Metodologias aplicadas à distribuição de tenacidade à fratura

Para uma melhor compreensão do caráter estocástico da tenacidade à fratura medida na RTDF, é necessário fazer uma abordagem preliminar de alguns conceitos estatísticos elementares associados ao micromecanismo de clivagem. Como a descrição detalhada dos inúmeros estudos desenvolvidos acerca desse micromecanismo está além do escopo deste trabalho, é feita uma breve abordagem de apenas alguns dos mais notórios trabalhos desenvolvidos, particularmente dos precursores [35,39,40,166,168], para explicar os efeitos estatísticos associados aos valores de tenacidade.

Nas análises de confiabilidade, a distribuição de Weibull é comumente adotada para descrever a ocorrência de eventos críticos ou indesejáveis. No contexto da mecânica da fratura, essa distribuição estatística foi proposta a fim de avaliar os eventos associados ao mecanismo de fratura frágil [35,39,40,166,168] fundamentando na teoria do elo mais fraco [35,40,43,157,165,167,181,190].

Waloddi Weibull [190] propôs em 1951 uma função de distribuição de probabilidade acumulada (f.d.a.) expressa por

𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑥) = 1 − exp[−𝜑(𝑥)] (2.116𝑎)

em que 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) representa a probabilidade com que o valor 𝑋 da variável de interesse seja menor ou igual a um dado valor específico 𝑥 e 𝜑(𝑥) é uma função que pode assumir diferentes formas, sendo a sua forma mais simples dada por

𝜑(𝑥) = (𝑥 − 𝑎 𝑏 )

𝑐

(2.116𝑏)

em que 𝑎 representa o parâmetro de posição (ou o mínimo valor que a variável 𝑥 pode assumir, threshold), 𝑏 o parâmetro de escala (ou o valor característico da variável 𝑥) e 𝑐 o parâmetro de forma (valor que mede o grau de dispersão de 𝑥). Detalhes da influência de tais parâmetros sobre as funções de probabilidade (função densidade de probabilidade e função de distribuição acumulada) podem ser vistos no Handbook sobre a distribuição de Weibull [191]. A partir da substituição da Eq. (2.116b) na Eq. (2.166a) é possível chegar na seguinte expressão

𝑃(𝑥) = 1 − exp [− (𝑥 − 𝑎 𝑏 )

𝑐

] (2.116𝑐)

cuja formulação está intimamente relacionada às distribuições de valores extremos, conforme abordado em detalhes na referência [191]. De modo geral, as distribuições de valores extremos são aplicáveis quando o fenômeno causador da falha depende do menor ou do maior valor contido em uma sequência de variáveis aleatórias. No contexto da mecânica da fratura, a distribuição de tenacidade à fratura é fundamentada nas distribuições de valores extremos de mínimos. Esse caráter deve-se ao conceito do micromecanismo de clivagem, o qual define um tamanho crítico de microtrinca, 𝑎_𝑐, como critério para a ocorrência da instabilidade da fratura. A Equação (2.166c) passou a ser comumente denominada de distribuição de Weibull, em homenagem ao engenheiro sueco Wallodi Weibull, e desde então vem sendo extensivamente utilizada nos mais diversos campos de pesquisa devida à sua relativa versatilidade em modelos dados das mais variadas natureza. A forma pela qual a Eq. (2.116c) se apresenta é denominada de distribuição de Weibull triparamétrica devido justamente à presença dos três parâmetros mencionados anteriormente.

