Capítulo 5 – Análise de Dados
5.2. Ficha de Trabalho N.º 3: “Funções – Parte 3” – Questão 1
Figura 31 - Questão 1 da Ficha de Trabalho N.º 3
1. O Ricardo acompanhou o seu pai ao supermercado. No
referencial ao lado estão representadas graficamente as funções 𝑓 e 𝑔 que relacionam, respetivamente, as quantidades 𝑝 (em quilogramas), e os custos 𝑐 (em euros), de laranjas e bananas que são vendidas nesse supermercado.
1.1. Quanto pagará um cliente que compre 3𝑘𝑔 de laranjas
e 4 𝑘𝑔 de bananas?
1.2. O Ricardo levou para casa 2𝑘𝑔 de bananas e 1𝑘𝑔 de
laranjas. Indica, justificando, quanto pagou pela fruta.
1.3. Se o pai do Ricardo quisesse gastar 6 euros em laranjas,
que quantidade (em quilogramas) de laranjas compraria? Justifica.
1.4. Determina, para cada uma das funções 𝑓 e 𝑔 a sua expressão algébrica. Explica como obtiveste cada
uma das expressões.
1.5. a) Indica características comuns às duas funções 𝑓 e 𝑔. b) Indica o que distingue as duas funções 𝑓 e 𝑔.
1.6. “As funções 𝑓 e 𝑔 são constantes”. Indica, justificando, se esta afirmação é verdadeira ou falsa. 1.7. Este supermercado tem a opção de entrega ao domicílio. Este serviço tem um custo fixo de 2 euros,
para além do preço dos produtos.
(a) Quanto pagará o pai do Ricardo se comprar 3𝑘𝑔 de laranjas e optar pelo serviço de entrega ao
domicílio? Justifica.
(b) Qual a diferença entre o valor que obtiveste na alínea anterior e o que o pai do Ricardo pagaria
se não quisesse a entrega ao domicílio? Explica a tua resposta.
(c) Escreve a expressão algébrica que traduz a função 𝑗, que corresponde ao custo total do serviço
de entrega e da quantidade (em quilogramas) de laranjas adquiridas pelo cliente.
1.8. Representa no referencial seguinte as funções 𝑓 e 𝑗.
1.8.1. Que características comuns têm as representações
gráficas das duas funções? Explica a tua resposta.
1.9. Indica, justificando, que relação existe entre as expressões
A ficha de trabalho N.º 3 (Anexo 1.4) tem como principal objetivo introduzir a função afim dando início ao estudo dos conteúdos referentes ao 8.º ano de escolaridade. É apresentada a representação gráfica de duas funções lineares e ao longo de seis alíneas os alunos trabalharão com as mesmas. Na sétima alínea é introduzida uma função afim ao acrescentar o custo fixo de uma entrega. Desta forma, os alunos trabalham com uma função afim que é translação da função linear anteriormente apresentada.
Aquando a realização desta ficha, três dos alunos da turma faltaram e um aluno não respondeu a nenhuma das questões, desta forma irei considerar a resolução de vinte e seis alunos e analisarei todas as alíneas desta questão.
5.2.1. Questão 1.1
Dos alunos que realizaram esta ficha de trabalho, dezanove responderam corretamente e seis responderam de forma incompleta, isto é, apresentaram o custo das laranjas e o custo das bananas separadamente.
A Joana do Par 1 apresentou uma resposta incompleta (Figura 32), mas contudo, interpreta corretamente o gráfico, sendo que este erro provavelmente deve-se a uma resposta precipitada. O seu par João respondeu corretamente a esta questão.
A Benedita do Par 2 respondeu corretamente a esta questão (Figura 33) assim como a sua colega Beatriz.
