Descrição do guia para entrevista

Aos participantes do GI, perguntou-se inicialmente se haviam cursado o Ensino Médio em escola pública ou particular, se Ensino Médio foi convencional ou técnico, se cursam a Licenciatura em Matemática diurno ou noturno e se estavam cursando ou se tinham concluído a disciplina de Geometria Analítica.

Os participantes do GJ foram perguntados se já haviam concluído as disciplinas de Geometria do curso de Licenciatura em Matemática, se já haviam concluído o curso e, se sim, qual atividade, em relação à estudo ou trabalho, desempenham no momento.

Na sequência eram dadas as folhas com as seis tarefas, que serão apresentadas na sequência, e a pesquisadora questionou cada tarefa, uma a uma, segundo a leitura de seu enunciado junto ao entrevistado. Enquanto eles executavam a atividade matemática requerida em cada tarefa, eram questionados sobre como estavam pensando e solicitado que compartilhassem em voz audível seu raciocínio.

As seis tarefas a seguir, segundo Ponte (2005), são do tipo problema de exploração dentro do contexto matemático, de média duração e grau de desafio variado, podendo ser alto para os acadêmicos ingressantes.

A primeira tarefa, apresentada na Figura 12, foi baseada em uma tarefa citada em Kawamoto (2016, p. 38):

Figura 12 – Tarefa 1 – Identificando os quadrados 1. Observe a figura ao lado e responda:

a. Identifique quantos quadrados há na figura ao lado. Descreva com suas palavras o que o levou a sua conclusão.

b. Identifique os segmentos paralelos as diagonais do quadrilátero ABCD.

c. Explique com suas palavras qual é a relação entre os

quadriláteros , , e .

d. O quadrilátero pode ser considerado como um quadrado. Explique com suas palavras o porquê.

Fonte A autora, baseada em tarefa citada por Kawamoto (2016, p. 38), 2018.

Ao questionar o entrevistado sobre essa primeira tarefa, o pesquisador levantou também os seguintes questionamentos:

a) você sabe dizer o que é um quadrado do ponto de vista matemático? (Questionamento apresentado junto ao item a);

b) o que são diagonais de um quadrilátero? (Questionamento apresentado junto ao item b);

c) quais relações podem ser estabelecidas entre os quadriláteros , , e ? (Durante o questionamento sobre o item c);

d) você sabe o que é uma demonstração em matemática? (Questionamento apresentado junto ao item d).

Esperava-se que o entrevistado apresentasse um conceito de quadrado considerando os pressupostos matemáticos e que, em resposta ao item a, reconhecesse os 10 quadrados existentes na configuração; no item b, as diagonais AC e BD do quadrado ABCB, que os segmentos EF e GH são paralelos à diagonal AC e os segmentos HE e GF são paralelos à diagonal BD. No item c, que explicasse que os quadriláteros em questão são congruentes e, no item d, que conseguissem escrever uma justificativa, matematicamente aceitável, utilizando argumentos pautados em propriedades matemáticas para justificar, por exemplo, que os ângulos internos do quadrilátero EFGH medem 90º e que seus lados têm a mesma medida e, portanto, EFGH é um quadrado.

Figura 13 – Tarefa 2 – Faces do cubo 2. A figura ao lado representa uma das possíveis

planificações de um cubo. Considerando a figura e sabendo que a soma dos números de faces opostas é igual a 7, nessas condições, quais são os números das faces A, B e C?

Explique o que você pensou para responder.

Fonte: A autora, baseada em uma tarefa proposta em Kawamoto (2016, p. 40), 2018.

Esperava-se que o participante conseguisse, a partir da planificação dada, imaginar o cubo em 3D e, com as hipóteses do enunciado, compreendesse que a face A é oposta à face com o número 2; a B é oposta à de número 1 e a C oposta à que contém o número 3. Desse modo, apresentasse como resposta que ao número na face A é 5, que na face B está o número 6 e na face C o número 4.

A Figura 14 apresenta a terceira tarefa aplicada, que foi criada pela pesquisadora e seu orientador. É uma tarefa de exploração, sendo assim não há resposta não aceitável, a menos que apresentasse falhas em conceitos ou propriedades matemáticas.

Ao apresentar essa tarefa, a pesquisadora questionou os entrevistados sobre o que a figura dada na tarefa se assemelhava em sua opinião.

Figura 14 – Tarefa 3 – O que você vê?

3. Observe a figura ao lado, descreva o que você vê e diga qual relação pode ser estabelecida entre A e B.

Explique com suas palavras como você pensou.

Fonte: A autora, 2018.

Na resolução dessa tarefa esperava-se que o entrevistado, além de ver a imagem como uma figura plana, a relacionasse a um objeto tridimensional semelhante a uma escada, elencando ao menos duas perspectivas e variações de posicionamento entre as partes A e B, a partir de seu olhar como observador. Por exemplo, se o observador vê os degraus de cima para baixo ele indicará a parte A à frente da parte B, caso o observador veja os degraus da escada acima dele, indicará a parte B à frente da A.

