Exemplos numéricos

Três exemplos superfícies implementado

a partir de

se a convergência do erro relativo na norma dos deslocamentos

Fluxograma do gerador de malhas independentes para as múltiplas superfícies NURBS.

exemplos numéricos

superfícies implementado no programa

modelos geométricos CAD

convergência do erro relativo na norma dos deslocamentos

Fluxograma do gerador de malhas independentes para as múltiplas superfícies NURBS.

numéricos foram utilizados

no programa, sendo possível analis modelos geométricos CAD

convergência do erro relativo na norma dos deslocamentos

Fluxograma do gerador de malhas independentes para as múltiplas superfícies NURBS.

foram utilizados para a validação sendo possível analis modelos geométricos CAD de maneira eficiente convergência do erro relativo na norma dos deslocamentos

Fluxograma do gerador de malhas independentes para as múltiplas superfícies NURBS.

ara a validação

sendo possível analisar numericamente problemas de maneira eficiente

convergência do erro relativo na norma dos deslocamentos

Fluxograma do gerador de malhas independentes para as múltiplas superfícies NURBS.

ara a validação do gerador

ar numericamente problemas de maneira eficiente. No primeiro exemplo convergência do erro relativo na norma dos deslocamentos sobre o contorno

Fluxograma do gerador de malhas independentes para as múltiplas superfícies NURBS.

do gerador de malhas de ar numericamente problemas No primeiro exemplo

obre o contorno Fluxograma do gerador de malhas independentes para as múltiplas superfícies NURBS.

lhas de ar numericamente problemas No primeiro exemplo obre o contorno em

um problema para o qual

mesmo havendo lacunas nas interseções curvas de dis

discretizações independentes, a resposta numérica converge à refinadas são adotadas.

mecânicas de aplicações industriais, os quais disponíveis n

engenheiros e fabricantes arquivos IGES e

MATLAB podem ser encontrados em Gonçalves (2016). potencialidade de

geométricos de alta 3.5.1

cortado por uma superfície cilíndrica de raio centr

x =

sobre a face

um problema para o qual

mesmo havendo lacunas nas interseções curvas de dis

discretizações independentes, a resposta numérica converge à refinadas são adotadas.

mecânicas de aplicações industriais, os quais

disponíveis na biblioteca de modelos CAD de uma comunidade engenheiros e fabricantes

arquivos IGES e

MATLAB podem ser encontrados em Gonçalves (2016). potencialidade de

métricos de alta 3.5.1 Estudo de

O primeiro exemplo trata de um cubo com aresta cortado por uma superfície cilíndrica de raio

ro conforme ilustra a Figura 3.14 0

= estão restringidos e uma força de superfície uniforme sobre a face x₃ =

Figura 3.

Para essas condições de contorno

( )

1 2 3 u u u = − = − = x x x

um problema para o qual a solução analítica é conhecida. Nesse exemplo comprova mesmo havendo lacunas nas interseções curvas de dis

discretizações independentes, a resposta numérica converge à refinadas são adotadas. Os dois

mecânicas de aplicações industriais, os quais

a biblioteca de modelos CAD de uma comunidade engenheiros e fabricantes,

arquivos IGES e sobre a extração de informações geométricas utilizando a MATLAB podem ser encontrados em Gonçalves (2016).

potencialidade de integração da ferramenta computacional desenvolvida com modelos métricos de alta complexibilidade.

de uma geometria com lacunas nas interseções de

O primeiro exemplo trata de um cubo com aresta cortado por uma superfície cilíndrica de raio

o conforme ilustra a Figura 3.14

estão restringidos e uma força de superfície uniforme 1

= .