Figura 32 - Resposta da Joana à Questão 1.1 da Ficha de Trabalho N.º 3
Figura 33 - Resposta da Benedita à Questão 1.1 da Ficha de Trabalho N.º 3
Um dos alunos da turma respondeu incorretamente (Figura 34) porque o aluno confundiu as bananas com as laranjas, apesar de todos os cálculos que apresentou se encontrarem corretos. Calculou em primeiro lugar o custo por quilo de cada uma das
frutas e, em seguida, determinou o custo de quatro quilos de laranjas e de três quilos de bananas. Apesar deste erro é evidente os conhecimentos do aluno quanto à proporcionalidade direta, acrescendo até o grau de dificuldade dos valores com que este trabalhou.
Figura 34 - Resposta do Luís à Questão 1.1 da Ficha de Trabalho N.º 3
5.2.2. Questão 1.2
Figura 35 - Questão 1.2 da Ficha de Trabalho N.º 3
A grande maioria dos alunos da turma respondeu corretamente a esta questão (23 alunos). O João do par 1 optou por utilizar uma regra de três simples (Figura 36) para obter o custo de 1kg de laranjas e de 2kg de bananas, adicionando posteriormente os valores obtidos para conseguir o custo total da fruta.
Figura 36 - Resposta do João à Questão 1.2 da Ficha de Trabalho N.º 3
A Joana do par 1 apresentou o custo de 4kg de bananas e de 3 kg de laranjas obtido na alínea anterior e a partir desses valores obteve o custo de 2kg de bananas e de 1kg de laranjas (Figura 37), como não apresenta que cálculo fez para obter esses valores, a aluna deve ter recorrido à calculadora para dividir por dois e por três, respetivamente. Apesar de a resposta estar totalmente correta, na representação gráfica na sua ficha de trabalho encontram-se diversas linhas de apoio (Figura 38), o que revela que inicialmente a Joana tentou a partir da representação gráfica obter os valores pedidos. Provavelmente
abandonou essa estratégia porque os valores do custo obtidos não eram valores certos, o que dificultou essa leitura.
Figura 37 - Resposta da Joana à Questão 1.2 da Ficha de Trabalho N.º 3
Figura 38 - Representação gráfica da Joana da Questão 1 da Ficha de Trabalho N.º 3
O par 2 optou por dividir por dois o custo de 4kg de bananas e por três o custo de 3kg de laranjas (Figura 39), obtendo desta forma o pretendido. Apesar de terem calculado corretamente o valor desejado é evidente na resolução da Beatriz a falta de rigor matemático na escrita, ao apresentar o valor dos 4kg de bananas e divide por dois, sem apresentar o significado dessa divisão, desta forma a aluna apresenta que o custo de 4kg de bananas é 3,60€ e o custo de 3kg de laranjas é 0,80€, o que está incorreto. Apesar de o seu raciocínio estar correto e a resposta final, também.
Figura 39 - Resposta da Beatriz à Questão 2.2 da Ficha de Trabalho N.º 3
Apenas um dos alunos respondeu incorretamente a esta questão (Figura 40), este aluno foi o que também respondeu incorretamente à questão anterior. Este aluno não
apresenta quaisquer cálculos para responder a esta questão, supondo que tenha recorrido aos cálculos da alínea anterior para obter este valor.
Figura 40 - Resposta do Luís à Questão 1.2 da Ficha de Trabalho N.º 3
Dois alunos responderam de forma incompleta a esta questão. Um dos alunos apenas não apresentou o valor total gasto pelo Ricardo, embora tenha obtido o valor dos 2kg de bananas e de 1 kg de laranjas (Figura 41). Este aluno, ao invés de calcular o custo por quilo de cada fruta, como o objetivo era calcular o custo de 2kg de bananas, mas era dado o custo de 4kg de bananas, apenas calculou a metade desse valor minimizando o número de passos necessários para a resolução desta questão e mostrando facilidade no raciocínio matemático.
Figura 41 - Resposta do Duarte à Questão 1.2 da Ficha de Trabalho N.º 3
O outro aluno que respondeu de forma incompleta a esta questão, apenas calculou o custo por quilo de cada uma das frutas (Figura 42). Apesar de não ter finalizado a questão, consegue retirar os dados necessários da representação gráfica.