A tarefa 4 (Figura 15) também foi criada pela pesquisadora e seu orientador:

Figura 15 – Tarefa 4 – Vista de uma peça tridimensional

4. Observe as figuras ao lado. A seta indica a frente da figura 1, que é uma representação de uma peça tridimensional.

a. Circule, dentre as figuras de 2 a 4, aquela que representa a figura 1 vista de frente.

Descreva com suas palavras como você pensou.

b. Complete com a letra que representa cada face da figura 1, em seus respectivos lugares nas figuras de 2 a 4. c. Desenhe as representações planas das faces que estão

ocultas na figura 1.

Fonte: A autora, 2018.

Esperava-se como resposta ao item a, que o participante identificasse a figura 2 como representante da vista frontal da peça tridimensional; que no item b, complete as figuras de 2 a 4 com as letras correspondentes em cada espaço, como na Figura16.

Figura 16 – Resposta do item b da tarefa 4

Fonte: A autora, 2020.

E, no item c, esperava-se que o entrevistado identificasse a forma das faces ocultas na representação plana da peça tridimensional dada na figura 1 de acordo com a Figura 17 abaixo; justificando o raciocínio realizado para responder à tarefa através de propriedades e conceitos matemáticos:

Figura 17 – Resposta do item c da tarefa 4

Fonte: A autora, 2020.

A Figura 18 traz o enunciado da tarefa 5, que foi baseada em uma tarefa aplicada por Fernandez (2011, p. 172):

Figura 18 – Tarefa 5 – Movendo as peças 5. Temos duas peças idênticas que podemos mover.

Quais das figuras abaixo podem ser formadas pelas duas peças sem levantar nenhuma da mesa.

Descreva com suas palavras como você pensou.

Como resposta a essa tarefa, esperava-se que os participantes identificassem que, de acordo com as hipóteses do enunciado, a única figura que não pode ser formada é aquela representada com a letra D, visto que seria necessário realizar uma transformação de reflexão em uma das peças dadas inicialmente para formar tal figura, justificando sua resposta através de propriedades e conceitos matemáticos.

A sexta e última tarefa, criada pela pesquisadora e seu orientador, é dada na Figura 19. Ao questionar o entrevistado sobre essa sexta tarefa, perguntou-se, também “Você sabe dizer o que é um triângulo retângulo do ponto de vista matemático? ”

Figura 19 – Tarefa 6 – Configuração de triângulos 6. Observe as figuras ao lado.

a. Identifique quais dos triângulos podem ser considerados triângulo retângulo.

Descreva com suas palavras o que o levou a sua conclusão.

b. Observe bem a figura e depois diga quais modificações ocorreram na figura nova (a parte, mostrada pelo pesquisador).

Fonte: A autora, 2018.

Esperava-se que o participante apresentasse um conceito de triângulo retângulo de acordo com os pressupostos matemáticos. Que, em resposta ao item a, identificasse os triângulos apresentados por A e E como possíveis representações de um triângulo retângulo e justificasse sua resposta através de propriedades e conceitos matemáticos.

Em relação ao item b, após a pesquisadora retirar a folha com o enunciado da tarefa 6 e fornecer uma nova folha com uma das reconfigurações (Figura 20), o entrevistado era questionado sobre quais modificações ocorreram na figura nova em relação à inicial:

Figura 20 – Reconfiguração I da figura apresentada na Tarefa 6

No caso da reconfiguração I, esperava-se que o entrevistado reconhecesse que os triângulos representados na figura inicial pelas letras C e D tiveram suas posições trocadas.

Figura 21 – Reconfiguração II da figura apresentada na Tarefa 6

Fonte: A autora, 2018.

No caso da reconfiguração II, pensando nos triângulos representados na figura inicial dispostos em duas linhas, esperava-se que o participante reconhecesse que houve uma troca nas linhas, ou seja, os triângulos D, E e F estão na primeira linha na configuração II e os triângulos A, B e C estão na segunda linha.

Figura 22 – Reconfiguração III da figura apresentada na Tarefa 6

Fonte: A autora, 2018.

Já na reconfiguração III, esperava-se que o participante identificasse que os triângulos representados na figura inicial pelas letras B e E tiveram suas posições trocadas.

Na descrição do guia para a entrevista apresentada nesta seção foram também apresentadas as respostas esperadas do ponto de vista matemático. Pelo exposto na seção 1.3 do capítulo 1, entende-se que para chegar às respostas aceitáveis matematicamente para as tarefas propostas é necessário o emprego da Visualização Geométrica., e o objetivo principal das tarefas propostas como estruturantes da entrevista foi fornecer subsídios para a identificação e análise do processo de Visualização Geométrica empregado pelos participantes.