Desempenho dos alunos na resolução das tarefas e apresentação no congresso

Para efeitos de descrição dos resultados decidiu-se analisar, em simultâneo, a questão do desempenho e da apresentação. Neste seguimento, será realizada uma análise em cada uma das tarefas propostas ao nível do desempenho dos alunos e, na tarefa que foi alvo de exploração por parte deste grupo-caso, abordar-se-á a comunicação.

Ainda antes de tratar cada uma das tarefas, é de referir que este grupo faltou a uma aula tendo, por isso, concretizado as tarefas 2 e 3 fora do contexto de sala de aula e ficou responsável por apresentar a tarefa 1 no congresso matemático, dado que apresentaram uma resolução distinta da maioria dos grupos.

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2.2.1. Tarefa 1

Este grupo manifestou algumas dificuldades na concretização da tarefa, tendo-me apresentado, nos primeiros minutos, uma resolução em que a disposição dos quadrados amarelos se encontrava errada relativamente ao eixo que definiram. Neste instante, afirmaram que para a figura ter simetria de reflexão, ao dobrá-la pelo eixo, esta teria que coincidir ponto por ponto. Face a isto, e após identificarem as imagens de alguns pontos, aperceberam-se que assinalaram uma incorretamente.

Depois de algum tempo, conseguiram alcançar uma solução correta, mantendo esse mesmo eixo e com recurso ao desenho.

Face ao seu registo na folha, tal como evidenciado na figura 36, estas alunas mencionam que não conseguiram juntar os quadrados amarelos, de maneira que a nova figura tivesse simetria de reflexão com um eixo horizontal e vertical, tendo, por isso, optado por colocá-lo oblíquo. As alunas esclarecem ainda que a figura que construíram tem simetria de reflexão, pois se a dobrassem pelo eixo a figura iria coincidir ponto por ponto, o que evidencia conhecimento ao nível deste conceito. A justificação apresentada exibe de uma forma clara o raciocínio que o grupo-caso teve ao longo da resolução da tarefa bem como, a razão (explicação do conceito de simetria de reflexão) que corrobora a solução apresentada.

De um modo geral, o grupo-caso A, compreende o conceito de simetria de reflexão, porém manifestou algumas dúvidas na colocação dos quadrados quando o eixo de simetria é oblíquo.

Para o congresso matemático, as alunas, tal como ilustrado na figura 37, serviram- se de quadrados, em cartão e EVA, elaborados por elas e do quadro para realizar a apresentação. Para distinguir os quadrados A e B dos da figura inicial, optaram por recorrer

Figura 36: Resolução da tarefa 1 pelo grupo- caso A

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a diferentes cores: a preto para mostrar a figura inicial e de um amarelo e outro rosa para representar os quadrados A e B. Assim, decidiram fixá-los no quadro com patafix, e movendo o rosa e o amarelo, à medida que exploravam a tarefa. Já o eixo foi traçado com marcadores do quadro.

Na apresentação da tarefa no congresso matemático, o grupo começou por relembrar o enunciado, tendo este devido ao nervosismo, não ter sido exposto de uma forma correta, clara e coerente, como se pode verificar a seguir:

Aluno 1 – Então, foi-nos apresentada esta figura, ou seja, nós tínhamos que fazer a reflexão

pelo eixo... de reflexão que nós tínhamos de encontrar. Hum… tínhamos de acrescentar os dois quadrados (apontando) para formarmos a reflexão que é o quadrado A e o quadrado B (apontando).

Depois disto, com um discurso mais claro e uma linguagem cientificamente correta, mostraram as várias tentativas que realizaram e explicaram a razão de cada uma estar errada. Numa última, decidiram, em vez de a explorarem, questionar o público sobre a veracidade da resolução apresentada, pedindo-lhes ainda que justificassem a sua resposta. Face a isto, um dos alunos do público respondeu “Porque não” e a aluna 1 não aceitou a explicação como válida, o que conduziu o aluno à apresentação de um argumento que não foi enunciado de uma forma correta “Porque se dobrarmos não fica igual, pronto.”. A aluna 1 ao ouvir isto apercebeu-se que a resposta não era totalmente clara, questionou sobre se os pontos coincidiam. Dois alunos do público responderam corretamente e o grupo continuou a apresentação desafiando o público a descobrir a posição certa dos quadrados A e B, em relação o eixo de simetria de reflexão representado. Após indicada a resposta correta, a aluna 1 indicou os pares de quadrados que iriam coincidir caso a figura fosse dobrada pelo eixo. Posto isto, a aluna 12 pergunta aos alunos, de uma forma pouco correta, se conseguem indicar uma solução diferente daquela que apresentaram, “Será que esta figura tem mais eixos de simetria?”. Em resposta à questão um dos alunos do público indicou as duas outras soluções possíveis, pedindo aos elementos do grupo que movessem os quadrados A e B para as posições desejadas. Posteriormente, coloquei a seguinte questão ao grupo, com o intuito de esclarecer o conceito de simetria de reflexão: “Como é

