Desenvolvimento da Tarefa Exploratório-Investigativa: Trajeto de Casa a Escola

O episódio de ensino destinado à realização desta tarefa exploratório-investigativa, começou com a distribuição das quatro folhas que continham a situação, na qual os alunos deveriam explorar e investigar. Logo após a entrega das folhas, o professor fez uma leitura acompanhada com uma explicação a respeito de como poderia ser desenvolvida esta tarefa exploratório-investigativa.

Durante a apresentação inicial, o professor leu apenas as situações I, II e III, pois estas seriam as situações que deveriam ser exploradas nos episódios de ensino de cinqüenta minutos cada. Foi feito dessa maneira para considerar os aspectos relevantes que continham nessas três primeiras situações e, também, pelo fato do tempo, pois não conseguiríamos explicitar nem discutir todas as questões pertinentes a essa situação, apenas nestes episódios. A situação IV e a atividade final proposta feita, pelos alunos, foram realizadas em mais dois episódios e, a apresentação e a reflexão final em um outro episódio de ensino.

Na dinâmica de apresentação, foram escolhidos outros dois grupos que não haviam apresentado na tarefa anterior. Os grupos escolhidos nesta foram os grupos “Só no Rim” e “Esquadrão da Morte”. Os alunos prontamente aceitaram, mas somente os líderes Alexandre e Tamara, desses dois grupos respectivamente, foram até a frente para apresentar a tarefa. Organizamos a dinâmica da seguinte maneira: Indicamos que a aluna Tâmara seria

t 10m

responsável em apresentar as situações I, II, assim como a tarefa final proposta e ficando o aluno Alexandre Yukio responsável em apresentar as situações III e IV.

Durante os momentos de apresentação das situações, uma grande interação ocorreu. A aluna Tamara começou sua apresentação afirmando que “gostou dessa tarefa porque eu

nunca pensei em representar graficamente o trajeto que eu faço todo dia da minha casa até a escola e que, realmente, a Matemática está presente em tudo que está a nossa volta. Gostei dessa situação, também, porque o professor escolheu o meu nome para colocar na situação que exploramos, mas porque você escolheu o meu nome em professor?” O professor

respondeu, dizendo: “escolhi o seu nome, porque eu acho um nome bonito e, porque eu

queria a sua participação nessa tarefa.”

Nesse momento, Tâmara leu a primeira situação e a segunda situação apresentada. Logo após a leitura, ela solicitou a régua ao professor para poder fazer as suas representações. O professor buscou a régua e, logo em seguida, ela disse: “vou primeiramente representar no

eixo horizontal o tempo e a distância no eixo vertical.” Nesse momento, ela fez suas

representações com o auxílio da régua.

Apresentamos, a seguir, os gráficos contidos nas narrativas escritas do grupo liderado pela aluna Tâmara e a explicitação dada no quadro negro.

Depois de representado o primeiro gráfico da primeira situação, o professor perguntou:

“Tamara, explica-nos com as suas palavras esses gráficos?” Tamara disse: “no primeiro gráfico, eu andei 1000 metros em cinco minutos, depois, eu fiquei parado uns 10 minutos esperando uma amiga minha e, depois, eu andei os outros 1000 metros em 15 minutos.” Logo

em seguida, o professor, perguntou: “porque que você colocou v1 , v2 , v3 , nesse gráfico? O

que isso significa?” Ela respondeu, dizendo: “v1 , v2 , v3 significa as velocidades em cada

momento do meu trajeto e também para me auxiliar no gráfico tempo velocidade, é por isso que eu ia colocando essas letras.”

A respeito da segunda situação, Tamara disse: “essa situação é semelhante à primeira,

pois, o que se altera é a grandeza tempo, na primeira eu tenho 30 minutos para chegar até a escola e a aqui eu tenho somente 15 minutos, é a mesma coisa.” Nesse momento, Igor

retrucou, dizendo: “não é a mesma coisa não Tamara, porque se altera o tempo altera a

velocidade também viu!” Tamara respondeu a observação do Igor, dizendo: “é verdade, mas são bem parecidas, é que aqui eu tenho que ir mais rápido, com uma maior velocidade.” Igor

concordou com ela, afirmando: “é mesmo, agora sim.”

Nesse momento, Tamara disse: “professor, eu apresento a minha tarefa final, ou

não?” O professor disse: “Vamos deixar o Alexandre apresentar as situações III e IV e depois você volta para apresentar a sua tarefa final, ok?” Tâmara concordou com o professor

e voltou ao seu lugar. Enquanto isso, Alexandre se posicionou na frente da sala e iniciou sua apresentação, pedindo para o aluno Alison (componente do grupo liderado pelo Alexandre) ler a situação III.