Figura 3.14 – Pat

Para essas condições de contorno

1 2 3 x E x E x E ν ν = − = − =

a solução analítica é conhecida. Nesse exemplo comprova mesmo havendo lacunas nas interseções curvas de dis

discretizações independentes, a resposta numérica converge à Os dois últimos exemplos

mecânicas de aplicações industriais, os quais

a biblioteca de modelos CAD de uma comunidade , denominada

extração de informações geométricas utilizando a MATLAB podem ser encontrados em Gonçalves (2016).

integração da ferramenta computacional desenvolvida com modelos complexibilidade.

uma geometria com lacunas nas interseções de

O primeiro exemplo trata de um cubo com aresta cortado por uma superfície cilíndrica de raio

o conforme ilustra a Figura 3.14

estão restringidos e uma força de superfície uniforme

Patch test: Cubo cortado por uma

Para essas condições de contorno

a solução analítica é conhecida. Nesse exemplo comprova mesmo havendo lacunas nas interseções curvas de dis

discretizações independentes, a resposta numérica converge à últimos exemplos

mecânicas de aplicações industriais, os quais

a biblioteca de modelos CAD de uma comunidade denominada GrabCAD

extração de informações geométricas utilizando a MATLAB podem ser encontrados em Gonçalves (2016).

integração da ferramenta computacional desenvolvida com modelos

uma geometria com lacunas nas interseções de

O primeiro exemplo trata de um cubo com aresta cortado por uma superfície cilíndrica de raio r

o conforme ilustra a Figura 3.14. Os deslocamentos normais às faces estão restringidos e uma força de superfície uniforme

: Cubo cortado por uma

Para essas condições de contorno, a solução analítica para o problema é dada por: a solução analítica é conhecida. Nesse exemplo comprova

mesmo havendo lacunas nas interseções curvas de distintas superfícies NURBS, oriundas das discretizações independentes, a resposta numérica converge à

últimos exemplos envolvem foram obtidos a a biblioteca de modelos CAD de uma comunidade

GrabCAD. Detalhes sobre o formato padrão de extração de informações geométricas utilizando a

MATLAB podem ser encontrados em Gonçalves (2016). Esses dois e

integração da ferramenta computacional desenvolvida com modelos

uma geometria com lacunas nas interseções de

O primeiro exemplo trata de um cubo com aresta L 0,15

r= (unidades de comprimento) s deslocamentos normais às faces

estão restringidos e uma força de superfície uniforme

: Cubo cortado por uma superfície cilíndrica (PENG, 2016). a solução analítica para o problema é dada por: a solução analítica é conhecida. Nesse exemplo comprova

tintas superfícies NURBS, oriundas das discretizações independentes, a resposta numérica converge à medida que malhas mais

envolvem modelos geométricos

idos a partir de arquivos IGES a biblioteca de modelos CAD de uma comunidade

Detalhes sobre o formato padrão de extração de informações geométricas utilizando a

Esses dois exemplo

integração da ferramenta computacional desenvolvida com modelos

uma geometria com lacunas nas interseções de superfícies

L= (unidades de comprimento) (unidades de comprimento)

s deslocamentos normais às faces

estão restringidos e uma força de superfície uniforme t₃ =1 (unidades de tensão) atua

superfície cilíndrica (PENG, 2016). a solução analítica para o problema é dada por: a solução analítica é conhecida. Nesse exemplo comprova

tintas superfícies NURBS, oriundas das medida que malhas mais modelos geométricos

partir de arquivos IGES a biblioteca de modelos CAD de uma comunidade online de projetistas, Detalhes sobre o formato padrão de extração de informações geométricas utilizando a IGES Too

xemplos demonstram a integração da ferramenta computacional desenvolvida com modelos

superfícies

(unidades de comprimento) (unidades de comprimento)

s deslocamentos normais às faces x1 =0

(unidades de tensão) atua

superfície cilíndrica (PENG, 2016). a solução analítica para o problema é dada por:

(3.18

a solução analítica é conhecida. Nesse exemplo comprova-se que tintas superfícies NURBS, oriundas das

medida que malhas mais modelos geométricos de peças

partir de arquivos IGES online de projetistas, Detalhes sobre o formato padrão de

