando verticalmente. A componente do peso na direção da rotação é Mg sen θ. Esta força é aplicada a uma distância L/2 da articulação do quadril. Assim, o torque na direção da rotação, TP(t), é Mg(L/2) sen θ. Em seguida, desenhe um diagrama de corpo livre da perna, mostrando o torque aplicado, Tm(t), o torque devido ao peso, TP(t), e os torques contrários decorrentes da inércia e do amortecimento viscoso (ver a Figura 2.52).
Linearizamos o sistema em torno do ponto de equilíbrio, θ = 0, a posição vertical da perna. Utilizando a Eq. (2.182), obtemos
da qual, sen θ = δθ. Além disso, J d2θ/dt2 = J d2θ/dt2 e D dθ/dt = D dθ/dt. Assim, a Eq. (2.209) fica
Observe que o torque devido ao peso se aproxima do torque de uma mola sobre a perna. Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas resulta
a partir do que a função de transferência é
para pequenas variações em torno do ponto de equilíbrio, θ = 0.
DESAFIO: Agora apresentamos um desafio de estudo de caso para testar seu conhecimento sobre os objetivos deste capítulo. Embora o sistema físico seja diferente de uma perna humana, o problema utiliza os mesmos princípios: linearização seguida pela determinação da função de transferência.
Dado o circuito elétrico não linear mostrado na Figura 2.53, determine a função de transferência que relaciona a saída que é a tensão do resistor não linear, Vr(s), à entrada, que é a tensão da fonte, V(s).
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1.
Resumo
Neste capítulo, discutimos como determinar um modelo matemático, chamado de função de
transferência, para sistemas elétricos, mecânicos e eletromecânicos lineares e invariantes com o
tempo. A função de transferência é definida como G(s) = C(s)/R(s), ou a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada. Esta relação é algébrica e também se adapta à modelagem de subsistemas interconectados.
Temos consciência de que o mundo físico consiste em mais sistemas do que os que ilustramos neste capítulo. Por exemplo, poderíamos aplicar a modelagem em função de transferência aos sistemas hidráulicos, pneumáticos, térmicos e, até mesmo, econômicos. Naturalmente, devemos admitir que esses sistemas sejam lineares ou fazer aproximações lineares, para utilizarmos esta técnica de modelagem.
Agora que nós temos a função de transferência, podemos avaliar sua resposta para uma entrada específica. A resposta do sistema será coberta no Capítulo 4. Para aqueles interessados na abordagem de espaço de estados, continuamos nossa discussão sobre modelagem no Capítulo 3, no qual utilizamos o domínio do tempo em vez do domínio da frequência.
Questões de Revisão
Que modelo matemático permite a fácil interconexão de sistemas físicos? A que classe de sistemas a função de transferência pode ser melhor aplicada?
Que transformação muda a solução de equações diferenciais em manipulações algébricas? Defina a função de transferência.
Qual hipótese é feita em relação às condições iniciais quando lidamos com funções de transferência?
Como chamamos as equações mecânicas escritas para se determinar a função de transferência?
Caso compreendamos a forma que as equações mecânicas tomam, que passo evitamos na determinação da função de transferência?
Por que as funções de transferência para sistemas mecânicos parecem idênticas às funções de transferência para circuitos elétricos?
Que função as engrenagens desempenham?
Quais são as partes componentes das constantes mecânicas da função de transferência de um motor?
A função de transferência de um motor relaciona o deslocamento da armadura à tensão da armadura. Como a função de transferência que relaciona o deslocamento da carga à tensão da armadura pode ser determinada?
Resuma os passos executados para linearizar um sistema não linear.
