Estruturas Multiplicativas na perspectiva de Susan Lamon

Com o intuito de descrever detalhadamente os conceitos, ideias, procedimentos e representações relacionados ao desenvolvimento do raciocínio proporcional, nesta seção, destacam-se as concepções de Lamon (2007) acerca das estruturas multiplicativas centrais deste raciocínio. Primeiramente, é relevante conceituar as estruturas centrais multiplicativas. Para a pesquisadora estas estruturas são:

[...] sistemas críticos- conectados ao desenvolvimento e em parte alimentado através do ensino- incluindo conteúdo, ação, associações com contextos apropriados, representações, e uma teia de relações conceituais tanto dentro como entre eles. Eles são construídos por uma complexa interação de conhecimento e experiência durante um longo período de tempo e são chamados centrais porque eles constituem parte da espinha dorsal da matemática, ideias, processos e representações que são recorrentes, recursivo, e de complexidade crescente em toda a matemática e domínios científicos. Quando estas estruturas estão suficientemente maduras e conectadas, o seu proprietário desenvolve estruturas de controle de modo que estejam sob seu comando (raciocínio é consciente e deliberado), elas permitem pensamento de ordem superior que antes eram impossíveis, e elas afetam o conhecimento e o desempenho através de uma variedade de domínios51_{. (LAMON, 2007, p. 652)}

Analisando o conceito de estruturas centrais contata-se que elas estão associadas/interligadas/conectadas e envolvem diversos conceitos, ideias, procedimentos e representações, sendo que seu desenvolvimento e mobilização não acontecem de maneira linear. Nesta perspectiva, os materiais curriculares para o desenvolvimento e mobilização dessas estruturas centrais, que constituem a “espinha dorsal da Matemática” (conforme Lamon (2007), precisam levar em conta o fato de que elas se organizam na forma de rede, formadas por “nós” e o estudo destes repercute em toda a estrutura da rede. Além disso, as situações que podem potencializar a aquisição das estruturas centrais precisam ser propostas ao longo dos anos escolares em processos de filiações e rupturas (VERGNAUD, 2009a).

Quanto ao raciocínio proporcional, Lamon (2007, 2008) destaca sete “nós” que pertencem a estrutura multiplicativa central (Figura 25).

51 _{Central conceptual structures are critical systems—built-in and subject to developmental ceilings, and partly}

nurtured through instruction—including content, action, associations with appropriate contexts, representations, and a web of conceptual relations both within and between them. They are built up by a complex interaction of knowledge and experience over a long period of time and are called central because they constitute part of the very backbone of mathematics, ideas and processes and representations that are recurrent, recursive, and of increasing complexity across mathematical and scientific domains. (LAMON, 2007, p. 652).

Figura 25: Rede de aspectos centrais no desenvolvimento do Raciocínio Proporcional

Fonte: Adaptado de Lamon (2007, p. 652)

Nos próximos parágrafos são apresentadas algumas considerações acerca de cada um dos “nós” (medição; quantidades e covariação; raciocínio relativo; unitização; partilha e comparação; raciocínio progressivo e regressivo, interpretações números racionais) presentes na rede proposta por Lamon (2007, 2008). Entende-se que os aspectos centrais desta rede são essenciais à organização e análise dos matérias que apresentam diferentes fases do currículo. Para tanto, ideias de outros pesquisadores são mobilizadas com a intenção de contribuir na problematização dos “nós” que compõem esta rede.

A noção de medida ou medição está presente na maioria das atividades humanas. A história mostra que os seres humanos sempre estiveram preocupados com a medição do universo. Os métodos e unidades de medidas produzidos são fundamentais para a ciência, em especial, à Matemática. Para Caraça (2003, p. 29) “medir e contar são as operações cuja realização a vida de todos os dias exige com maior frequência”. A contagem se realiza fazendo corresponder, sucessivamente, a cada objeto da coleção, um número da sucessão natural. Entretanto, a ideia de medir (comparar duas grandezas de mesma espécie: dois comprimentos, duas áreas, dois volumes, entre outros) exige filiações e rupturas com os números naturais. Em outras palavras, o conjunto dos números naturais nem sempre é suficiente para exprimir uma medida.

