UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO NAS CIÊNCIAS
MARIA ARLITA DA SILVEIRA SOARES
PROPORCIONALIDADE UM CONCEITO FORMADOR E UNIFICADOR DA MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE DE MATERIAIS QUE EXPRESSAM FASES DO
CURRÍCULO DA EDUCAÇÃO BÁSICA
IJUÍ-RS 2016
MARIA ARLITA DA SILVEIRA SOARES
PROPORCIONALIDADE UM CONCEITO FORMADOR E UNIFICADOR DA MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE DE MATERIAIS QUE EXPRESSAM FASES DO
CURRÍCULO DA EDUCAÇÃO BÁSICA
Trabalho apresentado junto ao Programa de Pós-Graduação em Educação nas Ciências da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí) como requisito parcial para a obtenção do título de Doutora em Educação nas Ciências, sob a orientação da Profª. Drª Cátia Maria Nehring.
IJUÍ-RS 2016
MARIA ARLITA DA SILVEIRA SOARES
PROPORCIONALIDADE UM CONCEITO FORMADOR E UNIFICADOR DA MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE DE MATERIAIS QUE EXPRESSAM FASES DO
CURRÍCULO DA EDUCAÇÃO BÁSICA
Trabalho apresentado junto ao Programa de Pós-Graduação em Educação nas Ciências da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí) como requisito parcial para a obtenção do título de Doutora em Educação nas Ciências, sob a orientação da Profª. Drª Cátia Maria Nehring.
Aprovada em _____ de __________ _______ BANCA EXAMINADORA
___________________________________________________________
Profª. Dra. Cátia Maria Nehring (orientadora) - UNIJUÍ/Ijuí - RS
___________________________________________________________
Profª. Dra. Ângela Maria Hartmann - Unipampa/Campus Caçapava do Sul - RS
___________________________________________________________
Prof. Dr. Fernando Jaime González - UNIJUÍ/Ijuí - RS
___________________________________________________________
Profª. Dra. Leandra Anversa Fioreze - UFRGS/Porto Alegre - RS
___________________________________________________________
Profª. Dra. Maria Cristina Pansera de Araújo - UNIJUÍ/Ijuí - RS
___________________________________________________________
Ser forte é ter, Coragem pra continuar Ter força é ter, Força pra se superar [...] O nosso tempo é tudo que temos Nossas escolhas vão dizer pra onde iremos Nossa vontade é o que faremos [...] CHARLIE BROWN
AGRADECIMENTOS
À professora Cátia Maria Nehring que confiou no meu trabalho, pela ajuda, disponibilidade e dedicação ao orientar-me em todas as etapas, contribuindo para que os desafios fossem superados.
À professora Rita de Cássia Pistóia Mariani pela amizade, conselhos, incentivos, pelas várias discussões que tanto auxiliaram na elaboração deste estudo.
Aos professores, membros da banca, Ângela Maria Hartmann, Fernando Jaime González, Leandra Anversa Fioreze e Maria Cristina P. de Araújo pelas contribuições pertinentes na análise do trabalho.
Às professoras participantes desta pesquisa por terem acolhido a minha proposta de pesquisa e disponibilidade em fornecer os materiais.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação nas Ciências da Unijuí pelo que representaram na minha formação.
Aos meus pais, Dejalmiro e Vera, por todo o apoio. À minha irmã, Juliana, que sempre me incentivou a dar continuidade a minha formação.
Ao Leugim, meu amor, companheiro de todas as horas, por todo o auxílio nesta etapa da minha formação acadêmica, sem palavras para agradecer a tua ajuda.
Aos meus alunos que sempre me incentivaram a finalizar esta pesquisa.
RESUMO
A presente pesquisa teve por objetivos identificar e analisar o tratamento dado ao conceito de proporcionalidade e a presença das estruturas multiplicativas centrais do raciocínio proporcional e da proporcionalidade no currículo planejado e em ação da Educação Básica, considerando as escolhas de um grupo de professores. Bem como, verificar quais transformações cognitivas são consideradas nas situações apresentadas nos materiais curriculares e averiguar se a proporcionalidade é tratada como função. Para tanto, o referencial teórico foi construído sustentado nas teorias que tratam da aprendizagem matemática sob a ótica da psicologia cognitiva, neste caso, a teoria dos Registros de Representação Semiótica e a teoria dos Campos Conceituais; e nas teorias que versam sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional e conceito de proporcionalidade, principalmente, as categorias do campo das estruturas multiplicativas e os “nós” da rede elaborada por Lamon. A fim de atingir o objetivo, elaborou-se a seguinte questão norteadora: De que forma as estruturas multiplicativas centrais
do raciocínio proporcional e o conceito de proporcionalidade vem sendo abordados em materiais que expressam o currículo planejado e o em ação, considerando as escolhas de um grupo de professores? O desenvolvimento seguiu o Modelo de Romberg-Onuchic, por meio de
uma abordagem qualitativa e a produção de dados foi realizada, essencialmente, por análise de documentos. Estes documentos representam as diferentes fases do currículo, a saber: currículo
planejado (coleções de livros didáticos de Matemática da Educação Básica) e currículo em ação (planejamentos de professores). O procedimento adotado para a análise dos documentos
seguiu os princípios da Análise de Conteúdo. A análise das fontes de produção de dados permitiu concluir que, a maioria das estruturas multiplicativas centrais do raciocínio proporcional foram constatadas nos materiais curriculares analisados, no entanto, estes aspectos são pouco explicitados, em outros termos, são abordados com foco no ensino de um conteúdo específico sem estabelecer conexões com outros, o que limita o entendimento da proporcionalidade como conceito unificador e formador da Matemática. Percebe-se, também, que há um isolamento da proporcionalidade em relação a Álgebra, pois as relações verificadas envolvem, principalmente, conceitos aritméticos e geométricos. Quanto as transformações cognitivas, verificou-se que a conversão foi a mais enfatizada nas atividades analisadas. Contudo, os sentidos das conversões na maioria das vezes foram explorados em um único sentido, restringindo a compreensão dos objetos matemáticos. Além disso, a representação auxiliar de transição, essencial à compreensão de enunciados de problemas multiplicativos, foi proposta em poucas atividades tanto nas coleções de livros didáticos quanto nos planejamentos dos professores. A proporcionalidade é tratada como função apenas nos materiais curriculares do Ensino Médio, confirmando que a igualdade de proporção, ainda, é o modelo mais utilizado nos materiais curriculares para abordar este conceito.
Palavras-chave: Estruturas Multiplicativas Centrais do Raciocínio Proporcional; Proporcionalidade; Registros de Representação Semiótica; Campos Conceituais; Coleções de Livros Didáticos; Planejamentos de Professores.
ABSTRACT
This research aimed to identify and analyze the treatment of the concept of proportionality and the presence of central multiplicative structures of proportional reasoning and proportionality in the planned and action curriculum of Basic Education, considering the choices of a group of teachers. As well as determine which cognitive changes are considered in the situations presented in the curriculum materials and determine whether proportionality is treated as a function. Therefore, the theoretical framework was built sustained theories that deal with mathematics learning from the perspective of cognitive psychology, in this case, the theory of Semiotics Representation Registers and the theory of Conceptual Fields; and theories that deal with the development of proportional reasoning and concept of proportionality, mainly the categories of field of multiplicative structures and the "nodes" of the network prepared by Lamon. In order to achieve the goal, it elaborated the following question: How central
multiplicative structures of proportional reasoning and the concept of proportionality has been covered in materials that express the planned curriculum and in action, considering the choices of a group of teachers? The development followed the model Romberg-Onuchic through a
qualitative approach and the production of data was carried out mainly by analysis of documents. They represent the different stages of the curriculum, namely: planned curriculum (collections of textbooks of Mathematics from Basic Education) and curriculum in action (teacher planning). The procedure adopted for the analysis of documents followed the principles of Content Analysis. The analysis of production data sources concluded that most central multiplicative structures of proportional reasoning were found in curriculum materials analyzed, however, these aspects are less explicit, in other words, are addressed with a focus on educational content specific without establishing connections with other, which limits understanding of proportionality as a unifying concept and trainer of mathematics. Also to realize that there is an isolation of proportionality in relation to algebra, as verified relations mainly involve arithmetic and geometric concepts. The cognitive changes, it was found that the conversion was more emphasized on activities analyzed. However, the meanings of conversions most often were exploited in one direction, restricting the understanding of mathematical objects. Moreover, the auxiliary transition representation, essential to the understanding of statements of multiplicative problems, was proposed in a few activities both in the collections of textbooks and in the planning of teachers. Proportionality is treated as a function only in the curriculum materials of high school, confirming that equal proportion, still, is the most widely used model in the curriculum materials to address this concept.