O início da clivagem na RTDF inicia-se frequentemente a partir de um constituinte microestrutural particular (e.g., carbetos puros de elementos de liga, filmes finos de cementita) presente nos contornos de grão do material e, uma vez iniciada, a trinca tende a se propagar para o interior da matrix [182,183,185], conforme ilustrado anteriormente nas Figuras 2.29 e 2.30. A tenacidade à fratura de um dado corpo de prova ou componente é geralmente controlada pelo sítio nucleador de trinca de maior dimensão que está englobado na ZPFF [189]. Dessa forma, dois componentes de iguais geometrias e mesmas dimensões podem apresentar valores de tenacidade completamente distintos, uma vez que a ZPFF de um dos componentes pode vir a englobar uma partícula de dimensão muito maior. Esse é um dos fatores pelos quais os valores de tenacidade medidos na RTDF tendem a apresentar uma elevada dispersão. Esse fenômeno estatístico também conduz a um efeito de tamanho aparente sobre os valores de tenacidade. Componentes de maiores dimensões tendem a apresentar menores valores de tenacidade visto que um maior volume de material é englobado na ZPFF, o que aumenta a probabilidade de um sítio favorável à nucleação da clivagem estar presente à frente da ponta da trinca. Portanto, a resistência à fratura dos aços ferríticos está intrinsicamente associado à estatística do elo mais fraco onde a iniciação da clivagem se dá a partir do constituinte microestrutural (e.g., inclusão, partícula de segunda fase) mais frágil, não importando o quão resistente à fratura é o material.

Com base no modelo do elo mais fraco, para um corpo de prova cuja frente de trinca equivale a 𝑛 vezes o tamanho da frente de trinca de um corpo de prova com uma dada espessura [e.g., espessura padrão de 1 polegada (1T = 25,4 mm), 𝐵_𝑛𝑇 = 𝑛𝐵_1𝑇], a sua probabilidade de sobrevivência (𝑅_𝑛𝑇) equivale a 𝑛 vezes a probabilidade de sobrevivência do corpo de prova de menor espessura (𝑅1𝑇) de modo que

𝑅_𝑛𝑇(𝑥) = (1 − 𝑃𝑛𝑇) = (1 − 𝑃1𝑇)𝑛 (2.117𝑎)

Dessa forma, a f.d.a do corpo de prova de maior espessura é dada por

𝑃_𝑛𝑇(𝑥) = 1 − exp [−𝑛 (𝑥 − 𝑎 𝑏 ) 𝑐 ] (2.117𝑏) 𝑃_𝑛𝑇(𝑥) = 1 − exp [−𝐵𝑛𝑇 𝐵_1𝑇( 𝑥 − 𝑎 𝑏 ) 𝑐 ] (2.117𝑏)

Ao avaliarem os efeitos de espessura sobre os valores de tenacidade à fratura medidos na RTDF, Landes e Shaffer [35] constataram que corpos de prova 1T-C(T) apresentavam valores de tenacidade substancialmente superiores aos valores medidos a partir de corpos de prova 4T-C(T). Além disso, perceberam que tanto a dispersão dos valores de tenacidade à fratura, em ambas as dimensões, como a diferença entre o valor médio da tenacidade à fratura da geometria 1T-C(T) e o valor inferior (lower bound) da tenacidade referente à geometria 4T-C(T) aumentava em função do aumento na temperatura. Para elucidar essas observações, Landes e Shaffer [35] propuseram uma abordagem estatística baseada na distribuição de Weibull [190], em sua forma biparamétrica, para descrever o comportamento dos dados de tenacidade apresentados por ambas geometrias. Dessa forma, a probabilidade para a ocorrência da fratura por clivagem, 𝑃_𝑓(𝐽_𝑐), em função do nível da força motriz (medida pela integral 𝐽 ou, equivalentemente, 𝐾𝐽𝑐) foi inicialmente expressa por

𝑃_𝑓(𝐽𝑐) = 1 − exp [− ( 𝐽𝑐 𝐽₀) 𝛼 ] (2.118𝑎) 𝑃𝑓(𝐾𝐽𝑐) = 1 − exp [− ( 𝐾𝐽𝑐 𝐾₀)] 𝛼 (2.118𝑏)

em que 𝛼 representa o módulo de Weibull (também denominado de parâmetro de forma) e 𝐽0

(e o seu equivalente, 𝐾₀) a tenacidade característica (também denominada de parâmetro de escala) definida quando log[-log(1-Pf)] = 0 (i.e., Pf = 0,632). Já o módulo teórico de Weibull é

definido como o coeficiente angular da regressão linear estabelecida pela relação log [-log(1- Pf)] vs. log(Jc) ou log(KJc).

