Principais Conclusões

As questões de investigação foram, naturalmente, determinantes para a orientação do estudo, nomeadamente para o seu planeamento, para a construção das tarefas, para a elaboração das fichas de trabalho que os alunos trabalharam, bem como para a escolha de todos os materiais utilizados durante a lecionação da subunidade Gráficos de Funções Afins.

Que compreensão revelam os alunos da noção de declive nos vários tipos de função?

Os alunos da turma do 8.º ano em que incidiu o estudo, no ano letivo anterior (7ºano), tinham tido já a oportunidade de estudar a função linear, com especial destaque para a função de proporcionalidade direta. Consequentemente, e como seria expectável, foi neste tipo de funções que revelaram menor dificuldade na noção de declive, quando, neste seu 8.º ano, voltaram a ser confrontados, ou desafiados, com esta noção. Considero que, este facto – compreensão da noção de declive das funções lineares – será uma

consequência de, no ano anterior, se ter estudo o valor da constante de proporcionalidade nas funções de proporcionalidade direta.

No entanto, e apesar desta noção de declive parecer estar interiorizada, quando desafiados em tarefas que se foquem no paralelismo entre retas, a maioria dos alunos da turma do 8.º ano não foi capaz de relacionar imediatamente esta relação entre as retas e o valor da respetiva constante de proporcionalidade. Os alunos chegaram, inclusivamente, a referir que o paralelismo entre as retas apresentadas e o valor da constante de proporcionalidade como sendo duas características sem relação entre si.

Foi igualmente possível verificar que, dos três tipos de funções estudadas com os alunos da turma do 8.º ano – função afim, linear e constante – estes revelaram, talvez até de forma algo surpreendente, uma muito menor compreensão imediata na noção de declive na função constante. Na verdade, a maioria dos alunos argumentou mesmo que este tipo de função não tinha declive, talvez devido à sua posição relativa na representação gráfica ou por não observarem um ângulo formado pela reta e pelo eixo dos xx. De igual forma, no caso deste tipo de função revelaram muitas dificuldades no reconhecimento do declive através da respetiva expressão algébrica, justificando com o facto da variável em questão não aparecer, isto é, não estar visível na expressão.

Quando era apresentada uma função afim ou linear através da respetiva expressão algébrica, os alunos conseguiam identificar facilmente o valor do declive. Esta evidência é corroborada pelo estudo elaborado por Canário (2011), que identifica que os alunos na função linear e de proporcionalidade direta conseguem identificar o valor do declive e a influência do mesmo e pelo estudo de Candeias (2010) que refere que os alunos identificam corretamente gráficos que representam funções lineares.

Ao longo do estudo da noção de declive, os alunos revelaram maiores dificuldades na compreensão da influência desse parâmetro nas funções afins, perante a expressão algébrica, na medida em que tinham de trabalhar, simultaneamente, com o valor da ordenada na origem.

Num outro momento distinto, quando foi introduzida a fórmula do cálculo analítico do declive, os alunos assumiram quase imediatamente o uso desta fórmula, passando a calcular o declive, quase exclusivamente, com recurso à mesma, mesmo em funções lineares, parecendo esquecerem-se das noções mais intuitivas do mesmo que lhes permitira, em diferentes momentos, fazer uso imediato do valor do declive. Naturalmente que, apesar de não estar incorreto o uso da fórmula para os cálculos em questão, quando confrontados com a hipótese de calcularem de maneira distinta, a maioria dos alunos já

não se recordava de como fazê-lo. Esta dificuldade estará, na minha perspetiva, também ligada ao facto de os alunos não associarem o valor do declive de uma reta que passa na origem do referencial ao valor da constante de proporcionalidade de uma função de proporcionalidade direta.

Na sua maioria os alunos conseguem aplicar corretamente a fórmula do cálculo analítico do declive. Ainda assim, alguns alunos cometem erros, principalmente, erros de manipulação, tal como referido por Bossé, Adu-Gyamfi e Cheetham (2011), como por exemplo, troca do valor do objeto com o valor da imagem ou erros de cálculo aritmético.

Resumindo, apesar de os alunos da turma do 8.º ano terem iniciado o estudo da noção de declive, particularmente de funções de proporcionalidade direta, sem grandes dificuldades, na sequência natural do que já tinham trabalhado no ano letivo anterior relativamente às funções, a verdade é que esse conhecimento se revelou menos consolidado quando transportado para outros tipos de funções, nomeadamente as funções constantes, onde sentiram maior dificuldade em identificar o próprio valor do declive. Por outro lado, e uma vez introduzido o cálculo analítico do valor do declive, os alunos passaram a usar, quase em exclusivo, esta forma mais analítica, revelando a preferência por uma ferramenta que lhes permita obter sempre os resultados que procuram, em detrimento de abordagens mais intuitivas da noção de declive. Esta insegurança revelada no domínio mais intuitivo da noção de declive revelou-se também quando os alunos foram desafiados a comparar os declives de retas, particularmente o seu paralelismo. Apesar deste facto, quando os valores do declive eram distintos, os alunos, na sua maioria, conseguiam concluir a influência dos mesmos na inclinação das retas.

Como se evidencia essa compreensão nas várias representações de uma função? E na conversão entre representações?

Ao longo de toda a subunidade Gráficos de Funções Afins onde incidiu este estudo, tentei implementar nas diferentes tarefas e fichas de trabalho uma diversidade de representações matemáticas – gráfica, expressão analítica e tabular – como defende Gafanhoto e Canavarro (2008), pois desta forma os alunos são confrontados com a noção de declive nas múltiplas representações de uma função e na conversão entre as mesmas.

