Múltiplas representações

Os alunos começam a trabalhar as funções, como já referi, mais explicitamente e aprofundadamente no 7.º ano de escolaridade, com o estudo das funções afim, linear e contante, bem como a função de proporcionalidade direta. A partir deste momento, os alunos trabalham com diferentes representações de uma função tornando este primeiro contacto com as múltiplas representações um momento muito importante, pelo que foi um foco do estudo que me propus realizar.

Na verdade, deve-se explorar mais que, exclusivamente, as conversões entre representações, os alunos devem estar conscientes que existem representações que são mais convenientes dependendo do que pretendemos trabalhar e que em cada representação existem características e propriedades que são mais fáceis de compreender do que noutra, como defende Ronda (2015, p.3), “as ligações entre representações é mais do que a conversão entre representações. É sobre ser capaz de ver as características e as propriedades das funções em todas as suas diferentes representações”.

Uma das questões do estudo à qual procuro dar resposta é como se evidencia a compreensão da noção de declive nas várias representações de uma função –

representação tabular, representação gráfica e expressão algébrica – é fulcral que os alunos “adquiram à vontade para relacionar expressões algébricas que contenham variáveis com representações verbais, gráficas e em tabelas de relações numéricas e quantitativas” (NCTM, 2007, p.263). Naturalmente, os alunos devem saber interpretar todas as formas de representação, mas estes necessitam também de orientações que os apoiem a estabelecer “conexões entre as características matemáticas das relações das funções que são representadas e o método pelo qual a sua representação é feita” (Brendefur, Hughes & Ely, 2011, p.19), para que, desta forma, ao serem confrontados com uma determinada representação consigam saber que tipo de função se trata e também consigam retirar todos os dados que necessitem ou possam convertê-la para outra representação que seja mais favorável.

O NCTM também defende que, “no ensino básico, os alunos deverão ser capazes de compreender as relações entre tabelas, gráficos e símbolos e de avaliar as vantagens e as desvantagens de cada forma de representação, consoante os objetivos em causa” (2007, p.40), pois estes devem compreender que dependendo do que pretendem estudar e analisar existem representações mais adequadas. Esta facilidade na escolha de representações é uma mais valia em diversas áreas. Sendo que, para explorar as diversas representações existentes, o tema das funções é um dos mais indicados, pois “é especialmente adequado a concretizar as atuais orientações internacionais e nacionais de proporcionar aos alunos o contacto com a diversidade de representações matemáticas” (Gafanhoto & Canavarro, 2008, p.3).

Durante todo o estudo procurei fomentar uma cultura de sala de aula aberta à discussão de resultados, mas também dar “aos alunos oportunidades, de não efetuarem apenas conversões entre diferentes representações, mas também terem as suas dificuldades diagnosticadas e resolvidas” (Bossé, Adu-Gyamfi, & Cheetham, 2011, p.117), isto é, os alunos foram sempre questionados sobre os processos utilizados e ajudados na elaboração de estratégias para conseguirem superar as suas dificuldades.

Na conversão entre representações, são necessárias diferentes interpretações dependendo da conversão que irá ser efetuada, o que pode influenciar o grau de dificuldade da mesma. Vários autores referem diferentes erros na conversão entre representações, tais como Bossé, Adu-Gyamfi e Cheetham (2011) que mencionam: erros de manipulação – os alunos calculam incorretamente problemas aritméticos ou algébricos ou utilizam nomes para as variáveis incorretos; erros conceptuais, que podem ser de dois tipos – os alunos introduzem incorretamente ou omitem uma importante restrição. Mas

também aludem que as conversões que envolvem representações verbais estão entre as mais difíceis.

Nesta área também já existem diversos estudos nacionais, como é o caso de Almeida e Oliveira (2009) que realizaram uma investigação sobre a aprendizagem de funções no 11.º ano recorrendo à calculadora gráfica. Neste estudo defendem que é utilizando múltiplas representações que os alunos conseguem dar significado a um objeto matemático e que a sua aprendizagem só é eficaz quando estes conseguem articular diversos registos de representação. Ainda neste estudo é referido que ao desenvolver tarefas com diversas representações de uma função e enfatizar a conversão entre as mesmas permite evitar o fenómeno da compartimentalização, que é um dos grandes obstáculos à compreensão das funções.

Outro estudo realizado por Bárrios (2011) foi elaborado recorrendo à utilização do software Graph, foi identificado que na determinação de objetos e imagens, se a informação for apresentada na forma tabular os alunos tentam aplicar uma relação de proporcionalidade, para converter noutra representação, mesmo quando a mesma não se aplica naquele caso. Em geral, os alunos revelaram grandes dificuldades na conversão para a respetiva expressão algébrica, sendo que onde revelam menos dificuldades é na conversão para uma expressão algébrica de uma função linear (do tipo 𝑦 = 𝑘𝑥).

Ainda neste estudo, alguns alunos necessitam de converter para uma representação intermédia, antes de conseguirem converter para a representação que pretendiam. Normalmente, quando se deparam com esta dificuldade, convertem para a representação gráfica e desta para a que desejavam obter. Outra estratégia que adotaram para a conversão de uma representação para a expressão algébrica, é a análise dos dados que dispunham e identificarem o tipo de função, sendo assim apenas tinham de descobrir os parâmetros que faltavam. Os alunos que ainda manifestaram dificuldades eram exatamente os que não conseguiam fazer esta análise do tipo de função.

Consciência (2013) também defende que a conversão entre representações é uma tarefa difícil para os alunos, mesmo os do ensino secundário, principalmente no caso da conversão da representação gráfica para a respetiva expressão algébrica. À semelhança do estudo anterior, os alunos também têm necessidade de recorrer a uma conversão intermédia, revelando que existem conversões com diferentes graus de dificuldade.

Noutro estudo nacional, também com alunos do 8.º ano, na conversão para a representação gráfica, Loureiro (2013) refere que algumas das dificuldades é a “tendência dos alunos para considerarem apenas valores positivos para as variáveis” (p.123) e ainda

que “no referencial cartesiano não prolongaram os semieixos negativos e limitarem o gráfico da função ao primeiro quadrante” (p.123).

No estudo elaborado por Gafanhoto e Canavarro (2008) a alunos do 9º ano de escolaridade, recorrendo à utilização do GeoGebra concluíram que as conversões entre representações mais frequentes foram entre a representação tabular e a algébrica e entre a gráfica e a tabular. Sendo que nesta última conversão os alunos recorrem a uma funcionalidade do GeoGebra. Ainda neste estudo, as autoras referem que nas questões de exploração, os alunos recorrem maioritariamente à utilização da representação gráfica, mas que os alunos utilizam todas as outras representações em diversas situações.