Keywords: Central multiplicative Structures of Proportional Reasoning; Proportionality; Semiotics Representation Registers; Conceptual Fields; Textbook Collections; Planning Teachers.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Atividades desenvolvidas com auxílio do GeoGebra ... 18
Figura 2: Fluxograma de Romberg-Onuchic ... 24
Figura 3: Modelo Preliminar da Pesquisa ... 26
Figura 4: Fluxograma do documento Lições do Rio Grande ... 29
Figura 5: Fluxograma do Modelo de Romberg- Onuchic para esta pesquisa ... 37
Figura 6: Resistência Elétrica ... 39
Figura 7: Diferentes correspondências entre unidades de sentido dos conteúdos das representações ... 50
Figura 8: Relação entre representação gráfica e algébrica é independente do objeto representado ... 54
Figura 9: Classificação dos diferentes registros de representação semiótica ... 55
Figura 10: Variação dos enunciados de problemas aditivos ... 58
Figura 11: Tripé que subjaz a formação de um campo conceitual ... 61
Figura 12: Esquema relacionando conceitos das teorias dos RRS e Campos Conceituais para a compreensão de aspectos essenciais à aprendizagem matemática ... 66
Figura 13: Esquema do Campo Conceitual Multiplicativo ... 69
Figura 14: Exemplo situações um para muitos – multiplicação – Análise Escalar ... 70
Figura 15: Exemplo situações um para muitos – multiplicação – Análise Funcional ... 71
Figura 16: Representação Auxiliar de Transição ... 71
Figura 17: Exemplo situações um para muitos – divisão partitiva – Análise Escalar ... 72
Figura 18: Exemplo situações um para muitos – divisão partitiva – Análise Funcional ... 72
Figura 19: Exemplo situações um para muitos – divisão quotitiva – Análise Escalar ... 73
Figura 20: Exemplo situações um para muitos – divisão quotitiva – Análise Funcional .... 74
Figura 21: Situações da Classe Muitos para Muitos ... 74
Figura 22: Exemplo situações muitos para muitos ... 75
Figura 23: Exemplo situações comparação multiplicativa ... 77
Figura 24: Exemplo de atividade envolvendo comparação multiplicativa – relação desconhecida ... 77
Figura 25: Rede de aspectos centrais no desenvolvimento do Raciocínio Proporcional ... 80
Figura 26: Exemplo de composição de operadores para resolver multiplicação de números racionais ... 92
Figura 27: Exemplo de composição de operadores para resolver divisão de números racionais ... 92
Figura 28: Resoluções elaboradas por estudantes para uma situação envolvendo a interpretação quociente ... 93
Figura 29: Proporcionalidade um conceito formador e unificador da Matemática ... 102
Figura 30: Modelo Modificado ... 104
Figura 31: Exemplo de Atividade que apresenta vários subitens ... 135
Figura 32: Exemplo de Atividade que envolve partilha e comparação e unitização ... 146
Figura 33: Exemplo de Atividade que apresenta vários subitens (cadernos) ... 149
Figura 34: Exemplo de situação da classe muitos para muitos proposta na coleção dos Anos Iniciais ... 168
Figura 35: Exemplos de situações envolvendo o conceito de proporcionalidade ... 168
Figura 36: Situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais e a análise escalar na coleção de livros didáticos dos Anos Finais ... 169
Figura 37: Exemplo de situação envolvendo representação tabular ... 173
Figura 38: Situação envolvendo multiplicação como soma de parcelas iguais na coleção de livros didáticos dos Anos Iniciais ... 176
Figura 39: Situação envolvendo multiplicação como soma de parcelas iguais no caderno do 3º ano do Ensino Fundamental ... 177
Figura 40: Situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais exposta no caderno do 7º ano ... 179
Figura 41: Exemplo de situação da classe referido desconhecido identificada nos livros didáticos ... 182
Figura 42: Exemplo de situação que permite explorar a noção de padrão ... 191
Figura 43: Exemplo de situação explorando equivalência ... 196
Figura 44: Equivalência e comparação de frações ... 197
Figura 45: Exemplo de equivalência envolvendo figuras geométricas ... 197
Figura 46: Exemplo de situação para desenvolver a atividade de unitização ... 198
Figura 47: Exemplo de problemas de “melhor compra” ... 199
Figura 48: Exemplos de atividades envolvendo escala ... 202
Figura 49: Exemplo de atividade envolvendo comparação parte-todo ... 205
Figura 50: Exemplo de atividade envolvendo operador multiplicativo ... 206
Figura 51: Exemplo envolvendo operação de multiplicação com números racionais ... 207
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Distribuição dos blocos de conteúdos por volume da coleção dos Anos Iniciais 114 Gráfico 2: Distribuição dos blocos de conteúdos por volume da coleção dos Anos Finais . 118 Gráfico 3: Distribuição dos conteúdos por volume da coleção do Ensino Médio ... 121 Gráfico 4: Distribuição dos blocos de conteúdos por ano dos cadernos dos Anos Iniciais . 126 Gráfico 5: Distribuição dos blocos de conteúdos por ano dos cadernos dos Anos Finais .. 129 Gráfico 6: Distribuição dos conteúdos por ano dos cadernos do Ensino Médio ... 132 Gráfico 7: Distribuição relativa dos dados das coleções de livros didáticos quanto ao primeiro grupo de categorias ... 158 Gráfico 8: Distribuição relativa das categorias do primeiro grupo em cada volume da coleção ... 160 Gráfico 9: Distribuição relativa dos dados dos cadernos quanto as categorias de análise do primeiro grupo ... 161 Gráfico 10: Distribuição relativa das categorias do primeiro grupo em cada caderno ... 162 Gráfico 11: Distribuição relativa dos dados das coleções de livros didáticos quanto as relações quaternárias ... 164 Gráfico 12: Distribuição relativa dos dados dos cadernos quanto as relações quaternárias . 174 Gráfico 13: Distribuição relativa dos dados das coleções de livros didáticos quanto a comparação multiplicativa ... 181 Gráfico 14: Distribuição relativa dos dados dos cadernos quanto a comparação multiplicativa ... 184 Gráfico 15: Distribuição relativa dos dados das coleções de livros didáticos quanto as funções ... 187 Gráfico 16: Distribuição relativa dos dados dos cadernos quanto as funções ... 190 Gráfico 17: Distribuição relativa dos dados das coleções de livros didáticos quanto os “nós” da rede de Lamon ... 194 Gráfico 18: Distribuição relativa dos “nós” da rede de Lamon em cada volume das coleções ... 199 Gráfico 19: Distribuição relativa dos dados dos cadernos quanto aos “nós” da rede de Lamon ... 201 Gráfico 20: Distribuição relativa dos “nós” da rede de Lamon em cada caderno ... 203 Gráfico 21: Distribuição relativa dos dados das coleções de livros didáticos quanto as interpretações do número racional ... 204 Gráfico 22: Distribuição relativa dos dados dos cadernos quanto as interpretações do número racional ... 204
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Modelos de análise de signo ... 46
Quadro 2: Situações da Classe Um para Muitos ... 69
Quadro 3: Situação envolvendo Pensamento Relativo (a) ... 83
Quadro 4: Situação envolvendo Pensamento Relativo (b) ... 84
Quadro 5: Exemplo de situação envolvendo relações internas a um objeto ... 85
Quadro 6: Exemplo de situação envolvendo relações estruturais ... 86
Quadro 7: Exemplo de atividades envolvendo utilização de analogias pictóricas e verbais 86 Quadro 8: Exemplo de atividade envolvendo unitização ... 87
Quadro 9: Exemplo de atividade envolvendo equivalência de frações ... 88
Quadro 10: Exemplo de atividade envolvendo unidade como um conjunto de elementos .... 88