Na abordagem proposta por Landes e Shaffer [35], a determinação do módulo de Weibull dava-se a partir do estimador de rank médio de Herd-Johnson para amostras completas (i.e., sem dados censurados) conforme a seguinte expressão

𝑃_𝑓,𝑖 = 𝑖

𝑁 + 1 (2.119)

em que 𝑃𝑓,𝑖 representa a probabilidade acumulada de falha referente a i-ésima posição média

da amostra de 𝑁 dados de tenacidade à fratura dispostos em ordem crescente.

Ao considerar que 𝑃𝑓(𝐽𝑐)(1𝑇) representa a probabilidade de um dado corpo de prova 1T-

C(T) possuir uma tenacidade à fratura igual ou inferior a 𝐽𝑐, tem-se que a probabilidade da

tenacidade ser superior a 𝐽_𝑐(1𝑇) é dada por

[1 − 𝑃𝑓(𝐽𝑐)(1𝑇)] = exp [− (

𝐽_𝑐(1𝑇) 𝐽0(1𝑇))

𝛼

] (2.120𝑎)

Em outras palavras, a Eq. (2.120a) representa a probabilidade de sobrevivência do corpo de prova ao não fraturar para um nível de força motriz superior a 𝐽_𝑐.

Baseando-se no princípio do elo mais fraco, Landes e Shaffer (L&S) [35] presumiram que a Eq. (2.120a) poderia ser utilizada para prever os efeitos de espessura sobre os valores de tenacidade medidos em corpos de prova de diferentes espessuras. Para isso, adotou-se, por meio de uma simples analogia aos elos de uma corrente, que o corpo de prova 4T-C(T) pudesse ser convenientemente representado por 4 corpos de prova 1T-C(T) dispostos lado a lado, conforme representação esquemática ilustrada na Figura 2.31.

Figura 2.31 - Representação esquemática da (a) estatística do elo mais fraco e (b) da sua influência sobre as distribuições dos valores de tenacidade à fratura medidos na RTDF

Fonte: Adaptado de (a) Landes e Shaffer [35]; (b) Schwalbe e Zerbst [192]

Dessa forma, a probabilidade de um único corpo de prova 4T-C(T) possuir uma tenacidade à fratura superior a 𝐽_𝑐 é a mesma com que 4 corpos de prova 1T-C(T) possam possuí-la; isto é, [1 − 𝑃𝑓(𝐽𝑐)(4𝑇)] = [1 − 𝑃𝑓(𝐽𝑐)(1𝑇)]4 = exp [−4 ( 𝐽_𝑐(4𝑇) 𝐽0(1𝑇)) 𝛼 ] (2.120𝑏)

Para valores iguais de 𝑃_𝑓 fornecidos pelas Eqs. (2.120a) e (2.120b), o efeito de espessura pode ser representado por

exp {− [𝐽𝑐(1𝑇) 𝐽_0(1𝑇)] 𝛼 } = exp {−4 [𝐽𝑐(4𝑇) 𝐽_0(1𝑇)] 𝛼 }

Aplicando o logaritmo neperiano e rearranjando a igualdade, tem-se que 𝐽_𝑐(4𝑇) = 1 (4)𝛼1 𝐽_𝑐(1𝑇)= 𝐽_𝑐(1𝑇)(1 4) 1 𝛼 (2.121𝑎)

em que a constante 1/4 expressa a relação adimensional entre a espessura 1T (B1T = 25,4 mm)

e 4T (B4T = 101,6 mm). Generalizando a Eq. (2.121a) para n espessuras unitárias ou “links de

espessura”, a probabilidade pode ser expressa por 𝐽_{𝑐(𝑛𝑇)} = 𝐽_𝑐(1𝑇)(𝐵1𝑇

𝐵_𝑛𝑇)

1 𝛼

(2.121𝑏)

Devido ao fato do valor médio da distribuição de Weibull ser próximo ao valor do parâmetro de escala, 𝐽0, L&S [35] constataram que o valor médio da distribuição dos valores

de tenacidade medidos nos corpos de prova 4T-C(T) poderia ser simplificadamente expresso por 4−1𝛼[𝐽_0(1𝑇)], vide Eq. (2.120b), conforme resultados apresentados nas Tabelas 2.1 e 2.2.

