CAPÍTULO 2 RACIOCÍNIO PROPORCIONAL E PROPORCIONALIDADE:
2.1 PROPORCIONALIDADE: UM CONCEITO FORMADOR E UNIFICADOR DA
conceitos matemáticos, sublinha-se os pressupostos teóricos dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval e os conceitos-chave da teoria dos Campos Conceituais, desenvolvida por Gérard Vergnaud. Em seguida, destaca-se as categorias do campo conceitual das estruturas multiplicativas sob a ótica da teoria dos Campos Conceituais. Também, são apresentados os nós da rede dos aspectos centrais para o desenvolvimento do raciocínio proporcional e as especificidades do conceito de proporcionalidade, com base nas ideias de Lamon (2007, 2008).
2.1 PROPORCIONALIDADE: UM CONCEITO FORMADOR E UNIFICADOR DA MATEMÁTICA
O fato de que várias situações operam de acordo com os princípios da proporcionalidade, evidencia a importância deste conceito nas atividades humanas, desde a mais simples, como comprar produtos em um supermercado, até as mais elaboradas, como analisar a concentração de um produto em uma mistura.
Segundo Barreto (2001) a proporcionalidade constitui-se em um dos conceitos matemáticos mais presentes no cotidiano, pois constantemente se encontram situações para as quais é necessário mobilizar processos cognitivos que colocam em ação as noções relacionadas a este conceito.
Percebe-se a relevância do conceito de proporcionalidade, também, nas diversas áreas do conhecimento (física, química, biologia, engenharia, economia, medicina). No campo da
Física, por exemplo, no que tange a eletricidade há relações proporcionais entre a resistência elétrica e as dimensões do condutor. A Figura 6 mostra uma situação em que: se a área de secção do fio condutor é mantida constante e dobra-se o comprimento do fio, a resistência também dobra, ou seja, comprimento e resistência são grandezas diretamente proporcionais.
Figura 6: Resistência Elétrica
Fonte: Prova do Exame Nacional do Ensino Médio (BRASIL, 2010)
O exemplo exposto na Figura 6 revela que para a elaboração de modelos matemáticos23 que expliquem situações oriundas de outras áreas do conhecimento, a compreensão da proporcionalidade é fundamental. Se a construção de modelos científicos exige, na sua maioria, a elaboração de modelos matemáticos e estes, por sua vez, requerem o entendimento da proporcionalidade, torna-se necessário considerar a complexidade que estes últimos possuem na sua construção. Conforme Lamon (2008) para a construção de um modelo é preciso saber distinguir quando se pode utilizar um conceito e quando não, dito de outro modo, é importante que os estudantes aprendam a reconhecer se as variáveis envolvidas na situação relacionam-se de forma proporcional ou não.
Do ponto de vista matemático, Vergnaud (2009a) afirma que as situações de proporcionalidade envolvem uma relação multiplicativa entre quantidade de dois espaços de medidas24 e apoiam a elaboração das estruturas multiplicativas25, estas por sua vez, envolvem
conceitos matemáticos que não são matematicamente independentes, como multiplicação, divisão, fração, razão, número racional, função linear, entre outros, mas desenvolvem-se em mútua correlação.
Imenes e Lellis (2005) com intuito de enfatizar a importância da proporcionalidade apresentam alguns dos conceitos, conteúdos e ideias matemáticas que ela comporta, a saber:
23 Um modelo matemático é “uma descrição matemática (frequentemente por meio de uma função ou de uma
equação) de um fenômeno real [...]. O propósito do modelo é entender o fenômeno e talvez fazer predições sobre o comportamento futuro” (STEWART, 2008, p.25).
24 Espaços de medidas referem-se a diferentes conjuntos de objetos, diferentes tipos de quantidades ou unidades
de medidas diferentes.
multiplicação e divisão; equivalência; comparação; relação de correspondência26; equação; números racionais; porcentagem; média ponderada; relações entre unidades de medidas; semelhança geométrica e homotetia; teorema de Tales; razões trigonométricas; divisão em partes proporcionais; função (taxa de variação, interpolação linear); área de setor; entre outros. Os pesquisadores afirmam que a proporcionalidade é um conceito para ser desenvolvido ao longo de muitos anos de escolaridade.
