Dinâmica dos Episódios de Ensino Realizados

A dinâmica dos episódios de ensino foi fundamentada em Ponte (2003). Acreditamos que a dinâmica da perspectiva metodológica adotada possuia um caráter inovador. Ela se caracteriza pela preocupação que o professor possui em “criar situações de aprendizagem estimulantes, desafiando os alunos a pensar, apoiando-os no seu trabalho e, favorecendo a divergência e diversificação dos percursos de aprendizagem” (p, 166).

Para esse autor, essa dinâmica procura envolver os alunos em uma atividade próxima da atividade do matemático. Outros aspectos referentes à dinâmica das aulas investigativas são destacados por Tudella (1999). Para esse pesquisador, a preparação de episódios de ensino investigativos constitui uma fase importante, pois, é, neste momento que o professor seleciona, adapta ou elabora uma tarefa. Para que a tarefa proposta realmente desencadeie explorações e investigações por parte dos alunos é preciso escolher situações potencialmente ricas e formular questões suficientemente abertas e interessantes, de forma a estimularem o pensamento matemático dos alunos.

Nos episódios de ensino realizados junto aos alunos, todas as tarefas propostas foram organizadas, preparadas e discutidas entre o pesquisador e a professora da turma. Fiz isso, porque foi necessário investir bastante na preparação dessas aulas, pois a variedade de processos, nos quais os alunos podem se envolver, bem como o seu grau de complexidade, e

até de imprevisibilidade, exigem do professor uma preparação que vai além da tarefa que ele propõe aos alunos.

Durante a introdução, a dinâmica utilizada tem algumas exigências que podem influenciar decisivamente no sucesso do trabalho, pois a apresentação da tarefa proposta aos alunos pode ser feita de diversos modos. De acordo com Tudella (1999), o modo misto é o modo propício de dinâmica nessa fase. Este modo é constituído pela distribuição das questões por escrito, complementado por uma apresentação oral para toda a turma. O papel da apresentação oral é para clarificar a tarefa explicitando o tipo de trabalho que se quer desenvolver com as investigações e também para criar um ambiente favorável ao desenvolvimento do trabalho dos alunos. De acordo com ele, a apresentação oral pode ser constituída pela leitura em grande grupo.

Durante o desenvolvimento, pretende-se desenvolver, nos alunos, atitudes investigativas. Tudella (1999) declara que deve, por isso, haver cuidado para que a aula se centre realmente na atividade dos alunos, nas suas idéias e nas suas explorações, pois

[...] num ambiente de uma aula com investigações, deve privilegiar-se o desenvolvimento de atitudes questionadoras, a observação e análise de situações, a formulação de conjecturas, a procura de explicações e de argumentações, onde a criatividade e o desenvolvimento de idéias próprias têm um papel muito importante (TUDELLA, 1999, p. 90).

Diversas etapas fundamentais compreendem o desenvolvimento de uma tarefa exploratório-investigativa. Primeiramente, os alunos tentam compreender a situação proposta, organizando os dados e formulando suas questões. Em seguida, eles fazem conjecturas, procuram testá-las, e, em alguns casos, demonstrá-las. No caso dos alunos mostrarem dificuldades em organizar os dados e em formular questões, o professor deve apoiá-los se estas dificuldades forem determinantes para o prosseguimento da investigação.

Sendo assim, o professor, para levar os alunos a descobrirem o que têm a fazer, deve colocar-lhes questões mais ou menos indiretas, consoante o seu grau de familiaridade com este tipo de tarefas. Pode, por exemplo, colocar questões relativas a tarefas que eles já fizeram, dizer para analisarem atentamente um conjunto de dados já obtidos, sugerir que organizem esses mesmos dados de outra maneira.

Nesse ambiente de aprendizagem, convém relatar ainda as interações existentes entre professor - aluno e aluno – aluno, pois essas interações assumem extrema importância. Segundo Tudella (1999), durante a atividade dos alunos, o estímulo ao confronto de opiniões

apresentam, com freqüência, divergências de opiniões e solicitam o auxílio do professor para decidir quem está com a razão.

Este momento constitui uma boa oportunidade para o professor incentivar os alunos a explicitar e argumentar a favor de suas argumentações. Diversas são as situações em que o professor é chamado a intervir e, por isso, deve estar preparado para reagir, dando perspectiva ao desenvolvimento, nos alunos, de um conjunto de capacidades e atitudes essenciais. Ao longo de toda esta fase, o professor deve ter uma atitude questionadora perante as solicitações de que é alvo.