Figura 42 - Resposta do Tiago à Questão 1.2 da Ficha de Trabalho N.º 3
5.2.3. Questão 1.3
Apenas um aluno da turma não resolveu esta questão e dois responderam incorretamente. Desta forma vinte e três alunos responderam corretamente, sendo que a maioria optou pela mesma estratégia de resolução, dividiram a quantia que o pai do Ricardo queria gastar em laranjas pelo preço por quilo das mesmas. Os dois pares também optaram por esta estratégia de resolução (Figura 44 e 45).
Figura 44 - Resposta do João (Par 1) à Questão 1.3 da Ficha de Trabalho N.º 3
No entanto o par 2 inicialmente tentou uma estratégia diferente (Figura 45). Como já era conhecido o preço por quilo das laranjas, foi duplicando esse valor para tentar descobrir quando iria gastar 6€. Desta forma, obteve o preço de 4kg e de 8kg, como o preço de 8kg de laranjas já ultrapassava os 6€, foram calcular o preço de 6kg, mas desta vez obtiveram um valor bastante mais baixo do que os 6€ pretendidos. Só após esta estratégia não ter resultado como pretendiam é que recorreram ao quociente entre os 6€ e o custo por quilo.
Figura 45 - Resposta da Beatriz (Par 2) à Questão 1.3 da Ficha de Trabalho N.º 3
Um dos alunos que respondeu incorretamente, começou por realizar corretamente a divisão entre os 6€ e o preço por quilo das laranjas (Figura 46), no entanto riscou a sua resposta e dividiu os 7,5kg novamente pelo preço por quilo, obtendo aproximado às unidades o valor de 9kg de laranjas.
A outra aluna que respondeu incorretamente, afirma que retirou a sua resposta da representação gráfica (Figura 47). A aluna traça linhas de apoio no gráfico e rodeia o valor de 6€ (eixo das ordenadas) mas só traça essa linha até à semirreta que representa as bananas. Este erro pode ter sido uma distração, pois quando traça as linhas de apoio a primeira semirreta que encontra é a referente ao custo por quilo das bananas. Para traçar uma linha até à semirreta referente ao custo por quilo das laranjas teria de prolongar a mesma.
Figura 47 - Resposta da Isabel à Questão 1.3 da Ficha de Trabalho N.º 3
5.2.4. Questão 1.4
Figura 48 - Questão 1.4 da Ficha de Trabalho N.º 3
Esta alínea já suscitou mais dificuldades do que as anteriores, pois apenas dezoito alunos conseguiram responder corretamente a esta questão. Um dos alunos não respondeu a esta alínea, mas respondeu às seguintes alíneas, o que pode ser um indicador de dificuldades acrescida na conversão da representação gráfica para a respetiva expressão algébrica.
Dos dois alunos que apresentaram uma resposta incompleta, um deles apenas apresentou a expressão algébrica da função f(x) e o outro aluno, que foi a Joana do par 1, não apresentou a variável da função g(x) (Figura 49) mas, como apresentou corretamente a expressão algébrica da função f(x), subentende-se que foi um esquecimento. Além deste facto, é de salientar a notação inadequada utilizada na expressão algébrica da função f(x) onde escreve “f(f)”.
Figura 49 - Resposta da Joana à Questão 1.4 da Ficha de Trabalho N.º 3
No entanto o seu par, o João, respondeu corretamente a esta questão (Figura 50). Calculou o preço por quilo das bananas, que ainda não tinha calculado em nenhuma das alíneas anteriores, e apresentou com a notação adequada as duas expressões algébricas.
Figura 50- Resposta do João à Questão 1.4 da Ficha de Trabalho N.º 3
O par 2 respondeu corretamente a esta questão apresentando a mesma resposta e utilizando a notação adequada (Figura 51). Este par já não necessitou de fazer quaisquer cálculos auxiliares pois já tinha calculado o preço por quilo das bananas e das laranjas em alíneas anteriores.
Figura 51 - Resposta da Benedita à Questão 1.4 da Ficha de Trabalho N.º 3
Dos restantes alunos, cinco responderam incorretamente e dois apresentaram uma resposta incompleta. Os cinco alunos que responderam incorretamente, cometeram todos o mesmo erro, esquecendo-se de colocar a variável na expressão algébrica (Figura 52).
