"! #
ℵ
= ∈Nesta quinta parte nalmente começamos a dar os primeiros passos na direção de cálculo diferencial e integral padrão.
39. Reais.
D
enimos reais aqui como classes de equivalência de sequências de racionais.Definição 44. Sejamxn eyn sequências de racionais. Logo,
xn ≡yn...(xn−yn)→0. Lemosxn ≡yn como `xn é equivalente ayn'. Seré o conjunto de todas as sequências racionais, então≡dene uma relação emr.
Exemplo 69. i: xn= 1
n eyn = 2
n2 são equivalentes, ou seja,
1 n ≡ 2 n2; com efeito, 1 n − 2 n2 →0; ii: xn = 1
n ezn= 5 não são equivalentes, uma vez que
1 n−5
→ −5
e−56= 0;
iii: Seja v uma sequência racional tal que vn = (−1)n. Seja w uma sequência racional tal que
wn=
n2 se n≤10 (−1)n se n >10.
Logo, para todo n >10 temosvn=wn. Isso implica que
(vn−wn)→0.
Portanto, v≡w.
Teorema 50. A relação≡da Denição 44 é de equivalência.
Demonstração: Uma vez quexn−xn = 0, de acordo com Teorema 39,
(xn−xn)→0.
Logo,xn ≡xn, o que prova que≡é reexiva. Sexn ≡yn, então(xn−yn)→0(Denição 44). Mas
yn−xn= (−1)(xn−yn).
Logo,
(yn−xn)→(−1) lim
n→∞(xn−yn),
de acordo com os Teoremas 39 e 45. Logo, (yn−xn) →0, uma vez que o racional 0 é absorvente multiplicativo. Logo, yn ≡ xn, o que prova a simetria de≡.
Sexn ≡yn eyn≡zn, então(xn−yn)→0e(yn−zn)→0. Logo,
((xn−yn) + (yn−zn))→0,
de acordo com o Teorema 42. Mas,
((xn−yn) + (yn−zn)) = (xn−zn).
Logo, a substitutividade da igualdade garante que (xn−zn)→ 0. Logo,
xn≡zn, o que prova a transitividade de≡.
Consequentemente, a relação ≡ denida sobre o conjunto r das sequências racionais é de equivalência.
Secé o conjunto das sequências racionais de Cauchy, entãoc⊂re novamente
≡dene uma relação de equivalência, desta vez sobre c. Notar que item iii do Exemplo 69 prova que, de fato, c é subconjunto próprio de r. Com efeito, as sequênciasvnewn daquele item não são de Cauchy, apesar de serem sequências racionais equivalentes entre si.
Teorema 50, em parceria com Teorema 12, permite nalmente denir números reais, bem como reais racionais e reais irracionais.
Definição 45. Seja co conjunto das sequências racionais de Cauchy. Logo,
R=c/≡
é o conjunto dos números reais. Cada elemento de c/≡ é chamado de número real. Se qualquer representantexnde[xn](onde[xn]é uma classe de equivalência pertencente a c/≡) é uma sequência de Cauchy convergente, então [xn] é um número real racional. Caso contrário, [xn] é um número real irracional.
Lembrar quec/≡é o quociente do conjunto de sequências racionais de Cauchy pela relação de equivalência≡(ver parágrafo imediatamente após a demonstra-ção do Teorema 13).
O conjuntoRdos números reais é também conhecido como o corpo dos números reais. Existem outros corpos além deR. Detalhes na Seção 95.
b
Em R toda sequência de Cauchy é convergente. Recomendamos que o leitor prove isso.Se os reais r e s têm, respectivamente, representantes xn e yn, então r+s
(adição entre reais) é um real com representantexn+yn, er·s(ou, simplesmente,
rs, a multiplicação entre reais) é um real com representantexn·yn. Exemplo 70. i: Seja xa sequência racional dada por
x0= 2exn+1= xn+ 2 xn /2; logo, x1= 3 2, x2= 17 12, x3= 577 408, x4= 665857 470832, · · ·.