Silva (2008), também, cita alguns conceitos, conteúdos e ideias, relacionados à proporcionalidade. A pesquisadora afirma que a “proporcionalidade é ideia unificadora, pois une e relaciona conteúdos individuais e revela princípios gerais que facilitam a formação de conceitos” (SILVA, 2008, p. 62).
Nesta perspectiva, Paula (2010, p. 14) ressalta que
Proporcionalidade não é apenas um conteúdo matemático, mas sim um “formador” de estruturas cognitivas para a compreensão de outros importantes conceitos matemáticos, tanto nas questões numéricas, como naquelas envolvendo medidas e geometria assumindo, assim o tema, inclusive, o papel integralizador dessas atividades da matemática.
Assim, a não compreensão desse conceito pelo estudante pode acarretar prejuízos na aquisição de um conjunto de informações necessárias a interpretação e a modelagem de fatos, fenômenos e eventos do mundo real, bem como, na construção de estruturas cognitivas essenciais às atividades matemática e científica. Esta afirmação é corroborada nos estudos de vários pesquisadores (IMENES, LELLIS, 2005; LAMON, 2007, 2008; LEVAIN, 1997; NUNES, 2003; OLIVEIRA, 2000, 2009; PONTE et al., 2010; SCHLIEMANN E CARRAHER, 1993; SILVESTRE, 2012; TINOCO et al., 2011; VERGNAUD, 1993, 2009a, 2009b).
A importância da proporcionalidade é confirmada nas propostas curriculares (prescritas) de diversos países. Por exemplo, o National Council of Teachers of Mathematics, dos Estados Unidos da América, por meio da publicação denominada Principles and Standards
for School Mathematics27 - NCTM (APM, 200828) pontua que a proporcionalidade merece
qualquer tempo e esforço para garantir seu desenvolvimento, pois este conceito está presente em várias situações do dia a dia dos estudantes e modela diversos fenômenos de outras áreas do conhecimento. Além disso, a proporcionalidade é um conceito essencial e integrador que estabelece conexões entre vários assuntos abordados do 6º ao 8º ano, conforme já (re)afirmado por pesquisadores citados nesta seção.
26 Associa-se elementos de um conjunto a elementos de outro conjunto. 27 Princípios e Normas para a Matemática Escolar.
É importante sublinhar que esse documento curricular entende a Matemática como um campo de estudo integrado e interligado e, portanto, a proporcionalidade é uma ideia imprescindível para que os estudantes desenvolvam esta visão, a qual possibilita aos estudantes diminuírem a tendência em considerar
[...] procedimentos29 e conceitos matemáticos isoladamente. Se a compreensão
conceitual estiver relacionada com os procedimentos, os alunos não considerarão a matemática como um conjunto arbitrário de regras. Esta integração de procedimentos e conceitos deverá constituir um aspecto primordial da matemática escolar. (NCTM, 2008, p. 72)
O documento, também, defende um trabalho sistemático para o desenvolvimento do pensamento algébrico desde os primeiros anos da escolaridade, em especial, no ensino da proporcionalidade, contribuindo para o uso de “modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas” (APM, 2008, p.39). Por exemplo, na resolução de um problema sobre o modo de fazer um suco, o qual pode ser modelado pela lei matemática 𝑆 =
8
3𝑓, em que 𝑆 é o número de copos de suco e 𝑓 é o número de copos de concentrado de fruta ou
na análise da variação em diversos contextos, por exemplo, o valor pago nas chamadas telefônicas.
O Programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal (ME-DEB, 2007), também, assinala que a proporcionalidade está presente em muitas situações do dia a dia dos estudantes (envolvendo, por exemplo, problemas de natureza multiplicativa nas compras, nas receitas culinárias e porcentagens). No que tange aos conceitos matemáticos, o programa entende que a proporcionalidade é uma relação importante no desenvolvimento do pensamento algébrico, assim como na proposta curricular NCTM.
