Formulação biparamétrica

Nesta seção é realizada uma breve abordagem das principais metodologias biparamétricas (e.g., 𝐽-𝒯, 𝐽-𝑄, 𝐽-𝐴₂) utilizadas na descrição dos campos de tensões desenvolvidos nas imediações da ponta da trinca. Dentre essas metodologias, ênfase especial é dada à formulação 𝐽-𝑄 a qual é comumente utilizada no mapeamento do campo elasto- plástico de tensões para trincas estacionárias em condições LSY.

O desenvolvimento da caracterização biparamétrica dos campos elasto-plásticos começa pela consideração de um sólido cuja dimensão característica 𝑏 (i.e., seu ligamento remanescente) é solicitada remotamente por uma tensão 𝜎_∞ e cuja deformação nas imediações da ponta da trinca se escala com (𝐾_𝐼⁄ )𝜎₀ 2 _{ou, de forma equivale, com 𝐽 𝜎}

0

⁄ [131]. Desta forma, para níveis de carregamento suficientemente baixos [i.e., 𝑏 ≫ 𝐽 𝜎⁄ ou, em termos de 0

𝐾, 𝑏 ≫ (𝐾𝐼⁄ )𝜎0 2] de forma que a plasticidade fique restrita à ponta da trinca, pode-se

demonstrar que os campos elasto-plásticos, definidos por condições de deformação plana e em modo I, nas proximidades da trinca podem ser caracterizados por um único conjunto de soluções parametrizadas a partir de diferentes níveis de triaxialidade (e.g., 𝒯 𝜎⁄ , 𝑄). ₀

As descrições biparamétricas dos campos elasto-plásticos comumente explicitadas pela pelas teorias 𝐽-𝒯, 𝐽-𝑄 e 𝐽-𝐴₂, em particular, derivam da aplicação da formulação MBL, vide Fig. 2.17(c), cujas tensões remotas são dadas pelos dois primeiros termos da solução elástica de Williams [13], conforme Equação (2.57a).

Com base na formulação MBL apresentada na seção anterior, campos de diferentes níveis de triaxialidade podem ser induzidos a partir da aplicação de diferentes combinações de 𝐾_𝐼 e 𝒯 [104,134]. Hancock e colaboradores [104,134] demonstraram uma forte influência da

componente 𝒯_𝑥 sobre a tensão de abertura (𝜎_𝑦𝑦) atuantes na ponta da trinca, de forma que valores positivos de 𝒯_𝑥 promovem uma ligeira elevação em 𝜎_𝑦𝑦 em relação à solução BL (i.e., com 𝒯_𝑥 = 0), enquanto valores negativos promovem uma acentuada diminuição na magnitude dessas tensões. Apesar da sua influência sobre o campo de tensões, a tensão elástica 𝒯𝑥 não

exerce influência sobre o valor da integral 𝐽 uma vez a tensão 𝒯_𝑥 possui característica não singular. Além disso, o termo (𝐾_𝐼⁄ )𝜎₀ 2 _{ou o seu equivalente em termos da integral 𝐽, 𝐽 𝜎}

0

⁄ , fornece a única escala de comprimento na formulação BL biparamétrica (𝐾_𝐼-𝒯). A partir de considerações dimensionais, o conjunto de soluções para a descrição dos campos de tensões sob diferentes níveis de triaxialidade pode ser representado por campos parametrizados por 𝒯 𝜎⁄ , conforme solução a seguir 0