Quadro 11: Exemplo de atividade envolvendo raciocínio progressivo e regressivo ... 89
Quadro 12: Interpretações do Número Racional ... 90
Quadro 13: Instrumentos de produção de dados da pesquisa referentes ao currículo planejado e em ação ... 109
Quadro 14: Dados dos Livros Didáticos dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental ... 111
Quadro 15: Organização da Coleção de Livros Didáticos dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental ... 111
Quadro 16: Síntese das Ideias Apresentadas no “Manual do Professor” da coleção dos Anos Iniciais ... 112
Quadro 17: Dados dos Livros Didáticos Analisados ... 116
Quadro 18: Organização da Coleção de Livros Didáticos dos Anos Finais do Ensino Fundamental ... 116
Quadro 19: Síntese das Ideias Apresentadas no “Manual do Professor” da Coleção dos Anos Finais ... 117
Quadro 20: Dados dos Livros Didáticos Analisados ... 120
Quadro 21: Organização da Coleção de Livros Didáticos do Ensino Médio ... 120
Quadro 22: Síntese das ideias apresentadas nas “Orientações para o professor” da coleção do Ensino Médio ... 121
Quadro 23: Conteúdos abordados na coleção de Livros Didáticos dos Anos Iniciais ... 137
Quadro 24: Conteúdos abordados na coleção de Livros Didáticos dos Anos Finais ... 138
Quadro 25: Conteúdos abordados na coleção de Livros Didáticos do Ensino Médio ... 140
Quadro 26: Primeiro Grupo de Categorias de Análise das Coleções de Livros Didáticos .. 144
Quadro 27: Relações entre as categorias de análise do primeiro grupo e do segundo grupo 147 Quadro 28: Segundo Grupo de Categorias de Análise das Coleções de Livros Didáticos .. 148
Quadro 30: Conteúdos abordados nos Anos Finais do Ensino Fundamental ... 152
Quadro 31: Conteúdos abordados no Ensino Médio ... 153
Quadro 32: Primeiro Grupo de Categorias de Análise dos Cadernos ... 154
Quadro 33: Segundo Grupo de Categorias de Análise dos Cadernos ... 155
Quadro 34: Percentual de situações dos grupos na classe um para muitos nas diferentes fases da Educação Básica propostas nos livros didáticos ... 165
Quadro 35: Percentual de situações dos grupos na classe um para muitos em cada fase da Educação Básica propostas nos livros didáticos ... 165
Quadro 36: Percentual de situações dos grupos na classe um para muitos nas diferentes fases da Educação Básica propostas nos cadernos ... 174
Quadro 37: Percentual de situações dos grupos na classe um para muitos em cada fase da Educação Básica propostas nos cadernos ... 175
Quadro 38: Exemplo de atividade envolvendo o conceito de porcentagem ... 208
Quadro 39: Relação das dissertações e teses sobre raciocínio proporcional produzidas no Brasil de 1971 a 2014 ... 232
Quadro 40: Relação das dissertações e teses sobre raciocínio proporcional produzidas no Brasil de 2008 a 2014 ... 233
Quadro 41: Relação das dissertações e teses sobre raciocínio proporcional produzidas no Brasil quanto a fundamentação teórica, participantes/instrumentos de produção de dados ... 234
Quadro 42: Relação das dissertações e teses sobre raciocínio proporcional produzidas no Brasil quanto ao termo utilizado no título componentes/descritores/estruturas do raciocínio proporcional e teóricos/pesquisadores ... 237
Quadro 43: Tratamentos – Coleções de Livros Didáticos ... 240
Quadro 44: Conversões – Coleções de Livros Didáticos ... 241
Quadro 45: Tratamentos – Cadernos ... 245
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Percentuais de atividades categorizadas nas três coleções de livros didáticos no 1º grupo de categorias ... 143 Tabela 2: Percentuais de atividades categorizadas nas três coleções de livros didáticos no 2º grupo de categorias ... 147 Tabela 3: Percentual de atividades categorizadas nos cadernos, referentes a cada ano, no 1º grupo de categorias ... 153 Tabela 4: Transformações Cognitivas identificadas nas coleções de livros didáticos quanto a classe um para muitos ... 166 Tabela 5: Transformações Cognitivas identificadas nas coleções de livros didáticos quanto a classe muitos para muitos ... 172 Tabela 6: Transformações Cognitivas identificadas nos cadernos quanto a classe um para
muitos ... 178
Tabela 7: Transformações Cognitivas identificadas nos cadernos quanto a classe muitos para
muitos ... 180
Tabela 8: Transformações Cognitivas identificadas nas coleções de livros didáticos quanto a comparação multiplicativa ... 184 Tabela 9: Transformações Cognitivas identificadas nos cadernos quanto a comparação multiplicativa ... 186 Tabela 10: Transformações Cognitivas identificadas nas coleções de livros didáticos quanto a categoria funções ... 189 Tabela 11: Transformações Cognitivas identificadas nos cadernos quanto a categoria funções ... 192
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ... 16
CAPÍTULO 1 – METODOLOGIA DE PESQUISA: CONJUNTURA E MOVIMENTOS ... 22
1.1 MODELO DE ROMBERG E ESTA PESQUISA ... 22
1.1.1 Fenômeno de Interesse e elaboração do Modelo Preliminar ... 24
1.1.2 Discussão do Modelo Preliminar e Estudos Correlatos ... 26
CAPÍTULO 2 - RACIOCÍNIO PROPORCIONAL E PROPORCIONALIDADE: ENTENDIMENTOS RELEVANTES PARA O PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM ... 38
2.1 PROPORCIONALIDADE: UM CONCEITO FORMADOR E UNIFICADOR DA MATEMÁTICA ... 38
2.2 APRENDIZAGEM MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES DE RAYMOND DUVAL . 45 2.3 NATUREZA MULTIPLICATIVA DA PROPORCIONALIDADE E DO RACIOCÍNIO PROPORCIONAL ... 59
2.3.1 Estrutura Multiplicativa sob a ótica de Gérard Vergnaud ... 60
2.3.1.1 Teoria dos Campos Conceituais: uma breve discussão ... 60
2.3.1.2 Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas ... 67
2.3.2 Estruturas Multiplicativas na perspectiva de Susan Lamon ... 79
2.4 ESTA PESQUISA NO CENÁRIO DAS INVESTIGAÇÕES JÁ DESENVOLVIDAS: MODELO MODIFICADO E A NOVA QUESTÃO DE PESQUISA ... 100
CAPÍTULO 3 - ESTRATÉGIAS E PROCEDIMENTOS: CAMINHOS POSSÍVEIS PARA RESOLVER O PROBLEMA DE PESQUISA ... 106
3.1 ESCOLHAS METODOLÓGICAS ... 106
3.2 PRÉ-ANÁLISE DAS FONTES DE PRODUÇÃO DE DADOS ... 110
3.2.1 Pré-análise das coleções de Livros Didáticos para a Educação Básica ... 110
3.2.1.1 Pré-análise da coleção de Livros Didáticos dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental ... 110
3.2.1.2 Pré-análise da coleção de Livros Didáticos dos Anos Finais do Ensino Fundamental ... 115
3.2.1.3 Pré-análise da coleção de Livros Didáticos do Ensino Médio ... 119
3.2.2 Pré-análise dos cadernos ... 123
3.2.2.1 Pré-análise dos cadernos dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental ... 123
3.2.2.3 Pré-análise dos cadernos do Ensino Médio ... 130
3.3 EXPLORAÇÃO DAS FONTES DE PRODUÇÃO DE DADOS ... 133
3.3.1 Exploração das coleções de Livros Didáticos ... 133
3.3.2 Exploração dos Cadernos ... 149
CAPÍTULO 4 - CAPÍTULO 4 - SITUAÇÕES PROPOSTAS EM MATERIAIS CURRICULARES PARA O DESENVOLVILMENTO DO RACIOCÍNIO PROPORCIONAL E ENSINO DE PROPORCIONALIDADE ... 157
4.1 INTERPRETAÇÕES DOS RESULTADOS DO PRIMEIRO GRUPO DE CATEGORIAS DE ANÁLISE ... 157
4.2 INTERPRETAÇÕES DOS RESULTADOS DO SEGUNDO GRUPO DE CATEGORIAS DE ANÁLISE ... 193 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 211 REFERÊNCIAS ... 220 APÊNDICES ... 231 APÊNDICE A ... 232 APÊNDICE B ... 234 APÊNDICE C ... 237 APÊNDICE D ... 240 ANEXOS ... 248
INTRODUÇÃO
No fundo, minha personalidade é, ao mesmo tempo, minha história (isto é, a história das situações e o conjunto das vivências que tive até hoje).