5.2.5. Questão 1.5
Figura 53 - Questão 1.5 da Ficha de Trabalho N.º 3
Esta questão está dividida em duas subalíneas. Na primeira subalínea existiram mais alunos a responder corretamente do que na segunda subalínea. Este facto pode suceder devido aos alunos terem trabalhado desde o ano letivo anterior as funções lineares, mas não estarem tão familiarizados com a noção intuitiva de declive.
Na primeira subalínea dois alunos não responderam e os restantes vinte e quatro apresentaram respostas adequadas. O par 1 (Figura 54) respondeu corretamente referindo que passam na origem, mas também que “ambas multiplicam pelo preço por quilo”, esta afirmação pode ser devido à alínea anterior, onde determinaram a expressão algébrica de cada uma das funções, desta forma estão a referir-se ao valor do declive.
Figura 54 - Resposta do João (Par 1) à Questão 1.5.a) da Ficha de Trabalho N.º 3
O par 2 apresenta duas respostas distintas, a Beatriz afirma que “são funções lineares” (Figura 55) enquanto a Benedita refere que “passam pelo O” (Figura 56), querendo referir que ambas as funções passam pela origem do referencial.
Figura 55 - Resposta da Beatriz à Questão 1.5.a) da Ficha de Trabalho N.º 3
Figura 56- Resposta da Benedita à Questão 1.5.a) da Ficha de Trabalho N.º 3
Na questão 1.5.b) apenas responderam corretamente vinte alunos enquanto cinco não realizaram esta alínea e um aluno respondeu incorretamente.
O par 1 apresentou uma resposta adequada a esta questão: o João apenas refere que o que as distingue é “o preço por quilo”, mas a Joana complementa essa resposta com outras duas características (Figura 57). A resposta desta aluna encontra-se bastante completa pois, além de referir que a constante de proporcionalidade é diferente, ainda reforça com a inclinação das funções.
Figura 57 - Resposta da Joana à Questão 1.5.b) da Ficha de Trabalho N.º 3
A Benedita não responde a esta questão, mas a Beatriz responde corretamente (Figura 58) e, à semelhança da Joana do outro par, refere também que o que as distingue é “a constante de proporcionalidade direta e a sua inclinação”.
Figura 58- Resposta da Beatriz à Questão 1.5.b) da Ficha de Trabalho N.º 3
O aluno que respondeu incorretamente afirmou que o que distingue as duas funções era a “distância” (Figura 59), provavelmente o aluno queria referir a inclinação das semirretas, isto é, a distância que as duas semirretas se encontram do eixo das abcissas.
Figura 59 - Resposta do Jorge à Questão 1.5.b) da Ficha de Trabalho N.º 3
Outro aluno da turma apresentou uma resposta interessante e bastante pertinente (Figura 60). Este aluno refere que “é mais cara” referindo-se ao valor da constante de proporcionalidade de uma função ser superior ao da outra, pois neste caso o valor da constante de proporcionalidade está associado ao preço por quilo de cada fruta. O aluno refere, ainda, corretamente a influência que esse parâmetro tem na representação gráfica, aumentando a sua inclinação.
Figura 60- Resposta da Leonor à Questão 1.5.b) da Ficha de Trabalho N.º 3
5.2.6. Questão 1.6
Figura 61 - Questão 1.6 da Ficha de Trabalho N.º 3
Esta questão suscitou algumas dificuldades nos alunos, tendo em conta que apenas dezassete responderam corretamente e que mesmo desse grupo três não apresentaram qualquer justificação. Dos restantes nove alunos da turma, seis não responderam e três responderam incorretamente, sendo que um destes alunos foi a Benedita do par 2.
A Benedita refere que a afirmação é verdadeira (Figura 62) mas não chega a apresentar uma justificação. Como resolve as questões seguintes, é um indicativo que a omissão de justificação não foi por falta de tempo.