IGES Toolbox do s demonstram a integração da ferramenta computacional desenvolvida com modelos

(unidades de comprimento) (unidades de comprimento) no seu

= , x2 =0 e

(unidades de tensão) atua

a solução analítica para o problema é dada por:

(3.18) se que tintas superfícies NURBS, oriundas das medida que malhas mais de peças partir de arquivos IGES online de projetistas, Detalhes sobre o formato padrão de do s demonstram a integração da ferramenta computacional desenvolvida com modelos

(unidades de comprimento) no seu

e (unidades de tensão) atua

As constantes elásticas adotadas foram E=1000 (unidades de tensão) e ν =0, 3. Como a solução analítica é conhecida, é possível calcular a o erro relativo na norma L2 dos deslocamentos sobre o contorno do problema como:

(

) (

)

2 . . Γ Γ − − Γ = Γ

∫

T num exa num exa u L T exa exa d e d u u u u u u (3.19)

em que Γ é o contorno do problema, u_num é o vetor de deslocamentos numéricos e u_exa é o vetor de deslocamentos exato, ou analítico. A partir do erro relativo

u L

e é possível estudar a influência das lacunas na intersecção curva da superfície cilíndrica com o cubo, oriundas da discretização independente das superfícies. O problema foi discretizado com elementos quadrilaterais e triangulares de aproximação linear. Quatro análises de convergência foram avaliadas. Nas duas primeiras análises, as discretizações foram adotadas de modo que não fossem geradas lacunas na intersecção da superfície cilíndrica com o cubo. Já nas duas últimas análises as discretizações foram pensadas de modo que houvesse lacunas na intersecção da superfície cilíndrica com o cubo. Nesses dois casos, a convergência foi estudada considerando elementos quadrilaterais e elementos triangulares, totalizando quatro análises de convergência. Três distintas malhas em ordem crescente de refinamento foram adotadas para cada uma das análises de convergência, totalizando doze modelos numéricos. As Figuras 3.15a e 3.15b apresentam, respectivamente, as três malhas de elementos quadrilaterais e as três malhas de elementos triangulares adotadas para a análise de convergência sem lacunas. Já as Figuras 3.16a e 3.16b apresentam, respectivamente, as três malhas de elementos quadrilaterais e as três malhas de elementos triangulares adotadas para a análise de convergência com lacunas. Por fim as Figuras 3.17 e 3.18 apresentam os resultados das análises de convergência do erro

u L

e em função do número de pontos de colocação para os casos sem e com lacunas respectivamente.

i.e., graus

problema. Apesar disso, aceitável

Figura 3.

Conforme o esperado o erro i.e., graus de liberdade, aumenta. problema. Apesar disso,

aceitável para análises de engenharia Figura 3.15 –

Figura 3.16 –

Conforme o esperado o erro de liberdade, aumenta. problema. Apesar disso,

a análises de engenharia

Malhas adotadas para a análise de convergência

Conforme o esperado o erro converge à medida que o número de

de liberdade, aumenta. Note que as lacunas podem afetar a conver o erro numérico da norma

a análises de engenharia.

Malhas adotadas para a análise de convergência

converge à medida que o número de

Note que as lacunas podem afetar a conver o erro numérico da norma

Malhas adotadas para a análise de convergência

converge à medida que o número de

Note que as lacunas podem afetar a conver o erro numérico da norma e_u

Malhas adotadas para a análise de convergência: Sem lacunas.

Malhas adotadas para a análise de convergência: Com lacunas.

converge à medida que o número de

Note que as lacunas podem afetar a conver

u L

e pode ser considerado como em lacunas.

om lacunas.

converge à medida que o número de pontos de colocação, Note que as lacunas podem afetar a conver

pode ser considerado como pontos de colocação, Note que as lacunas podem afetar a convergência do pode ser considerado como

pontos de colocação, gência do pode ser considerado como

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0,0 5,0x10-5 1,0x10-4 1,5x10-4 2,0x10-4 2,5x10-4

||

e

||

L

2

numero de pontos de colocaçao

Triangular Quadrilateral

Figura 3.17 – Análises de convergência do erro e_{u L}₂: Sem lacunas.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0,0 5,0x10-4 1,0x10-3 1,5x10-3 2,0x10-3 2,5x10-3 3,0x10-3 3,5x10-3

||

e

||

L

2

numero de pontos de colocaçao

Triangular Quadrilateral

Figura 3.18 – Análises de convergência do erro e_{u L}₂: Com lacunas.

