Geometria sob o olhar de Duval: Registros de Representação Semiótica

Segundo Duval (2012b), as representações semióticas são fundamentais na atividade matemática, pois somente por meio delas é que temos acesso aos objetos matemáticos. De acordo com Duval (2011), as representações semióticas são produzidas intencionalmente pela mobilização de um sistema semiótico de representação. Para Duval (1999a), os sistemas semióticos devem permitir o cumprimento de três atividades cognitivas inerentes a toda representação semiótica: produzir a representação de alguma coisa e permitir a transformação dessa representação em outra por meio da conversão e do tratamento.

Os sistemas que permitem essas atividades são chamados sistemas de registros de representação semiótica, por exemplo: registro figural (figuras geométricas), registro em língua

natural (um enunciado, uma proposição), registro algébrico (fórmulas, expressões algébricas), registro gráfico (gráfico cartesiano). As representações semióticas são diferentes em cada sistema semiótico distintos. Em Geometria os registros mais utilizados são o figural e a língua natural e, como veremos, estes têm particularidades que podem dificultar a compreensão dos conceitos geométricos.

Para Duval (2008), a atividade Matemática do ponto de vista cognitivo é caracterizada não pelos conceitos matemáticos em si, mas pela importância primordial das representações semióticas e pela grande variedade delas utilizadas em Matemática. Nem sempre os alunos – e até mesmo os professores – compreendem o funcionamento dos vários tipos de sistemas de registro de representação semióticos.

Duval (2008) salienta que existem quatro tipos diferentes de registros: os multifuncionais discursivos, multifuncionais não discursivos, monofuncionais discursivos e monofuncionais não discursivos, como descrito no Quadro 1:

Quadro 1 – Classificação dos diferentes Registros de Representação Semióticos REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA REPRESENTAÇÃO NÃO DISCURSIVA REGISTROS MULTIFUNCIONAIS: Os tratamentos não são algoritmizáveis. Língua Natural Associações verbais (conceituais). Forma de raciocinar: • argumentação a partir de observações, de crenças...; • dedução válida a partir de

definição ou teoremas.

Figuras Geométricas planas ou em perspectiva (configurações em 0, 1, 2 ou 3).

• Apreensão operatória e não somente perceptiva;

• Construção com instrumentos. REGISTROS MONOFUNCIONAIS: Os tratamentos são principalmente algoritmos. Sistemas de escritas:

• numéricas (binária, decimal, fracionária...);

• algébricas;

• simbólicas (línguas formais). Cálculo Gráficos cartesianos. • Mudanças de sistemas de coordenadas; • Interpolação, extrapolação. Fonte: Duval (2008, p. 14).

A atividade em Geometria utiliza registros multifuncionais pois, segundo Duval (2004), essa atividade se baseia em dois registros: o figural e a língua natural. O primeiro é responsável por designar as figuras e suas propriedades, e o segundo para enunciar definições, teoremas, hipóteses etc..

A aprendizagem em Matemática, de acordo com Duval (2008), se dá pela diferenciação e a coordenação de diferentes registros. Esses processos que levam à apreensão conceitual dos

objetos também em Geometria. Tal processo passa pelas as atividades cognitivas fundamentais ligadas à semiose, que são o tratamento e a conversão de representações.

Duval (2012b, p. 272) explica que “o tratamento é uma transformação interna a um registro”, ou seja, “o tratamento de uma representação é a transformação desta representação no mesmo registro onde ela foi formada”. Por exemplo, no registro figural, a transformação (reconfiguração) de um triângulo em dois triângulos com a mesma área é um tratamento, já uma conversão, segundo Duval (2012b, p. 272) “é uma transformação externa ao registro de início”, ou seja, é uma interpretação em outro registro. Por exemplo, partindo do registro em língua natural, lugar geométrico dos pontos que equidistam de um dado ponto fixo, a pessoa desenha uma circunferência (registro figural), houve a conversão entre dois registros. Ou ainda, a conversão pode ocorrer no outro sentido, ou seja, se a partir da figura geométrica de uma circunferência o estudante conseguir enunciar que a distância de um ponto P qualquer desta ao seu centro C é a medida r do raio. O treinamento em um sentido de conversão não está treinando a conversão no outro sentido.

Além do sentido de a conversão poder ser um complicador na compreensão Matemática, Duval (2008) explica que outro fenômeno ligado à atividade de conversão, a de variação de congruência e de não congruência, também pode afetar o sucesso nas operações de conversão. O autor considera a utilização da conversão como um instrumento de análise para pesquisar processos de aprendizagem.