Este é o mesmo Exemplo 67, apresentado na Seção 36. Neste caso,xé de Cauchy, mas não convergente entre os racionais (como já discutido). Isso signica que x é representante de um real r= [xn]irracional, a saber, um realr tal quer2= 2. Este número real é usualmente denotado por √2. Para que o leitor tenha uma ideia melhor sobre os demais representantes de√2, ver o próximo item. ii: Seja y a sequência racional dada por
y0= 5eyn+1= yn+ 2 yn /2; logo, y1=27 10, y2= 929 540, y3= 1446241 1003320, · · · .
Neste caso,xn≡yn, apesar dexn6=yn. Observar que, em notação decimal, x1−y1= 1,2,x2−y2= 0,303,x3−y3= 0,0272,· · ·. Ambas as sequênciasxeysão de Cauchy, porém não convergentes. Anal, analogamente à discussão na Seção 36, se x ou y conver-gissem, deveriam convergir para um racional L tal que L2 = 2, o que não pode ser o caso. No entanto, [xn], a qual é igual a[yn], é o número realr tal que r2= 2, ou seja,√2.
b
Outros exemplos de representantes de √2 podem ser dados pelo leitor.Sexn+yn=zn, dizemos quezné a soma das parcelasxneyn. Sexn·yn=zn, dizemos que zn é o produto dos fatores xn e yn. O mesmo se diz sobre os respectivos reais com representantesxn,yn ezn.
Obviamente, as propriedades algébricas de adição e multiplicação entre racio-nais induzem as mesmas propriedades para a adição+e a multiplicação·entre números reais. Logo, são teoremas as seguintes fórmulas:
i: a adição entre reais é comutativa e associativa;
ii: a adição entre reais admite neutro aditivo (denotado por 0) e simétrico aditivo para qualquer realr (denotado por−r);
iii: a multiplicação entre reais é comutativa e associativa;
iv: a multiplicação entre reais admite neutro multiplicativo (denotado por 1) e simétrico multiplicativo para qualquer realrdiferente de 0 (denotado por
r−1);
v: o neutro aditivo é absorvente multiplicativo; vi: a multiplicação é distributiva em relação à adição.
A nova propriedade algébrica entre números reais, inexistente entre racionais, é o fato de que sequências e Cauchy e sequências convergentes são conceitos equivalentes emR.
Entre os números reais há uma relação de ordem total≤:
r <0... para todo representantexn derháδtal que n > δ⇒xn <0.
r < s...r−s <0 (lembrar quer−s=r+ (−s), sendo que−sé o simétrico aditivo des)
r≤s...r < s∨r=s.
s≥r...r≤s s > r...r < s
Graças às relações de ordem≤e<emR, é possível introduzir conceitos muito úteis para os estudos da Seção 44:
• Um intervalo aberto (a, b)é o conjunto
{x∈R|a < x∧x < b};
• Um intervalo fechado [a, b]é o conjunto
{x∈R|a≤x∧x≤b};
• Um intervalo fechado degenerado[a, b]é um intervalo fechado tal quea=b;
• Um intervalo fechado não degenerado é um intervalo fechado que não é degenerado;
• Um intervalo aberto à esquerda e fechado à direita (a, b]é o conjunto
{x∈R|a < x∧x≤b};
• Um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita [a, b)é o conjunto
{x∈R|a≤x∧x < b};
• Uma vizinhança de um número realré qualquer intervalo aberto(a, b)tal quer∈(a, b).
Exemplo 71. i: (3,8) é uma vizinhança de 5, mas não de 3; ii:
b
todo número real r admite uma vizinhança (a, b) (consegueprovar isso?).
b
i: Exibir a classe de equivalência de sequências de Cauchy de racionais cor-respondente ao real√5;
ii: provar que nenhum representantexn de√5 é convergente emQ;
iii: provar que, para quaisquer reais a, b e c tais que a < b e b < c, temos que (a, b)∩(b, c) = ∅. Este último é de importância estratégica para a compreensão de limites de funções reais, a serem discutidos na Seção 44. 40. Complexos.