Há, assim, uma necessidade de ruptura com a criação de um novo campo numérico (números racionais). Esta criação justifica-se pela impossibilidade da divisão (exata) com números naturais, quando o dividendo não é múltiplo do divisor. Contudo, para essa criação é importante obedecer ao princípio de economia (CARAÇA, 2003), ou seja, os novos números deverão abranger todas as hipóteses de medição, bem como, reduzirem-se aos números naturais sempre que o dividendo for múltiplo do divisor, mantendo filiações com este conjunto. Mas,

como o ato de medir requer três fases e três aspectos bem distintos: escolher a unidade, comparar a grandeza a ser medida com a unidade e exprimir o resultado dessa comparação por um número; o conjunto dos números racionais também não dá conta do ato de medir e há necessidade, novamente, de criação de outro campo numérico, o dos irracionais. Por exemplo, para medir a diagonal de uma quadrado, tomando como unidade seu lado, verifica-se que não há um número racional que represente esta medida.

Esta discussão acerca do ato de medir exige um questionamento: qual a importância da noção de medida para o desenvolvimento do raciocínio proporcional? Os conceitos relacionados a ideia de medida estão presentes na constituição dos números racionais que, por sua vez, são fundamentais ao desenvolvimento do raciocínio proporcional. Segundo Lamon (2008, p. 40, tradução nossa) toda a interpretação do número racional pode ser entendida como uma medida, visto que:

 uma fração [comparação] parte-todo mede a relação multiplicativa de uma parte com o todo à qual pertence;

 uma razão mede grandezas relativas;

 uma taxa como a velocidade é uma quantificação do movimento;

 um quociente é uma medida de quanto 1 pessoa recebe quando 𝑚 pessoas compartilham 𝑛 objetos;

 um operador é uma medida de alguma mudança numa quantidade a partir de um estado anterior;

 como uma medida, um número racional quantifica diretamente uma qualidade, tal como comprimento ou área52_.

Identifica-se, nesta afirmação, que Lamon (2008) associa a representação fracionária dos números racionais, 𝑎

𝑏; 𝑎 ∈ 𝑍 𝑒 𝑏 ∈ 𝑍

∗_{, a cinco interpretações, a saber: comparação parte-}

todo; razão (taxa é uma razão especial – razão entre variáveis de espaços de medida diferentes); quociente; operador e medida. Estas interpretações do número racional também são identificadas como um dos “nós” da rede (Figura 25).

Ao analisar as propostas curriculares dos Estados Unidos da América, Lamon (2008) afirma que estas subestimam a importância da necessidade de medir, principalmente, no início do estudo de frações porque as situações propostas não proporcionam a compreensão dos princípios de medição (conservação da distância e área; deslocamento e particionamento; relação entre unidades). As situações selecionadas para trabalhar a propriedade de densidade dos racionais também, nem sempre, contribuem para a compreensão de que há um número infinito de racionais entre qualquer par de racionais, permitindo que a aproximação torne-se

52 _{[...] a part–whole fraction measures the multiplicative relationship of a part to the whole to which it belongs; a}

ratio measures relative magnitude; a rate such as speed is a quantification of motion; a quotient is a measure of how much 1 person receives when m people share n objects; an operator is a measure of some change in a quantity from a prior state; as a measure, a rational number directly quantifies a quality such as length or area.

cada vez mais próxima a uma medição. Esta noção, denominada limite, é um conceito importante da Matemática abordada nos cursos superiores, “está no coração do cálculo”. A pesquisadora, também, menciona que a maioria das atividades envolve transformação de unidades. Nestas atividades a relação fixa entre as grandezas (eixo: comparação multiplicativa), geralmente, não é evidenciada, sendo resolvidas por meio do algoritmo da operação de multiplicação.

Outro aspecto relevante da noção de medição é conseguir discernir quando a contagem e a medição direta são procedimentos inadequados. Este aspecto, também, é um ponto frágil do currículo, segundo Lamon (2008), pois os estudantes se deparam com situações que envolvem características que não podem ser medidas diretamente (inclinação, velocidade, densidade), ou seja, a medida é uma nova quantidade que é formada por uma relação entre duas outras, sem um trabalho específico para a medição das características qualitativas.

É preciso “tempo para analisar tais características como intensidade de cor, acidez, arredondamento, concentração de uma bebida e a lotação de um elevador, por exemplo, e se envolverem na justificava e argumentação sobre como medi-los53_{” (LAMON, 2008, p. 43,}

tradução nossa). Para Lamon (2008) o ato de medir e a medição não precisam ser um item específico nos materiais curriculares, mas oportunidades de trabalhar com estas noções devem ser promovidas ao longo da escolaridade. Entende-se que a utilização da análise funcional por meio da mobilização da representação auxiliar de transição (representação tabular) possibilita a compreensão da medição das características qualitativas nas situações do campo das estruturas multiplicativas porque torna explícita a taxa de variação entre as variáveis.

