Mínima distância entre ponto e elementos planos no espaço

A mínima distância entre um ponto e um elemento plano no espaço pode ser determinada analiticamente para elementos triangulares. Para elementos quadrilaterais, a

busca pela mínima distância deve ser avaliada nos dois triângulos que subdividem o elemento quadrilateral em duas partes. A partir dos três nós de uma porção triangular de um elemento quadrilateral plano do contorno livre é possível definir a equação paramétrica do triângulo no espaço. Denominando p , ₁C p e ₂C p os três pontos do triângulo é possível escrever os ₃C

pontos x pertencentes ao domínio do triângulo a partir da equação paramétrica do plano: C

(

,

)

1 1 + 2 , 0 1 , 0 1 e s 1

C C C C

c c c c c c c c

s t = + s t ≤ ≤s ≤ ≤t + ≤t

x p v v (4.40)

em que s_c e t_c são as coordenadas paramétricas do plano do triângulo e v₁C =

(

p₂C− p₁C

)

e

(

)

2 3 1

C = C − C

v p p são vetores direcionais. Com a Eq. 4.40 é possível definir a distância euclidiana d s t

(

c, c

)

entre um ponto qualquer

(

,

)

C c c s t

x pertencente à porção triangular do elemento do contorno livre e um nó de extremidade da fissura x . Por ser uma distância ex

euclidiana, sabe-se que o ponto de mínimo da função d s t

(

c, c

)

também é ponto de mínimo da

função d2

(

s t_c, _c

)

, a qual pode ser expressa como:

(

)

2 2 2

, 2 2 2

c c c c c c c c

d s t = As + Bs t +Ct + Ds + Et +F (4.41) sendo A, B, C , D, E e F outras constantes auxiliares definidas como:

(

)

(

)

(

) (

)

1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 . . C . . E . F . C C C C C C C C ex C C ex C ex C ex A= B= = D= − = − = − − v v v v v v v x v x x x p p p p (4.42)

Novamente o mínimo da função d2 é avaliado igualando o seu gradiente a zero:

(

)

(

)

(

)

2 2 2 , , , c c c c c c c c d s t s d s t d s t t _∂    ∂   ∇ = = ∂    _∂    0 (4.43)

Calculando as derivadas em 4.43 e resolvendo o sistema de equações obtém-se o ponto de mínimo

(

s_cmin,t_cmin

)

:

min min min min c c c c s s t t

tal que s_Cmin _Cmin 1

Caso o ponto de mínimo

(

s t_c, _c

)

0 s_c 1, 0 t_c 1 e s_c t_c 1

∀ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤

porção triangular do elemento triangular, entende igual a xC Para uma busca distância mínima ex

x que resultar no menor valor

o elemento do contorno livre é

o posterior remalhamento de ponta de fissura.

Figura 4 min min min min c c c c BE CD s s AC B BD AE t t AC B − = ≤ ≤ − − = ≤ ≤ − min min s_C +t_C ≤1

Caso o ponto de mínimo

, 0 1, 0 1 e 1

c c c c c c

s t s t s t

∀ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤

porção triangular do elemento

triangular, entende-se que a projeção do ponto

(

min min

)

,

c c

s t

Para cada elemento uma busca sobre todos os nós distância mínima d_min

que resultar no menor valor o elemento do contorno livre é

o posterior remalhamento de ponta de fissura.

Figura 4.10 Nós de extremid min min 2 min min 2 , 0 1 , 0 1 c c c c BE CD s s AC B BD AE t t AC B = ≤ ≤ = ≤ ≤ s + ≤1.

Caso o ponto de mínimo

, 0 1, 0 1 e 1

c c c c c c

s t s t s t

∀ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤

porção triangular do elemento em análise. Caso o ponto se que a projeção do ponto

)

e calcula-se a distância mínima cada elemento do contorno livre

sobre todos os nós de extremidade

min entre os pontos

que resultar no menor valor de o elemento do contorno livre é x x

o posterior remalhamento de ponta de fissura.