Sendo assim, Alison leu a terceira situação e após a leitura, Alexandre disse: “essa

situação foi um pouco complicada, mas o nosso grupo conseguiu concluir algumas coisas e, dentre elas, é que quando o gráfico é uma reta, a velocidade será constante. Mas, quando o gráfico é uma curva a velocidade também é variável, mas aqui vamos responder cada questão da situação III, por enquanto.” Nesse momento, o professor disse: “queria que todos

vocês acompanhassem a explanação da Alexandre em suas folhas na situação III”. Em seguida, Alexandre disse: “vamos primeiro interpretar os trajetos de tâmara conforme consta

nos gráficos da situação III.” Nesse momento, Alexandre começou a explicar gráfico por

gráfico.

Apresentamos, a seguir, o primeiro gráfico apresentado e explicado pelo aluno Alexandre Yukio.

Figura 14: Reprodução do gráfico explicado pelo aluno Alexandre no quadro negro

Alexandre começou sua explicação, dizendo: “Nesse gráfico podemos ver que existem

três velocidades, que são diferentes uma da outra porque de zero até dez minutos, ela andou 500 metros, dos dez aos vinte minutos ela não andou nada e dos vinte aos trinta minutos, ela andou 1500 metros.” Após esta explicação, o professor problematizou, dizendo: “mas como você interpreta esse trajeto de Tâmara?” Neste momento, Alexandre pegou um giz e fez

alguns registros no quadro.

Apresentamos, a seguir, registros semelhantes aos registros feitos por Alexandre no quadro negro.

v1 : 0 – 10 = velocidade constante de 500 metros

v2: 10 – 20 = velocidade nula durante esses dez minutos

v3: 20 – 30 = velocidade constante de 1500 metros.

Alexandre continuou sua explicação, estimando a velocidade média em cada um dos intervalos de tempo colocados no gráfico. Ele registrou, novamente, no gráfico, as velocidades constantes.

v1 : 500/600 = 0,83 m/s;

v2: 0/10 = 0 m/s;

v3: 1500/600 = 2,5 m/s

Após registrar esses valores no quadro negro, Alexandre disse: “é importante em

todos os casos descobrir quais são as velocidades, porque assim fica fácil fazer o gráfico da velocidade em função do tempo.” Nesse momento, o professor disse: “como é que fica o gráfico da função velocidade-tempo?” Alexandre, respondeu: “esse primeiro gráfico é fácil porque só tem velocidades constantes, e, quando tem velocidade constante o gráfico é

10 20 30

2000 m

representado apenas por retas.” Nesse momento, Alexandre virou-se para o quadro negro e

fez o gráfico da função velocidade-tempo.

Apresentamos, a seguir, o gráfico semelhante ao feito por ele no quadro negro.

Figura 15: Reprodução do gráfico da função velocidade-tempo feito pelo aluno Alexandre Yukio

Nesse momento, o professor problematizou, ao dizer: “por que do tempo 10 a 20, a

velocidade está em cima do eixo horizontal?” Alexandre disse: “é porque, nesses momentos, a velocidade é zero.” Alison concordou, dizendo: “está correto Alexandre, porque a velocidade é nula e está em cima do eixo horizontal porque o tempo passa e a velocidade continua a mesma.” Com isso, o professor disse: “muito bem, vamos ver como que vocês fizeram a análise do próximo gráfico.”

Nesse momento, Alexandre disse: “o segundo gráfico é um pouco mais complicado,

porque não são retas e isso deu muita dificuldade de explorarmos no início do nosso trabalho em grupo, mas também conseguimos fazer, porque era só usar a fórmula da velocidade média para termos uma idéia de como iria ficar o gráfico da velocidade.” Alexandre continuou sua

apresentação, dizendo: “neste gráfico, as velocidades variam o tempo todo, pois em cada

instante a posição é diferente uma da outra, por exemplo, Tamara nos dez primeiros minutos andou cerca de 1400 metros. Dos dez minutos aos vinte minutos ela andou uns 400 metros. Dos vinte aos trinta minutos ela andou uns 200 metros, isso mostra que ela começou em alta velocidade o seu trajeto, aos poucos, ia diminuindo a velocidade porque tinha bastante tempo, ainda, mas ela nunca ficou parada nesse gráfico porque a velocidade sempre estava variando.”

A partir dessa explicação, o professor disse: “o que vocês concluem sobre a velocidade

10 20 30

2,5

Tempo 0,83

velocidade decrescente durante todo intervalo de tempo. Com isso, a variação da velocidade é maior no início do intervalo, mas diminui com o passar do tempo.” O professor disse: “muito bem, mas podem continuar as suas apresentações.”