Silvestre (2012) desenvolveu sua tese de doutorado com estudantes portugueses e analisou a proposta o Programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal, constatando que o conceito de proporcionalidade está proposto no tema Álgebra a ser desenvolvido no 2º ciclo. Segundo a pesquisadora a presença da proporcionalidade neste tema é uma perspectiva inovadora do programa, pois altera o ensino desse conceito que tem sido, geralmente, apoiado na igualdade de razões e no algoritmo da regra de três, seguindo a teoria das proporções
29 Nesta proposta os procedimentos estão direcionados à consecução de uma meta e são entendidos como um
conteúdo que potencializa o desenvolvimento das capacidades ligadas ao saber fazer (processos para resolver distintas situações).
proposta por Eudoxo30 (408 a.C - 355 a.C) para uma abordagem que trata a proporcionalidade como função31.
No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) enfatizam a importância da proporcionalidade na análise de situações do dia a dia e de outras áreas do conhecimento e a consideram como uma ideia fundamental da Matemática. Isto porque a proporcionalidade está presente explicitamente ou implicitamente numa gama de conceitos, ideias e conteúdos matemáticos, por exemplo, nos problemas multiplicativos; nas situações relacionadas à comparação entre razões, na variação de grandezas como perímetros, semelhança de figuras, na construção e análise de tabelas e gráficos, no estudo de funções.
Esse documento sugere o trabalho com situações que permitam ao estudante “observar a variação entre grandezas, estabelecendo relação entre elas e construir estratégias de solução” (BRASIL, 1998, p. 65), estratégias estas não convencionais, ou seja, não relacionadas a um algoritmo. Para o Ensino Médio, estes documentos apontam que, a proporcionalidade direta deve ser explorada como um particular e importante modelo de crescimento (modelo linear: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥), guardada suas restrições. “Neste momento, também é interessante discutir o modelo de decrescimento com proporcionalidade inversa 𝑓(𝑥) =𝑎
𝑥; 𝑥 ≠ 0” (BRASIL, 2006,
p. 72).
Percebe-se que os PCN (BRASIL, 1998, 2006), ao tratarem da proporcionalidade, valorizam a relação com a Álgebra, assim como as demais propostas curriculares supracitadas, especialmente, quando sugerem situações envolvendo variação e o estudo do crescimento proporcional. Indo ao encontro das propostas de muitos pesquisadores (ÁVILA, 1986; LIMA, 1986; LAMON, 2007, 2008; LESH, POST, BEHR, 1988; PONTE et al., 2010; SILVESTRE, 2012; TINOCO et al., 2011), destacando-se, Behr et al. (1995) ao mencionarem que a proporcionalidade fornece indícios para a representação algébrica.
Pode-se constatar a importância da proporcionalidade como um conceito essencial a várias atividades do dia a dia, a outras áreas do conhecimento, bem como, formador e integrador da Matemática. Formador, porque possibilita o desenvolvimento de estruturas cognitivas fundamentais para a aprendizagem desta área do conhecimento, além disso, conceitos, procedimentos e ideias matemáticas tem sua natureza relacionada a ele. Integrador porque potencializa a conexão entre os diferentes campos da matemática e seus conceitos,
30 A teoria das proporções de Eudoxo pode ser estudada com maiores detalhes na seguinte referência:
BONGIOVANNI, V. “As duas maiores contribuições de Eudoxo de Cnido: A teoria das proporções e o método de exaustão”. In: Revista Iberoamericana de Educación Matemática, n. 2, p. 91-110, Junho/2005.
procedimentos e ideias. Vale destacar que “apesar do uso prático no cotidiano [sublinhado por pesquisadores e propostas curriculares prescritas], o conceito de proporcionalidade apresenta grandes dificuldades em termos de formulação e aplicação” (TOLEDO; TOLEDO, 1997, p. 138), o que demanda um trabalho intencional no âmbito escolar.