L
embrando queR2 é o conjuntoR×Rdos pares ordenados de números reais, podemos agora introduzir o que são complexos.Definição 46. O corpoCdos números complexos é o conjuntoC= (R2,+,·), onde
• + :R2×R2→R2 é a função dada por
+((a, b),(c, d)) = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
e
• ·:R2×R2→R2 é a função dada por
·((a, b),(c, d)) = (a, b)·(c, d) = (ac−bd, ad+bc).
Cada (a, b)∈R2 é um número complexo. A função+é chamada de adição de complexos, enquanto·é a multiplicação de complexos.
Se (m, n) + (p, q) = (r, s), dizemos que (r, s) é a soma das parcelas (m, n)e
(p, q).
Se (m, n)·(p, q) = (r, s), dizemos que (r, s) é o produto dos fatores (m, n)e
(p, q).
Teorema 51. A adição entre complexos é comutativa. Formalmente, isso se traduz como(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b), onde (a, b) e(c, d) são complexos.
Demonstração: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) = (c, d) + (a, b). Teorema 52. A multiplicação entre complexos é comutativa. Formalmente, isso se traduz como(a, b)·(c, d) = (c, d)·(a, b), onde(a, b)e(c, d)são complexos. Demonstração: (a, b)·(c, d) = (ac−bd, ad+bc) = (ca−db, da+cb) =
Teorema 53. Existe neutro multiplicativo entre os complexos. Ademais, ele é único. Formalmente, isso se traduz como
∃!c∃!d((c, d)∈R2∧ ∀a∀b((a, b)∈R2⇒(a, b)·(c, d) = (a, b))).
Demonstração:
(a, b)·(1,0) = (a.1−b.0, a.0 +b.1) = (a, b).
Ou seja,(1,0) é neutro multiplicativo. Para provar a unicidade do neutro multiplicativo, supor que existe outro.
b
Cabe ao leitor vericar que essa hipótese produz uma contradição. Portanto, o par ordenado (c, d)mencionado é(1,0).
Teorema 54. Existe neutro aditivo entre os complexos. Além disso, ele é único. Formalmente, isso se traduz como
∃!c∃!d((c, d)∈R2∧ ∀a∀b((a, b)∈R2⇒(a, b) + (c, d) = (a, b))).
Demonstração:
(a, b) + (0,0) = (a+ 0, b+ 0) = (a, b).
Ou seja,(0,0)é neutro aditivo. Para provar a unicidade do neutro aditivo, supor que existe outro.
b
Cabe ao leitor vericar que essa hipótese produz uma contradição. Portanto, o par ordenado (c, d) mencionado é(0,0).
Teorema 55. Todo complexo admite simétrico aditivo. Formalmente, isso se traduz como
∀a∀b((a, b)∈R2⇒ ∃c∃d((c, d)∈R2∧(a, b) + (c, d) = (0,0))),
sendo(0,0) o neutro aditivo do Teorema 54. Demonstração:
(a, b) + (−a,−b) = (a+ (−a), b+ (−b)) = (0,0).
Logo,(−a,−b)é simétrico aditivo de(a, b), onde−ae−bsão os simétricos aditivos dos reais ae b, respectivamente. Portanto, o par ordenado (c, d)
mencionado é (−a,−b). Notar que, para cada(a, b)complexo, (−a,−b)é único.
Em particular,(−1,0)é o simétrico aditivo do neutro multiplicativo entre os complexos. Essa informação se revela particularmente relevante para discernir-mos complexos de reais.
b
É teorema a seguinte fórmula: a multiplicação entre complexos é associa-tiva. Recomendamos que o leitor prove isso. Esse fato facilita bastante o cálculo dado pela seguinte denição.Definição 47. Se(a, b)é um complexo diferente do neutro aditivo e n é um natural, então
i: (a, b)0= (1,0);
Exemplo 72. (0,1)3 = (0,1)·(0,1)2 = (0,1)·(0,1)·(0,1)1 = (0,1)·
(0,1)·(0,1)·(0,1)0= (0,1)·(0,1)·(0,1)·(1,0) = (0,−1); o leitor escolhe a ordem em que deseja realizar as operações de multiplicação, uma vez que multiplicação entre complexos é comutativa e associativa.