Figura 37: Apresentação do grupo-caso A no congresso

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que eu sei que essa figura tem simetria de reflexão?”. Face a isto, o grupo envolveu-se numa pequena troca de ideias, tendo sido pedido à aluna 14 para explicar. Esta aluna não o quis fazer por timidez, tendo a explicação ter sido dada pelas restantes alunas.

De um modo geral, o grupo, apesar de, por vezes, não se ter conseguido expressar de uma forma correta e de ter provocado alguns tempos de espera ao efetuar as mudanças de posição dos quadrados, conseguiu realizar uma apresentação bastante organizada e cativar a atenção do público. É de salientar que se notou, claramente, uma melhoria ao nível da comunicação oral, tendo sido adotado, ao longo da apresentação, um discurso mais coerente e confiante. Segundo o questionário 2, as maiores dificuldades na apresentação foram incitar ao consenso e à participação dos restantes elementos do grupo (“Que todos os elementos do grupo concordassem e que na apresentação todos falassem” (Aluno 1)) e na comunicação por sentir vergonha (“Senti dificuldades em apresentar, pois senti vergonha e não ajudei muito as minhas colegas.” (Aluno 14)).

2.2.2. Tarefa 2

Dado que a tarefa (figura 38) foi concretizada fora da sala de aula, apesar de a ter explicado antes de entregar, não tive qualquer

possibilidade de orientar e ajudar. Assim, quando recebi a tarefa, pedi ao grupo que me esclarecesse um aspeto que tinham escrito e não era claro: “… na C as figuras encontram-se a distâncias iguais do fim da quadrícula.” Em resposta disto, o grupo argumenta que o número de quadrados, em ambos os lados da quadrícula, não era igual, não sendo, por isso, possível afirmar que foi aplicada uma reflexão.

Face a isto, questionei-as sobre o conceito

de reflexão, tendo o grupo, posteriormente, chegado à conclusão que a resposta C era a correta e a B era afinal a incorreta por haver um ponto cuja distância ao eixo t não é igual à distância da sua imagem a este mesmo eixo.

Figura 38: Resolução da tarefa 2 pelo grupo-caso A

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Na resolução apresentada, o grupo não apresenta um argumento correto não por não saber a definição de reflexão, mas por não ter refletido sobre o conceito e verificar se era aplicável na imagem (C) . Quanto ao conhecimento sobre isometrias, identifica de forma imediata duas caraterísticas da reflexão que não estão presentes nas figuras A, B e D (a cada ponto tem de corresponder a uma imagem; o eixo de reflexão corresponde à mediatriz que une cada ponto com a sua respetiva imagem), contudo apesar de reconhecer que na reflexão a distância de um ponto ao eixo de reflexão é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo de reflexão, não se apercebe que essa condição não é respeitada na imagem B, por se terem precipitado aquando a análise da figura C.

2.2.3. Tarefa 3

A tarefa 3, tal como a anterior, foi explicada antes de lhes ser entregue, dada a impossibilidade de orientar a sua resolução. Neste sentido, quando me foi entregue (anexo 14), verifiquei que estas alunas tinham compreendido não só a alteração da posição dos braços, como também a ordenação dos algarismos. A explicação do raciocínio é que poderia ter sido mais aprofundada, visto que se limitaram a escrever a resposta à tarefa: “Se nos virarmos de frente para os bonecos o número é 23456, mas se estivermos atrás deles o número é 42635.”

Em termos de representações matemáticas as alunas cingiram-se à representação simbólica e em termos de argumentação não houve qualquer fundamentação da resposta ou evidência do seu raciocínio. Por fim, quanto ao conhecimento matemático, o facto de terem apresentado uma resposta correta, ficou evidente que compreenderam aquilo que era solicitado e aplicaram de uma forma eficaz o conceito de reflexão.