𝜎_𝑖𝑗 = 𝜎₀𝑓_𝑖𝑗( 𝑟

𝐽 𝜎⁄ ₀, 𝜃; 𝒯 𝜎⁄ ) (2.61) 0

em que 𝑟 (𝐽 𝜎⁄ ⁄ )₀ representa a distância da ponta da trinca normalizada e 𝒯 𝜎⁄ o parâmetro ₀ de carga o qual fornece uma medida conveniente do estado de triaxialidade (restrição da ponta da trinca) para diferentes configurações estruturais submetidas a carregamentos definidos por condições SSY. Embora a tensão 𝒯 seja proporcional ao fator 𝐾_𝐼, o seu valor satura a partir de um determinado nível de carregamento (determinado pelo valor limite de 𝐾_𝐼), o que a torna indefinida para deformações plásticas que se estendem além da região de validade de escoamento limitado (SSY) na ponta da trinca. Portanto, o uso da tensão 𝒯 como parâmetro descritor do nível de triaxialidade para campos elasto-plásticos em condições de escoamento generalizado (LSY) torna-se incerto, uma vez que a solução elástica dada pela Eq. (2.57a), sobre a qual a tensão 𝒯 é definida, representa uma expansão assintótica a qual é fortemente violada quando a deformação plástica estende-se além da região de validade de escoamento limitado (SSY) na ponta da trinca.

Os argumentos expostos acima e as evidentes limitações associadas à tensão 𝒯 motivaram O’Dowd e Shih [131,132], daqui em diante referido como O&S, a elaborarem uma descrição biparamétrica aproximada para os campos elasto-plásticos desenvolvidos nas imediações da ponta da trinca. Essa descrição está relacionada ao uso de um parâmetro de triaxialidade mais global e aplicável a condições LSY para materiais com resposta elasto- plástica descrita pela lei de potência dada por 𝜀 𝜀⁄ ∝ 𝛼(𝜎 𝜎₀ ⁄ )₀ 𝑛_{, em que 𝛼 é uma constante}

do material, 𝑛 denota o expoente de encruamento, 𝜎₀ e 𝜀₀ a tensão e a deformação de referência (neste caso definidas no ponto de escoamento), respectivamente. A partir de

diversas análises numéricas baseadas na formulação MBL e nas teorias das pequenas (SGC) e grandes deformações (LGC), O&S [131,132] identificaram um conjunto de soluções elasto- plásticas similares para os campos de tensões, deformações e deslocamentos as quais são representadas de forma parametrizada, respectivamente, por

𝜎_𝑖𝑗 = 𝜎₀𝑓_𝑖𝑗( 𝑟 𝐽 𝜎⁄ ₀, 𝜃; 𝑄) (2.62𝑎) 𝜀_𝑖𝑗 = 𝜀₀𝑔_𝑖𝑗( 𝑟 𝐽 𝜎⁄ ₀, 𝜃; 𝑄) (2.62𝑏) 𝑢_𝑖 = 𝐽 𝜎₀ℎ𝑖( 𝑟 𝐽 𝜎⁄ ₀, 𝜃; 𝑄) (2.62𝑐)

em que 𝑟 e 𝜃 são as coordenadas polares centradas na ponta da trinca (sendo que 𝜃 = 0 corresponde à linha à frente da trinca), 𝑓_𝑖𝑗, 𝑔_𝑖𝑗 e ℎ_𝑖 as funções angulares adimensionais (as quais são implicitamente dependentes das propriedades mecânicas do material), 𝜀₀ é a deformação de referência (𝜀0 = 𝜎0⁄ ) e 𝑄 o parâmetro adimensional, o qual surge 𝐸

naturalmente das análises elasto-plásticas, que mede a amplitude do estado de tensão (campo) de segunda ordem conforme abordado em detalhes mais adiante.

Especificamente, as distribuições das tensões, incluindo a distribuição da tensão de abertura [𝜎_𝜃𝜃⁄ vs. 𝑟 (𝐽 𝜎𝜎₀ ⁄ ⁄ )0 ], são determinadas somente por 𝑄, enquanto 𝐽 define a escala

de tamanho sobre a qual as tensões e deformações de elevada magnitude se desenvolvem. O grande êxito das soluções numéricas de O&S [131,132] foi demonstrar que as famílias de campos elasto-plásticos, parametrizadas na forma expressa pela Eq. (2.62), continuavam a existir nas imediações da ponta da trinca para as diferentes geometrias de trinca em condições LSY na medida em que 𝑏 ≫ 𝐽 𝜎⁄ ainda era assegurada. Dessa forma, foi possível demonstrar ₀ que o parâmetro 𝑄 poderia ser utilizado como uma medida efetiva dos diferentes níveis de triaxialidade ocasionados pelos efeitos geométricos da trinca para uma ampla faixa de deformação (i.e., desde condições SSY até a condições LSY). Além disso, as soluções numéricas de O&S [131,132] demonstram que as distribuições de tensão e deformação que contêm o mesmo valor de 𝑄 colapsam numa única curva quando a distância da ponta é normalizada por 𝐽 𝜎⁄ ; isto é, as distribuições dependem apenas de 𝑄. Com base nesses ₀

argumentos, O&S [131,132] propuseram uma relação 𝐽-𝛿, vide Eq. (2.50), expressa por uma forma mais geral dada por