A noção de medição está intrinsecamente relacionada ao pensamento relativo (outro “nó” da rede, Figura 25) e este ao desenvolvimento do raciocínio proporcional. Isto porque a resolução de situações proporcionais exige a capacidade de analisar mudanças tanto em termos absolutos quanto em termos relativos.

Por exemplo, ao comparar o número de meninas de duas famílias diferentes (Quadro 3), pode-se verificar variações em termos absolutos (raciocínio aditivo) e relativos (raciocínio multiplicativo): o número de meninas em cada família, representa uma variação absoluta quando analisado o valor absoluto (2), e uma variação relativa quanto analisado em relação ao total de crianças, ou seja, o número de meninas na família de King representa 50% e na família

53 _{[...] need time to analyze such characteristics as color intensity, sourness, roundness, the oranginess of a drink,}

and the crowdedness of an elevator, for example, and to engage in argumentation and justification about how to measure them.

de Jones 40%, representada por unidades percentuais, revelando o entendimento de situações percentuais de acréscimo/decréscimo.

Quadro 3: Situação envolvendo Pensamento Relativo (a) 1. Qual família tem mais meninas?

A família de Jones ou a família de King Fonte: Lamon (2007, p. 650, tradução nossa)

As situações que requerem a mobilização do pensamento relativo contribuem para que o estudante amplie os sentidos atribuídos às palavras, como o termo, “mais”, do exemplo, “mais meninas” para além do associado a situações do campo das estruturas aditivas. Além disso, o pensamento relativo é fundamental no estudo do número racional na representação fracionária, em especial, na compreensão de um dos invariantes operatórios deste número – equivalência - e na interpretação razão. (LAMON, 2008).

O pensamento relativo, ao contrário do absoluto, exige ir além das quantidades que podem ser medidas diretamente a partir do uso de instrumentos ou contagem, ele requer a capacidade de mensurar quantidades obtidas por meio de comparações/relações entre grandezas de naturezas por vezes distintas, requer abstração (OLIVEIRA, 2014). Dada a importância deste raciocínio, Lamon (2008) sugere que sejam apresentadas uma variedade de situações que exijam pensamento absoluto e relativo desde os anos iniciais, pois não dá para prever quando a criança começa a raciocinar relativamente, assim, é importante que ela possa resolver situações propostas em diversos contextos (práticas sociais, própria matemática, outras áreas do conhecimento).

Uma possibilidade de explorar o pensamento relativo no estudo de números racionais na representação fracionária é em situações envolvendo pizzas, apresentadas na maioria dos livros didáticos, mas ao invés de perguntar “quantas fatias de pizza foram consumidas” cuja resposta pode ser dada por meio de uma contagem (pensamento absoluto), questionar “quanto de pizza foi consumido”, pois esta questão requer a utilização do pensamento relativo (LAMON, 2008) por meio de uma razão. A atividade apresentada no Quadro 4 exemplifica uma situação na qual o estudante pode utilizar, para responder a primeira questão, a contagem (pensamento absoluto), afirmando que no disco 𝐵 há três pedaços de pizza a mais que no disco 𝐴, ou verificar que no disco B há 37,5% (3/8) de pizza a mais que no disco 𝐴, podendo servir a quantidade de pizza de 𝐴 duas vezes e meia no disco 𝐵.

Quadro 4: Situação envolvendo Pensamento Relativo (b)

Assumindo que ambas as pizzas são idênticas, quanto mais pizza (porção sombreada) está no disco B? Quantas vezes você poderia servir a quantidade de pizza do disco A no disco B?54

Fonte: Lamon (2008, p. 36, tradução nossa)

O “nó” denominado quantidades e covariação (Figura 25) refere-se a capacidade de identificar e mensurar quantidades, bem como, visualizar a maneira como essas quantidades variam (covariam) quando são dependentes. A noção de covariação é mencionada por pesquisadores (LESH; POST; BEHR, 1998; MARANHÃO; MACHADO, 2011; SILVESTRE; PONTE, 2012) como essencial para o desenvolvimento do raciocínio proporcional e aquisição do conceito de proporcionalidade. Esta noção foi explicitada na subseção 2.3.2, subitem 2.3.1.2 ao relacionar com a análise escalar proposta por Vergnaud (2009a).

Em suas pesquisas Lamon (2008) relata sua “surpresa” com as respostas dadas por estudantes ao serem solicitados a identificar e quantificar grandezas e analisar quais sofrem, ou não, alterações, pois constatou que eles conseguem raciocinar sobre a variação ou não de grandezas. No entanto, a covariação, conforme Lamon (2007, 2008), tem sido uma das estruturas centrais negligenciadas no currículo escolar, em especial, nos anos iniciais.

