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= ∈Aqui exploramos noções elementares sobre certas funções transcendentes, as quais são funções reais não racionais. Mas, antes de introduzirmos as primeiras funções transcendentes, precisamos saber mais sobre sequências, séries e derivadas, incluindo primeiras noções sobre operadores diferenciais.
53. Equações diferenciais.
U
m conceito muito importante em matemática é o de operador diferencial.Não temos a pretensão de conceituar operadores diferenciais aqui. Mas um caso particular perfeitamente útil para os nossos propósitos é o que se segue.
Sejafum conjunto de funçõesf :R→Rtais que, cadaf admite derivada de ordemn, em relação ax. Logo, a funçãoD:f→fdada por
D(f) =
n
X
i=0
αif(i)
é um operador diferencial denido sobref, onde cadaαié um número real e cada
f(i)é uma derivada def, em relação ax, de ordemi, se1≤i≤n, ef(0)=f. Uma denição mais ampla deveria assumir que cadaαié uma funçãoαi:R→
R.Não obstante, isso ainda não cobre o espectro de todos os possíveis operadores diferenciais. A denição dada acima já é o bastante para os nossos propósitos.
Uma vez que f admite derivada de ordem n, naturalmente admite qualquer derivada de ordemi, desde queiseja menor ou igual an.
Exemplo 97. Sejafo conjunto de todas as funções reais polinomiais
p:R→R.
Logo,D:f→f,dada por
D(f) =f0, é um operador diferencial n X i=0 αif(i),
onden= 1, α0 = 0 e α1 = 1. Isso implica que a derivada primeira de qualquer função polinomial é um operador diferencial.
Exemplo 98. Sejafo conjunto de todas as funções reaisp:R→Rque admitem derivada terceira. Logo,
E:f→f, dada por E(f) = 5f000−2f00+f0, é um operador diferencial n X i=0 αif(i),
onde n = 3, α0 = 0, α1 = 1, α2 = −2 e α3 = 5. Isso implica que a derivada primeira de qualquer função de f subtraída do dobro de sua derivada segunda e somada do quíntuplo de sua derivada terceira é um operador diferencial.
Exemplo 99. Seja f o conjunto de todas as funções reais polinomiais
p:R→R. Logo, H:f→f, dada por H(f) = 0, é um operador diferencial n X i=0 αif(i),
onden = 1,α0 = 0 eα1 = 0. Logo, a função constante identicamente nula no espaço de funções polinomais, é um operador diferencial. Deve car claro que cada parcela de um operador diferencial
D(f) =
n
X
i=1
αif(i)
também dene um operador diferencial. Além disso, cada f(i) é um operador diferencial, parai≥1. O somatório acima é chamado de combinação linear dos operadores diferenciaisf(i). Logo, qualquer operador diferencial é uma combi-nação linear de operadores diferenciais.
É teorema fácil de provar que, seD é um operador diferencial, então
D(f +g) =D(f) +D(g)
e, além disso,
D(cf) =cD(f),
ondecé uma constante real.
Pois bem. Agora podemos denir o que é uma equação diferencial, pelo menos para os nossos modestos propósitos neste livro. Uma equação diferencial é uma equação u = v onde ocorre pelo menos um operador diferencial em u ou v.
A rigor, estamos tratando aqui apenas de equações diferenciais denidas sobre espaços de funções reais.
Exemplo 100. Seja y : R → R uma função que admite derivada de qualquer ordem. Logo,
y00+y= 0
é uma equação diferencial. Com efeito, essa equação é equivalente a
D(y) = 0,
ondeD:f→fé o operador diferencial dado por
D(y) =y00−y.
Essa equação diferencial em especial é de grande interesse, como se percebe na Seção 54.
O estudo e a aplicação de equações diferenciais é a principal meta do cálculo diferencial e integral.
54. Séries de potências.
U
ma função f é chamada de classe C∞ sss f admite derivada de ordem n, para qualquerninteiro estritamente positivo.Sejaf :R→Ruma função tal que
f(x) =Xanxn.
Podemos representarf da seguinte maneira:
f(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+· · ·+anxn+· · ·,
onde assumimos a convençãox0= 1 para qualquer realx.
Funções como essas são chamadas de séries de potências. Ou seja, funçõesf
denidas por séries de potências são aquelas em que, cada xdo domínio de f, admite uma imagemf(x)dada pela série acima.