No intuito de quantificar a influência das dimensões das lacunas na resposta do erro relativo na norma L2 dos deslocamentos, apresenta-se na Figura 3.19 um gráfico de e_{u L}₂ em função da relação A_lacunas A_total, sendo A_lacunas o soma das áreas das lacunas nas interseções do cilindro com o cubo dos modelos numéricos ilustrados na Figura 3.16, e A_total a área total do contorno exato do problema.

0,0 _2,0x10-4 4,0x10-4 6,0x10-4 8,0x10-4 1,0x10-3 0,0 5,0x10-4 1,0x10-3 1,5x10-3 2,0x10-3 2,5x10-3 3,0x10-3 3,5x10-3 ||

e

u || L 2

A

lacunas/

A

total Triangular Quadrilateral

Figura 3.19 – Influência das dimensões das lacunas no erro e_{u L}₂.

Note que à medida que a relação A_lacunas A_total diminui, ou seja, à medida que as dimensões das lacunas diminuem em relação às dimensões do problema, o erro e_{u L}₂ também diminui. Perceba ainda que as dimensões das lacunas podem afetar a convergência numérica do problema, conforme fica evidente para o caso dos elementos quadrilaterais. Nesse caso, a Figura 3.18 apresenta um resultado onde o erro e_{u L}₂ é praticamente o mesmo para os modelos com 1224 pontos de colocação e com 3080 pontos de colocação. Na Figura 3.19 esse resultado é mais bem compreendido. Perceba que apesar do modelo com 3080 pontos ser bem mais refinado do que o modelo com 1224 pontos, a relação A_lacunas A_total permaneceu praticamente a mesma para esses dois modelos e, portanto, o erro e_{u L}₂ também permaneceu praticamente o mesmo.

Apesar da convergência do erro e_{u L}₂ ter sido influenciada pela presença das lacunas, as respostas de deslocamentos do problema permanecem satisfatórias mesmo para o pior caso de convergência. Para ilustrar que os resultados foram satisfatórios mesmo com presença das lacunas, a Figura 3.20 apresenta os resultados dos deslocamentos obtidos para o modelo com o maior erro, i.e. e_{u L}₂ =3, 24E−3, e para o modelo com o menor erro, i.e. e_{u L}₂ =1, 97E−5 . Note que as respostas de deslocamentos para estes dois casos é muito semelhante.

Tais resultados permitem concluir que mesmo apresentam

partir das di consideravelmente

mecânicos de complexibilidade industrial cujos modelos geométricos são obtidos a partir de conjuntos de superfícies NURBS aparadas

3.5.2 Análise

O segundo exemplo cuja geometria foi obtida a p Specification

Figura 3.

Tais resultados permitem concluir que mesmo apresentam lacunas nas suas intersecções

partir das discretizações independentes das superfícies consideravelmente pequenas.

mecânicos de complexibilidade industrial cujos modelos geométricos são obtidos a partir de de superfícies NURBS aparadas

Análise de um component O segundo exemplo

cuja geometria foi obtida a p Specification (IGES)

Figura 3.20 – Resposta

Tais resultados permitem concluir que mesmo lacunas nas suas intersecções

scretizações independentes das superfícies

pequenas. Portanto, os dois próximos exemplos abordam

mecânicos de complexibilidade industrial cujos modelos geométricos são obtidos a partir de de superfícies NURBS aparadas

um component

O segundo exemplo corresponde a um componente mecânico cuja geometria foi obtida a p

disponível n

Resposta linear dos deslo Tais resultados permitem concluir que mesmo

lacunas nas suas intersecções, os mesmos scretizações independentes das superfícies