Problemas
a. b. c. d. 2. a. b. c. 3. 4. 5. a. b. 6. 7. 8. u(t) tu(t) sen ωt u(t) cos ωt u(t)
Utilizando os pares da transformada de Laplace da Tabela 2.1 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 2.2, deduza as transformadas de Laplace para as seguintes funções do tempo: [Seção: 2.2] e– at sen ωt u(t) e– at cos ωt u(t) t3 u(t)
Repita o Problema 18 do Capítulo 1, utilizando transformadas de Laplace. Admita que as funções forçantes sejam nulas antes de t = 0−. [Seção: 2.2]
Repita o Problema 19 do Capítulo 1, utilizando transformadas de Laplace. Utilize as seguintes condições iniciais para cada item: (a) x(0) = 4, x′(0) = −4; (b) x(0) = 4, x′(0) = 1; (c) x(0) = 2, x′(0) = 3, em que x′(0) = Admita que as funções forçantes sejam nulas antes de t = 0−. [Seção: 2.2]
Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções do tempo: [Seção: 2.2]
f(t) = 8t2cos(3t + 45°) f(t) = 3te−2tsen(4t + 60°)
Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para obter a transformada inversa de Laplace das seguintes funções no domínio da frequência: [Seção: 2.2]
Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial: Determine a expressão para a função de transferência do sistema, Y(s)/X(s). [Seção: 2.3]
Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva equação diferencial correspondente. [Seção: 2.3]
9. 10. 11. 12. a. b. 13.
Escreva a equação diferencial para o sistema mostrado na Figura P2.1. [Seção: 2.3]
FIGURA P2.1
Escreva a equação diferencial que é matematicamente equivalente ao diagrama de blocos mostrado na Figura P2.2. Admita que r(t) = 3t3. [Seção: 2.3]
FIGURA P2.2
Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial: [Seção: 2.3]
com as condições iniciais x(0) = 1 e (0) = −1. Mostre um diagrama de blocos do sistema, dando sua função de transferência e todas as entradas e saídas pertinentes. (Sugestão: as condições iniciais aparecerão como entradas adicionais para um sistema efetivo com condições iniciais nulas.)
Utilize o MATLAB para gerar a função de transferência [Seção:
2.3] das seguintes
maneiras:
pela razão de fatores; pela razão de polinômios.
Repita o Problema 12 para a seguinte função de transferência: [Seção: 2.3]
14.
15.
16.
17.
18.
Utilize o MATLAB para gerar a expansão em frações parciais da seguinte função: [Seção: 2.3]
Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para entrar e construir objetos LTI na forma polinomial e fatorada para as seguintes funções no domínio da frequência: [Seção: 2.3]
Determine a função de transferência, G(s) = Vs(s)/Ve(s), para cada circuito mostrado na
Figura P2.3. [Seção: 2.4]
FIGURA P2.3
Determine a função de transferência, G(s) = VL(s)/V(s), para cada circuito mostrado na
Figura P2.4. [Seção: 2.4]
FIGURA P2.4
Determine a função de transferência, G(s) = Vs(s)/Ve(s), para cada circuito mostrado na
19. 20. a.
b.
21.
FIGURA P2.5
Repita o Problema 18 utilizando equações nodais. [Seção: 2.4]
Escreva, mas não resolva, as equações das malhas e dos nós para o circuito mostrado na
Figura P2.6. [Seção: 2.4]
Utilize o MATLAB, a Symbolic Math Toolbox e as equações
obtidas no item a para determinar a função de
transferência, G(s) = Vs(s)/V(s). Utilize ambas, as equações das malhas e dos nós, e mostre que os dois conjuntos levam à mesma função de transferência. [Seção: 2.4]
FIGURA P2.6
Determine a função de transferência, G(s) = Vs(s)/Ve(s), para cada circuito com amplificador
22.
23.
FIGURA P2.7
Determine a função de transferência, G(s) = Vs(s)/Ve(s), para cada circuito com amplificador
operacional mostrado na Figura P2.8. [Seção: 2.4]
FIGURA P2.8
Determine a função de transferência, G(s) = X1(s)/F(s), para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P2.9. [Seção: 2.5]
24.
25.
26.
27.
FIGURA P2.9
Determine a função de transferência, G(s) = X2(s)/F(s), para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P2.10. [Seção: 2.5]
FIGURA P2.10
Determine a função de transferência, G(s) = X2(s)/F(s), para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P2.11. (Sugestão: coloque uma massa nula em x2(t).) [Seção: 2.5]
FIGURA P2.11
Para o sistema da Figura P2.12, determine a função de transferência, G(s) = X1(s)/F(s). [Seção: 2.5]
FIGURA P2.12
Determine a função de transferência, G(s) = X3(s)/F(s), para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P2.13. [Seção: 2.5]
28.