Neste momento, Alexandre continuou sua explicação estimando a velocidade média em cada um dos intervalos de tempo colocados no gráfico. Ele fez mais alguns registros no quadro negro. [0 - 1]: v1 : 500/60 = 8,33 m/s; [1 - 4]: v2: 500/180 = 2,77 m/s; [4 -10]: v3: 400/360 = 1,1 m/s [10 – 20] v4: 400/600 = 0,66 m/s [20 – 30] v5: 200/600 = 0,33 m/s

A seguir, Alexandre virou e disse: “com essas cinco velocidades, fica fácil representar

o gráfico velocidade-tempo.” Nesse momento, o professor disse: “Como é que fica o gráfico velocidade-tempo?” Alexandre respondeu: “esse primeiro gráfico não será uma reta porque as velocidades variam o tempo todo, será uma curva.” Alexandre fez, no quadro negro, o seu

gráfico.

Apresentamos, a seguir, o gráfico feito por ele no quadro negro.

Figura 16: Reprodução do gráfico da função velocidade-tempo feito pelo aluno Alexandre Yukio 30 Tempo 8,33 Velocidade 10 20 2,77 1,11 0,33

Depois de representado esse gráfico, o professor disse: “quais são as tuas conclusões

a respeito desse gráfico?” Alexandre pensou um pouco, mas declarou: “esse gráfico aqui é diferente do primeiro porque é uma curva e um gráfico só possui curva quando as velocidades se alteram o tempo todo.” Com isso, o professor disse: “muito bem, então agora vamos para o terceiro gráfico dessa situação”? Alexandre afirmou: “ok”.

Nesse momento, Alexandre disse: “o terceiro gráfico da terceira situação é bem

semelhante ao do segundo. O que altera é que no segundo gráfico as velocidades iam decrescendo com o passar do tempo e nesse a velocidade vai aumentando com o passar do tempo.”

Ele continuou sua explicação, declarando: “Nesse gráfico, as velocidades de Tamara

variam também o tempo todo. Nos dez primeiros minutos, ela andou cerca de 200 metros. Dos dez aos vinte minutos, ela andou uns 700 metros e, dos vinte aos trinta minutos, ela andou uns 1100 metros. Isso mostra que ela começou em baixa velocidade o seu trajeto e aos poucos foi aumentando a velocidade porque o tempo estava acabando e ainda tinha bastante distância.” Logo após, o professor disse: “o que vocês concluem sobre a velocidade dela representada nesse gráfico?” Alexandre respondeu: “Ela caminha com velocidade crescente durante todo intervalo de tempo. Com isso, a variação da velocidade é menor no início do intervalo, mas aumenta com o passar do tempo.” O professor disse: “concordo com vocês, mas podem continuar.”

Neste momento, Alexandre virou para o quadro negro e começou a estimar a velocidade média em cada um dos intervalos de tempo colocados no gráfico, fazendo alguns registros no quadro negro.

[0 -10]: v1 : 200/600 = 0,33 m/s;

[10- 20]: v2: 700/600 = 1,16 m/s;

[20 – 30] v3: 1100/600= 1,83 m/s

Alexandre, então, virou-se para a turma e disse: “com essas velocidades, eu consigo

fazer o gráfico velocidade-tempo.” Nesse momento, Alexandre voltou-se novamente para o

quadro negro fazendo o seu gráfico.

Figura 17: Reprodução do gráfico velocidade-tempo feito pelo Alexandre do Grupo Só no Rim

Depois de representado esse gráfico, o aluno Alexandre disse: “agora vou mostrar

como fizemos a quarta situação.” Nesse momento, o professor disse: “podemos usar a seguinte dinâmica nessa quarta situação: eu faço as questões e você, com o auxílio do seu grupo e da classe, responde, mas sempre justificando suas respostas, ok?” Nesse momento,

Alexandre concordou afirmando: “ok” Assim, o professor começou a leitura da quarta situação.

O professor começou, perguntando: “vocês conseguem descrever como foi o trajeto de

Juliana neste dia?” Alexandre pensou um pouco e disse: “Juliana pega sua mochila, sai de sua casa e parti para a escola. Depois de uns quatro minutos de sua partida. À 600 metros de sua casa, ela se lembra de que esqueceu um trabalho, então, ela volta para casa. Chegando lá, ela pega seu trabalho, e sai apressada de bicicleta até a escola.”

Nesse momento, o professor perguntou: “muito bem, mas como você viu a velocidade

de Juliana teve muita variação, ou não? O que justifica essa variação?” Alexandre disse:

“Sim, a velocidade de Juliana variou o tempo todo. Isso é justificado porque o gráfico é

representado por curvas.” O professor perguntou: “consegues encontrar em que intervalo de tempo Juliana se deslocou mais rapidamente”? Alexandre respondeu: “Juliana deslocou-se mais rapidamente no intervalo de tempo de 10 aos 15 minutos.”