Nós de extremidade da fissura, min min min min , 0 1 , 0 1 c c s s t t = ≤ ≤ = ≤ ≤

Caso o ponto de mínimo

(

s_cmin,t_cmin

, 0 1, 0 1 e 1

c c c c c c

s t s t s t

∀ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤

em análise. Caso o ponto se que a projeção do ponto

se a distância mínima do contorno livre

de extremidade

entre os pontos x e o respectivo elementoex

de dmin considera

(

C C

pf sc tc

x =x

o posterior remalhamento de ponta de fissura.

ade da fissura, x

)

min min

c c

s t não pertença ao domínio do triâ

, 0 1, 0 1 e 1

∀ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ , entende

em análise. Caso o ponto

se que a projeção do ponto x no elemento do coex

se a distância mínima d d s t

do contorno livre classificado

de extremidade, _{x , da discretização da}ex e o respectivo elemento

considera-se que a projeção da ponta de fissura sobre

)

min min

,

pf sc tc , e armazenam

o posterior remalhamento de ponta de fissura.

ex

x , e elemento do contorno livre de ponta de fissura.

ão pertença ao domínio do triâ e-se o ponto

em análise. Caso o ponto

(

s_cmin,t_cmin

elemento do co

(

min min min c c

d =d s t

classificado como de ponta de fissura efetua da discretização da

e o respectivo elemento

se que a projeção da ponta de fissura sobre , e armazenam

, e elemento do contorno livre de ponta de fissura.

ão pertença ao domínio do triâ se o ponto x não se projetaex

)

min min

,

c c

s t pertença ao domínio elemento do contorno livre

)

min min

,

c c

d d s t .

como de ponta de fissura efetua da discretização da fissura

e o respectivo elemento (Ver Figura 4

se que a projeção da ponta de fissura sobre , e armazenam-se suas coordenadas para

, e elemento do contorno livre de ponta de fissura.

(4

ão pertença ao domínio do triângulo, i.e., não se projeta sobre a pertença ao domínio ntorno livre em análise é

como de ponta de fissura efetua fissura calculando a (Ver Figura 4.10). Para o se que a projeção da ponta de fissura sobre se suas coordenadas para

, e elemento do contorno livre de ponta de fissura.

4.44)

ngulo, i.e., sobre a pertença ao domínio

em análise é

como de ponta de fissura efetua-se calculando a Para o se que a projeção da ponta de fissura sobre se suas coordenadas para

utilizados no remalhamento

Figura 4

se ao mapeamento do espaço paramétrico quadrilater

4.11, os pontos (Fig.4.11

depender da aresta que foi interceptada pela fissura. As coordenadas do ponto de projeção

(

min min c c s t 1 C p , 2 pj ξ = −

definido por pontos

1

pj

ξ = −

Além do ponto utilizados no remalhamento

Figura 4.11 Ponto de projeção da ponta de fissura sobre o elemento do contorno livre: interceptação da aresta:

Note que

se ao mapeamento do espaço paramétrico quadrilateral de ponta de fissura

, os pontos (Fig.4.11a e Fig. 4

depender da aresta que foi interceptada pela fissura. As coordenadas do ponto de projeção

)

min min

,

c c

s t . Caso o ponto de projeção , 2 C p e 3 C p min 2 1 pj c t

= − . Por outro lado, caso o ponto de projeção definido por pontos

min

1 2t_c

= − e

Além do ponto x_pf

utilizados no remalhamento

Ponto de projeção da ponta de fissura sobre o elemento do contorno livre: interceptação da aresta:

Note que as coordenadas físicas se ao mapeamento do espaço paramétrico

al de ponta de fissura , os pontos 1 C x e 2 C x a e Fig. 4.11c) ou ainda

depender da aresta que foi interceptada pela fissura. As coordenadas do ponto de projeção x_pf

. Caso o ponto de projeção

3

C

p correspondentes aos nós 1, 2 e 4 do elemento

2 1 . Por outro lado, caso o ponto de projeção definido por pontos p , ₃C

1 2 e ξ₁pj = −1 2

C pf

x também é necessá utilizados no remalhamento de ponta de fissura

Ponto de projeção da ponta de fissura sobre o elemento do contorno livre: interceptação da aresta: int