29.
FIGURA P2.13
Determine a função de transferência, X3(s)/F(s), para cada sistema mostrado na Figura P2.14. [Seção: 2.5]
FIGURA P2.14
Escreva, mas não resolva, as equações de movimento para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P2.15. [Seção: 2.5]
30.
31.
32.
33.
FIGURA P2.15
Para cada um dos sistemas mecânicos rotacionais mostrados na Figura P2.16, escreva, mas não resolva, as equações de movimento. [Seção: 2.6]
FIGURA P2.16
Para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P2.17, determine a função de transferência, G(s) = θ2(s)/T(s). [Seção: 2.6]
FIGURA P2.17
Para o sistema mecânico rotacional com engrenagens mostrado na Figura P2.18, determine a função de transferência, G(s) = θ3(s)/T(s). As engrenagens possuem inércia e atrito conforme indicado. [Seção: 2.7]
FIGURA P2.18
Para o sistema rotacional mostrado na Figura P2.19, determine a função de transferência,
34.
35.
36.
FIGURA P2.19
Determine a função de transferência, G(s) = θ2(s)/T(s), para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P2.20. [Seção: 2.7]
FIGURA P2.20
Determine a função de transferência, G(s) = θ4(s)/T(s), para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P2.21. [Seção: 2.7]
FIGURA P2.21
Para o sistema rotacional mostrado na Figura P2.22, determine a função de transferência,
37.
38.
39.
40.
FIGURA P2.22
Para o sistema rotacional mostrado na Figura P2.23, escreva as equações de movimento a partir das quais a função de transferência, G(s) = θ1(s)/T(s), pode ser obtida. [Seção: 2.7]
FIGURA P2.23
Dado o sistema rotacional mostrado na Figura P2.24, determine a função de transferência,
G(s) = θ6(s)/θ1(s). [Seção: 2.7]
FIGURA P2.24
No sistema mostrado na Figura P2.25, a inércia J de raio r está limitada a mover-se apenas girando em torno do eixo estacionário A. Existe uma força de amortecimento viscoso
FIGURA P2.25
de valor translacional fv entre os corpos J e M. Caso uma força externa, f(t), seja aplicada à
massa, determine a função de transferência, G(s) = θ(s)/F(s). [Seções: 2.5; 2.6]
41.
42.
função de transferência, G(s) = X(s)/T(s). [Seções: 2.5; 2.6; 2,7]
FIGURA P2.26
Dado o sistema translacional e rotacional combinado mostrado na Figura P2.27, determine a função de transferência, G(s) = X(s)/T(s). [Seções: 2.5; 2.6]
FIGURA P2.27
Para o motor, a carga e a curva torque-velocidade mostrados na Figura P2.28, determine a função de transferência, G(s) = θC(s)/Ea(s). [Seção: 2.8]
43.
44.
45.
46.
FIGURA P2.28
O motor cujas características torque-velocidade são mostradas na Figura P2.29 aciona a carga mostrada no diagrama. Algumas das engrenagens possuem inércia. Determine a função de transferência, G(s) = θ2(s)/Ea(s). [Seção: 2.8]
FIGURA P2.29
Um motor cc desenvolve 50 N·m de torque a uma velocidade de 600 rad/s quando 12 volts são aplicados. Ele para com esta tensão com 100 N·m de torque. Se a inércia e o amortecimento da armadura são de 7 kg·m2 e 3 N·m·s/rad, respectivamente, determine a função de transferência, G(s) = θC(s)/Ea(s), desse motor caso ele acione uma carga de inércia
105 kg·m2 através de um trem de engrenagens, como mostrado na Figura P2.30. [Seção: 2.8]
FIGURA P2.30
Neste capítulo, deduzimos a função de transferência de um motor cc relacionando a saída de deslocamento angular com a entrada de tensão da armadura. Frequentemente desejamos controlar o torque de saída ao invés do deslocamento. Deduza a função de transferência do motor que relaciona o torque de saída à tensão de entrada da armadura. [Seção: 2.8]
Determine a função de transferência, G(s) = X(s)/Ea(s), para o sistema mostrado na Figura
47. 48. 49. 50. a. b. 51. 52. FIGURA P2.31
Determine os análogos em série e em paralelo para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 2.20 do texto. [Seção: 2.9]
Determine os análogos em série e em paralelo para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P2.16(b) dos problemas. [Seção: 2.9]
A saída de um sistema, c, está relacionada com a entrada, r, pela relação em reta, c = 5r + 7. O sistema é linear? [Seção: 2.10]
Considere a equação diferencial
em que f(x) é a entrada e é uma função da saída, x. Se f(x) = sen x, linearize a equação diferencial para pequenas variações. [Seção: 2.10]
x = 0 x = π
Considere a equação diferencial
em que f(x) é a entrada e é uma função da saída, x. Se f(x) = e−x, linearize a equação diferencial para x próximo de 0. [Seção: 2.10]
Muitos sistemas são lineares por partes. Isto é, para uma grande faixa de valores das variáveis o sistema pode ser descrito linearmente. Um sistema com saturação de amplificador é um exemplo desse tipo. Dada a equação diferencial
a. b. c.