GÉRARD VERGNAUD
A presente pesquisa trata da abordagem do conceito de proporcionalidade no currículo
planejado (livros didáticos) e em ação (planejamentos de professores) da Educação Básica,
com foco nas estruturas multiplicativas centrais do raciocínio proporcional. A escolha deste tema justifica-se pela aplicabilidade do conceito de proporcionalidade a diversas situações do dia a dia (compra e consumo, escalas, produtividade); dentro da própria matemática (multiplicação e divisão, equivalência de frações1, porcentagem, relações entre unidades de medida, semelhança geométrica e homotetia, teorema de Tales); e sua utilização por diversas áreas do conhecimento (física, química, biologia, engenharia, medicina).
Entende-se que a não compreensão deste conceito pelo estudante pode acarretar prejuízos na aquisição de um conjunto de informações necessárias à interpretação de fatos, fenômenos e eventos do mundo real, bem como, na construção de estruturas cognitivas essenciais às atividades matemática e científica.
A aproximação com a pesquisa, do processo de ensino e aprendizagem de conceitos relacionados ao desenvolvimento do raciocínio proporcional teve origem em meu percurso acadêmico e tem se intensificado na trajetória profissional. Destaco2, primeiramente, a pesquisa realizada no mestrado3, que buscou responder: se o planejamento, elaborado pela professora4, para ensinar o conceito de número racional, potencializa a mobilização de vários registros de representação semiótica, bem como a coordenação entre eles. Os dados da pesquisa foram
produzidos por meio de entrevistas sistemáticas e de análise dos planejamentos de 4ª a 8ª séries (5º ao 9º ano) do Ensino Fundamental, elaborados pela professora destas séries. Sendo analisados sob a ótica da teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003).
1 As frações representam um dos subconjuntos dos números racionais.
2 Faço uso da primeira pessoa do singular, nesta introdução, por tratar-se de minhas aproximações com o tema de
pesquisa antes do doutorado.
3 SOARES, M. A. Os números racionais e os registros de representação semiótica: análise de planejamentos
das séries finais do ensino fundamental. Dissertação (Mestrado Educação nas Ciências) – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 2007.
4 A professora escolhida para participar desta pesquisa (2005-2007), ensinava matemática a alunos da 4ª a 8ª série
A análise dos dados permitiu concluir que a organização do planejamento, para ensinar número racional, tinha um caráter linear, ou seja, buscava esgotar em uma única série (5ª série) os conceitos relacionados a este número. Quanto à apresentação dos vários registros de representação do número racional, observou-se que foram mobilizados todos os registros no decorrer das séries finais do Ensino Fundamental, com ênfase ao registro numérico. Também foi constatado que a professora não trabalhava com a questão histórica do surgimento dos racionais, ou seja, a necessidade de medir. Portanto, não explorava a ideia de segmentos comensuráveis, enfatizando apenas o significado parte-todo.
Acredita-se que esta abordagem pode limitar o entendimento da evolução de outros conceitos, por exemplo, proporcionalidade. Ainda, verificou-se que o invariante operatório5, equivalência, foi trabalhado pela professora na 5ª série, “simplesmente”, como mais um conteúdo relacionado à fração e deixado quase que totalmente de lado nas demais séries, porque o foco de estudo eram as operações com números racionais, ensinado por meio de regras. Spinillo (2002), em seu trabalho acerca do raciocínio proporcional, explica que as atividades utilizadas para a investigação da compreensão relativa a este raciocínio são, em geral, agrupadas em duas classes de tarefas: as de incógnita e as de comparação. Sendo que a última (tarefas de comparação) requer a mobilização da noção de equivalência.
Além disso, os dados indicaram uma tendência em valorizar o uso de técnicas operatórias (regras) que não são construídas pelo estudante, mas repassadas de forma direta, talvez do mesmo modo como a professora aprendeu na formação inicial, ou até mesmo na Educação Básica. Tal fato revela a importância de se repensar a formação inicial e continuada de professores. Uma formação voltada para aprender a potencializar a aprendizagem do estudante, bem como, a importância de se realizar pesquisas que revelem as escolhas didáticas dos professores (seleção de situações para ensinar/desenvolver determinados conceitos, procedimentos, ideias, raciocínios matemáticos) ao elaborarem seus planejamentos, mostrando o quanto estão próximos ou não das orientações apresentadas em propostas curriculares.
Algumas questões, após o término da pesquisa realizada no mestrado, ficaram em aberto, tais como: de que modo o entendimento de número racional pode contribuir no desenvolvimento do raciocínio proporcional? um trabalho com números racionais, abordando seus diferentes significados, pode contribuir na aquisição do conceito de proporcionalidade? como os professores se apropriam dos objetivos e programas escolares, transformando-os
5 Conforme Vergnaud (1993, 2009a, 2009b) invariante operatório são objetos, propriedades e relações que
estruturam as formas de organização da atividade (esquemas), estes podem ser mobilizados para analisar e resolver situações. Aspectos relacionados a este conceito serão apresentados no Capítulo 2, desta pesquisa.
conforme as situações concretas (trabalho cotidiano), para ensinar os conceitos matemáticos, em especial, número racional?
Para responder essas questões seria necessária a realização de uma pesquisa sistematizada utilizando diversas fontes de produção de dados (propostas curriculares, programas escolares, livros didáticos, planejamentos de professores). Consciente da amplitude e exigências dessas indagações, ao realizar minha atividade docente como professora da Educação Básica e do Ensino Superior tive a oportunidade de refletir sobre elas e acrescentar outras, em muitos momentos, relacionadas ao conceito de proporcionalidade.
Sublinho um trabalho realizado com os estudantes do 1o ano do Ensino Médio que exigia a construção, no GeoGebra, de algumas figuras geométricas (Figura 1) e análise da relação entre as variáveis, a saber: lado e perímetro da figura ou entre lado e área. Esta atividade permitiu discutir a relação entre conceitos matemáticos, explorar diferentes representações matemáticas, principalmente, diferenciar situações nas quais a relação entre as variáveis é proporcional (lado e perímetro do quadrado) das que possuem outro tipo de relação (relação entre a medida do segmento 𝐴𝑋 (base do triângulo) e área do triângulo). Durante a realização da atividade constatei que os estudantes não apresentavam dificuldades para construir as figuras geométricas no software. Entretanto, não possuíam estratégias para definir a variação da área. Em outras palavras, não conseguiam verificar se a variação era ou não proporcional. Talvez essa dificuldade tenha se tornado explícita porque a situação proposta foge do modelo convencional dos “problemas de regra de três” ou “problemas do valor omisso”, nos quais a maioria dos estudantes aplica a regra sem analisar a variação que ocorre entre as variáveis envolvidas.
Figura 1: Atividades desenvolvidas com auxílio do GeoGebra
Perímetro e área do quadrado Relação entre segmento 𝐴𝑋 e área do retângulo Relação entre segmento 𝐴𝑋 e área do triângulo
Fonte: Adaptado de Giraldo, Caetano, Mattos (2013, p. 197-199)
O desempenho insatisfatório dos estudantes, diante dessa atividade, soma-se as inquietações, já mencionadas, em relação a aprendizagem de conceitos matemáticos, motivando a busca por entender quais elementos interferem e contribuem na aquisição dos conhecimentos
matemáticos. Vergnaud (1993, p. 82) apresenta algumas sugestões ao afirmar que: “é preciso organizar rupturas importantes na progressão dos conhecimentos dos alunos - e que a realização desta ruptura exige que se desestabilize, às vezes, profundamente, as convicções implícitas ou explícitas”. Neste sentido, emergem outras questões: quais situações o professor pode propor para desestabilizar as convicções dos estudantes em relação à variação entre grandezas e o conceito de proporcionalidade? Quais as representações podem contribuir nessa desestabilização? Que questionamentos o professor pode fazer para que o estudante se dê conta do domínio de validade das estratégias utilizadas?
