novas fórmulas a partir de fórmulas anteriores, em uma dada sequência nita de fórmulas. O princípio por trás desses conceitos consiste na seguinte proposta: obter fórmulas novas, a partir de axiomas e regras de inferência, chamadas de teoremas. Matemáticos são caçadores de teoremas.
Definição 1. Uma demonstração em ZF é uma sequência nita de fórmulas
F1,F2, ....,Fn deS de modo que cada fórmulaFi dessa sequência é um axio-ma de ZF ou uaxio-ma consequência imediata de fórmulas anteriores via o emprego de uma regra de inferência de ZF. Um teorema T de ZF é a última fórmula de uma demonstração em ZF. Neste caso dizemos que F1, F2, ...., Fn é uma demonstração deT (sendo queFn é a fórmula T).
Proposição 1. Todo axioma de ZF é teorema de ZF.
Prova: SejaA um axioma de ZF. Logo, a sequência nita A (formada por uma única fórmula) satisfaz a denição de demonstração em ZF. ComoA
é a última fórmula da sequênciaA, entãoAé teorema de ZF.
Observar que a proposição acima não é um teorema de ZF, uma vez que foi formulada na metalinguagem aqui empregada para discutirmos sobre ZF. Proposições, no contexto do estudo de teorias formais, são conhecidas também como metateoremas.
Proposição 2. Todo teorema em ZF admite innitas demonstrações. Prova: SejaT um teorema de ZF. Logo, existe demonstraçãoF1,F2, ...,Fn
em ZF de modo queFné a fórmulaT. Logo, a sequênciaF1,F2, ...,Fn,Fn
também é uma demonstração deT. Analogamente, a sequênciaF1,F2, ...,
Fn,Fn,Fné uma demonstração deT. Podemos repetir esse procedimento para denir novas demonstrações deT quantas vezes quisermos.
SeT é teorema em ZF, denotamos isso como`ZF T ou`ZF T. SeT não é teorema em ZF, denotamos isso como6`ZF T ou6`ZF T.
Para ilustrarmos um exemplo de demonstração não trivial, considere o seguinte enunciado.
Teorema 1. SeAé uma fórmula de ZF, então `ZF(A ⇒ A).
Demonstração: (A ⇒ ((A ⇒ A) ⇒ A)), ((A ⇒ ((A ⇒ A) ⇒ A)) ⇒
((A ⇒ (A ⇒ A)) ⇒ (A ⇒ A))), ((A ⇒ (A ⇒ A)) ⇒ (A ⇒ A)),
(A ⇒(A ⇒ A)),(A ⇒ A).
A demonstração acima é uma sequência de cinco fórmulas de ZF, separadas por vírgulas (neste caso a vírgula é um símbolo metalinguístico).
A primeira das cinco fórmulas é o axioma L1, onde a fórmulaBde L1 foi subs-tituída pela fórmula(A ⇒ A). A segunda é o axioma L2, ondeBfoi substituída por (A ⇒ A) e C foi substituída por A. A terceira fórmula da demonstração é consequência imediata das fórmulas dos passos 1 e 2 via Modus Ponens. A
quarta é novamente o axioma L1, onde substituímos B por A. Finalmente, o último passo é consequência imediata dos passos 3 e 4 via Modus Ponens.
Do ponto de vista intuitivo, o enunciado acima estabelece que toda fórmula de ZF implica nela mesma. Ou seja, seAé uma fórmula de ZF, então(A ⇒ A)
é um teorema de ZF, independentemente de Aser teorema de ZF ou não. Por exemplo, a sentença x=y é uma fórmula de ZF. Logo,(x=y ⇒x=y)é um teorema de ZF. Analogamente,(x6=y⇒x6=y)é outro teorema de ZF.
Observar que a fórmula (A ⇒ A) não é um axioma de ZF. No entanto, é um teorema de ZF, desde que A seja fórmula. A meta do matemático, neste contexto, é estabelecer quais fórmulas de ZF são teoremas e quais não são.
Os fatos colocados acima justicam a armação anterior de que, uma versão de ZF onde todas as possíveis fórmulas são axiomas, seria inútil. Se todas as fórmulas de ZF fossem axiomas, logo, todas as fórmulas seriam teoremas. Logo, não haveria discriminação entre fórmulas que são teoremas e aquelas que não são. Logo, não haveria necessidade alguma de regras de inferência. Logo, em particular, ZF jamais poderia ser aplicada para lidar com problemas do mundo real. Com efeito, existem fenômenos que ocorrem no mundo real e aqueles que não ocorrem. Os fenômenos que ocorrem no mundo real devem ser, de algum modo, mapeados por teoremas de ZF. Uma teoria formal como ZF não é um luxo intelectual. Há nesta teoria algo inerentemente pragmático no que se re-fere a potenciais aplicações tanto em matemática quanto em ciências nas quais matemática se mostra relevante.