53.
54.
admita que f(x) é como mostrado na Figura P2.32. Escreva a equação diferencial para cada uma das seguintes faixas de variação de x: [Seção: 2.10]
−∞ < x < −3 −3 < x < 3 3 < x < ∞
FIGURA P2.32
Para o sistema mecânico translacional com uma mola não linear mostrado na Figura P2.33, determine a função de transferência, G(s) = X(s)/F(s), para pequenas variações em torno de
f(t) = 1. A mola é definida por xm(t) = 1 em que xm(t) é a deformação da mola e fm(t) é
a força da mola. [Seção: 2.10]
FIGURA P2.33
Considere o dispensador de pratos de restaurante mostrado na Figura P2.34, que consiste em uma pilha vertical de pratos suportada por uma mola comprimida. À medida que cada prato é removido, o peso reduzido no dispensador faz com que os pratos restantes subam. Admita que a massa do sistema menos o prato de cima seja M, que o atrito viscoso entre o êmbolo e as laterais do cilindro seja fv, que a constante de mola seja K e que o peso de um único prato
seja PP. Determine a função de transferência, Y(s)/F(s), em que F(s) é a redução em degrau
na força sentida quando o prato de cima é removido e Y(s) é o deslocamento vertical do dispensador para cima.
55.
56.
FIGURA P2.34 Dispensador de pratos.
Cada ouvido interno de um ser humano possui um conjunto de três canais semicirculares, aproximadamente perpendiculares, com diâmetro de cerca de 0,28 mm preenchidos com um fluido. Transdutores de células capilares que se curvam com os movimentos da cabeça e cujo objetivo principal é trabalhar como sensores de atitude, bem como nos auxiliar a manter nosso senso de direção e equilíbrio, são ligados a esses canais. Quando as células capilares se movem elas curvam uma aba à prova d’água chamada cúpula. Foi mostrado que os movimentos da cabeça e da cúpula estão relacionados pela seguinte equação (Milsum,
1966):
em que
J = momento de inércia do fluido no interior do tubo fino (constante) b = torque por unidade de velocidade angular relativa (constante) k = torque por unidade de deslocamento angular relativo (constante) a = constante
(t) = deflexão angular da cúpula (saída) = aceleração angular da cabeça (entrada)
Determine a função de transferência
O diabetes é uma doença que aumentou para proporções epidêmicas, afetando cerca de 3% de toda a população mundial em 2003. Um modelo em equação diferencial que descreve o tamanho da população total de diabéticos é
a. b. 57.
a. b.
com as condições iniciais C(0) = C0 e N(0) = N0, e
I(t) = a entrada do sistema: o número de novos casos de diabetes C(t) = número de diabéticos com complicações
N(t) = a saída do sistema: o número total de diabéticos com e sem complicações μ = taxa de mortalidade natural (constante)
λ = probabilidade de desenvolvimento de uma complicação (constante) δ = taxa de mortalidade decorrente de complicações (constante)
v = taxa na qual os pacientes com complicações se tornam gravemente incapacitados (constante) γ = taxa com a qual as complicações são curadas (constante)
Admita os seguintes valores para os parâmetros: v = δ = 0,05/ano, μ = 0,02/ano, γ = 0,08/ano, λ = 0,7, com condições iniciais C0 = 47.000.500 e N0 = 61.100.500. Admita também que a incidência de diabéticos seja constante I(t) = I = 6 × 106 (Boutayeb, 2004). Desenhe um diagrama de blocos do sistema mostrando a saída N(s), a entrada I(s), a função de transferência e as condições iniciais.