2.2.4. Tarefa 4

Estas alunas, apesar de terem apagado as evidências na folha, resolveram a tarefa (anexo 14) pintando cinco triângulos. Face a isto, pedi-lhes que tentassem descobrir outra forma, pintando menos de cinco triângulos, porém não conseguiram, por se terem cingido ao uso de um eixo de simetria vertical do triângulo equilátero: Aluna 1 – “Professora, não conseguimos descobrir outra maneira…”. Ainda assim revelam na explicação a aplicação de

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conhecimentos ao nível do conceito de simetria de reflexão: “Pensamos que se tivéssemos que dobrar o triângulo de maneira ficasse igual”. Este argumento apesar de não estar definido de uma forma rigorosa, no sentido em que só é válido caso se dobre o triângulo pelo eixo de simetria e não é elucidativo quando mencionam: “... ficasse igual”, é percetível quanto ao que querem dizer até porque em tarefas anteriores evidenciaram saber e aplicar o conceito de simetria de reflexão.

Quanto às representações utilizadas para resolução desta tarefa, tal como era expectável, foram icónicas, ou seja, recorreram ao desenho para tentarem resolver esta tarefa.

2.2.5. Tarefa 5

Na tarefa 5 o grupo cingiu-se, como se pode verificar na figura 39, apenas às simetrias de rotação. Apesar disto, visto que foi referido no início da tarefa que se pretendia que fosse explorada tanto a simetria de reflexão como de rotação, o grupo conseguiu indicar e justificar o raciocínio aplicado para a exploração das simetrias de rotação (“Começámos por dividir pelo número de lados as figuras, depois dividimos a amplitude do ângulo giro por o número de lados de cada figura obtendo assim as suas rotações.”), bem como identificar o

centro de rotação. Contudo, estas alunas não conseguiram esclarecer qual o padrão que estava subjacente e generalizá-lo.

As dificuldades manifestadas por este grupo não resultaram da falta de conhecimentos ao nível do conteúdo das isometrias, mas do tempo disponibilizado de aula para a resolução desta tarefa, pois não foi o ideal dada a complexidade da mesma.

No que diz respeito às representações, este grupo recorreu ao uso de representações icónicas, através de desenhos e simbólicas.

Figura 39: Resolução da tarefa 5 pelo grupo- caso A

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Relativamente ao conceito de simetria de rotação, a justificação do seu raciocínio ilustra que este grupo compreende que uma figura tem simetria de rotação quando há uma rotação de ângulo não nulo e não giro que a transforma nela própria.

2.2.6. Tarefa 6

Nesta tarefa (figura 40), o grupo optou por recorrer a desenhos (representação icónica), com a intenção de esquematizar cada uma das situações apresentadas, acompanhados de representações simbólicas que permitiram explicitar o seu raciocínio. Esta estratégia apresentou-se como bastante adequada, tendo sido expostos argumentos que validam a opinião do Pedro e do Gustavo: os ângulos internos do triângulo terem, cada um, uma amplitude de 60° e o ângulo obtuso 120° e os restantes cada um 30°. Quanto à situação da Leonor, estas alunas não respondem ao que é referido, como também não são muito claras, pois evidenciam através de um desenho e cálculos que um triângulo retângulo pode ser isósceles e nesse caso ter um eixo de simetria, porém na justificação referem que não tem nenhum eixo de simetria.

Assim, através de uma análise sobre a resolução da tarefa, constata-se que o grupo compreendeu o problema, e conseguiu relacionar, corretamente, em duas situações, a classificação dos triângulos quanto aos ângulos com a sua classificação quanto aos lados e esta última com os eixos de simetria.

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2.2.7. Tarefa 7

Durante a resolução desta tarefa (anexo 14), o grupo conseguiu identificar de forma imediata a reflexão, no entanto na rotação demonstraram algumas dificuldades, principalmente em perceber que o centro de rotação não pode corresponder numa seta a um ponto e na sua imagem a outro ponto distinto:

Investigadora – Aqui descobriram? Uma reflexão, ok.. e uma rotação… e onde está o

centro de rotação?

Aluno 14 – é este Professora!

Investigadora – Será aí o centro de rotação? O centro de rotação não mexe! Aluno 1 – Então é este!

Investigadora – E são 90°? Aluno 1 – Sim

Investigadora – Como é que vocês conseguem justificar que isso são 90°? Aluno 1 – Porque 360: 4 são 90

Investigadora – Pois só que há aí um problema. É que este ponto corresponde a este,

certo?

Aluno 1 – Sim

Investigadora – Portanto, eu não posso partir do princípio que ao dividir isto por

quatro, este vai ser igual a este, porque este está aqui.