Ao abordar a covariação, Lamon (2007, 2008), também, sublinha a noção de

invariância. Para a autora,

Invariância não é um dado a priori da mente, nem é simplesmente uma questão de observação empírica. É uma abstração e estudantes alcançam em seu próprio tempo. Ela está relacionada com muitas ideias de número racional: de equivalência, a ideia de mostrar a mesma quantidade relativa, e o relacionamento entre as quatro quantidades em uma proporção, para nomear apenas algumas55_{. (LAMON, 2008, p.}

55, tradução nossa)

Pode-se afirmar que há covariação quando se realizam transformações “dentro” da mesma variável. Já a invariância acontece quando são estabelecidas relações “entre” duas variáveis. As noções de covariação e invariância, propostas por Lamon (2007, 2008) podem ser relacionadas as noções de análise estrutural e funcional, respectivamente, evidenciadas por Vergnaud (1993, 1996, 2009a), mencionadas na subseção 2.3.1. Compreende-se que as situações proporcionais tanto do eixo um para muitos quanto do eixo muitos para muitos

54 _{Assuming that both pizzas are identical, how much more pizza (the shaded portion) is in pan B? How many}

times could you serve the amount of pizza in pan A out of the pizza in pan B?

55 _{Invariance is not a priori datum of the mind, nor is it simply a matter of empirical observation. It is an abstraction}

and students reach it in their own time. It is related to many rational number ideas: equivalence, the idea of showing

possibilitam mensurar quantidades e analisar como estas quantidades (do mesmo espaço de medidas) variam, bem como, identificar a invariância. Para tal, é preciso enfatizar a relação quaternária.

Nesta perspectiva, pode-se afirmar que o raciocínio proporcional envolve relações numéricas de ordem multiplicativa que se constituem entre duas variáveis proporcionais, o que exige o entendimento de uma relação constante entre as duas variáveis (invariância) e de que estas variam em conjunto (covariação).

Assim, os estudantes que possuem o senso de covariação analisam quantidades que variam juntas, falam sobre a mudança e a taxa de mudança com facilidade e determinam as relações que permanecem inalteradas. (LAMON, 2008). Para desenvolver o senso de covariação e a invariância não é preciso propor um número exagerado de atividades, é importante estar ciente do tipo de situações que potencializam fazer perguntas sobre as quantidades e mudanças.

Lamon (2008) sugere alguns tipos de situações que contribuem para os estudantes analisarem as diferenças entre objetos e os seus tamanhos relativos, bem como situações que potencializam o entendimento da invariância. Para o primeiro caso, dois tipos de situações são apresentadas: (i) atividades que requerem comparar a imagem de um objeto a algo externo, normalmente o objeto real (explorar o conceito de escala); e (ii) atividades que questionem sobre relações internas a um objeto (Quadro 5).

Quadro 5: Exemplo de situação envolvendo relações internas a um objeto Avalie a forma como as dimensões do retângulo abaixo se relacionam entre si.

Fonte: Adaptado de Lamon (2008, p. 54)

Na atividade exposta no Quadro 5 ao avaliar a forma como as dimensões do retângulo se relacionam entre si, sem tomar qualquer medição, o estudante poderá tomar a largura do retângulo e visualmente compará-la com o comprimento, identificando que são necessárias 4 larguras para obter o comprimento. Pode-se afirmar que o retângulo é cerca de quatro vezes mais comprido, ou ainda, que a razão entre sua largura e comprimento é de 1: 4. (LAMON, 2008).

Para o segundo caso, são sugeridas atividades que envolvam relações estruturais (Quadro 6); utilização de analogias pictóricas e verbais (Quadro 7) e atividades com materiais

manipuláveis, por exemplo, Barras de Cuisenaire56, Frac-Soma 23557, nas quais sejam propostas questões de comparação entre os tamanhos das peças duas as duas, três a três, entre outras.

Quadro 6: Exemplo de situação envolvendo relações estruturais

Eu tenho 36 fichas, 12 brancas e 24 pretas. Eu faço a seguinte disposição:

Agora eu reorganizei as fichas.

Fonte: Adaptado de Lamon (2008, p. 57)

A atividade exposta no Quadro 6 permite explorar o que foi alterado e o que permanece inalterado no conjunto de fichas. Percebe-se que apenas o agrupamento das fichas foi alterado, pois o número de fichas permanece o mesmo. Em ambos os agrupamentos, cada grupo apresentou duas fichas pretas para cada ficha branca. Esta relação constante pode ser expressa como uma razão: 1: 2.