𝛿 = 𝑑𝑛(𝛼𝜀0, 𝑛, 𝑄)

𝐽

𝜎0 (2.63)

de forma que o parâmetro 𝑑_𝑛 passa também a ser dependente de 𝑄.

Embora estudos anteriores já haviam se utilizado de abordagens biparamétricas para a descrição de campos elasto-plásticos nas proximidades da ponta da trinca [104,130], o estudo conduzido por O&S [131] configurou-se como o primeiro estudo que, efetivamente, avaliou quantitativamente o fenômeno da restrição plástica na ponta da trinca. Nos casos em que 𝑄 < 0, o campo de tensões é caracterizado por um baixo nível de triaxialidade. Em contrapartida, para as condições em que 𝑄 ≈ 0, podendo até mesmo possuir valores positivos nos instantes iniciais de carregamento, o campo de tensões apresenta um elevado nível de triaxialidade. O conjunto de soluções expresso pela Eq. 2.62 constitui uma família de campos elasto-plásticos parametrizáveis pelo parâmetro adimensional 𝑄 responsável por definir a quantidade pela qual o campo de tensões em configurações estruturais difere de uma dada solução de referência. Por exemplo, as soluções HRR [93–95], de Rice e Johnson [124] e de McMeeking [87] representam os campos da família de campos caracterizadas por um valor de 𝑄 = 0. Portanto, 𝑄 define quantitativamente os efeitos de geometria, modo de carregamento e propriedades mecânicas sobre os campos para uma gama completa de níveis de deformação (i.e., para condições que variam desde a condições SSY até as condições LSY). Deve-se ressaltar que sob condições SSY a descrição biparamétrica 𝐽-𝑄 pode ser alternativamente descrita pela teoria 𝐽-𝒯, uma vez que nessas condições a tensão 𝒯 é bem definida.

A versatilidade do parâmetro hidrostático 𝑄 em relação à tensão elástica 𝒯 deve-se justamente ao fato de 𝑄 manter a sua capacidade descritiva do nível de triaxialidade do campo de tensões para condições de deformação além das condições SSY. A maneira pela qual os mapas de contorno, definidos pelas tensões principais, se desenvolvem com a evolução da restrição plástica (essa devido aos níveis crescentes de carregamento) é consistente com a descrição 𝐽-𝑄 dos campos de tensões. Isso significa dizer que para um dado valor de carregamento (em termos de 𝐽), o tamanho, mas não o formato, dos mapas de contorno da tensão principal é alterado pelo estado de tensão hidrostática uniforme próximo à ponta da trinca de magnitude ajustável caracterizada por 𝑄 [137].

O embasamento teórico por detrás das análises realizadas por O&S [131,132] está relacionado ao uso de uma expansão assintótica, baseada na teoria das pequenas deformações, cuja série além do primeiro termo é equivalente a um campo diferencial de forma que o campo de tensões elasto-plástico pode ser genericamente expresso por

𝜎_𝑖𝑗 = (𝜎_𝑖𝑗)_𝐻𝑅𝑅 + 𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (2.64)