É usual escrever séries de potências como
∞ X n=0 anxn ou ∞ X n=k anxn,
sendokum inteiro positivo.
Teorema 84. Toda função denida por uma série de potências é de classe
Demonstração: Cada soma parcialSndePanxné uma função polinomial. Uma vez que toda função polinomial admite derivada de qualquer ordem, entãoPanxn admite derivada de qualquer ordem.
Adotamos aqui o emprego de séries de potências para representar certas funções. Lembrar que, para todoxreal, temos
a0+a1x+a2x2+a3x3+· · ·+anxn=b0+b1x+b2x2+b3x3+· · ·+bnxn
sssai=bipara todoide0a n(ver discussão na Seção 43). Uma vez que séries de potências são sequências de somas parciais denidas por polinômios, então
X
aixi=Xbixi sss ai=bi
para todoi natural.
Para ns de ilustração, consideremos a funçãoy:R→Rtal que
y00(x) +y(x) = 0
e
y(0) = 0
e
y0(0) = 1.
Esta função é conhecida como seno. Abreviamosy(x)como sen(x), neste caso. Lemos sen(x)como `seno dex'.
Sey00(x) +y(x) = 0, entãoy00(x) =−y(x). Se existir série de potências para representary, temos o seguinte:
y(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+· · ·
y0(x) =a1+ 2a2x+ 3a3x2+ 4a4x3+ 5a5x4+ 6a6x5+ 7a7x6+· · ·
y00(x) = 2a2+ 3.2a3x+ 4.3a4x2+ 5.4a5x3+ 6.5a6x4+ 7.6a7x5+· · ·
sendo −y(x) =−a0−a1x−a2x2−a3x3−a4x4−a5x5−a6x6−a7x7− · · · Logo, a2= −a0 2 , a3= −a1 3.2 , a4= −a2 4.3 = a0 4.3.2, a5= −a3 5.4 = a1 5.4.3.2,· · ·,
uma vez que os coecientes dos monômios de graumdas somas parciais dey00(x)
devem ser iguais aos coecientes dos monômios de graumdas somas parciais de
−y(x). Ou seja, a2= −a0 2 , a3= −a1 3.2 , a4= a0 4.3.2, a5= a1 5.4.3.2, a6= −a0 6.5.4.3.2, a7= −a1 7.6.5.4.3.2
e assim por diante.
Em outras palavras, a igualdade y00(x) =−y(x)permite reduzir a innidade de coecientes am da série de potências de y(x) a apenas dois coecientes, a saber, a0 e a1. Conhecer os valores de a0 e a1 permite determinar todos os demaisam.
Mas seno não é denida apenas pory00(x) =−y(x). As condições de contorno também fazem parte da denição. Observar, por exemplo, que y(0) = a0 e
y0(0) =a1. Logo,a0 = 0 ea1 = 1. Logo,apar = 0. Além disso, cada aímpar é diferente de 0, como se percebe a seguir:
a1= 1, a3= −1 3!, a5= 1 5!, a7= −1 7!, a9= 1 9!
e assim por diante.
Basta agora substituir os valores dos coecientes am na série de potências correspondente ay(x). Portanto,
y(x) =x−x 3 3! + x5 5! −x 7 7! +· · ·. Ou seja, sen(x) = ∞ X n=0 (−1)n x 2n+1 (2n+ 1)!, sendo queP∞
n=0denota apenas uma sérieP.
b
A última fórmula pode ser facilmente demonstrada por indução innita. Basta usar a denição de seno. Recomendamos como exercício, uma vez que a notação acima empregando reticências (· · ·) não é uma prática matematicamente elegante.Nessa discussão é imprescindível que o leitor perceba o seguinte: seno, por denição, é uma funçãoy :R→Rque satisfaz uma equação diferencial sujeita a duas condições de contorno. A equação diferencial éy00+y= 0; as condições de contorno são as fórmulasy(0) = 0ey0(0) = 1. Ou seja, seno é uma funçãoy
cuja derivada segunda é o simétrico aditivo dey, tal que seno de zero é zero e a derivada primeira de seno no ponto zero é um.
Para garantir a consistência do que zemos até agora (admitindo que ZF é consistente), precisamos do próximo teorema.
Teorema 85. sen(x) = ∞ X n=0 (−1)n x 2n+1 (2n+ 1)!
converge para todo realx.