Essas questões foram exigindo algumas respostas, principalmente, durante minha prática pedagógica tanto na Educação Básica quanto no Ensino Superior. Assim, um estudo mais sistematizado das pesquisas, relacionadas ao conceito de proporcionalidade, iniciou na orientação de trabalhos de conclusão de curso (TCC) e monografias (Pós-Graduação lato sensu) ao me deparar com o artigo denominado “Modelagem Matemática e Sequências Didáticas: uma
relação de complementaridade”, elaborado por Nehring e Borges (2008). Neste artigo, os
autores propõem uma sequência de ensino, na qual o conceito de proporcionalidade é abordado como função. Além disso, sugerem a comparação das situações propostas na sequência com as situações propostas em livros didáticos do 7º ano do Ensino Fundamental.
O primeiro TCC que orientei sobre proporcionalidade foi o de Fagundes (2010), com objetivo de analisar como o estudo do conceito de proporcionalidade é proposto por duas coleções de livros didáticos, considerando a ampliação do grau de complexidade das situações propostas. Para tanto, foram analisados os livros didáticos do 7º e 9º ano do Ensino Fundamental e do 1º ano do Ensino Médio. A acadêmica constatou que a proporcionalidade é apresentada como igualdade de razões. Quanto à ampliação do grau de complexidade das situações, uma das coleções não aborda a proporcionalidade, explicitamente, no 1º ano do Ensino Médio, apenas no 7º ano. Na outra coleção a noção de proporcionalidade foi com frequência revisitada com retomadas e ampliações e explorada por meio de situações que potencializam o aluno a analisar as regularidades, valorizando o uso de estratégias, em especial, a escalar6.
Orientei, também, mais dois trabalhados (COLPO, 2012; BERNARDI, 2013) relacionados a proporcionalidade, cujo instrumento de análise de dados foi o livro didático. Isto porque acredito que ao analisar livros didáticos se está, de forma indireta, investigando como as mudanças curriculares vêm acontecendo na prática/práxis dos professores. Além disso, o currículo (apresentado7) sugerido ao professor é influenciado por vários meios (livros didáticos,
6 São apresentados maiores detalhes para esta estratégia no Capítulo 2.
matriz de referência das avaliações em larga escala) e elaborado por diferentes instâncias, com o intuito de traduzir os significados e os conteúdos prescritos, realizando (re)interpretações destes (SACRISTÁN, 2013).
O primeiro trabalho, de autoria de Colpo (2012), objetivou analisar se e como os livros didáticos do 1º ano do Ensino Médio aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático (aprovados pelo PNLD/2012) abordam o conceito de proporcionalidade. A acadêmica verificou que todos os livros didáticos apresentam atividades cujas variáveis são proporcionais. No entanto, os autores perdem a oportunidade de discutir este conceito, visto que as situações com variáveis proporcionais são propostas para “servirem” de base ao trabalho com a função linear, sem estabelecer relações entre os conceitos.
O segundo trabalho, elaborado por Bernardi (2013), analisou como o conceito de proporcionalidade é abordado por uma coleção de livros didáticos do Ensino Fundamental (aprovada pelo PNLD/2011). O acadêmico constatou que há, em todos os livros da coleção, atividades que requerem o entendimento da proporcionalidade, mas o termo proporcionalidade, em geral, só é exposto nas situações propostas para o uso da regra de três.
É importante registrar que a teoria dos Registros de Representação Semiótica8 pautou
essas pesquisas e tem fundamentado a maioria das investigações que realizo, além de minha prática docente, pois ela permite refletir sobre os saberes ensinados na escola numa perspectiva cognitiva e epistemológica. No entanto, a prática pedagógica e sua análise exigem a busca pela compreensão de outros componentes da aprendizagem, tais como a natureza das situações propostas, pois uma situação, por mais simples que pareça, requer a mobilização de vários conceitos matemáticos, que são construídos ao longo do tempo (VERGNAUD, 2009). Nesta perspectiva, para orientar o trabalho de Bernardi (2013) busquei fundamentação na teoria dos Campos Conceituais9, elaborada pelo psicólogo francês Gerard Vergnaud, que contribuiu na análise dos tipos de situações e nas estratégias utilizadas/sugeridas para a resolução de situações, principalmente, proporcionais.
Os estudos realizados, para orientar esses trabalhos e os respectivos resultados alcançados (considerando suas limitações), revelam que há uma complexidade no processo de
8 Esta teoria destaca a importância dos aspectos semióticos na aprendizagem matemática. Para aprender
matemática, cujo objeto não é observável por meio de instrumentos, é preciso transitar entre vários registros de representação dos objetos e coordená-los. Mais detalhes sobre os pressupostos desta teoria são apresentados no Capítulo 2.
9 O objetivo desta teoria é proporcionar um quadro que possibilite entender as filiações e rupturas entre
conhecimentos, compreendendo por “‘conhecimento’ tanto o saber fazer como os saberes expressos e não ignorando o fato de que os efeitos da aprendizagem e do desenvolvimento [na infância e na adolescência] intervêm conjuntamente” (PIRES, 2013, p. 96). São apresentados no Capítulo, princípios desta teoria para a compreensão da estrutura multiplicativa.
ensino e aprendizagem de proporcionalidade, o qual tem por intencionalidade desenvolver o raciocínio proporcional. Entretanto, o uso exagerado da “regra de três” pode esconder esta complexidade e sugerir que o estudo desse conceito é “simples”.
A possibilidade de continuar pesquisando sobre o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, em especial, sobre o conceito de proporcionalidade me levou a retornar ao Programa de Pós-Graduação em Educação nas Ciências da Unijuí, em Ijuí, na linha de pesquisa
Currículo e Formação de Professores para a realização do doutorado. Após, algumas atividades
no grupo de pesquisa GEEM (Grupo Estudos em Educação Matemática) cuja líder é a professora Cátia Maria Nehring, orientadora deste trabalho, encontros de orientação e apresentação de trabalhos em eventos científicos, optou-se por manter a pesquisa sobre proporcionalidade, incluindo novas perspectivas teóricas, por exemplo, os trabalhos de Lamon (2007, 2008) e direcionar o olhar para além dos livros didáticos, ou seja, analisar também os planejamentos dos professores que ensinam Matemática na Educação Básica, por meio da análise dos cadernos dos estudantes.
Este trabalho está organizado em 4 capítulos, além da Introdução, Considerações Finais, Referências, Apêndices e Anexos, sendo as propostas de cada item descritas na seção introdutória.
CAPÍTULO 1
METODOLOGIA DE PESQUISA: CONJUNTURA E MOVIMENTOS
A razão mais importante pela qual a metodologia de pesquisa em educação constitui-se numa área tão excitante é que a educação não é propriamente uma disciplina. De fato, a educação é um campo de estudo, um local que contém fenômenos, eventos, instituições, problemas, pessoas e processos que em si mesmos constituem a matéria-prima para investigações de muitos tipos.
LEE SHULMAN
Neste Capítulo, apresenta-se a conjuntura e movimentos da pesquisa. O desenho teórico-metodológico é delineado mediante uma pesquisa de cunho qualitativo e segue o modelo proposto por Thomas A. Romberg e, posteriormente, modificado por Lourdes de la Rosa Onuchic. Este modelo é voltado ao processo de desenvolvimento de pesquisas da Educação Matemática. Assim, destacam-se as etapas do modelo e como elas fundamentaram e influenciaram as escolhas que orientaram esta pesquisa.