Utilize qualquer método para obter a expressão analítica para N(t) para t ≥ 0.
O circuito mostrado na Figura P2.35(a) é excitado com o pulso mostrado na Figura P2.35(b).
FIGURA P2.35
A transformada de Laplace pode ser utilizada para calcular vs(t) de dois modos diferentes: o método “exato” é executado escrevendo-se ven(t) = 3[u(t) − u(t − 0,005)], a partir de onde
utilizamos a transformada de Laplace para obter
(Sugestão: veja o Item 5 da Tabela 2.2, o teorema do deslocamento no tempo.) Na segunda abordagem o pulso é aproximado por uma entrada em impulso que tem a mesma área (energia) da entrada original. Pela Figura P2.35(b): ven(t) ≈ (3 V)(5 ms) δ(t) = 0,015 δ(t).
Neste caso, Ven(s) = 0,015. Esta aproximação pode ser utilizada desde que a largura do pulso
da Figura P2.35(b) seja muito menor que a menor constante de tempo do circuito. (Neste caso, τ = RC = (2Ω)(4 F) = 8 s 5 ms.)
Admitindo que o capacitor esteja inicialmente descarregado, obtenha uma expressão analítica para vs(t) utilizando ambos os métodos.
Represente graficamente os resultados para ambos os métodos utilizando qualquer meio disponível, e compare ambas as saídas. Discuta as diferenças.
58.
a.
b.
59.
Em uma experiência de levitação magnética um objeto metálico é mantido no ar suspenso sob um eletroímã. O deslocamento vertical do objeto pode ser descrito pela seguinte equação diferencial não linear (Galvão, 2003)
em que
m = massa do objeto metálico
g = constante de aceleração da gravidade k = uma constante positiva
H = distância entre o eletroímã e o objeto metálico (sinal de saída) I = corrente no eletroímã (sinal de entrada)
Mostre que o equilíbrio do sistema será atingido quando
Linearize a equação em torno do ponto de equilíbrio encontrado no Item a e mostre que a função de transferência resultante, obtida a partir da equação diferencial linearizada, pode ser expressa como
com a > 0. Sugestão: para realizar a linearização, defina δH = H(t) − H0 e δI = I(t) − I0; substitua na equação ori-ginal. Isso resultará
Agora obtenha uma aproximação em série de Taylor de primeira ordem para o lado direito da equação. Isto é, calcule
A Figura P2.36 mostra um modelo de um quarto de carro comumente utilizado para a análise de sistemas de suspensão. Considera-se que o pneu do carro atue como uma mola sem amortecimento, como mostrado. Os parâmetros do modelo são (Lin, 1997)
60.
FIGURA P2.36 Modelo de um quarto de carro utilizado para projeto de suspensão (© 1997 IEEE).
Mc = massa da carroceria
Mr = massa da roda
Ka = constante de mola da suspensão Kp = constante de mola do pneu
fv = coeficiente de amortecimento da suspensão
r = perturbação da estrada (entrada) xs = deslocamento vertical do carro xr = deslocamento vertical da roda
Obtenha a função de transferência da perturbação da estrada para o deslocamento vertical do carro
As enzimas são grandes proteínas utilizadas pelos sistemas biológicos para aumentar a taxa com a qual ocorrem as reações. Por exemplo, os alimentos geralmente são compostos de grandes moléculas de difícil digestão; as enzimas quebram as grandes moléculas em pequenos nutrientes como parte do processo digestivo. Uma dessas enzimas é a amilase, encontrada na saliva humana. Sabe-se que se você colocar um pedaço de massa crua na boca seu sabor irá mudar de algo que lembra papel para doce à medida que a amilase quebra os carboidratos em açúcares. A quebra enzimática é frequentemente expressa pela seguinte relação:
Nesta expressão, um substrato (S) interage com uma enzima (E) para formar um produto combinado (C) a uma taxa k1. O composto intermediário é reversível e se dissocia a uma taxa
k–1. Simultaneamente, parte do composto é transformada no produto final (P) a uma taxa k2. A cinética que descreve essa reação é conhecida como equações de Michaelis-Menten e consiste em quatro equações diferenciais não lineares. Entretanto, em algumas condições essas equações podem ser simplificadas. Sejam E0 e S0 as concentrações iniciais da enzima e substrato, respectivamente. É geralmente aceito que sob algumas condições energéticas ou
a.