Em Geometria, os tratamentos são também de grande relevância para a aprendizagem. Como observado em Duval (2004), os tratamentos em Geometria são mais específicos devido à complexidade de uma figura.

No presente trabalho entende-se figura no mesmo sentido que Duval, como representação semiótica, por exemplo: figuras geométricas planas ou em perspectiva, gráficos cartesianos etc., e as distinguimos de seu conceito.

Segundo Duval (2015), as figuras em Geometria, assim como as outras representações visuais, esboços, diagramas, mapas, gráficos ou imagens dão origem a uma apreensão sinóptica e não a uma apreensão sucessiva e linear como para tudo o que pertence à escrita e à fala. Ou seja, apreensão sinóptica no sentido de que a figura resume em si uma série de conceitos de modo sintetizado que podem ser captados de modo mais direto, diferente do que ocorre em relação à escrita e a fala. Desse modo, cada sujeito ao interpretá-la pode captar essas propriedades ao seu modo, em uma ordem sequencial particular.

Já no caso da escrita ou fala, pode-se considerar uma apreensão sucessiva e linear visto que quando se escreve ou se fala é possível fazer uma descrição que compreenda todas

características e propriedades importantes para o momento, estabelecendo uma linearidade, proporcionando aos interlocutores que compreendam de tal modo.

Essas características tornam as figuras geométricas objetos complexos do ponto de vista cognitivo. Para Duval (2015), as figuras em Geometria servem como suporte à intuição, mostrando, em um objeto visível, relacionamentos ou hipóteses de relacionamento que não são claramente evidentes em uma declaração verbal (DUVAL, 2015, p. 1, tradução nossa). Elas possuem três aspectos fundamentais que podem nos levar a três maneiras de vê-las de formas bem diferentes:

a) Podem ser construídas instrumentalmente (por meio de régua, compasso etc.); b) subordinadas a declarações que determinam as propriedades e objetos que representam, estando relacionadas à língua natural e baseiam-se em um vocabulário geométrico que condensa declarações de definições e teoremas;

c) como um campo de exploração visual para resolver problemas, e geralmente exige que "enriqueçamos" a figura dada realizando ações heurísticas sobre ela, ou seja, possíveis modificações, como sobreposição, desconstrução dimensional etc.; Para Duval (2015) o desconhecimento desses três aspectos gera desamparo e incompreensão da Geometria.

Assim como Duval, Parzysz (1988, 2006) também diferencia o objeto geométrico da sua representação. Ele chama a representação de desenho e o objeto geométrico de figura e considera o papel heurístico do desenho fundamental, dizendo que esse permite uma relação do tipo dialético entre ver e conhecer. Também salienta que o trato com as representações dos objetos geométricos pode ocasionar dificuldades de entendimento em relação ao seu estudo e, consequentemente, podendo levar à incompreensão da Geometria.

Segundo Duval (1998, p. 37) “ensinar geometria é mais complexo e geralmente menos bem-sucedido do que ensinar operações numéricas ou álgebra elementar”9 _{(DUVAL, 1998, p.} 37, tradução nossa). Para o ensino da Geometria faz-se necessária a compreensão da natureza particular da Geometria, assim como estimular as ações heurísticas sobre as representações dos objetos geométricos, já que a experiência com o espaço perceptivo é algo importante desde a infância. Segundo Piaget e Inhelder (1993), o indivíduo constrói o espaço cognitivo a partir da experiência com o espaço perceptivo.

Nesta pesquisa nos pautaremos na concepção de Geometria apresentada por Duval (1998), o qual considera que a Geometria envolve três tipos de processos cognitivos que

9_{Teaching geometry is more complex and often less successful than teaching numerical operations or elementary} algebra. (Duval, 1998, p. 37)

cumprem funções epistemológicas específicas: o processo de visualização, o processo de construção por ferramentas e o raciocínio.

Segundo Duval (1998, p. 38), o primeiro processo é relacionado à representação espacial para a ilustração de uma afirmação; para a exploração heurística de uma situação complexa; para um olhar sinóptico sobre ela; ou para uma verificação subjetiva. O processo de construção com auxílio de ferramentas como a régua, o compasso, softwares, entre outras é o segundo processo. O terceiro está relacionado a construção de configurações ou reconfigurações, pode funcionar como um modelo em que as ações sobre o representante e os resultados observados estão relacionados aos objetos matemáticos representados. Esses processos de raciocínio englobam as atividades discursivas desenvolvidos na atividade geométrica e efetuam a função de extensão do conhecimento com a elaboração de provas e explicações.

