A utilização da formulação convencional do MEC baseada na equação integral de deslocamentos (identidade Somigliana) para modelar as superfícies colapsadas de uma fissura resulta na degeneração do sistema de equações lineares uma vez que pontos de colocação coincidentes podem existir nas faces da fissura (CRUSE, 1972). Muitos métodos baseados em equações integrais foram propostos na literatura no intuito de contornar o problema. Um dos primeiros trabalhos que trataram da análise de fissuras via o MEC é ainda da década de
setenta de autoria de Cruse e Vanburen (1971). Os autores analisaram o campo de tensões nas proximidades de fissuras em modelos elásticos tridimensionais. Posteriormente, Cruse (1972) analisou modelos bi e tridimensionais. Nesses trabalhos a geometria da fissura foi aproximada por uma forma elíptica o que levou a erros significativos. A técnica não apresentou um desempenho satisfatório e, portanto, Snyder e Cruse (1975) apresentaram uma nova abordagem utilizando funções de Green obtidas através de um problema fundamental que considera a presença de uma fissura. Embora precisa, sua aplicação é restrita, permitindo o estudo dos FIT, porém não o avanço da fissura. O uso de sub-regiões para a simulação de fissuras aparece no trabalho de Blandford et al. (1981). O caminho das fissuras segue as interfaces entre os corpos e um critério propagação deve ser aplicado. Essa técnica emprega apenas a equação integral de deslocamentos, porém exigem mudanças constantes na malha para a adequação ao caminho de propagação da fissura levando o algoritmo a ter um fraco desempenho computacional. Já o método de descontinuidade de deslocamentos (CROUCH, 1976; CROUCH E STARFIELD, 1983; WEN & FAN, 1994; YAN, 2006) utiliza equações integrais cujas soluções fundamentais são obtidas com a aplicação de descontinuidades de deslocamentos unitárias. Nesses casos, integrais fortemente singulares e hipersingulares aparecem na formulação e devem ser tratadas.
Hong e Chen (1988a, 1988b) introduziram a ideia de utilizar equações integrais duais, ou seja, duas equações integrais linearmente independentes, para solucionar o problema da degeneração do sistema de equações em problemas de fratura. Os autores propuseram que a segunda equação integral fosse obtida a partir da diferenciação da equação integral de deslocamentos. A equação integral de forças de superfície foi então deduzida pela primeira vez para problemas planos diferenciando a equação de deslocamentos e aplicando a lei de Hooke e o equilíbrio de Cauchy. Gray et al. (1990) por sua vez deduziu a equação integral de forças de superfície para o caso tridimensional dos problemas elastoestáticos. Assim como no caso do método das descontinuidades de deslocamento, a equação integral de forças de superfícies também apresenta termos hipersingulares que devem ser regularizados. Pela primeira vez um sistema formado por colocação de duas equações integrais independentes foi solucionado em Chen e Hong (1989) no contexto de fluidos de Darcy. Portela et al. (1992) foi o primeiro trabalho a utilizar as equações integrais de deslocamentos e de forças de superfícies, deduzidas em Hong e Chen (1988a, 1988b) em análises de propagação de fissuras, apontando diversas vantagens de tal abordagem. Os autores denominaram a
abordagem Método dos Elementos de Contorno dual (MEC dual) a qual foi revisada no trabalho de Hong e Chen (1999).
Portela et al. (1992) descreveu como o uso da equação integral de forças de superfície impõem certas condições na escolha dos elementos a serem utilizados na discretização da fissura. Essas condições surgem devido ao requerimento de continuidade C1 para os campos mecânicos de deslocamentos e forças, necessário para garantir a existência das integrais hipersingulares no sentido de parte finita de Hadamard. Para resolver o impasse Portela et al. (1992) propôs a utilização de elementos descontínuos nos quais os pontos de colocação são definidos no interior dos elementos. Com os pontos de colocação internos a condição de continuidade de Hölder da equação integral de forças de superfícies é atendida visto que as funções de forma são diferencialmente contínuas no interior dos elementos. Vários trabalhos adotaram a utilização de elementos descontínuos com esse propósito podendo ser citados os trabalhos de Mi e Aliabadi (1992), Garcia et al. (2004) e Marburg (2008). No entanto, deve-se salientar que a utilização de elementos descontínuos aumenta consideravelmente o número de graus de liberdade na discretização das faces de fissura, principalmente no caso tridimensional. Nos trabalhos de Wilde et al. (1996) e Young (1996) foram desenvolvidas técnicas para aumentar o grau de continuidade das aproximações numéricas nas faces da fissura permitindo assim a utilização de elementos contínuos.