1.1 MODELO DE ROMBERG E ESTA PESQUISA
Romberg (2007), citando Shulman (1988), afirma que a metodologia de pesquisa em Educação é uma área que desperta interesse porque ela não é propriamente uma disciplina, é um campo de estudo amplo que relaciona várias áreas na busca de compreender e produzir conhecimentos. Assim como a Educação, a Educação Matemática também é um campo de produção de conhecimentos, no qual as investigações direcionam-se para a análise/entendimento das “múltiplas relações entre ensino, aprendizagem e conhecimento matemático em um contexto específico” (FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p. 9). Estas relações são indiscutivelmente complexas, pois envolvem, no mínimo, cinco elementos: professor, aluno, Matemática (como área do conhecimento e disciplina), instituição escolar (Educação Básica ou Ensino Superior) e sociedade.
Para produzir conhecimentos é essencial definir opções teórico-metodológicas. Nesta pesquisa, as opções foram feitas com base nos estudos da Educação Matemática, em especial, nas concepções de Thomas A. Romberg, apresentadas no artigo intitulado Perspectivas sobre
o Conhecimento e Métodos de Pesquisa, publicado na revista Bolema10. Neste artigo, o autor
10 Boletim de Educação Matemática. Disponível em:
discute tendências para a investigação em Educação Matemática e relaciona pesquisa a processos, que não são realizados de forma mecânica. O que exige a definição de procedimentos a serem seguidos de modo que o trabalho seja aceito pela comunidade de pesquisadores.
Neste sentido, expõe dez atividades fundamentais ao desenvolvimento de uma pesquisa, a saber: 1ª) fenômeno de interesse, 2ª) modelo preliminar, 3ª) relacionar com ideias dos outros, 4ª) perguntas ou conjecturas, 5ª) selecionar estratégia de pesquisa, 6ª) selecionar procedimento de pesquisa, 7ª) coletar evidências, 8ª) interpretar evidências, 9ª) relatar resultados e 10ª) antecipar ações de outros.
As dez atividades são agrupadas em 3 blocos: o primeiro, contribui para o pesquisador delimitar um problema de pesquisa (1ª, 2ª, 3ª, 4ª e 5ª atividade); o segundo, orienta a produção de dados (6ª e 7ª atividade); e, o terceiro, destaca a interpretação dos dados e a divulgação dos resultados a comunidade científica (8ª, 9ª e 10ª atividade). Vale destacar que, estas atividades não precisam ocorrer de forma sequencial e, dependendo do fenômeno a ser investigado e dos conhecimentos do pesquisador, a 5ª, a 6ª e a 7ª atividades podem ser suprimidas, pois já existem evidências, estas precisam ser interpretadas.
O Grupo de Trabalho e Estudos em Resolução de Problemas (GTERP), liderado por Lourdes de la Rosa Onuchic, cujas atividades estão vinculadas a UNESP11 - Rio Claro-SP, tem utilizado o modelo de Romberg para desenvolver suas pesquisas e, após análises, sugeriu acrescentar, no primeiro bloco, mais uma atividade (Modelo Modificado), além de apresentar novas interpretações para as atividades já propostas. A justificativa para inserir esta nova atividade no modelo está relacionada ao fato de que após analisar os trabalhos correlatos (3ª atividade no modelo de Romberg) o pesquisador, provavelmente, verificará que seu Modelo Preliminar está defasado e as informações postas não contribuirão na elaboração de uma Pergunta da Pesquisa (ONUCHIC; NOGUTI, 2014).
O fluxograma que apresenta as dez atividades propostas por Romberg pode ser verificado na revista Bolema (2007, n.27, p.93-139). Já o fluxograma organizado pelo GTERP é reproduzido na Figura 2. A reorganização do modelo de Romberg pelo grupo GTERP recebeu o nome de Romberg-Onuchic, pelo fato de a professora Lourdes de la Rosa Onuchic ser a líder do grupo e ter trabalhado nesta modificação.
Figura 2: Fluxograma de Romberg-Onuchic
Fonte: Onuchic et al. (2014, p. 59)
Com auxílio do modelo de Romberg-Onuchic, a seguir são descritos os movimentos e decisões referente à metodologia desta pesquisa, bem como a reorganização do modelo em função do fenômeno de pesquisa, em especial, das especificidades dos dados produzidos.
1.1.1 Fenômeno de Interesse e Elaboração do Modelo Preliminar
A primeira atividade, Fenômeno12 de Interesse, refere-se à identificação do tema da pesquisa. Segundo Romberg (2007, p.6), na Educação Matemática o “fenômeno envolve professores e alunos, como os alunos aprendem, como os alunos interagem com a matemática, como os alunos respondem aos professores, como os professores planejam ensinar, e muitas outras questões”.
Nesta pesquisa, o Fenômeno de Interesse é constituído pelas indagações que emergiram da pesquisa realizada no mestrado, já mencionada na Introdução, em particular, compreender a relação entre o número racional e o conceito de proporcionalidade, bem como, a relação entre os diferentes significados desse número e o desenvolvimento do raciocínio proporcional. Além disso, as vivências e experiências da autora deste trabalho como professora da Educação Básica
12 Este termo pode ser conceituado como sendo “um fato de interesse científico que pode ser descrito e explicado
por seis anos, identificando, neste período, as dificuldades dos estudantes no estudo do conceito de função, principalmente, na análise da variação de grandezas. Estas dificuldades, também, foram verificadas no trabalho realizado com acadêmicos de diversos cursos (Agronomia, Ciência da Computação, Licenciatura em Ciências Exatas, Licenciatura em Matemática)13 do Ensino Superior.
Outro aspecto que constitui o Fenômeno de Interesse desta pesquisa foi a realização de investigações envolvendo o conceito de proporcionalidade, em conjunto com acadêmicos de um Curso de Licenciatura em Matemática, de uma universidade comunitária do interior do estado do Rio Grande do Sul, já relatadas na Introdução, no intuito de compreender as especificidades deste conceito matemático. Em outras palavras, o Fenômeno de Interesse desta pesquisa é fruto de questões que desafiam a pesquisadora e, por isso, há comprometimento com o trabalho.
Considerando os limites destas pesquisas, a complexidade do processo de ensino e aprendizagem da proporcionalidade, a intencionalidade de compreender os conceitos matemáticos relacionados a ela, e o desenvolvimento do raciocínio proporcional, definiu-se o fenômeno de interesse como sendo: ensino de proporcionalidade e desenvolvimento do
raciocínio proporcional em materiais que expressam fases do currículo.
A segunda atividade, construir um Modelo Preliminar, é definida por Romberg (2007, p. 6) como “um conjunto de descrições de variáveis-chave e as relações implícitas entre elas”, conjunto este elaborado para auxiliar o pesquisador a entender um fenômeno complexo. O autor sugere que após a elaboração do Modelo Preliminar, o pesquisador elabore uma primeira pergunta que poderá orientar a identificação das variáveis-chave que deverão ser investigadas. Ressalta-se que no modelo Romberg-Onuchic o Modelo Preliminar sofre alterações após “ouvir” as ideias de outros pesquisadores.
Na Figura 3 apresenta-se o Modelo Preliminar elaborado para esta pesquisa. Neste modelo são expostas variáveis-chave que podem interferir/condicionar/influenciar as escolhas didáticas dos professores, escolhas estas, materializadas nos planejamentos para ensinar conceitos matemáticos e desenvolver os diferentes tipos de raciocínios, em especial, o conceito de proporcionalidade e o desenvolvimento do raciocínio proporcional.
Figura 3: Modelo Preliminar da Pesquisa
Fonte: Elaborada pela autora.
A partir do modelo preliminar, criado para esta pesquisa, elaborou-se a pergunta que busca atender ao fenômeno de interesse, a saber: De que forma o conceito de proporcionalidade
e o raciocínio proporcional vem sendo abordados em materiais que expressam o currículo da Educação Básica?
Na terceira atividade, Relacionar com a ideia dos outros, o pesquisador organiza em um texto as sugestões de outros pesquisadores, pois estas podem contribuir para esclarecer, ampliar e alterar o Modelo Preliminar proposto. Para tanto, optou-se por explicar o porquê das variáveis-chave, destacadas no Modelo Preliminar, bem como apresentar as contribuições de outros pesquisadores para esta pesquisa na seção 1.1.2.