Figura 62 - Resposta da Benedita à Questão 1.6 da Ficha de Trabalho N.º 3
O par 1 apresenta a mesma resposta (Figura 63), referindo corretamente que a afirmação é falsa, justificando com o facto de se tratar de funções lineares, o que evidencia que sabe distinguir estes dois tipos de funções (linear e constante). Este tipo de resposta demonstra uma compreensão sobre o tipo de funções existentes. A Beatriz do par 2 apresenta uma resposta correta (Figura 64), apesar de existir pouco rigor na linguagem matemática utilizada na justificação, pois a Beatriz refere que “não têm o mesmo valor”, revelando conhecimento dos vários tipos de função, em particular da função constante.
Figura 64- Resposta da Beatriz à Questão 1.6 da Ficha de Trabalho N.º 3
Os outros alunos que responderam incorretamente, um deles apenas responde “sim” e a outra aluna (Figura 65) apesar de corretamente referir que a afirmação é falsa, justifica contraditoriamente que “é uma função constante”. Mais uma vez, esta aluna leva- me a concluir que ainda existem dificuldades nesta turma sobre o tipo de funções existentes e a distinção entre as mesmas, não só pelos três alunos que responderam incorretamente, mas também pela ausência de resposta de alguns alunos.
Figura 65- Resposta da Ana à Questão 1.6 da Ficha de Trabalho N.º 3
5.2.7. Questão 1.7
Figura 66 - Questão 1.7 da Ficha de Trabalho N.º 3
A questão 1.7 é fulcral para o estudo da subunidade “Gráficos de Funções Afins” pois foi o primeiro momento no ano letivo onde os alunos são confrontados com as funções afins. Por essa mesma razão esta questão está dividida em três alíneas, sendo que as duas primeiras têm como objetivo introduzir o valor da ordenada na origem e apenas na última alínea os alunos escrevem a expressão algébrica de uma função afim.
Como era expectável a alínea que suscitou mais dificuldades foi a última. Nas duas primeiras alíneas vinte e dois alunos responderam corretamente e apenas quatro não responderam, sendo que estes quatro alunos não responderam a mais nenhuma questão da ficha de trabalho, o que possivelmente deveu-se à falta de tempo, pois estes,
habitualmente, apresentam dificuldades na aula e necessitam de mais tempo para realizarem as questões.
O par 1 respondeu corretamente à alínea a) (Figura 67) apresentando o custo de 3kg de laranjas e a quantia total que o pai do Ricardo irá pagar, apresentando também os cálculos necessários. O par 2 respondeu à semelhança do primeiro par.
Figura 67- Resposta do João (Par 1) à Questão 1.7.a) da Ficha de Trabalho N.º 3
Os dois pares também responderam corretamente à alínea b), referindo que a diferença seria de 2€ e justificando que é a quantia referente ao custo da entrega ao domicílio.
Como já referi, a alínea 1.7.c) foi a questão que suscitou mais dificuldades, pois apenas dezasseis alunos responderam corretamente. Nove alunos não responderam e um dos alunos respondeu incorretamente.
Os dois pares responderam corretamente e ambos apresentaram a mesma resposta (Figura 65). Depreendo que o realizarem corretamente as duas alíneas anteriores, facilitou-lhes a resposta a esta alínea.
Figura 68 - Resposta da Joana (Par 1) à Questão 1.7.c) da Ficha de Trabalho N.º 3
A aluna que respondeu incorretamente (Figura 69), ao invés de somar à expressão algébrica o valor da ordenada na origem referente ao custo do valor da entrega ao domicílio, multiplica esse valor, obtendo desta forma uma função linear. Esta aluna respondeu corretamente às alíneas anteriores, podendo-se depreender que tenha sido um erro de distração, pois ao invés de adicionar o custo fixo de 2€, multiplicou por esse valor.
5.2.8. Questão 1.8
Figura 70 - Questão 1.8 da Ficha de Trabalho N.º 3
Esta alínea dá continuidade ao estudo iniciado na alínea anterior sobre as funções afins. Está dividida em duas subalíneas, onde o objetivo da primeira é auxiliar na resolução da segunda subalínea.