Após uma reflexão sobre o assunto, as alunas conseguem identificar uma rotação de 90° e o respetivo centro de rotação, corretamente. Na justificação do raciocínio esclarecem, de forma um pouco mais clara, comparativamente com as tarefas, anteriores, que começaram por procurar duas imagens que ao dobrar pelo eixo coincidissem e, posteriormente, duas figuras que ao rodar iriam coincidir ponto por ponto. Acrescentam que, no final, uniram um ponto e a respetiva imagem ao centro de rotação para verificarem se corresponderia a um ângulo de 90°.

2.2.8. Tarefa 8

Na tarefa 8, este grupo não demonstrou qualquer dificuldade na sua realização, tendo apresentado duas soluções distintas e ambas corretas. Apesar disso, e de salientarem que recorreram à tentativa erro para resolver esta tarefa, e de descreverem as simetrias de rotação existentes em cada um dos casos, corretamente, apenas identificam as simetrias de reflexão de uma das figuras e utilizam um termo errado: “eixos de rotação”, como se pode verificar na figura 41.

142 Ao nível das representações, e como era esperado, as alunas recorreram a desenhos (representação icónica), acompanhados de representações simbólicas, quando descrevem as simetrias de rotação, para resolverem esta tarefa.

Nesta tarefa, o grupo revelou capacidade em criar figuras com simetria de rotação e capacidade na identificação do centro de rotação, no entanto a justificação apresentada não contempla pelo menos uma razão que levou o grupo a concluir que as figuras desenhadas têm

simetria de rotação “Começamos por tentar descobrir as figuras por tentativa erro. Depois de encontrarmos uma vimos se tinha simetria rotacional e de reflexão e tinha. Marcamos o centro de rotação através do eixo de rotação: 90°, 180°, 270°, 360°.

2.2.9. Tarefa 9

Tal como na tarefa 8, este grupo não manifestou qualquer tipo de dificuldade em resolver esta tarefa (figura 42). Assim, recorrendo ao uso de representações icónicas e, mais uma vez, à tentativa erro, acabaram por conseguir criar uma figura com simetria de reflexão e de rotação. Outro aspeto a salientar, trata-se no facto de terem sido capazes de identificar o centro de rotação de forma imediata, o que não aconteceu em

tarefas anteriores.

Figura 41: Resolução da tarefa 8 pelo grupo-caso A

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Um aspeto menos positivo, na resolução apresentada, estende-se no facto de terem, apenas, representado dois eixos de reflexão (e estes não estarem ilustrados cientificamente corretos) referido a existência de apenas um na explicação do raciocínio, quando a figura tem quatro.

Quanto à justificação, o grupo revelou nesta tarefa uma linguagem mais clara e coerente, mas pouco coesa entre as frases e sem incluir uma razão que levou a concluir que a figura tinha simetria de reflexão: “Começamos por ver que posições é que as figuras poderiam ter. Descobrimos a representada acima que nos pareceu ter os elementos pedidos. Vimos que tinha simetria de reflexão. Depois desenhamos o eixo de reflexão e descobrimos o centro de rotação.”. Mais, uma vez, o grupo consegue chegar a uma resposta correta, mas não descreve o seu raciocínio.

2.2.10. Tarefa 10

Nesta tarefa (figura 43) o grupo, imediatamente, dispôs os quadrados na figura de uma forma correta, porém quando lhes pedi que me identificassem o centro de rotação já não o conseguiram fazer. Face a isto, levantaram um conjunto de hipóteses que pudessem ser os centros de rotação e imaginado onde ficariam os quadrados se rodassem a figura. A assistir a isto, mostrei-lhes um outro exemplo para ajudar, tendo, depois de um pequeno

diálogo, conseguido chegar ao que se pretendia.

Quanto à explicação do raciocínio, o grupo conseguiu ser bastante claro, porém apresenta o seguinte erro: “No final, fizemos o eixo de reflexão dos dois lados e aí descobrimos o centro de rotação”. Como é possível constatar, as retas desenhadas pelo grupo não são eixos de reflexão, até porque a figura só tem simetria de rotação. Estes erros Figura 43: Resolução da tarefa 10 pelo grupo-caso A

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não derivam da falta de conhecimento, porque em tarefas anteriores foram apresentadas evidências pelo grupo que exibem a aplicação do conceito de simetria de reflexão.

Quanto ao tipo de representações, o grupo recorreu, tal como era expectável ao uso de desenhos (representações icónicas) e por tentativa erro para resolver a tarefa.