A esse respeito, Tudella (1999) declara que o professor pode dar informações pertinentes, como forma de comentários mais informativos e problematizadores. Além disso, o professor pode aproveitar os erros cometidos pelos alunos para instigá-los a encontrar um caminho correto. Algumas vezes, o aluno também pode seguir por caminhos que o professor nunca tinha pensado e que levam ao aparecimento de resultados inesperados. Assim, o professor precisa estar atento a essas descobertas e, disponível para perceber e dar continuidade a esses caminhos.

Segundo Tudella (1999), os momentos de discussão e reflexão em aulas, na perspectiva metodológica das Investigações Matemáticas são relevantes, pois

[...] nesta fase os alunos serão confrontados com hipóteses, estratégias e justificações diferentes das que tinham clarificarem idéias, se sistematizarem algumas conclusões e se validarem resultados. Por outro lado, este momento permite que os alunos estabeleçam conexões entre este tipo de trabalho e outros conhecimentos pessoais sobre a aprendizagem da disciplina. Muitas vezes, durante a fase de discussão pensada. É também esta altura a adequada para se, são descobertas novas relações e formuladas novas conjecturas (TUDELLA 1999, p. 91).

Nesta perspectiva, “realizar uma atividade de investigação e não refletir sobre ela é perder uma das suas grandes potencialidades” (p. 90). Esse autor complementa citando Bishop e Goffree (1986), pois, de acordo com esses, “a aprendizagem não resulta simplesmente da atividade, mas sim da reflexão sobre a atividade” (BISHOP & GOFFREE 1986 apud TUDELLA 1999, p. 90).

Apresentamos, na tabela a seguir, a dinâmica metodológica utilizada nos episódios desenvolvidos com os alunos dessa turma.

Primeiro Momento Apresentação da Tarefa

Neste momento, apresentávamos a tarefa exploratório- investigativa aos alunos. Tínhamos o cuidado de esclarecer e orientar os alunos na realização das explorações e investigações. Distribuíamos as folhas contendo a situação proposta, acompanhada por algumas indicações relacionadas ao desenvolvimento das explorações e investigações.

Segundo Momento Desenvolvimento das Tarefas

estavam livres para explorarem e investigarem a tarefa apresentada anteriormente. Os alunos tinham o suporte dos professores que os estimulavam a prosseguirem nas suas elaborações de conjecturas e justificações.

Terceiro Momento Elaboração das Narrativas Escritas

No final do desenvolvimento das tarefas, os alunos possuíam um tempo para redigirem suas narrativas escritas sobre os seus desenvolvimentos na tarefa explorada.

Quarto Momento

Socialização e Reflexão das Tarefas

Este momento era dedicado exclusivamente para a apresentação das tarefas por alguns dos grupos com intuito de retomar as idéias principais levantadas durante o desenvolvimento da tarefa. Além de propiciar a socialização entre o grupo que apresentava e os outros grupos que estavam para promover discussões, negociações, validações e refutações de resultados. Os momentos de discussão foram realizados após o termino de cada tarefa e estes momentos tiveram como objetivo a discussão de diversas situações com base nas tarefas exploratório-investigativas realizadas.

Tabela 4: Dinâmica dos episódios de ensino realizados

As tarefas exploratório-investigativas foram realizadas conforme esta dinâmica metodológica. No entanto, ressaltamos a importância que teve a preparação dos episódios de ensino, para obtermos indícios de prevenção sobre o que poderia acontecer nos episódios de ensino.

A preparação de episódios de ensino desta natureza, geralmente, envolve duas etapas que consideramos serem distintas. Primeiramente, foi feita a seleção das propostas, e para isso, selecionamos as propostas de trabalho que iríamos levar para a sala de acordo com as faixas etárias dos alunos, com desenvolvimento em termos de conhecimentos matemáticos e com o contexto em que as tarefas exploratório-investigativas apareciam nos episódios de ensino. A segunda etapa, diz respeito à planificação do episódio de ensino.

Para Ponte et al. (1998), a dinâmica das aulas com as Investigações Matemáticas é diferente dos demais formatos de aula, pois

Numa aula dedicada à realização de investigações, o trabalho em pequeno grupo e em grande grupo (turma) emerge como algo natural e complementar. O trabalho em pequeno grupo incentiva uma comunicação entre alunos e promove uma melhor explicitação das conjecturas e testes a realizar. O trabalho em grande grupo impõe uma formalização maior de raciocínio e incita alunos a uma postura mais madura na discussão com o professor e os colegas (PONTE et al. 1998, p. 12).