Quase metade da turma não realizou a questão 1.8 (doze alunos), o que demonstra as dificuldades que os alunos têm na conversão da expressão algébrica para a respetiva representação gráfica. Apenas quatro alunos responderam corretamente, cinco responderam incorretamente e cinco responderam incompleto.
O João do primeiro par respondeu de forma incompleta (Figura 71), apresenta a função 𝑓(𝑥) mas apenas calcula as imagens de j(2) e de j(3) e marca esses pontos no referencial, não traçando a semirreta correspondente, o que provavelmente deve-se a distração. A sua colega resolveu da mesma forma, mas já traçou a semirreta.
Figura 71 - Resposta do João à Questão 1.8.1 da Ficha de Trabalho N.º 3
O par 2 respondeu incorretamente a esta questão (Figura 72) e não apresentou quaisquer cálculos auxiliares. Consideraram o valor da ordenada na origem como sendo
2,4 ao invés de 2. Este erro pode dever-se a uma confusão entre os valores obtidos na questão 1.7.1, onde também era considerado o valor 2,4€ mas sendo este o custo de 3kg de laranjas e não o custo fixo da entrega ao domicílio. Os outros cinco alunos que responderam incorretamente a esta alínea, cometeram todos o mesmo erro que o par 2.
Figura 72 - Resposta da Beatriz (Par 2) à Questão 1.8 da Ficha de Trabalho N.º 3
Na questão 1.8.1 verificou-se novamente um elevado número de alunos que não realizaram esta subalínea (14 alunos). Esta circunstância deve-se ao facto de não terem realizado a questão 1.8, o que impossibilita a resposta a esta subalínea. A Benedita do par 2 foi uma das alunas que não realizou esta questão, apesar de no seu caso ter resolvido a questão 1.8.
Dez alunos responderam corretamente a esta questão, como foi o caso do par 1 (Figura 73) e da Beatriz do par 2. Todos os alunos que responderam corretamente deram a mesma resposta, como seria expectável pois apenas se poderiam basear na representação gráfica que fizeram na questão 1.8.
Figura 73- Resposta do João (Par 1) à Questão 1.8.1 da Ficha de Trabalho N.º 3
Dois alunos responderam incorretamente a esta questão, tendo um dos alunos referido que a característica comum são os “kg de laranjas” (Figura 74). Este aluno responde desta forma, devido a serem consideradas em outras alíneas os quilos de bananas, não interpretando corretamente o enunciado desta questão que dizia respeito à representação gráfica.
Figura 74- Resposta do Duarte à Questão 1.8.1 da Ficha de Trabalho N.º 3
5.2.9. Questão 1.9
Figura 75 - Questão 1.9 da Ficha de Trabalho N.º 3
À semelhança das alíneas anteriores, a maioria dos alunos não respondeu a esta questão (16 alunos), sendo novamente a Benedita do par 2 uma das alunas. Os restantes dez alunos da turma responderam corretamente a esta questão.
O par 1 (Figura 76) refere corretamente que a constante de proporcionalidade é igual nas duas funções, associando-a ao coeficiente de x e, também refere que são paralelas, não estabelecendo qualquer relação entre estas duas características. A Beatriz do par 2 responde de forma semelhante a este par, assim como os outros alunos que responderam corretamente.
Figura 76 - Resposta da Joana (Par 1) à Questão 1.9 da Ficha de Trabalho N.º 3
5.2.10. Síntese
Esta questão está estruturada de forma ao grau de dificuldade ir aumentando gradualmente. Por essa mesma razão, é notório que o número de alunos que não responde, ou responde incorretamente, começa a aumentar a partir da quarta alínea.
Os alunos revelam algumas dificuldades na conversão da representação gráfica para a respetiva expressão algébrica, mas essas dificuldades aumentam quando a conversão pedida é a da expressão algébrica para a representação gráfica. Este facto prende-se com a dificuldade em obter pontos que pertencem à função, mas também na