independentes para as
3.2.1 Superfícies NURBS aparadas
(como é o caso das superfícies NURBS), os
( )
,ij
R ξ η
Note que as ordens polinomiais serem funções racionais, como as ordens denominador, é comum
)
ξ (ou Rij
(
( )
,ij pq ξ η ) como a partição da unidade, o c
knots e o caráter loc Na Figura 3.3
Figura
Note o caráter não
Note ainda que nenhuma referência
oi necessária, sendo as componentes da quarta dimensão consideradas intrinsicamente como pesos ωij das funções base
3.2.1 Superfícies NURBS aparadas
Para representar limites arbitrários em superfícies geradas po (como é o caso das superfícies NURBS), os
)
,(
, ˆ 1ˆ 1 i p j q ij n m i j N M N M ξ η = = =∑∑
Note que as ordens polinomiais racionais, como as ordens denominador, é comum defini
( )
,ij ξ η ) possuem
como a partição da unidade, o c caráter local.
Figura 3.3 ilustra
Figura 3.3 – Superfície NURB Note o caráter não
inda que nenhuma referência
sendo as componentes da quarta dimensão consideradas intrinsicamente como das funções base
Superfícies NURBS aparadas
Para representar limites arbitrários em superfícies geradas po (como é o caso das superfícies NURBS), os
( )
(
( )
, , ˆ, ˆ, ˆˆ i p j q ij i p j q ij N M N M ξ η ω ξ η ω∑∑
Note que as ordens polinomiais racionais, como as ordens
defini-las como ordens das funções base da NURBS. possuem muitas das propriedades das funções base como a partição da unidade, o c
ilustra-se esquematicamente uma superfície NURBS
Superfície NURBS no espaço físico
interpolatório
inda que nenhuma referência aos pontos de controle
sendo as componentes da quarta dimensão consideradas intrinsicamente como das funções base Rij
( )
ξ η, .Superfícies NURBS aparadas
Para representar limites arbitrários em superfícies geradas po (como é o caso das superfícies NURBS), os
)
( )
ˆ, ˆ, ˆˆ i p j q ij i p j q ij ξ η ω ξ η ωNote que as ordens polinomiais p e q racionais, como as ordens p e
as como ordens das funções base da NURBS. muitas das propriedades das funções base
como a partição da unidade, o controle da continuidade por multiplicidade de
maticamente uma superfície NURBS
no espaço físico
interpolatório da NURB
aos pontos de controle
sendo as componentes da quarta dimensão consideradas intrinsicamente como
Superfícies NURBS aparadas
Para representar limites arbitrários em superfícies geradas po (como é o caso das superfícies NURBS), os
foram omitidas em 3.12 3 3.13
q se repetem tanto no numerador como no as como ordens das funções base da NURBS.
muitas das propriedades das funções base
ontrole da continuidade por multiplicidade de
maticamente uma superfície NURBS
no espaço físico ℝ3 (MARUSSIG & HU
da NURBS com relação aos pontos de controle aos pontos de controle B
sendo as componentes da quarta dimensão consideradas intrinsicamente como
Para representar limites arbitrários em superfícies geradas po (como é o caso das superfícies NURBS), os patches
foram omitidas em 3.12 3 3.13
se repetem tanto no numerador como no as como ordens das funções base da NURBS.
muitas das propriedades das funções base
ontrole da continuidade por multiplicidade de
maticamente uma superfície NURBS
(MARUSSIG & HU
com relação aos pontos de controle
ij
ω
B em ℝ4
sendo as componentes da quarta dimensão consideradas intrinsicamente como
Para representar limites arbitrários em superfícies geradas po
patches podem ser modificados por foram omitidas em 3.12 3 3.13. Apesar de se repetem tanto no numerador como no as como ordens das funções base da NURBS. As funções base
muitas das propriedades das funções base N
ontrole da continuidade por multiplicidade de
maticamente uma superfície NURBS em ℝ3.
(MARUSSIG & HUGHES, 2017
com relação aos pontos de controle
4
ℝ da B-spline projetiva sendo as componentes da quarta dimensão consideradas intrinsicamente como
Para representar limites arbitrários em superfícies geradas por produtos tensoriais podem ser modificados por (3.14)
. Apesar de se repetem tanto no numerador como no As funções base
( )
, i p
N ξ (ou ontrole da continuidade por multiplicidade de
ℝ
GHES, 2017).
com relação aos pontos de controle B . ij
spline projetiva sendo as componentes da quarta dimensão consideradas intrinsicamente como
r produtos tensoriais podem ser modificados por )
. Apesar de se repetem tanto no numerador como no As funções base (ou ontrole da continuidade por multiplicidade de
ij.
spline projetiva sendo as componentes da quarta dimensão consideradas intrinsicamente como
r produtos tensoriais podem ser modificados por
procedimentos de aparação. Com o propósito de aparar as superfícies, curvas de aparação
( )
t
u
C são definidas no espaço paramétrico das superfícies S
( )
ξ η, . Tais curvas são geralmente NURBS fornecidas nos modelos geométricos de CAD e podem ser apresentadas como:( )
( )( )
( )
1 n t i i i u u R u u ξ η = = = ∑
C b (3.15)em que bi∈R2 são pontos de controle da curva de aparação definidos no espaço paramétrico da superfície aparada S
( )
ξ η, . O conjunto de curvas de aparação definidas sobre uma superfície deve formar uma volta fechada. As voltas fechadas podem também incluir as arestas do espaço paramétrico original da superfície. Essas voltas fechadas de curvas dividem o espaço paramétrico aparado em distintas partes onde a direção das curvas determina qual parte é visível. Ou ainda, o procedimento de aparação é usado para definir as áreas visíveisv
A sobre a superfície. Como resultado, superfícies com topologias não regulares podem ser
representadas de uma maneira bem simples. A Figura 3.4 apresenta um exemplo de uma superfície aparada: (a) superfície regular e rede de controle, (b) espaço paramétrico aparado pelas as curvas de aparação C que definem a área visível t A e (c) superfície aparada. Note v
que a descrição matemática da superfície aparada, i.e., o produto tensorial que define a superfície e a rede de controle, é a mesma da superfície regular. As superfícies aparadas estão presentes na grande maioria dos modelos geométricos 3D, pois elas possibilitam uma maneira conveniente de definir superfícies com topologias arbitrárias e proporcionam uma maneira simples de visualização em sistemas gráficos. Por outro lado, elas não apresentam uma solução para problemas como a connecção suave de superfícies adjacentes e muitas vezes lacunas podem ser observadas nas intersecções das superfícies.
Figura
Espaço paramétrico aparado por um conjunto de curvas
3.3
contorno
de várias curvas em
NURBS em
Figura
Figura 3.4 – Superfície aparada: (a) Superfície regular definida pelo produto tensorial das funções base, (b) Espaço paramétrico aparado por um conjunto de curvas