O MEC dual é a formulação de elementos de contorno mais utilizada para a análise de propagação aleatória de fissuras. No caso de problemas bidimensionais e fratura, Portela et al. (1993), Saleh e Aliabadi (1995), Sollero e Aliabadi (1995) e Aliabadi e Saleh (2002) utilizaram o MEC dual para análises envolvendo a propagação de fissuras em modo misto, a análise de fratura quase-frágil no concreto e a avaliação de FIT em compósitos laminados anisotrópicos. Pineda-León et al. (2015) desenvolveram formulações baseadas no MEC dual também para a análise de problemas de fratura elastoplástica, viscoplástica e fratura por fluência.
Mi & Aliabadi (1992) estenderam a formulação MEC dual para tratar problemas tridimensionais de fratura. Desde então diversos trabalhos adotaram o MEC dual em análises tridimensionais: Mi e Aliabadi (1994a, 1994b, 1995) e Mi (1996) desenvolveram algoritmos para efetuar a propagação automática de superfícies de fissuras. Cisilino & Aliabadi (1999) analisaram a propagação de fissuras em regime de fadiga em problemas tridimensionais de fratura elástica e elastoplástica. Kolk & Kuhn (2006) desenvolveram um algoritmo capaz de
simular a propagação de superfícies de fissuras em componentes mecânicos de complexibilidade industrial. Weber et al. (2010) analisou a influência da rugosidade da superfície da fissura no caminho de propagação. Citarella & Buchholz (2008), Citarella & Cricrì (2010), Citarella et al. (2014) e Carlone et al. (2015) compararam resultados de análises de fratura obtidos via MEC dual 3D com resultados experimentais e numéricos. Além da boa concordância entre os resultados, os autores apontam como principal vantagem do método a facilidade para desenvolver a propagação aleatória das superfícies de fissuras sem a necessidade de intervenções manuais. Por fim, Kuranakov et al. (2016) analisaram via MEC dual a propagação tridimensional de fissuras a partir de cavidades em meios elásticos infinitos devido à efeitos de bombeamento de um liquido viscoso.
No tocante dos trabalhos desenvolvidos no SET, Leonel (2006) foi o primeiro a utilizar a formulação MEC dual. O autor abordou problemas de propagação de múltiplas fissuras em meios elásticos lineares planos com ênfase nos fenômenos de coalescência e localização. Em seguida Lovón (2006) utilizou uma formulação h-adaptativa do MEC dual para problemas de fratura elástica linear onde o refinamento adaptativo se adequava às regiões com concentração de tensões. Vicentini (2006) abordou problemas de fratura elástica linear e fratura quase-frágil via MEC dual utilizando o modelo coesivo de fratura. Kzam (2009) desenvolveu as integrais hipersingulares envolvidas no MEC dual via o método da subtração de singularidades (ALIABADI et al., 1985) para tratar problemas planos de fratura com elementos de contorno curvos de alta ordem. Leonel (2009) empregou o MEC dual para a análise da propagação de fissuras em modo misto em problemas de fratura linear, não linear, fadiga e contato entre as faces de fissuras. Por fim, Andrade (2017) estendeu a formulação dual do MEC para meios não homogêneos e aplicou-a na resolução de diversos problemas de fratura, tais como a propagação de múltiplas fissuras em meios frágeis, o fraturamento hidráulico e a fadiga estrutural. Apesar da diversidade de problemas abordados, em nenhum trabalho a formulação MEC dual foi estendida para análises tridimensionais de fratura sendo esse um dos objetivos da presente tese. A principal dificuldade para a implementação da formulação tridimensional do MEC dual é a avaliação das integrais hipersingulares sobre os elementos de superfície. No presente trabalho tais integrais foram tratadas a partir do Método de Guiggiani (GUIGGIANI et al., 1992) o qual tem se mostrado uma maneira geral de tratar integrais hipersingulares em elementos tridimensionais curvos de ordem qualquer (ROCHA, 2015). Este método é embasado na técnica de subtração de singularidade e tem sido
amplamente utilizado em várias formulações do MEC que envolvam a avaliação de integrais hipersingulares.