O fato de que nem todas as fórmulas de ZF são teoremas, torna essa teoria um objeto de estudo matemático e losóco. Por exemplo, se, em algum sentido, for possível enunciar um conceito de verdade (ver Seções 15 e 101), é possível provar a existência de fórmulas verdadeiras de ZF que não são teoremas?
O estudo mais detalhado dos axiomas lógicos de ZF demanda um esforço que vai muito além dos propósitos deste livro, como já foi dito acima. Por conta disso, interessa apenas saber que, seP,QeRforem fórmulas quaisquer (teoremas ou não), então as seguintes fórmulas são teoremas de ZF:
1. (P ∧ Q)⇒ P. 2. (P ∧ Q)⇒ Q. 3. P ⇒ P. 4. P ⇒(P ∨ Q). 5. Q ⇒(P ∨ Q).
6. ¬¬P ⇔ P. Princípio da Dupla Negação. 7. (P ⇒ Q)⇔(¬Q ⇒ ¬P).
8. P ∨ ¬P. Princípio do Terceiro Excluído. 9. (P ∧ Q)⇔(Q ∧ P). Conjunção é comutativa. 10. (P ∨ Q)⇔(Q ∨ P). Disjunção é comutativa.
11. (P ⇔ Q)⇔(¬P ⇔ ¬Q). 12. (P ⇔ Q)⇔((P ⇒ Q)∧(Q ⇒ P)). 13. ((P ∨ Q)∨ R)⇔(P ∨(Q ∨ R)). Disjunção é associativa. 14. ((P ∧ Q)∧ R)⇔(P ∧(Q ∧ R)). Conjunção é associativa. 15. (P ∧(Q ∨ R))⇔((P ∧ Q)∨(P ∧ R)). Distributividade da conjunção em relação à disjunção. 16. (P ∨(Q ∧ R))⇔((P ∨ Q)∧(P ∨ R)). Distributividade da disjunção em relação à conjunção. 17. ¬(P ∨ Q)⇔(¬P ∧ ¬Q).
Obviamente há uma innidade de outros teoremas, além desses. O que es-crevemos aqui é apenas para ns de ilustração e futura referência em trechos que ocorrem adiante neste texto.
A fórmula(¬Q ⇒ ¬P)no item 7 acima é chamada de contrapositiva de(P ⇒ Q). Por conta do Princípio da Dupla Negação, a fórmula(P ⇒ Q)também é a contrapositiva de(¬Q ⇒ ¬P).
Exemplo 6. i: (¬(x6= y) ⇔x =y) é o Teorema 6 da lista acima, onde a fórmula P éx=y; logo, por Generalização,
∀x(¬(x6=y)⇔x=y)
é teorema de ZF. Aplicando Generalização novamente,
∀y(∀x(¬(x6=y)⇔x=y))
é mais um teorema de ZF;
ii: (x=y∨x6=y)é o Teorema 8 da lista acima, onde a fórmula P
éx=y; logo, por Generalização,
∀x(x=y∨x6=y)
é outro teorema de ZF.
A igualdade=deve satisfazer a duas condições (as quais são teoremas): i: ∀x(x=x);
ii: x=y⇒(P(x, x)⇒ P(x, y)), ondeP(x, y)é uma fórmula obtida a partir deP(x, x)por substituição de pelo menos uma ocorrência dexpory(desde quey seja livre paraxemP(x, x), ou seja, nenhuma ocorrência livre dex
emP(x, x)está no escopo de quanticador∀z comz ocorrendo emy). O teorema i sobre igualdade é chamado de reexividade da igualdade. Já o teorema ii é conhecido como substitutividade da igualdade. O importante aqui é perceber que qualquer termotsó pode ser igual a ele mesmo. Quando se escreve
x=y, essa fórmula atômica apenas diz que o mesmo termoxé chamado também dey.
A partir da reexividade da igualdade e da substitutividade da igualdade é possível provar que a igualdade é simétrica e transitiva. Ou seja,
∀x∀y(x=y⇒y=x)
e
∀x∀y∀z((x=y∧y=z)⇒x=z)
são teoremas de ZF. Demonstrações desses dois últimos resultados para situações muito mais amplas do que aquelas aqui colocadas podem ser encontradas em [31].
11. Esquemas de teoremas.