Ao tratar do conceito de proporcionalidade, vários teóricos e programas de orientação curricular mencionam a importância do raciocínio proporcional (LAMON, 2007, 2008; LESH, POST, BEHR, 1988, LEVAIN, 1997; MARANHÃO, MACHADO, 2011; OLIVEIRA, 2009; PONTE et al., 2010; SILVESTRE 2012; VERGNAUD, 2009a; BRASIL, 1998) tanto para a Matemática como para as práticas sociais e outras áreas do conhecimento.
As contribuições da capacidade de raciocinar proporcionalmente em outras áreas do conhecimento e disciplinas escolares, por exemplo, biologia, química e física são ressaltadas por Godino e Batanero (2004) ao pontuarem que as inúmeras situações dessas áreas e disciplinas requerem uma análise qualitativa e quantitativa do fenômeno investigado e, geralmente, estas análises revelam princípios proporcionais.
As questões relacionadas ao desenvolvimento do raciocínio proporcional e suas aplicações tanto dentro da Matemática quanto fora são salientadas por Lamon (2008, p. 3, tradução nossa) ao afirmar que:
Claramente, muitas pessoas que não têm desenvolvido a sua capacidade de raciocínio proporcional têm sido capazes de compensar usando regras de álgebra, geometria e trigonometria, mas, no final, as regras são um substituto pobre para a compreensão. Elas não estão preparadas para aplicações reais em estatística, biologia, geografia ou física – nas quais o importante é que os princípios fundamentais dependem da proporcionalidade. Isto é lamentável, num momento em que um número crescente de profissões depende diretamente da matemática ou do uso de modelos matemáticos para aumentar a eficiência, para salvar vidas, para poupar dinheiro ou tomar decisões importantes32.
Constata-se, na afirmação acima, uma crítica ao uso exagerado de regras, pois estas não revelam os princípios fundamentais dos fenômenos, por exemplo, taxa de variação.
No que se refere à Matemática como disciplina e área do conhecimento, Lamon (2007, 2008) chama a atenção de pesquisadores e professores para o fato de que o raciocínio proporcional é um dos melhores indicadores do entendimento de número racional e dos conceitos multiplicativos relacionados33. Este raciocínio é considerado, principalmente, por
32 Clearly, many people who have not developed their proportional reasoning ability have been able to compensate
by using rules in algebra, geometry, and trigonometry courses, but, in the end, the rules are a poor substitute for understanding. They are unprepared for real applications in statistics, biology, geography, or physics—where important, foundational principles rely on proportionality. This is unfortunate at a time when an everincreasing number of professions rely on mathematics directly or use mathematical modeling to increase efficiency, to save lives, to save money, or to make important decisions.
professores como uma medida para identificar a compreensão de conceitos, conteúdos e ideias matemáticas elementares, entendimento este que conduz a um trabalho restrito a poucos anos de escolarização.
No entanto, o raciocínio proporcional, para a pesquisadora supracitada, é parte do alicerce de conceitos mais complexos. Quanto ao termo raciocínio proporcional, Lamon (2008, p. 8, tradução nossa) afirma que este:
[...] é usado para descrever sofisticadas maneiras de pensar em matemática que emergem em algum momento no final dos anos do ensino fundamental ou médio e continuam a crescer em profundidade e sofisticação ao longo do ensino médio e superior. Ele significa a realização de certo nível de maturidade matemática que consolida muitas ideias elementares e abre a porta ao mais avançado pensamento matemático e científico34.
Vergnaud (1996, 2009a) entende o raciocínio proporcional como o trabalho no campo das estruturas multiplicativas. Assim, a relação multiplicativa e a capacidade de pensar dentro e entre espaços de medida são fundamentais para o desenvolvimento do raciocínio proporcional.