Portanto, os dois próximos exemplos abordam

mecânicos de complexibilidade industrial cujos modelos geométricos são obtidos a partir de de superfícies NURBS aparadas, podendo ou não ser “estanques”

um componente proveniente

corresponde a um componente mecânico cuja geometria foi obtida a partir de um arquivo

disponível na biblioteca de modelos CAD da comunidade linear dos deslocamentos: Malha 3 com lacunas. Tais resultados permitem concluir que mesmo

, os mesmos podem ser analisado scretizações independentes das superfícies

Portanto, os dois próximos exemplos abordam

mecânicos de complexibilidade industrial cujos modelos geométricos são obtidos a partir de , podendo ou não ser “estanques”

proveniente de um arquivo IGES corresponde a um componente mecânico

artir de um arquivo

a biblioteca de modelos CAD da comunidade camentos: Malha 3 com lacunas. Tais resultados permitem concluir que mesmo para o caso dos

podem ser analisado

scretizações independentes das superfícies, desde que as lacunas sejam Portanto, os dois próximos exemplos abordam

mecânicos de complexibilidade industrial cujos modelos geométricos são obtidos a partir de , podendo ou não ser “estanques”

de um arquivo IGES corresponde a um componente mecânico

do tipo I

a biblioteca de modelos CAD da comunidade camentos: Malha 3 com lacunas.

para o caso dos modelos

podem ser analisados numericamente desde que as lacunas sejam Portanto, os dois próximos exemplos abordam

mecânicos de complexibilidade industrial cujos modelos geométricos são obtidos a partir de , podendo ou não ser “estanques”.

de um arquivo IGES

corresponde a um componente mecânico de aplicação industrial Initial Graphics Exchange a biblioteca de modelos CAD da comunidade

camentos: Malha 3 com lacunas.

modelos CAD que s numericamente desde que as lacunas sejam Portanto, os dois próximos exemplos abordam componentes mecânicos de complexibilidade industrial cujos modelos geométricos são obtidos a partir de

de aplicação industrial nitial Graphics Exchange a biblioteca de modelos CAD da comunidade GrabCAD

CAD que s numericamente a desde que as lacunas sejam componentes mecânicos de complexibilidade industrial cujos modelos geométricos são obtidos a partir de

de aplicação industrial nitial Graphics Exchange GrabCAD. A

Figura 3.21 Tollbox

superfícies não aparadas de ordens polinomiais aparadas

duas curvas param

paramétricas NURBS circulares

análise estrutural a partir do modelo geométrico. Dois desses modelos foram construídos considerando a discretização independente das 36 superfícies NURBS do modelo geométrico. Nesses casos, o problema elastoestático foi resolvido numericamente a partir do MEC. O último modelo foi construído a partir de uma malha volumétrica para a an

elementos finitos

geométrico “estanque”, a malha volumétrica foi construída sem grandes dificuldades. Figura 3.22

malha volumétrica

totalizando 5586 pontos de colocação. Já a Malha 2 é composta por 12367 elementos quadrilaterais

volumétrica

aproximação quadrática, elementos do tipo Figura 3.21 apresenta o modelo geométri

ollbox do MATLAB

O modelo geométrico é composto por 36 superfícies NURBS superfícies não aparadas de ordens polinomiais

aparadas de ordens po duas curvas param

paramétricas NURBS circulares

análise estrutural a partir do modelo geométrico. Dois desses modelos foram construídos considerando a discretização independente das 36 superfícies NURBS do modelo geométrico. ses casos, o problema elastoestático foi resolvido numericamente a partir do MEC. O último modelo foi construído a partir de uma malha volumétrica para a an

elementos finitos

geométrico “estanque”, a malha volumétrica foi construída sem grandes dificuldades. igura 3.22 apresenta

malha volumétrica

A Malha 1 é composta por 4586 elementos quadrilaterais de aproximação totalizando 5586 pontos de colocação. Já a Malha 2 é composta por 12367 elementos quadrilaterais de aproximação linear

volumétrica do Ansys

aproximação quadrática, elementos do tipo apresenta o modelo geométri MATLAB.