Nesse momento, o professor voltou a problematizar: “em que instantes a velocidade

de Juliana foi zero?” Alexandre respondeu: “a velocidade de Juliana foi zero nos instantes de tempo 4 e 10 de sua partida, porque foram nestes instantes de tempo que ela mudou o sentido de seu trajeto, ou seja, voltou para sua casa.” O professor continuou problematizando

30 tempo 1,83 10 20 velocidade 1,16 0,33

ao perguntar: “faz sentido falar que em certos intervalos a velocidade de Juliana foi

negativa? O que acha que significa velocidade negativa?” Alexandre disse: “Sim, a velocidade de Juliana foi negativa no intervalo (4,10). Para mim, velocidade negativa é uma velocidade contrária, ou andar em sentido contrário, nessa situação ela voltou para sua casa e, por isso, a velocidade dela nesses momentos foi negativa.”

Nesse momento, o professor disse: “observe o gráfico da função velocidade-tempo do

trajeto de Juliana na quarta situação, e, com base nele, discuta as questões da quarta situação”. O professor continuou seu discurso, perguntando: “Observe no intervalo de tempo (0,4), se a velocidade é crescente ou decrescente, justificando a sua postura.” Alexandre logo

disse: “nesse intervalo de tempo, a velocidade de Juliana foi decrescente, porque a sua

velocidade estava diminuindo cada vez mais.”

Nesse momento, o professor perguntou: “vocês sabem qual é a velocidade de Juliana

no instante 4 e instante 10?” Alexandre respondeu: “nesses dois instantes, a velocidade é zero, a velocidade é nula, porque ela está parada, e porque ela se encontra no ponto zero da linha vertical e, quando o valor da linha vertical é zero, a velocidade é nula.”

Após esses diálogos, o professor disse: “discuta e interprete o que aconteceu com a

velocidade no intervalo de tempo (4,10).” Alexandre pensou um pouco e falou: “nesse intervalo de tempo o gráfico está para baixo do eixo vertical e, com isso, a sua velocidade foi negativa porque ela voltou, no seu trajeto.”

Nesse momento, o professor perguntou: “o que será que aconteceu com a velocidade

de Juliana no intervalo de (10,15)?” Alexandre disse: “nesses intervalos a velocidade de Juliana tornou-se positiva e crescente, ou seja, só aumentou até chegar na escola.” Logo

após essas interlocuções, o professor disse: “muito bem, Alexandre, para mim tudo o que

você fez tem sentido e, por isso, eu concordo contigo. Vamos dar uma salva de palmas para o Alexandre.”

Nesse mesmo instante, todos bateram palmas, e, logo após, o professor convidou novamente a aluna Tâmara para apresentar sua atividade final proposta. Tâmara se dirigiu até a frente da sala e começou dizendo: “Vou representar o meu trajeto da minha casa até aqui

na escola.” Apresentamos, a seguir, o trajeto feito pela aluna Tâmara em sua narrativa escrita. Da minha casa até a escola tem cerca de 3 km e gasto mais ou menos uns 15 minutos para chegar aqui na escola. Eu sempre venho de bicicleta, mas não sempre com velocidade constante, porque tem uma subida. (Tâmara Líder do Grupo 8 – Esquadrão da Morte)

Tamara disse: “vou representar o meu trajeto aqui no quadro e depois eu explico o

que eu fiz”. Nesse momento, a aluna Tâmara virou-se para o quadro negro e fez o gráfico que

representava o seu trajeto. Depois de concluído o gráfico ela disse: “como eu disse que da

minha casa até aqui na escola tem subida, eu desço da bicicleta e começo a empurrar a bicicleta. A minha velocidade diminui, e isso foi o que eu tentei fazer. Se eu não tivesse descido da bicicleta ou não houvesse subida a minha representação poderia ser essa linha vermelha. Mas como tem uma subida, a velocidade diminui”.

Na figura abaixo, apresentamos o gráfico feito pela aluna Tâmara.

     

Figura 18: Reprodução representação do trajeto realizado pela aluna Tâmara

Ao concluir a representação gráfica, a aluna Tamara voltou ao seu lugar e o professor concluiu esses momentos de discussão dizendo: “nessa tarefa exploratório-investigativa,

aprendemos idéias importantes para o entendimento e significação do conceito de função, idéias essas relacionadas à dependência entre duas grandezas, e a variação entre as grandezas.” Nesse momento, o aluno Neto declarou: “professor, cada dia que passa eu começo a me interessar mais pela Matemática, porque estou começando a perceber que ela está presente em todas as coisas e lugares e esse conceito de função também se faz presente, até mesmo, no percurso de minha casa até a escola. É incrível esse negócio de poder representar, graficamente, qualquer movimento que fazemos.”

Casa t d 3km 15m escola

No documento Narrativas no ensino de funções por meio de investigações matemáticas (páginas 120-130)