As componentes do vetor de estado devem ser linearmente independentes. Por exemplo, pela definição de independência linear apresentada na Seção 3.3, se x1, x2 e x3 forem escolhidas como variáveis de estado, porém x3 = 5x1 + 4x2, então x3 não é linearmente independente de x1 e x2, uma vez que conhecidos os valores de x1 e x2 o valor de x3 pode ser obtido. As variáveis e suas derivadas sucessivas são linearmente independentes. Por exemplo, a tensão sobre um indutor, νL, é
linearmente independente da corrente através do indutor, iL, uma vez que νL = LdiL/dt. Assim, νL
não pode ser expressa como uma combinação linear da corrente, iL.
Número Mínimo de Variáveis de Estado
Como sabemos o número mínimo de variáveis de estado a serem escolhidas? Tipicamente, o número mínimo necessário é igual à ordem da equação diferencial que descreve o sistema. Por exemplo, se uma equação diferencial de terceira ordem descreve o sistema, então três equações diferenciais de primeira ordem simultâneas são necessárias em conjunto com três variáveis de estado. Da perspectiva das funções de transferência, a ordem da equação diferencial é a ordem do denominador da função de transferência após o cancelamento dos fatores comuns ao numerador e ao denominador.
Na maioria dos casos, outra forma de se determinar o número de variáveis de estado é contar o número de elementos armazenadores de energia independentes presentes no sistema.5 O número
desses elementos armazenadores de energia é igual à ordem da equação diferencial e ao número de variáveis de estado. Na Figura 3.2 existem dois elementos armazenadores de energia, o
capacitor e o indutor. Portanto, duas variáveis de estado e duas equações de estado são requeridas para o sistema.
Caso poucas variáveis de estado sejam escolhidas, pode ser impossível escrever certas equações de saída, uma vez que algumas variáveis do sistema não podem ser escritas como uma combinação linear do número reduzido de variáveis de estado. Em muitos casos, pode ser impossível até mesmo completar a escrita das equações de estado, uma vez que as derivadas das variáveis de estado não podem ser expressas como combinações lineares do número reduzido de variáveis de estado.
Caso você escolha o número mínimo de variáveis de estado, mas elas não sejam linearmente independentes, na melhor das hipóteses você não conseguirá encontrar a solução para todas as demais variáveis do sistema. No pior caso, você poderá não ser capaz de completar a escrita das equações de estado.
Frequentemente, o vetor de estado inclui mais do que o número mínimo de variáveis de estado necessárias. Duas situações podem ocorrer. Frequentemente as variáveis de estado são escolhidas como variáveis físicas de um sistema, como posição e velocidade em um sistema mecânico. Existem casos em que essas variáveis, embora linearmente independentes, são também
desacopladas. Isto é, algumas das variáveis linearmente independentes não são necessárias para
se obter a solução para quaisquer outras variáveis linearmente independentes ou qualquer outra variável dependente do sistema. Considere o caso de uma massa e um amortecedor viscoso cuja equação diferencial é M dv/dt + Dv = f(t), em que ν é a velocidade da massa. Como esta é uma equação de primeira ordem, uma equação de estado é tudo o que é necessário para definir este sistema no espaço de estados com a velocidade como a variável de estado. Além disso, como existe apenas um elemento armazenador de energia, a massa, apenas uma variável de estado é necessária para representar esse sistema no espaço de estados. Entretanto, a massa também possui uma posição associada, a qual é linearmente independente da velocidade. Caso desejemos incluir a posição no vetor de estado em conjunto com a velocidade, então adicionamos a posição como uma variável de estado que é linearmente independente da outra variável de estado, a velocidade. A Figura 3.4 ilustra o que está ocorrendo. O primeiro bloco é a função de transferência equivalente a M dv/dt + Dv = f(t). O segundo bloco mostra que integramos a velocidade de saída para produzir o deslocamento de saída (ver a Tabela 2.2, Item 10). Assim, caso desejemos o deslocamento como uma saída, o denominador, ou a equação característica, tem a ordem aumentada para 2, o produto de duas funções de transferência. Muitas vezes, a escrita das equações de estado é simplificada pela inclusão de variáveis de estado adicionais.
Outro caso que aumenta o tamanho do vetor de estado ocorre quando a variável adicionada não é linearmente independente das outras componentes do vetor de estado. Isso geralmente ocorre quando uma variável é escolhida como variável de estado, mas sua dependência das demais variáveis de estado não é imediatamente aparente. Por exemplo, os elementos armazenadores de energia podem ser utilizados para escolher as variáveis de estado, e a dependência da variável associada a um elemento armazenador de energia das variáveis dos outros elementos armazenadores de energia pode não ser reconhecida. Assim, a dimensão da matriz do sistema é aumentada desnecessariamente, e a solução para o vetor de estado, a qual cobrimos no Capítulo 4, fica mais difícil. Além disso, o acréscimo de variáveis de estado dependentes afeta a capacidade do projetista de utilizar métodos do espaço de estados para projeto.6
Passo 1 Passo 2
FIGURA 3.4 Diagrama de blocos de uma massa e amortecedor.
Vimos na Seção 3.2 que a representação no espaço de estados não é única. O exemplo a seguir demonstra uma técnica para escolher as variáveis de estado e representar um sistema no espaço de estados. Nossa abordagem é escrever a equação da derivada simples para cada elemento armazenador de energia e expressar cada termo de derivada como uma combinação linear de quaisquer das variáveis do sistema e da entrada que estejam presentes na equação. Em seguida, escolhemos cada variável derivada como uma variável de estado. Então expressamos todas as demais variáveis do sistema nas equações em função das variáveis de estado e da entrada. Finalmente, escrevemos as variáveis de saída como combinações lineares das variáveis de estado e da entrada.