1.1.2 Discussão do Modelo Preliminar e Estudos Correlatos
Considera-se que os conhecimentos dos professores sobre Matemática e sua aprendizagem são variáveis decisivas na seleção, organização e ensino de conteúdos/conceitos, por isso são apresentadas como ponto de partida no momento das escolhas didáticas (Figura 3). Outra variável que pode influenciar nas escolhas didáticas dos professores está relacionada aos materiais curriculares. Assim, busca-se, nesta seção, elementos que potencializem compreender os diferentes materiais curriculares, o ensino de proporcionalidade e o desenvolvimento do raciocínio proporcional, variáveis-chave do Modelo Preliminar desta pesquisa.
Ao tratar de diferentes materiais curriculares14 é essencial buscar entendimentos para currículo. Para Sacristán (2013) currículo é um conceito complexo de definir, pois cruzam muitas dimensões, em função da sua configuração que envolve práticas políticas, econômicas,
14 Este termo vem sendo utilizado nos estudos de Pires (2015, 2016) como o conjunto de materiais disponibilizados
aos professores para desenvolver o currículo de Matemática. Nesta pesquisa, este termo será utilizado para referir-se aos recursos disponibilizados aos professores, por exemplo, livros didáticos, materiais elaborados pelas secretarias de educação, planos de estudos, entre outros, além dos materiais produzidos pelos próprios professores (planejamentos).
sociais, didáticas, de supervisão do sistema escolar, entre outras. Mesmo assim, o autor apresenta um significado para esse conceito, para que haja entendimento ao falar desse processo, a saber: “o conteúdo cultural que os centros educacionais tratam de difundir naqueles que os frequentam, bem como os efeitos que tal conteúdo provoca em seus receptores” (SACRISTÁN, 2013, p.10). Em outras palavras, currículo é a expressão e concretização da seleção cultural que a escola torna realidade dentro de determinadas condições postas por diversas práticas.
Pires (2000) compreende que os currículos escolares são estruturados após uma análise dos saberes considerados socialmente válidos num determinado período por certos indivíduos (pesquisadores, educadores, políticos), concretizados nas disciplinas escolares, pois nem todo o conhecimento produzido pela humanidade faz parte desse currículo. Em outras palavras, o currículo é um recorte da cultura humana, portanto, não é um instrumento neutro, é uma prática constantemente em debate e negociação.
Mello (2009, p. 12) afirma que currículo é todo o conteúdo da experiência escolar que envolve as atividades previstas no projeto pedagógico. Para a autora o currículo “estabelece o básico que todo o aluno tem o direito de aprender e, para esse básico, detalha os contextos que dão sentido aos conteúdos, as atividades de alunos e professores, aos recursos didáticos e as formas de avaliação”, assim, pode ser entendido como o documento que organiza a escola.
Conforme Vece e Curi (2014, p. 622), “ao longo da história, o currículo escolar assumiu um posicionamento nuclear e dinâmico. O currículo não é um documento fechado e burocrático; pelo contrário, é orgânico e envolve desde a sua idealização até a sua projeção na sala de aula”. Neste sentido, entende-se currículo como um processo de ação e reflexão, como um modo de analisar e organizar as práticas educativas (SOARES et al, 2011), constituído por diferentes materiais: orientações postas nos documentos oficiais, planos de ensino da escola, materiais didáticos, planejamentos dos professores, aprendizagens dos estudantes, avaliações, entre outros.
No Brasil, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDBEN 9.394/96 (BRASIL, 1996) em seu Art. 9º, inciso IV, indica que a União incumbir-se-á de estabelecer, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, competências e diretrizes para a educação infantil, o ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum.
Para tanto, o Ministério da Educação (MEC) e Conselho Nacional de Educação, no final da década de 90, elaboraram documentos curriculares, dentre eles as Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN) (BRASIL, 1998) e os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL,
1997, 1998, 1999). O Parecer do CNE/CEB nº 04/1998 (BRASIL, 1998), que estabelecia as DCN, sugeria as escolas que analisassem os PCN e as propostas curriculares de seus estados e municípios para definirem a parte diversificada, conforme peculiaridades das regiões e variedade de estudantes, que integraria a parte comum previstas nesses materiais (PIRES, 2014).
Os PCN apresentavam princípios e orientações gerais para organização de propostas curriculares para cada disciplina, priorizando a aprendizagem ao invés do ensino, apoiados nos resultados das pesquisas em Psicologia (Piaget, Vygotsky, Ausbel) e mudando o lugar do conhecimento, ou seja, o considera como meio para o desenvolvimento de habilidades e competências, influenciados pelos estudos de Cesar Coll. Os conteúdos não foram secundarizados, pois é preciso selecionar conceitos, procedimentos e atitudes que contribuam para o desenvolvimento de competências e habilidades (SAMPAIO, 2010).
Muitas críticas foram formuladas em relação aos PCN, em especial, quanto a amplitude. Conforme Mello (2009, p. 11), “eram necessariamente amplos e, por essa razão, insuficientes para estabelecer a ponte entre o currículo proposto [prescrito] e aquele que deve ser posto em ação na escola e na sala de aula”, mas não se pode deixar de registrar a influência dos PCN na (re)organização curricular brasileira, principalmente, na elaboração das propostas estaduais e na produção de livros didáticos. Esta afirmação pode ser verificada no Relatório de análise de propostas curriculares de Ensino Fundamental e Ensino Médio15, publicado em 2010 pelo MEC, ao sublinhar:
As propostas atuais trazem as marcas das orientações presentes nos parâmetros e diretrizes curriculares nacionais para a escola básica. Afinal, são documentos produzidos no âmbito estadual e no municipal, como propostas oficiais, elaboradas na interlocução com essas proposições. Nas propostas analisadas há muitas semelhanças e significativa concordância com essas orientações. (BRASIL, 2010, p. 6)
As propostas atuais que Sampaio (2010) se refere são os referenciais elaborados por estados e municípios, principalmente, a partir de 2007, para atender as exigências do Art. 9º, inciso IV, da LDBEB 9.394/96. Estas propostas buscaram, entre outros objetivos, aprofundar e detalhar as ideias expressas nas DCN e nos PCN, por vezes, entendidas como muito gerais.
15 Este relatório investigou propostas curriculares elaboradas pelas secretarias de educação, no âmbito estadual e
municipal. Os documentos foram solicitados pelos MEC as secretarias em março de 2009 e estes foram analisados a partir de março de 2010. O grupo foi coordenado por Maria das Mercês Ferreira Sampaio e contou com mais seis pesquisadores. Foram analisados um total de 60 propostas, sendo 34 de Ensino Fundamental, incluindo as 13 de secretarias municipais (principalmente, das capitais) e 21 de secretarias estaduais, e 26 propostas de Ensino Médio. (BRASIL, 2010)
No Rio Grande do Sul, em 2009, foram publicados referenciais curriculares para os Anos Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio, denominados “Lições do Rio Grande”16 com intuito de promover a qualidade da educação e atender metas das políticas educacionais. Foram elencadas 5 metas: “toda criança e jovem de 4 a 17 anos na escola; toda criança plenamente alfabetizada até os 8 anos; todo aluno com aprendizado adequado à sua série; todo jovem com ensino médio concluído até os 19 anos; investimento em educação ampliado e bem gerido” (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p. 9).
Os referenciais curriculares foram organizados em 4 áreas do conhecimento: Linguagens, Códigos e suas Tecnologias; Matemática e suas Tecnologias; Ciências Humanas e suas Tecnologias e Ciências da Natureza e suas Tecnologias, conforme sugestões do Exame de Certificação de Competências da Educação de Jovens e Adultos (ENCEJA). Para a elaboração foram consideradas as propostas de outros países (Argentina e Portugal) e de estados brasileiros (São Paulo e Minas Gerais). A proposta apresenta habilidades e competências cognitivas e conteúdos mínimos a serem abordados nos Anos Finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio (Figura 4). As competências gerais e as competências e habilidade transversais selecionadas para a construção e sustentação dos referenciais fundamenta-se nos PCN+ (BRASIL, 2002).