b. 61.
quando a concentração de enzimas é muito alta (E0 S0), a cinética dessa reação seja dada por
em que os termos constantes a seguir são utilizados (Schnell, 2004):
e
Admitindo que as condições iniciais para a reação são S(0) = S0, E(0) = E0 e C(0) = P(0) = 0, obtenha as expressões da transformada de Laplace para S, C e P: {S}, {C} e {P}, respectivamente.
Utilize o teorema do valor final para determinar S(∞), C(∞) e P(∞).
Os seres humanos são capazes de ficar de pé sobre duas pernas devido a um sistema complexo de realimentação que inclui diversas entradas sensoriais – de equilíbrio e visuais em conjunto com atuação muscular. Com a finalidade de conseguir uma melhor compreensão do funcionamento do mecanismo de realimentação de postura, um indivíduo é solicitado a se colocar de pé sobre uma plataforma na qual são fixados sensores na base. Atuadores de vibração são fixados com correias às panturrilhas do indivíduo. Quando os atuadores são estimulados, o indivíduo balança e os movimentos são registrados. Foi levantada a hipótese de que a dinâmica postural humana é análoga à de um carro com uma haste equilibrada na vertical a ele vinculada (pêndulo invertido). Nesse caso, a dinâmica pode ser descrita pelas duas equações seguintes:
em que m é a massa do indivíduo; l é a altura do centro de gravidade do indivíduo; g é a constante gravitacional; J é o momento de inércia equivalente do indivíduo; η, ρ e k são
62. a. b. c. d. 63.
constantes dadas pelo sistema de controle postural do corpo; θ(t) é o ângulo do indivíduo em relação à vertical; Teq(t) é o torque gerado pelos músculos do corpo para manter o equilíbrio
e Tp(t) é a entrada de perturbação de torque externo. Determine a função de transferência (Johansson, 1988).
A Figura P2.37 mostra um guindaste içando uma carga. Embora o modelo do sistema real seja altamente não linear, se o cabo for considerado como rígido com um comprimento fixo
L, o sistema pode ser modelado utilizando as seguintes equações:
FIGURA P2.37 (© 1990 IEEE)
em que mC é a massa da carga, mT é a massa do carro, xT e xC são deslocamentos como
definidos na figura, é o ângulo do cabo em relação à vertical e fT é a força aplicada ao
carro (Marttinen, 1990).
Obtenha a função de transferência da velocidade do carro para o ângulo do cabo
Admita que o carro é conduzido a uma velocidade constante V0 e obtenha uma expressão para o (t) resultante. Mostre que nessa condição a carga oscilará com uma frequência
Determine a função de transferência da força aplicada para a posição do carro,
Mostre que se uma força constante for aplicada ao carro, sua velocidade aumentará sem limite quando t → ∞.
Em 1978, Malthus desenvolveu um modelo para o crescimento populacional humano que também é comumente utilizado para se modelar o crescimento de bactérias como se segue. Seja N(t) a densidade populacional observada no tempo t. Seja K a taxa de reprodução por unidade de tempo. Desprezando-se as mortes da população, a densidade populacional em um instante t + ∆t (para ∆t pequeno) é dada por
a. b. 64.
que também pode ser escrita como
Uma vez que N(t) pode ser considerada como um número muito grande, fazendo ∆t → 0 chega-se à seguinte equação diferencial (Edelstein-Keshet, 2005):
Admitindo uma população inicial N(0) = N0, resolva a equação diferencial obtendo N(t).