No Quadro 7 há exemplos de situações que exploram analogias. Conforme Lamon (2008) a análise destas analogias possibilita um meio alternativo e abstrato para estudar as relações. Pois há uma relação entre o primeiro par de termos e o objetivo é fornecer o termo faltante no segundo par de modo que ele exponha uma relação semelhante. Cabe destacar que, é preciso explicar o relacionamento que conduz à resposta, caso contrário, pode-se completar uma analogia meramente fazendo associações e sem pensar na semelhança relacional.

Quadro 7: Exemplo de atividades envolvendo utilização de analogias pictóricas e verbais Em cada caso, analise as respostas possíveis e a relação em que se baseiam.

Fonte: Adaptado de Lamon (2008, p. 57)

56 _{Este material Cuisenaire é formado por várias barras de madeira, sem divisão em unidades e com tamanhos}

variando de uma até dez unidades. Para cada tamanho há cor específica associada. Foi criado pelo belga Georges Cuisenaire Hottelet (1891-1980). (LORENZATO, 2006).

57 _{Este é um material didático elaborado pelo professor Roberto Ribeiro Baldino. Tem por objetivo auxiliar no}

estudo de frações. É constituído por barras de mesmo tamanho (por exemplo, 60 centímetros), divididas em peças congruentes, com divisores múltiplos de 2, 3e 5. (BALDINO, 1983).

Outra característica das pessoas que pensam proporcionalmente é a utilização do processo de unitização, uma dos “nó” da rede de aspectos centrais no desenvolvimento do raciocínio proporcional (Figura 25). Elas pensam em termos de unidades complexas (3 - unidades ou 10 - unidades) e utilizam unidades compostas, sempre que possível, isto é, utilizam, na argumentação, taxas não reduzidas. Assim, unitização significa o processo de reorganizar as grandezas, (re)agrupando-as para formar grupos que representam as mesmas quantidades totais (LAMON, 2007, 2008; OLIVEIRA, 2014).

Para Lamon (2007, 2008) o processo de unitização é subjetivo e natural, precisando ser incentivado nos espaços formais de escolarização, visto que possuir flexibilidade na unitização possibilita pensar sobre qualquer quantidade dada, escolher ou antecipar a melhor maneira (custo cognitivo menor, segundo Duval (2003)) para resolver uma situação. Por exemplo: “suponha que você vá até uma loja e lá tem uma placa que diz 3 kiwis por R$ 2,00. Você quer

comprar 9 kiwis”. Nesta situação, pensar em termos unitários de um kiwi conduz a trabalhar

com dízimas periódicas (1 𝑘𝑖𝑤𝑖 → 0, 6̅ 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠), mas se pensar no grupo de 3 frutos facilita o cálculo e revela o entendimento de covariação das grandezas. As situações proporcionais do eixo muitos para muitos potencializam desenvolver flexibilidade no processo de unitização desde que não sejam valorizados o algoritmo da regra de três e a determinação do valor da unidade para a resolução.

Outra atividade que envolve unitização é exposta no Quadro 8. Quadro 8: Exemplo de atividade envolvendo unitização

Dado conjunto de círculos, explique como pode-se ver 1/3, 1/9 e 1/36

Fonte: Adaptado de Lamon (2008, p. 84)

Observa-se que, duas colunas podem representar 1/3, assim como, uma linha (6 círculos de 18). Para representar 1/9, pode-se tomar dois círculos. A representação de 1/36 requer que cada círculo seja dividido em 2, após, deve-se considerar um círculo inteiro e uma metade (1 1/2 círculo). Atividades como esta contribuem na compreensão das operações com número racional na representação fracionária. (LAMON, 2008).

Lamon (2008) afirma que o currículo planejado (livros didáticos) raramente incentiva a unitização. As situações propostas, por estes materiais, não favorecem o desenvolvimento do uso flexível de unidades. Este fato é preocupante porque a unitização contribui na compreensão

de significados dos número racionais (parte-todo e quociente), principalmente, no invariante operatório equivalência. Uma vez que a unitização permite pensar em termos de pedaços de tamanhos diferentes, o que potencializa gerar frações equivalentes para a mesma quantidade (Quadro 9). Nesta situação, exposta no Quadro 9, os tamanhos das partes sombreadas expressam a mesma quantidade relativa e esta noção precisa ser abordada com maior ênfase no