Figura 4: Fluxograma do documento Lições do Rio Grande
Fonte: Adaptado de Rio Grande do Sul (2009)
Na proposta curricular Lições do Rio Grande fica explícita a posição quanto a autonomia da escola.
A partir desse Referencial, cada escola organiza o seu currículo. A autonomia pedagógica da escola consiste na liberdade de escolher o método de ensino, em sua
16 Estes documentos podem ser acessados no site:
livre opção didático-metodológica, mas não no direito de não ensinar, de não levar os alunos ao desenvolvimento daquelas habilidades e competências cognitivas ou de não abordar aqueles conteúdos curriculares. (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p.10) Percebe-se que a escola tem a liberdade de organizar seu currículo no que tange as escolhas didático-metodológicas, entretanto, não pode negligenciar as competências, habilidades e conteúdos expostos na proposta. Cabe destacar que pesquisas indicam que professores não seguem os currículos propostos por órgãos governamentais de forma mecânica, ao contrário, eles se apropriam deles e os transformam em função das suas realidades locais e de suas concepções sobre, por exemplo, ensino, aprendizagem e avaliação. (CRECCI; FIORENTINI, 2014; VECE; CURI, 2014).
Ressalta-se que há, no Brasil, um trabalho direcionado para a elaboração e discussão de um “currículo nacional”. O documento que apresenta as construções intitula-se Base Nacional Comum Curricular e já está na segunda versão17. A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é uma proposta do MEC que visa orientar a formulação do Projeto Político Pedagógico das escolas no que tange aos conhecimentos essenciais de cada área do conhecimento aos quais os estudantes têm o direito de ter acesso e se apropriar durante a Educação Básica. Compreende-se que a elaboração de um currículo, Compreende-seja ele nacional, regional ou municipal, é apenas o início de um processo que sofre várias transformações, (re)contextualizações, aproximações e distanciamentos.
Sacristán e Pérez-Gómes (1998) sublinham que as sugestões expressas nos documentos oficiais, denominados currículo prescrito, são interpretadas e expressas em outros currículos, a saber: currículo planejado- criado para ser “consumido” por professores e estudantes, materializados a partir dos livros didáticos, guias didáticos, etc.; currículo organizado- os planos organizados pelas instituições escolares; currículo em ação- transformado/reelaborado no planejamento do professor; currículo avaliado- práticas de controle internas e externas. Estes são entendidos como fases do currículo. É importante destacar que estas fases, nem sempre, se desenvolvem de forma contínua, ou seja, há rupturas que, geralmente, são influenciadas pelos materiais curriculares acessados e escolhidos por professores para desenvolver o currículo em ação.
Dentre os materiais curriculares, sublinha-se o livro didático, Sacristán (2013, p.31) afirma que “o livro didático se converteu no agente praticamente exclusivo do desenvolvimento do currículo”. Pode-se inferir que a seleção de conteúdos/conceitos e o tipo de atividades apresentadas nesse material influencia as escolhas didáticas dos professores e seus
planejamentos são recortes de vários livros (SOARES, 2007). Contudo, isto pode acontecer, com maior ênfase, em determinados níveis de escolarização do que em outros, tornando-se relevante investigações que apontam relações e rupturas que os professores estabelecem com esses materiais no momento das escolhas didáticas e na materialização dessas escolhas (elaboração dos planejamentos).
Outro fator que justifica o destaque dado ao livro didático está relacionado ao fato de que nas últimas décadas a distribuição destes materiais foi intensificada, assim como sua avaliação por meio do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). O PNLD é organizado em ciclos trienais alternados. Dessa forma, a cada ano o Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE) adquire e distribui livros para estudantes de determinada etapa de ensino e repõe e complementa os livros reutilizáveis para outras etapas. As etapas são: Anos Iniciais e Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio. São também distribuídos livros para as modalidades Educação de Jovens e Adultos e Educação do Campo. Em 2015, foram distribuídos para o Ensino Fundamental e Ensino Médio 137.804.058 livros didáticos, já em 201618, o número passou para 140.681.994.
Pires (2014, 2016) chama a atenção para a presença e influência dos materiais produzidos para orientar a elaboração das avaliações externas organizadas pelo Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB), por exemplo, matriz da Prova Brasil e matriz do ENEM19 no desenvolvimento curricular, principalmente, nos planos de ensino das escolas (currículo organizado). “[...] embora, não tenhamos um currículo nacional e obrigatório, as matrizes elaboradas para as avaliações externas têm ditado uma configuração curricular seguida por muitas escolas brasileiras” (PIRES, 2014, p. 6).
Diante desse contexto, fica evidenciada a importância do professor no desenvolvimento curricular. Segundo Januário, Lima e Pires (2016, p. 3, grifo nosso) os professores fazem uso dos materiais curriculares,
[...] praticando e planejando a partir das orientações, escolhas didáticas e metodológicas, teorizações e ideologias subjacentes nos materiais curriculares. Porém, como agentes produtores de currículo, também fazem intervenções,
adaptando e improvisando em resposta às necessidades de aprendizagens dos
estudantes. Assim, materiais curriculares influenciam a prática pedagógica e professores influenciam a prática desses recursos.
Ressalta-se que no desenvolvimento do currículo, em particular, na fase currículo em
ação, os professores não são neutros ao selecionarem os conteúdos/conceitos e as situações de
18 Dados disponibilizados no portal do FNDE
http://www.fnde.gov.br/programas/livro-didatico/livro-didatico-dados-estatisticos. Acessado em 19 de julho de 2016.
aprendizagem a serem trabalhadas, sendo expressas na elaboração dos planejamentos concepções acerca do processo de ensino e aprendizagem.
O currículo em ação, o que é colocado em prática nas salas de aulas, é uma realidade pouco conhecida, bem como de que forma os materiais curriculares tem influenciado nas práticas escolares. “Aprofundar a análise sobre seu uso pelos professores é, portanto, uma necessidade premente” (PIRES, 2016, p. 49), principalmente, no trabalho com o conceito de proporcionalidade e desenvolvimento do raciocínio proporcional, dada a relevância destes para a Matemática, outras áreas do conhecimento e atividades cotidianas, conforme mencionado na Introdução desta pesquisa.
Em relação ao conceito de proporcionalidade e o desenvolvimento do raciocínio proporcional, nesta seção, optou-se por apresentar alguns pesquisadores internacionais e nacionais que tomaram estes assuntos como objetos de estudos (LAMON, 2007, 2008; NUNES, CARRAHER, SCHLIEMANN, 1993; PONTE et al., 2010; POST; BEHR; LESH, 1988, 1995; OLIVEIRA, 2009; SILVESTRE, 2012; TINOCO et al., 2011; VERGNAUD, 1993, 2009a) há várias décadas, bem como destacar o mapeamento de pesquisas brasileiras relacionadas à temática.
Os trabalhos realizados por Piaget (e seus colaboradores), sobre desenvolvimento cognitivo, marcaram um avanço decisivo nos estudos acerca do raciocínio proporcional e proporcionalidade. Estes estudos destacaram a importância do raciocínio proporcional para a constituição das operações formais do pensamento. Outras pesquisas internacionais, em geral, influenciadas pelos estudos de Piaget (LAMON, 2007, 2008; LEVAIN, 1997; POST, BEHR, LESH, 1988; PONTE et al, 2010; SILVESTRE, 2012; VERGNAUD, 1993, 2009a, 2009b), revelaram estratégias utilizadas e erros cometidos por estudantes na resolução de situações proporcionais.
As pesquisas de Vergnaud (1993, 2009a), em especial, sublinham tanto o nível de complexidade das situações proporcionais como as variáveis que podem influenciar os estudantes na resolução destas situações. Além disso, estas pesquisas indicam que os estudantes apresentam dificuldades na aquisição deste conceito, indo ao encontro das pesquisas de Ponte et al. (2010) e Silvestre (2012).
Já as pesquisas de Post et al. (1988) e Lamon (2007, 2008) indicam os componentes/ estruturas centrais do raciocínio proporcional e as relações com outros conceitos matemáticos, principalmente, números racionais. Em função das dificuldades relacionadas a este raciocínio e a aquisição do conceito de proporcionalidade, Lamon (2007, 2008), também, preocupa-se