A classe foi dividida em oito grupos, e cada grupo possuía um líder. O líder era o aluno responsável por entregar as narrativas escritas e, também, por conduzir a realização da tarefa exploratório-investigativa no grupo com os demais alunos, no entanto, todos os componentes possuíam a responsabilidade de auxiliarem na elaboração das narrativas escritas

Escolhemos oito alunos que tinham características que, a nosso ver, conduziriam positivamente o trabalho dos grupos. Decidimos trabalhar em grupo porque queríamos experimentar estratégias diferenciadas de trabalho em sala de aula e, também, porque o trabalho em grupo é considerado o modo mais adequado para trabalhar com investigações matemáticas.

No primeiro contato que tivemos com os alunos, formamos os pequenos grupos para o desenvolvimento dos episódios. Queríamos, com o trabalho em grupo, criar um ambiente propício à troca de idéias, apresentação de argumentos e confronto de opiniões, aspectos importantes quando se pretende que eles se envolvam em atividade investigativa.

Os 27 alunos foram divididos em oito grupos, sendo três grupos de quatro alunos e cinco grupos de três alunos. Optamos por constituir os grupos de três ou quatro alunos, e esta opção assenta-se no pressuposto de que o trabalho colaborativo, além de ser formativo aos alunos (no sentido de aprenderem a trabalhar com o outro), favorece, também, a discussão e a construção conjunta do conhecimento matemático.

Segundo Tudella (1999), é muito habitual, neste tipo de atividade, organizar os alunos em pequenos grupos. A organização mais adequada dos alunos nessas aulas é o trabalho em grupo, pois este pode proporcionar ou criar um ambiente propício à troca de idéias, confronto de opiniões e argumentos, em que o receio de “arriscar” conjecturas é menor. Conceber a realização de atividades de investigação em grande grupo envolvendo toda a classe, faz com que o professor solicite a contribuição e a participação de todos os alunos, criando assim um ambiente de trabalho diferente dos demais. Nessa organização, o papel do professor é ativo, pois este precisa coordenar as diferentes interações que acontecem no desenrolar da própria investigação, mas esta opção poderá ser útil para introduzir os alunos neste tipo de trabalho.

Nesta abordagem, era nosso intuito ouvir os alunos, para orientá-los em suas dúvidas, colocando novas questões para ajudar no desenvolviemnto dos seus raciocínios e das suas compreensões sobre as idéias discutidas. Procuramos não responder diretamente às questões dos alunos, pois consideramos que o papel do professor é o de orientar os alunos na condução das suas descobertas e permitir que eles cheguem às conclusões por eles próprios.

Nesse sentido, Santos et al (2002) afirma que

[...] o trabalho em pequenos grupos é a opção-base adotada para a exploração de tarefas de investigação com os alunos uma vez que se trata de situações em que é importante explorar diferentes caminhos sendo particularmente relevante à discussão de pontos de vista diferentes e a cooperação (p. 98).

condição essencial para o desenvolvimento mental do aluno e também para que ele se sinta ativo no processo de ensino e aprendizagem. Com a dinâmica do trabalho em grupo, os alunos se sentem mais livres para arriscar as suas opiniões e avançar com as suas descobertas, apresentando seus pensamentos, além dos alunos encontrarem espaços para explicar e verificar se o seu raciocínio está certo ou errado.

No intuito de propiciar a comunicação entre os elementos dos grupos, solicitamos aos grupos uma única narrativa escrita. Apresentamos, no Anexo IX, um guia geral para as narrativas escritas. As narrativas escritas serviriam para os alunos apresentarem, por escrito, o registro das conjecturas formuladas, o desenvolvimento das questões e suas conclusões.

Nos momentos de discussão final, proporcionávamos discussões coletivas, nas quais cada grupo foi convidado a expor suas estratégias, argumentar em defesa de suas conjecturas, comparando resultados para consolidar seus entendimentos referentes ao conceito de Função. Antes desses momentos, solicitávamos aos grupos que fizessem os registros detalhados de todo o processo de exploração realizado em cada tarefa exploratório-investigativa, incluindo as tentativas frustradas, os erros, as várias conjecturas levantadas, os testes para validar, ou não, as conjecturas.