Figura 3.21

O modelo geométrico é composto por 36 superfícies NURBS superfícies não aparadas de ordens polinomiais

de ordens polinomiais

duas curvas paramétricas NURBS circulares paramétricas NURBS circulares

análise estrutural a partir do modelo geométrico. Dois desses modelos foram construídos considerando a discretização independente das 36 superfícies NURBS do modelo geométrico. ses casos, o problema elastoestático foi resolvido numericamente a partir do MEC. O último modelo foi construído a partir de uma malha volumétrica para a an

elementos finitos com o auxílio do

geométrico “estanque”, a malha volumétrica foi construída sem grandes dificuldades. apresenta as duas malhas de superfície, denominadas Malha 1 e Malha 2, e a malha volumétrica, construída a partir dos recursos disponíveis no Ansys

A Malha 1 é composta por 4586 elementos quadrilaterais de aproximação totalizando 5586 pontos de colocação. Já a Malha 2 é composta por 12367 elementos

de aproximação linear

o Ansys por sua vez é composta por 15322 elementos aproximação quadrática, elementos do tipo

apresenta o modelo geométri

– Modelo geométrico com

O modelo geométrico é composto por 36 superfícies NURBS superfícies não aparadas de ordens polinomiais

linomiais p=1 étricas NURBS circulares paramétricas NURBS circulares ( p=

análise estrutural a partir do modelo geométrico. Dois desses modelos foram construídos considerando a discretização independente das 36 superfícies NURBS do modelo geométrico. ses casos, o problema elastoestático foi resolvido numericamente a partir do MEC. O último modelo foi construído a partir de uma malha volumétrica para a an

com o auxílio do software Ansys

geométrico “estanque”, a malha volumétrica foi construída sem grandes dificuldades. as duas malhas de superfície, denominadas Malha 1 e Malha 2, e a construída a partir dos recursos disponíveis no Ansys

A Malha 1 é composta por 4586 elementos quadrilaterais de aproximação totalizando 5586 pontos de colocação. Já a Malha 2 é composta por 12367 elementos

de aproximação linear

por sua vez é composta por 15322 elementos aproximação quadrática, elementos do tipo

apresenta o modelo geométrico do componente

Modelo geométrico com

O modelo geométrico é composto por 36 superfícies NURBS superfícies não aparadas de ordens polinomiais

= e q=1. Quatro dessas 6 superfícies étricas NURBS circulares ( p=

= ). Três modelos numéricos foram construídos para a análise estrutural a partir do modelo geométrico. Dois desses modelos foram construídos considerando a discretização independente das 36 superfícies NURBS do modelo geométrico. ses casos, o problema elastoestático foi resolvido numericamente a partir do MEC. O último modelo foi construído a partir de uma malha volumétrica para a an

software Ansys

A Malha 1 é composta por 4586 elementos quadrilaterais de aproximação totalizando 5586 pontos de colocação. Já a Malha 2 é composta por 12367 elementos

de aproximação linear totalizando 13874 pontos de colocação. A por sua vez é composta por 15322 elementos

aproximação quadrática, elementos do tipo Solid186

do componente desenhado

Modelo geométrico composto por 36 superfícies NURBS. O modelo geométrico é composto por 36 superfícies NURBS superfícies não aparadas de ordens polinomiais p=1 e q

Quatro dessas 6 superfícies 2

= ) e duas delas são aparadas por 10

Três modelos numéricos foram construídos para a

No documento Contribuições às análises de fratura e fadiga de componentes tridimensionais pelo Método dos Elementos de Contorno Dual (páginas 110-123)