Lesh, Post e Behr (1988), também, relacionam o raciocínio proporcional ao campo multiplicativo. Para eles o raciocínio proporcional representa a habilidade de começar entender as relações multiplicativas. Neste sentido, o raciocínio proporcional é:
[...] uma forma de raciocínio matemático que envolve o sentido de covariância e múltiplas comparações, assim como aptidão para processar mentalmente diversos conjuntos de informação. [...] está relacionado com a inferência e predição e envolve o pensamento qualitativo e quantitativo. [...] as principais características do raciocínio proporcional envolvem o raciocínio sobre as relações holísticas entre duas expressões racionais, tais como, taxa, razão, quociente e fração. Isto abrange invariavelmente a apropriação e a síntese mentais dos vários complementos destas expressões e uma aptidão para inferir sobre a igualdade ou desigualdade de pares ou séries dessas expressões, baseada na análise e na síntese. Também envolve a habilidade de produzir com sucesso as componentes omissas, independentemente dos aspectos numéricos do problema35 (LESH; POST; BEHR, p. 1, tradução nossa).
Percebe-se, na citação acima, que o raciocínio proporcional envolve noções de covariância (visualizar que a variação das variáveis envolvidas na situação é dada em conjunto)
34 The term proportional reasoning is used to describe sophisticated mathematical ways of thinking that emerge
sometime in the late elementary or middle school years and continue to grow in depth and sophistication throughout the high school and college years. It signifies the attainment of a certain level of mathematical maturity that consolidates many elementary ideas and opens the door to more advanced mathematical and scientific thinking.
35 [...] is a form of mathematical reasoning that involves a sense of co-variation and of multiple comparisons, and
the ability to mentally store and process several pieces of information. [...] is very much concerned with inference and prediction and involves both qualitative and quantitative methods of thought. [...] the essential characteristics of proportional reasoning to involve reasoning about the holistic relationship between two rational expressions such as rates, ratios, quotients, and fractions. This invariably involves the mental assimilation and synthesis of the various complements of these expressions and an ability to infer the equality or inequality of pairs or series of such expressions based on this analysis and synthesis. It also involves the ability to generate successfully missing components regardless of the numerical aspects of the problem situation.
que possibilitam fazer comparações múltiplas (numéricas e não numéricas) entre expressões racionais e verificar sua igualdade ou desigualdade, bem como, resolver com destreza as situações de valor omisso, sem depender dos valores numéricos. Há, na conceituação, um destaque para a relação entre o raciocínio proporcional e o número racional que merece ser ainda investigada, pois as pesquisas brasileiras, geralmente, estudam o raciocínio proporcional e o número racional separadamente.
As propostas curriculares (ME-DEB, 2007; APM, 2008; PCN, 1998), assim como os pesquisadores já citados acima, reforçam a importância do desenvolvimento do raciocínio proporcional, pois a capacidade de raciocínio é essencial para o entendimento da Matemática e à medida que os estudantes avançam nos anos escolares o repertório de tipos de raciocínio (algébrico, proporcional, geométrico, probabilístico) deverá ampliar-se e contribuir na resolução de situações propostas tanto no espaço escolar quanto em outros contextos.
Nesta perspectiva, os PCN salientam que:
[...] o desenvolvimento do raciocínio proporcional é útil na interpretação de fenômenos do mundo real. Assim, é desejável explorar no terceiro ciclo problemas [no documento elaborado para os anos iniciais essas ideias também são expostas] que levem os alunos a fazer predições por meio de questões que envolvam aspectos qualitativos e quantitativos (O número encontrado deveria ser maior ou menor? Quanto maior? Essa resposta faz sentido?). (BRASIL, 1998, p. 67)
Na citação acima, percebe-se que a relação da proporcionalidade com situações do dia a dia foi levada em consideração para justificar a relevância do raciocínio proporcional. Além disso, recomendam o não uso de regras.
Nesse contexto, verifica-se que os processos essenciais para a compreensão do conceito de proporcionalidade e desenvolvimento do raciocínio proporcional não podem ser resumidos a um conjunto de regras, fórmulas ou definições. Assim, torna-se essencial recorrer a literatura para entender aspectos relacionados a aprendizagem de conceitos matemáticos.
2.2 APRENDIZAGEM MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES DE RAYMOND DUVAL