Com base nas considerações acima, a solução biparamétrica dada pela Eq. (2.62a) descreve as tensões nas vizinhanças da ponta da trinca em um sólido finito (𝑇 ≠ 0) em termos da integral 𝐽 (i.e., campo definido pela solução HRR) e em termos do parâmetro adicional 𝑄. Para distâncias suficientemente próximas à ponta da trinca, porém ainda afastadas da zona de deformações finitas imediatamente adjacente à ponta da trinca, a solução geral das tensões para condições de deformação plana e em modo I pode ser expressa pela expansão assintótica dada por 𝜎_𝑖𝑗(𝑟, 𝜃) 𝜎₀ = ( 𝐽 𝛼𝜀₀𝜎₀𝐼_𝑛𝑟) 1 (𝑛+1)⁄ 𝜎̃_𝑖𝑗(𝑛, 𝜃) + 𝑄 (_{𝐽 𝜎}𝑟 0 ⁄ ) q 𝜎̂_𝑖𝑗(𝑛, 𝜃) + 𝐷. 𝑇. 𝑂. 𝑆. (2.65)

em que 𝑟 e 𝜃 são as coordenadas polares centradas na ponta da trinca, 𝜎̃𝑖𝑗 e 𝜎̂𝑖𝑗 as

componentes das tensões de primeira e segunda ordem, respectivamente, cujos valores são intrinsicamente dependentes da posição angular 𝜃 e do encruamento 𝑛, q pode ser definido como um parâmetro de ajuste e 𝐷. 𝑇. 𝑂. 𝑆. representa os demais termos de ordem superior os quais são desprezíveis na região onde 𝑄 governa o nível do estado de tensão próximo à trinca. Dessa forma, a Eq. (2.65) pode ser convenientemente representada por

1 𝜎0( 𝜎_𝑟𝑟 𝜎_𝑟𝜃 𝜎_𝑟𝜃 𝜎_𝜃𝜃) = (_{𝛼𝜀0𝜎}𝐽_{0𝐼𝑛𝑟}) 1 (𝑛+1)⁄ (_𝜎̃𝜎̃𝑟𝑟 𝜎̃𝑟𝜃 𝑟𝜃 𝜎̃𝜃𝜃) + 𝑄 ( 𝑟 𝐽 𝜎⁄ 0) q (_𝜎̂𝜎̂𝑟𝑟 𝜎̂𝑟𝜃 𝑟𝜃 𝜎̂𝜃𝜃) (2.66)

de forma que o campo HRR e o termo de segunda ordem fornecem uma aproximação biparamétrica para a solução da formulação MBL, uma vez que os termos 𝐷. 𝑇. 𝑂. 𝑆 são desprezados da solução devido as suas magnitudes serem mínimas quando comparada a dos dois termos iniciais (i.e., campo HRR e campo de segunda ordem). Tal simplificação

representa o motivo pelo qual a descrição dos campos elasto-plásticos é considerada uma aproximação biparamétrica da solução MBL.

O procedimento de análise para a determinação das características essenciais do termo de segunda ordem, presente na Eq. (2.66), é relativamente simples. Para isso, O&S [131,132] adotaram como solução exata a solução numérica completa (i.e., obtida para os diferentes níveis de deformação, SSY até LSY) obtida a partir da formulação MBL apresentada anteriormente pela Fig. 2.16(c) e dada pelas condições de contorno dada Eq. (2.58). Assim, o campo de segunda ordem é simplesmente obtido pela subtração do campo HRR da solução completa. Deve-se observar que o primeiro termo da expansão acima, Eq. (2.66), corresponde exatamente à singularidade HRR [93–95], apresentada na Seção 2.1.2.3 e definida pelas Eqs. (2.28a) e (2.29a), na qual a integral 𝐽 define a sua amplitude para a condição 𝑄 = 0. Na Eq. (2.66), os parâmetros 𝐽 e 𝑄 possuem características distintas: 𝐽 define a escala de tamanho da zona de processo sobre a qual elevadas tensões e deformações se desenvolvem, enquanto que o parâmetro 𝑄 escala a distribuição das tensões de segunda ordem próximas à ponta da trinca (𝑟 ≤ 1 − 8𝛿) em relação a um estado de tensão de referência caracterizado por uma elevada triaxialidade.

Durante o processo de carregamento, cada componente estrutural definido por um material específico (𝐸 𝜎⁄ , 𝑛) segue uma curva de força motriz 𝐽-𝑄 característica a qual define 0

a evolução das condições de restrição nas proximidades da ponta da trinca.