C

x e pontos adicionais para o remalhamento: as coordenadas físicas

se ao mapeamento do espaço paramétrico al de ponta de fissura utilizando suas

2

C

x podem ser calculados como ou ainda x₁C =x ₁pj −

depender da aresta que foi interceptada pela fissura. As coordenadas

C pf

x podem ser obtidas a partir das coordenadas paramétricas . Caso o ponto de projeção

correspondentes aos nós 1, 2 e 4 do elemento . Por outro lado, caso o ponto de projeção

2 C p e p ₄C min 1 2s_c = − .

também é necessário armazenar mais dois pontos de ponta de fissura conforme ilustra

Ponto de projeção da ponta de fissura sobre o elemento do contorno livre: e pontos adicionais para o remalhamento:

as coordenadas físicas dos pontos adicionais podem ser obtidas recorrendo se ao mapeamento do espaço paramétrico

(

ξ ξ1, 2

)

utilizando suas

podem ser calculados como

(

)

1 1 , 1

C = ξ pj −

x x

depender da aresta que foi interceptada pela fissura. As coordenadas

m ser obtidas a partir das coordenadas paramétricas . Caso o ponto de projeção x_pfC pertença ao sub

correspondentes aos nós 1, 2 e 4 do elemento . Por outro lado, caso o ponto de projeção

C

correspondentes aos nós 3, 2 e 4 do elemento tem rio armazenar mais dois pontos

conforme ilustra

Ponto de projeção da ponta de fissura sobre o elemento do contorno livre: e pontos adicionais para o remalhamento:

dos pontos adicionais podem ser obtidas recorrendo

)

1 2 para o espaço físico

utilizando suas funções de forma podem ser calculados como x1 x 2

)

, 1 e x₂C =x

(

₁pj

depender da aresta que foi interceptada pela fissura. As coordenadas

m ser obtidas a partir das coordenadas paramétricas pertença ao sub

correspondentes aos nós 1, 2 e 4 do elemento . Por outro lado, caso o ponto de projeção

correspondentes aos nós 3, 2 e 4 do elemento tem rio armazenar mais dois pontos

conforme ilustra a Figura 4

Ponto de projeção da ponta de fissura sobre o elemento do contorno livre: e pontos adicionais para o remalhamento:

dos pontos adicionais podem ser obtidas recorrendo para o espaço físico

funções de forma. Conforme ilustra

(

1 1, 2 C ξ pj = − x x

(

)

2 1 ,1 C ξpj x x (Fig.4.11 depender da aresta que foi interceptada pela fissura. As coordenadas paramétricas

m ser obtidas a partir das coordenadas paramétricas pertença ao sub-triângulo definido por pontos correspondentes aos nós 1, 2 e 4 do elemento tem

. Por outro lado, caso o ponto de projeção xpfC pertença ao sub

correspondentes aos nós 3, 2 e 4 do elemento tem rio armazenar mais dois pontos

ra 4.11.

Ponto de projeção da ponta de fissura sobre o elemento do contorno livre: xpfC, ponto de

e pontos adicionais para o remalhamento: 1

C

x e 2

C

x .

dos pontos adicionais podem ser obtidas recorrendo

(

ξ ξ1, 2

)

x do elemento Conforme ilustra

)

1 1, 2 C ξ pj e 2 2 C pj x x (Fig.4.11b e Fig. 4 paramétricas

m ser obtidas a partir das coordenadas paramétricas ngulo definido por pontos

tem-se 1 2 1

pj

ξ = −

pertença ao sub correspondentes aos nós 3, 2 e 4 do elemento tem

para serem

, ponto de

dos pontos adicionais podem ser obtidas recorrendo- do elemento Conforme ilustra a Fig.

(

)

2 1, 2 C ξ pj = x x b e Fig. 4.11d) a paramétricas

(

ξ ξ₁pj, ₂pj

)

m ser obtidas a partir das coordenadas paramétricas ngulo definido por pontos

min

2sc 1

= − e

pertença ao sub-triângulo correspondentes aos nós 3, 2 e 4 do elemento tem-se para serem

- do elemento

Fig.

a

m ser obtidas a partir das coordenadas paramétricas ngulo definido por pontos e ngulo se

4.4.3 Remalhamento local para elementos transpassados

No documento Contribuições às análises de fratura e fadiga de componentes tridimensionais pelo Método dos Elementos de Contorno Dual (páginas 146-150)