Lemos(a, b)n como `(a, b) elevado a n'. Em particular,(a, b)2 se lê também como `(a, b)ao quadrado' e(a, b)3 se lê também como `(a, b)ao cubo'.
Entre os complexos existe uma propriedade algébrica que não ocorre entre os reais, os racionais, os inteiros ou os naturais, conforme o próximo teorema.
Teorema 56. Existe um complexo cujo quadrado é o simétrico aditivo do neutro multiplicativo.
Demonstração: (0,1)·(0,1) = (0.0−1.1,0.1 + 1.0) = (−1,0).
O simétrico aditivo do neutro multiplicativo entre os reais é−1. No entanto, não existe realrtal quer2=−1, sendor2=r·r. Comentário análogo vale para os racionais e os inteiros. Entre os naturais, em particular, o simétrico aditivo do neutro multiplicativo sequer existe.
O complexo(0,1)cujo quadrado(0,1)2 é o simétrico aditivo do neutro multi-plicativo(1,0)(ou seja,(−1,0)) é conhecido como unidade imaginária. Comu-mente abrevia-se(0,1)pelo símboloi. Ou seja,
i= (0,1).
Teorema 57. Os complexos da forma (e,0) copiam os números reais. Demonstração: Basta observar que
(a,0)·(c,0) = (ac−0.0, a.0 + 0.c) = (ac,0)
e
(a,0) + (c,0) = (a+c,0 + 0) = (a+c,0).
Logo, adiçãoa+centre reais é copiada por(a,0)+(c,0). Resultado análogo vale para multiplicação.
Este último teorema justica a prática comum de abreviar complexos (a,0)
comoa. Neste contexto, sez= (a, b)é um complexo qualquer, então
(a, b) = (a,0)·(1,0) + (b,0)·(0,1)
(basta fazer as contas para conrmar). Abreviadamente, isso corresponde a a-rmar que
z=a+bi,
ondeaebsão complexos que copiam reais (lembrar quea·1 =a) eié a unidade imaginária.
Logo,
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
e
de acordo com a Denição 46.
Se z = (a, b) é um complexo, chamamos a de parte real de z, e b de parte imaginária do complexo z. Essa convenção é consistente com o fato de que complexos (a,0) copiam os reais, enquanto complexos (0, b) contam com uma propriedade algébrica não replicável pelos reais, por consequência do Teorema 56.
Uma vez que complexos são denidos como pares ordenados (ver Teorema 6) de reais, um complexoz é igual a um complexoz0 sss a parte real dez for igual à parte real dez0 e a parte imaginária de z for igual à parte imaginária de z0. Obviamente essa última armação é um teorema.
A partir de agora adotamos a notação abreviada apara complexos(a,0) ei
para a unidade imaginária (0,1). Logo, biabrevia o complexo(0, b), enquanto
a+biabrevia(a, b). Neste contexto, são teoremas as seguintes fórmulas (lembrar que multiplicação entre complexos é associativa):
i0= 1, i1=i, i2=−1, i3=−i, i4= 1, i5=i e assim por diante. Ou seja,
i4n = 1, i4n+1=i, i4n+2=−1, i4n+3=−i,
ondené um natural.
Esses resultados são usados na Seção 57.
Observar que, apesar dos complexos estenderem os reais em termos das opera-ções algébricas de adição e multiplicação, eles não fazem o mesmo para a relação de ordem total ≤entre reais. Com efeito, se r es são reais tais que r 6= 0ou
s6= 0, então r2+s2>0.
No entanto, entre os complexos isso não é teorema. Por exemplo,i2+ 12= 0.
Pior ainda,(2i)2+ 12=−3<0.
Por conta disso, entre os complexos não é possível denir uma relação de ordem total ≤ que seja compatível com as operações de adição e multiplicação entre complexos, e que ainda seja uma cópia da relação usual≤entre reais.
Copiar a relação de ordem total≤ dos reais entre complexos que copiam os reais é algo trivial:
(a,0)≤(b,0) sss a≤b.
O problema sem solução é estender essa relação para todos os complexos. 41. ω⊂Z⊂Q⊂R⊂C?