Os resultados obtidos por O&S [131] revelam que o expoente de ajuste é consideravelmente inferior a 1 (|q| ≪ 1) o que, em outras palavras, significa dizer que as componentes polares da tensão de segunda ordem, 𝜎̂_𝑖𝑗, são praticamente independentes da distância radial à ponta da trinca, 𝑟. Deve-se ressaltar que a fraca dependência dos termos de segunda ordem em relação à distância 𝑟 também foi observada anteriormente nos trabalhos de Li e Wang [130] e de Sharma e Aravas [138]. O&S [131] verificaram também que as componentes 𝜎̂_𝑖𝑗 na região anular definida por − 𝜋 2⁄ ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2⁄ variavam pouco em relação ao ângulo 𝜃.

Além disso, ficou constatado que a magnitude das tensões 𝜎̂_𝑟𝜃 é consideravelmente inferior à magnitude das tensões 𝜎̂𝑟𝑟 e 𝜎̂𝜃𝜃, sendo que, no interior da região anular |𝜃| ≤ 𝜋 4⁄ ,

a razão 𝜎̂_𝑟𝑟⁄𝜎̂_𝜃𝜃 é praticamente unitária. Todas essas observações fornecem fortes indícios de que o parâmetro 𝑄 é essencialmente uma medida da triaxialidade de tensão. Portanto, tais evidências conferem ao campo de segunda ordem características típicas de um campo de tensões hidrostáticas. Em suma, as análises de O&Shih [131,132], sistematicamente

conduzidas em escalas de comprimento microestruturalmente significativas tanto para a fratura dúctil quanto para a fratura frágil (i.e., na região definida pela domínio |𝜃| < 𝜋 2⁄ a uma distância 𝐽 𝜎⁄ ₀ < 𝑟 < 5 𝐽 𝜎⁄ ), permitem identificar as seguintes características: ₀

• O segundo termo, 𝑄, é praticamente independente da distância radial 𝑟 para um expoente de ajuste e de encruamento definidos, respectivamente, nos intervalos 0 < 𝑞 ≤ 0,071 e 4 ≤ 𝑛 ≤ 20;

• Para |𝜃| ≤ 𝜋 2⁄ , 𝜎̂_𝑟𝑟≈ 𝜎̂_𝜃𝜃 ≈ constantes e |𝜎̂_𝑟𝜃| ≪ |𝜎̂_𝜃𝜃| i.e., as tensões normais de segunda ordem (radial e circunferencial) são aproximadamente iguais e as tensões cisalhantes de segunda ordem são aproximadamente nulas.

Diante de todas as considerações supracitadas, a Eq. (2.66) pode ser expressa de uma forma ainda mais simplificada por

1 𝜎0( 𝜎_𝑟𝑟 𝜎_𝑟𝜃 𝜎_𝑟𝜃 𝜎_𝜃𝜃) = (_{𝛼𝜀0𝜎}𝐽_{0𝐼𝑛𝑟}) 1 (𝑛+1)⁄ (_𝜎̃𝜎̃𝑟𝑟 𝜎̃𝑟𝜃 𝑟𝜃 𝜎̃𝜃𝜃) + 𝑄 ( 𝜎̂𝑟𝑟 𝜎̂𝑟𝜃 𝜎̂_𝑟𝜃 𝜎̂_𝜃𝜃) (2.67𝑎)

ou, simplesmente, por

𝜎𝑖𝑗 = (𝜎𝑖𝑗)_𝐻𝑅𝑅 + 𝑄𝜎0𝛿𝑖𝑗 (2.67𝑏)

em que o termo 𝑄𝜎₀ define a amplitude do campo diferencial no domínio definido por |𝜃| ≤ 𝜋 2⁄ e 𝐽 𝜎⁄ ₀ < 𝑟 < 5 𝐽 𝜎⁄ . Portanto, a diferença relativa entre a solução do campo de tensões ₀ da geometria finita, 𝜎𝑖𝑗, e a solução da placa infinita representada pelo campo HRR, (𝜎𝑖𝑗)_𝐻𝑅𝑅,

pode ser expressa em termos do campo diferencial dado por

(𝜎𝑖𝑗)_{𝑑𝑖𝑓𝑓} = 𝜎𝑖𝑗 − (𝜎𝑖𝑗)_𝐻𝑅𝑅 (2.68𝑎)

ou, alternativamente, por

em que o termo 𝑄𝜎0 corresponde efetivamente a um estado tensão hidrostático espacialmente

uniforme e de magnitude ajustável. Portanto, 𝑄 pode ser convenientemente definido como