O sistema de avaliação utilizado nos episódios de ensino teve como base dois aspectos: primeiramente, as narrativas escritas, realizadas pelos alunos, referente às discussões, e, também, a participação dos grupos nos episódios de ensino. Desta maneira, os alunos realizaram todas as tarefas em grupo, mas nem todas as narrativas escritas foram feitas coletivamente, pois algumas foram escritas unicamente pelos líderes dos grupos. Ao longo dos episódios de ensino, avaliamos as narrativas escritas segundo uma metodologia de comparação e ordenação, em que privilegiamos as interações diretas com os alunos. Optamos também por utilizar as narrativas individuais como forma de apresentar o trabalho realizado em algumas tarefas, pois pretendíamos que alguns alunos, principalmente aqueles mais tímidos, também tivessem a oportunidade de apresentar suas opiniões.

A narrativa oral foi outra forma de comunicação experimentada nos episódios de ensino, nos quais os alunos participavam desta em forma de apresentação, relatando como sucedeu o desenvolvimento das tarefas exploratório-investigativas em seus grupos. Nessas apresentações, os alunos contavam histórias do que havia acontecido e, no final das apresentações de cada grupo, comentávamos os trabalhos e refletíamos com toda a turma os tópicos mais relevantes.

das questões conduzidas no grupo-turma. De acordo com essa autora, a exploração de uma tarefa no grupo-turma facilita para que os alunos expliquem as suas idéias relativamente ao processo de investigar, permitindo clarificar a maneira como realizou uma conjectura e as provas das conjecturas através de sucessivos testes. Nesta perspectiva, Cockcroft (1982) declara que a discussão, no final da atividade, é uma atividade privilegiada do trabalho com toda a classe. Para esse autor, o termo discussão,

[...] significa mais do que algumas perguntas e respostas que surgem no decorrer de uma exposição pelo professor. A aptidão para ‘dizer o que se entende e entender

o que se diz’ deveria ser um dos resultados de um bom ensino da Matemática. Esta

aptidão desenvolve-se como resultado das oportunidades para falar acerca da Matemática, para explicar e discutir os resultados obtidos e para testar hipóteses. Além disso, os diferentes tópicos que existem na Matemática devem ser apresentados e desenvolvidos de maneira que sejam vistos como inter-relacionados. Os alunos necessitam ajuda explícita para estabelecer estas relações, e isso só pode ser feito por meio de discussões relativamente prolongadas; mesmo os alunos com alto sucesso em Matemática não o fazem por si sós. (COCKCROFT 1982, apud APM 1988, p. 48, grifo nosso).

Desta maneira, entendemos que os momentos de discussões com toda a classe é uma boa oportunidade para sintetizar, criticar e resumir estratégias, idéias ou conjecturas que sejam o produto do trabalho coletivo dos alunos.

Segundo Varandas (2000), a proposta de uma sessão pública de apresentação dos trabalhos surge como resposta ao sentimento que gera, no trabalho dos alunos, a realização de atividades investigativas. Sendo assim, as narrativas orais foram realizadas nos momentos de desenvolvimentos da tarefa, mas também em uma sessão pública de apresentação do trabalho desenvolvido pelo grupo para toda a turma.

Nesta pesquisa, o propósito desta apresentação dos grupos para toda a turma foi o de deixar os alunos sentirem que o trabalho realizado por eles era valorizado tanto pelo professor pesquisador como também para criar uma nova oportunidade deles voltarem a pensar nas tarefas exploratório-investigativas realizadas. Durante as apresentações dos grupos, a maior preocupação foi de promover interações entre os diferentes grupos. Nessas apresentações, os alunos tinham a liberdade para falar e para expor os seus trabalhos da maneira que achassem melhor. No final dos episódios, todos os grupos apresentaram, pelo menos uma vez, os teus trabalhos à turma. Apresentamos, no Anexo VII e Anexo VIII, os agradecimentos para a professora da turma, para os alunos e uma ficha avaliativa apresentada aos alunos no final dos episódios de ensino.

refletir sobre a atividade realizada. Sendo assim, “os alunos, ao compararem diversas abordagens e ao refletirem sobre a natureza da tarefa, compreendem melhor o significado de uma investigação matemática” (TUDELLA 1999, p. 90). Nestes momentos de reflexão, as narrativas possuem relevância, pois, será por meio delas que os alunos poderão registrar e comunicar seus posicionamentos, além das suas considerações sobre o trabalho realizado.