Demonstração: Aplicando Teorema 83, temos que
lim n→∞ (−1)n+1 x2(n+1)+1 (2(n+1)+1)! (−1)n x2n+1 (2n+1)! = lim n→∞ (2n+ 1)! (2n+ 3)!|x|2= lim n→∞ 1 (2n+ 3)(2n+ 2)|x|2.
Mas, para qualquer xreal, o último limite é 0, o qual é menor do que 1. Logo, Teorema 83 garante a convergência da série em questão.
Logo, a série de potências
∞ X n=0 (−1)n x 2n+1 (2n+ 1)!
permite de fato denir uma funçãoy:R→Rque atende às condições impostas na denição de seno.
A função co-seno é uma funçãoy:R→Rtal que
y00(x) +y(x) = 0, y(0) = 1
e
y0(0) = 0.
Ou seja, co-seno dex, abreviada como cos(x), é denida a partir da mesma equação diferencial usada para conceituar seno. A diferença entre seno e co-seno reside única e exclusivamente nas condições de contornoy(0)ey0(0).
Usando as mesmas técnicas empregadas para representar seno por uma série de potências, é possível provar que
cos(x) = 1−x 2 2! + x4 4! −x 6 6! + x8 8! − · · ·= ∞ X n=0 (−1)n x 2n (2n)!,
onde cos(x) =y(x).
É teorema a convergência da série acima. Recomendamos a prova deste resul-tado.
Uma vez que seno e co-seno podem ser representadas por sequências de somas parciais, onde cada soma parcial é um polinômio, então ca fácil demonstrar que
d
dxsen(x) = cos(x).
Analogamente, é fácil provar que
d
dxcos(x) =−sen(x).
Uma vez que seno e co-seno foram denidas a partir da mesma equação di-ferencial, mudando apenas as condições de contorno, é natural questionar quais são as possíveis soluções para a mesma equação diferencial sob condições de contorno arbitrárias, não apenas aquelas usadas para denir seno e co-seno. Ou seja, considere uma funçãoy:R→Rtal que
y00(x) +y(x) = 0, y(0) =α
e
y0(0) =β,
ondeαeβ são reais quaisquer.
Se existir série de potências para representary, temos o seguinte:
y(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+· · ·
y0(x) =a1+ 2a2x+ 3a3x2+ 4a4x3+ 5a5x4+ 6a6x5+ 7a7x6+ 8a8x7+· · ·
sendo −y(x) =−a0−a1x−a2x2−a3x3−a4x4−a5x5−a6x6−a7x7− · · · Logo, a2= −a0 2 , a3= −a1 3.2 , a4= −a2 4.3 = a0 4.3.2, a5= −a3 5.4 = a1 5.4.3.2, · · ·. Ou seja, a2= −a0 2 , a3= −a1 3.2 , a4= a0 4.3.2, a5= a1 5.4.3.2, a6= −a0 6.5.4.3.2, a7= −a1 7.6.5.4.3.2
e assim por diante.
Masy(0) =αey0(0) =β. Logo,a0=αea1=β. Logo,
y(x) =α+βx−αx 2 2! −βx 3 3! + αx4 4! + βx5 5! −αx 6 6! −βx 7 7! +· · · ou seja, y(x) =α 1−x 2 2! + x4 4! −x 6 6! + x8 8! − · · · +β x−x 3 3! + x5 5! −x 7 7! +· · ·
Logo,y(x) =αcos(x) +βsen(x). Observar que
y0(x) =−αsen(x) +βcos(x).
Logo,y(0) =αey0(0) =β.
A prova de que y(x) = αcos(x) +βsen(x) é solução da equação diferencial
y00+y =, sob condições de contorno y(0) = α e y0(0) = β, é de interesse no estudo de álgebra linear. Detalhes nas Seções 83 e 84.
Moral da história: A equação diferencial y00(x) +y(x) = 0 admite uma innidade de soluções. Uma vez denidas as condições de contorno y(0) = α
ey0(0) = β, temos uma única solução expressa por uma combinação linear de seno e co-seno (ou seja, a adição entre αcos(x) e βsen(x)). Em particular, se α = β = 0, y(x) = 0. Logo, a função constante y : R → R dada por
y(x) = 0também é solução da equação diferencial dada, desde que as condições de contorno sejamy(0) = 0ey0(0) = 0.
As funções seno e co-seno admitem interpretações geométricas no contexto de triângulos retângulos em geometria plana. Mas, para que sejamos capazes de contemplar esse fato, precisamos de algumas considerações dadas a seguir.
55. Derivada de funções compostas.