𝑄 ≡𝜎𝜃𝜃− (𝜎𝜃𝜃)𝐻𝑅𝑅

𝜎0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜃 = 0, 𝑟 = 2𝐽 𝜎⁄ (2.69) 0

em que 𝑄 pode ser definido como uma medida natural da triaxialidade (ou da restrição) de tensão próxima à ponta da trinca em relação a um estado de tensão de referência caracterizado por uma elevada triaxialidade. Em outras palavras, 𝑄 é a diferença, normalizada pela tensão de referência, entre a tensão circunferencial real (i.e., medida em uma dada geometria finita de trinca) e a correspondente componente de tensão da solução HRR. Por definição O&S avaliaram 𝑄 em 𝑟 = 2𝐽 𝜎⁄ ; entretanto, conforme já mencionado anteriormente, O&S ₀ demonstraram que 𝑄 é relativamente independente de 𝑟 a distâncias compreendidas por 𝐽 𝜎⁄ 0 < 𝑟 < 5 𝐽 𝜎⁄ . A distância escolhida para a definição de 𝑄 está compreendida fora da 0

região de grandes deformações de forma que o valor de 𝑄 deve ser aproximadamente o mesmo independentemente da magnitude das variações geométricas adotadas nas análises numéricas (i.e., independente se a análise foi realizada incorporando SGC ou LGC). Alternativamente, O&S também consideraram o campo diferencial estabelecido por meio da formulação MBL com 𝑇 = 0, (𝜎_𝑖𝑗)_{𝑆𝑆𝑌;𝑇=0}, como solução de referência de forma que

(𝜎𝑖𝑗)_{𝑑𝑖𝑓𝑓} = 𝜎𝑖𝑗− (𝜎𝑖𝑗)_{𝑆𝑆𝑌;𝑇=0} (2.70)

Neste caso, o campo diferencial na região anular de estudo (i.e., |𝜃| ≤ 𝜋 2⁄ e 𝐽 𝜎⁄ ₀ < 𝑟 < 5 𝐽 𝜎⁄ ) aproxima-se ainda mais de um estado de tensão hidrostático espacialmente 0

uniforme. Portanto, uma outra possível definição para o parâmetro 𝑄 pode ser dado por

𝑄 ≡𝜎𝜃𝜃− (𝜎𝜃𝜃)𝑆𝑆𝑌;𝑇=0

𝜎0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜃 = 0, 𝑟 = 2𝐽 𝜎⁄ (2.71) 0

Visando comprovar a consistência da interpretação do parâmetro 𝑄 como um parâmetro hidrostático, O&S realizaram cálculos de 𝑄 baseados na tensão circunferencial (Eq. 2.71) e na tensão média 𝜎𝑚 (primeiro invariante do tensor de tensões) para uma ampla gama de valores

diferença entre 𝑄 e 𝑄𝑚 era sempre inferior a 0,1. Portanto, fica evidente que os valores de 𝑄

podem ser convenientemente utilizados para calcular os correspondentes níveis de tensão hidrostática, de forma que a interpretação direta de 𝑄 como uma tensão hidrostática sugere uma definição em 3-D como

𝑄𝑚 ≡

𝜎_𝑘𝑘− (𝜎_𝑚)_{𝑆𝑆𝑌;𝑇=0}

𝜎0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜃 = 0, 𝑟 = 2𝐽 𝜎⁄ (2.72) 0

Embora a abordagem adotada por O&S [131,132] tenha sido baseada exclusivamente em um problema enolvendo estado plano de deformação sob modo I, a teoria 𝐽-𝑄 é pode ser aplicada em diversos problemas envolvendo condições de tensão plana e modos combinados de carregamento. Detalhes do procedimento utilizado para a determinação das características essenciais do termo de segunda ordem dos campos elasto-plásticos são detalhadamente descritos no trabalho de O&S [131,132].