A comunicação, na atividade geométrica, entre esses três tipos de processos é crucial para a aprendizagem em Geometria e requer diferentes registros de representação semiótica. Segundo Duval (1998), a diferenciação e a coordenação entre esses registros evitam que os objetos da Geometria sejam confundidos com suas representações e também contribuem para que esses objetos sejam reconhecidos em todas as suas representações possíveis. De acordo com o autor, a aprendizagem da Geometria se explica pela diferenciação e a coordenação de diferentes registros, e são esses processos que levam à apreensão conceitual dos objetos da Geometria. Como já mencionado, esse processo passa pelas atividades cognitivas de tratamento e de conversão de representações.

Duval (2005) volta a chamar a atenção ao fato de que a Geometria é um campo de conhecimento que requer a articulação cognitiva de dois registros representacionais muito diferentes: o registro figural, na forma não discursiva que requer a visualização de formas para representar o espaço e o registro língua natural, na forma discursiva, ou seja, a linguagem, a fim de afirmar suas propriedades e deduzir novas.

Os processos cognitivos empregados na diferenciação e coordenação desses registros conduzem a diferentes modos de apreensões em Geometria. Duval (2012b) elenca os quatro modos pelos quais ocorre a apreensão dos objetos geométricos que são as apreensões: perceptiva, sequencial, discursiva e operatória.

De acordo com Duval (2012b), a apreensão perceptiva que se dá no reconhecimento automático e imediato das formas de uma figura em uma situação geométrica. Esse reconhecimento pode estar relacionado à forma, ao tamanho, orientação no plano e o número de dimensões (2D ou 3D). Por exemplo, ao olhar para a Figura 2 percebe-se algumas formas retangulares de tamanhos diferentes:

Figura 2 – Retângulos

Fonte: A autora, adaptado de Duval (2012a, p. 124), 2020.

Apreensão discursiva consiste em interpretar uma figura mediante uma descrição verbal em que algumas de suas propriedades são determinadas explicitamente. Duval (2012a) relata uma subordinação da apreensão perceptiva à apreensão discursiva, que pode ser considerada como uma teorização da representação figural. Para ele “equivale a mergulhar, segundo as indicações de um enunciado, uma figura geométrica particular em uma rede semântica, que é, ao mesmo tempo, mais complexa e mais estável” (DUVAL, 2012a, p. 135). Considerando a pergunta: “Quantos retângulos há na Figura 2?”, para responder é necessário relacionar esse enunciado à figura para se chegar à solução e, após a análise da figura, responder. Essa atividade perpassa um tipo de conversão (da língua natural para o registro figural, ou ao contrário), podendo ser mais simples ou complicada dependendo do grau de congruência semântica entre enunciado e figura.

Segundo Duval (2012b), a apreensão operatória está centrada nas modificações possíveis de uma figura inicial (de partida) e sua reorganização perceptiva determinada pelas suas modificações. Essas podem ser, por exemplo, tratamentos como: rotação da figura, superposição, sobreposição, decomposição da figura em subfiguras. No caso da pergunta sobre quantos retângulos há na Figura 2, é necessário ativar não só a apreensão perceptiva, mas também a operatória, realizando tratamentos como modificações e reconfigurações na figura que permitam responder à questão. Uma possibilidade seria considerar os retângulos como elementos de uma pavimentação, pensar no maior sendo recoberto pelos menores, que por sua vez formam outros retângulos.

Já a apreensão sequencial, de acordo com Duval (2012b), se dá na descoberta ou descrição da ordem de uma determinada construção e está relacionada à estrutura didática. Esse tipo de interpretação “é explicitamente solicitada em atividades de construção ou em atividades de descrição, tendo por objetivo a reprodução de uma dada figura” (DUVAL, 2012a, p. 119). Voltando à pergunta sobre quantos retângulos há na Figura 2, a explicação sistematizada do processo realizado para a conclusão sobre a quantidade de retângulos presentes na figura dada seria fruto da apreensão sequencial, nesse caso.

Duval (2008) chama a atenção para o desenvolvimento dos processos cognitivos de visualização, reconfiguração e os processos de raciocínio, buscando que as quatro apreensões sejam alcançadas, para que deste modo a apreensão dos conceitos em Geometria seja mais efetiva.