No início da lecionação da subunidade existiram, naturalmente, momentos de revisão de conteúdos lecionados no ano anterior, permitindo assim um melhor enquadramento para os desafios seguintes. Efetivamente, no momento de revisão da

leitura e interpretação da representação gráfica, foram já notórias as dificuldades dos alunos na influência da diferente inclinação das retas (segmentos de retas ou semirretas) e na sua relação com o comportamento da própria função. Estas dificuldades revelaram- se um fator determinante para a sua consolidação da noção de declive, apesar do trabalho de grande incidência sobre as mesmas. Na verdade, foi sempre um desafio para os alunos conseguirem relacionar as diversas características de uma função.

No momento do estudo em que foi introduzida a função afim e a informação era apresentada na forma tabular, os alunos continuaram a aplicar uma relação de proporcionalidade, o que corrobora o estudo elaborado por Bárrios (2011). Por outro lado, no momento de realização das tarefas associadas à função afim, os alunos revelaram igualmente maiores dificuldades a trabalhar com a sua forma tabular, por oposição ao trabalho com a respetiva expressão algébrica. Aliás, quando os dados eram apresentados na forma tabular, a maioria dos alunos optou mesmo por fazer uso desses dados e convertê-los para a respetiva expressão algébrica, revelando assim a forma como se sentiam mais confortáveis no trabalho com a função em questão.

De igual forma, quando os dados eram apresentados na forma tabular ou na expressão algébrica, os alunos tinham também dificuldades em conjeturar como os parâmetros do declive e da ordenada na origem iriam influenciar a respetiva representação gráfica. Na verdade, os alunos pareciam só ter essa noção quando era apresentada a representação gráfica de uma função e, simultaneamente, a respetiva expressão algébrica. Apesar de sentirem necessidade de visualizarem a representação gráfica para conseguirem concluir um raciocínio ou procedimento, nenhum aluno converteu para essa representação se não tivesse indicado no enunciado que era necessário fazê-lo.

A expressão algébrica foi das representações em que os alunos sentiram mais dificuldades, tendo a maioria conseguido identificar e argumentar qual o valor do declive, talvez por ter sido bastante reforçado durante a lecionação desta subunidade a equação da reta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. No entanto, tudo se tornava mais difícil para os alunos se a equação da reta não fosse apresentada na forma reduzida. Além deste facto, e uma vez mais, os alunos sentiram dificuldades quando era apenas apresentada a expressão algébrica, não conseguindo conjeturar, ou comparar, o valor do declive de diversas retas.

Sempre que era apresentada a representação gráfica de uma função, os alunos compreendiam a relação entre o valor do declive positivo, negativo ou nulo e a respetiva monotonia das funções. O mesmo não se verifica, no entanto, quando a função é apresentada em outro tipo de representação.

Por outro lado, os alunos revelaram bastantes dificuldades na própria representação gráfica de uma função, particularmente na marcação de pontos no referencial, mas também, como foi descrito por Loureiro (2013), só costumam considerar valores positivos e limitam o gráfico da função ao primeiro quadrante. Quando se tratam de situações contextualizadas, os alunos continuam a traçar uma reta, ou uma semirreta, com início na origem, não verificando se faz sentido no contexto do problema nem tendo em consideração o domínio do mesmo.

Bossé, Adu-Gyamfi e Cheetham (2011) mencionam que existem diferentes erros na conversão entre representações: erros de manipulação ou erros conceptuais. A maioria dos alunos tende a fazer erros de manipulação, isto é, calculam incorretamente problemas aritméticos, como foi o caso do cálculo analítico do declive ou utilizam nomes para as variáveis incorretos. Estes alunos sempre manifestaram falta de rigor matemático e utilização incorreta de notações, o que dificulta as conversões entre representações.

A grande maioria dos alunos manifestou bastantes dificuldades na conversão entre representações. A conversão que suscitou mais dificuldades foi a conversão para a respetiva expressão algébrica, sempre que foi necessário, o que está em plena concordância com o estudo elaborado por Bárrios (2011). A conversão da expressão algébrica para a respetiva representação gráfica também se revelou problemática, devido ao facto de os alunos sentirem dificuldades na obtenção de pontos que pertençam a uma função dada a respetiva expressão algébrica, mas também à falta de planeamento. Neste aspeto, muitos alunos revelaram as suas dificuldades logo no momento inicial, nomeadamente, em saber como deve preceder e que passos se deve efetuar.

Nos estudos realizados por Bárrios (2011) e por Consciência (2013), os alunos sentiam necessidade de recorrer a uma conversão intermédia antes de converterem para a representação pretendida. Estas autoras argumentavam que este passo intermédio era evidente pois as conversões tinham diferentes graus de dificuldade. Apesar de ser notório os diferentes graus de dificuldade entre as representações usadas, os alunos desta turma nunca usaram uma representação intermédia. Este facto, na minha opinião deve-se maioritariamente às dificuldades dos alunos nesta temática e ao fenómeno da compartimentalização no estudo das funções. Este fenómeno de compartimentalização é referido no estudo elaborado por Almeida e Oliveira (2009) como sendo um dos grandes obstáculos à compreensão das funções. De facto, ao trabalhar com os alunos foi evidente, que estes, na sua maioria, não conseguiam associar e relacionar todos os conceitos que

foram sendo aprendidos nesta temática, quando era introduzido um novo conceito os alunos utilizavam o mesmo como sendo independente do que já tinham aprendido.

Nesta turma foi evidente que a conversão que causava menos dificuldades era conversão da representação tabular para a representação gráfica. O que corrobora que, quando a expressão algébrica está envolvida, os alunos sentem mais dificuldades.