Tabela 2.1 – Média e desvio padrão dos resultados de tenacidade à fratura obtidos por L&S [35] a partir de corpos de prova 1T-C(T) para o aço ASTM A471

Temperatura (°C) Tenacidade Média (kJ/m²) Desvio Padrão (kJ/m²) 20,85 156 31 37,85 259 89 51,85 451 209

Tabela 2.2 – Análise comparativa entre os resultados dos valores médios de tenacidade à fratura obtidos por L&S [35] a partir de corpos de prova 4T-C(T) para o aço ASTM A471 e os calculados pelo fator de correção

Temperatura (°C) Tenacidade Média Calculada (kJ/m²) Tenacidade Média Observado (kJ/m²) Erro Relativo Percentual (%) 20,85 118 126 6 37,85 183 175 5 51,85 225 230 2

Como exemplo, basta multiplicar a tenacidade média do aço ASTM A471 (Ni-Cr-Mo- V) medida na geometria 1T-C(T) a 20,85 °C (294 K) pelo fator 4−

1

𝛼 _{em que α = 5; isto é,} (4−15) ∙ 156 = 118,22 kJ/m². Portanto, de acordo com a abordagem proposta por L&S [35] é possível prever a tenacidade à fratura de estruturas de grandes dimensões a partir de pequenos corpos de prova. Demais detalhes dos resultados podem ser encontrados em L&S [35].

Embora a abordagem de L&S [35] tenha proporcionado uma correlação simples e direta entre os valores de tenacidade de estruturas de diferentes dimensões, a formulação expressa pela Eq. (2.121) gera uma inconsistência física do ponto de vista físico do processo de fratura. Essa inconsistência está relacionada ao fato de que para uma espessura infinitamente grande, o valor de 𝐽_{𝑐(𝑛𝑇)} tende a zero (assim como a probabilidade de fratura), o que é fisicamente impossível visto que todo e qualquer material possui uma tenacidade mínima. Visando solucionar tal inconsistência, Landes e McCabe [166] propuseram uma descrição triparamétrica de Weibull, onde o terceiro parâmetro corresponde a um valor mínimo de tenacidade, 𝐽_𝑚𝑖𝑛, abaixo do qual a fratura do componente não ocorre. Dessa forma, a Eq. (2.118a) passou a ser representada por

𝑃𝑓(𝐽𝑐) = 1 − exp [− (

𝐽_𝑐 − 𝐽_𝑚𝑖𝑛 𝐽0− 𝐽𝑚𝑖𝑛)

𝛼

] (2.122𝑎)

de forma que para um corpo de prova de espessura 𝐵_(𝑛𝑇) a f.d.a é expressa por

𝑃𝑓(𝐽𝑐) = 1 − exp [− 𝐵_𝑛𝑇 𝐵1𝑇( 𝐽_𝑐 − 𝐽_𝑚𝑖𝑛 𝐽0− 𝐽𝑚𝑖𝑛) 𝛼 ] (2.122𝑏)

Seguindo em uma abordagem semelhante, Wallin [39,42,168] propõe a hipótese de que a região à frente da ponta da trinca possui uma distribuição aleatória de potenciais sítios nucleadores da microtrinca de Griffith. Nessa abordagem, Wallin considera que a distribuição de probabilidade acumulada referente à fratura do sítio nucleador da microtrinca pode ser expressa por 𝑃_𝑓(Υ ≥ Υ_𝑐), onde Υ descreve o nível de severidade da propriedade que controla a fratura do sítio nucleador da microtrinca e Υ_𝑐 o valor crítico dessa propriedade. Nesse caso, a f.d.a. 𝑃𝑓(Υ ≥ Υ𝑐) é considerada uma função relativamente complexa a qual depende da

distribuição estatística da dimensão das fontes de microtrinca, tamanho de grão, tensão, deformação, taxa de deformação, temperatura, dentre outros fatores. Wallin ainda considera

que o formato e a origem da distribuição desses sítios não são relevantes no caso de estarem sob a influência de um campo de tensões oriundo de uma trinca aguda (i.e., uma descontinuidade com um raio de curvatura muito pequeno). Nesse modelo, as interações entre os sítios são permitidas somente em escala local, de forma que um aglomerado de partículas pode ser exigido para que ocorra a iniciação macroscópica da fratura.

Wallin obteve a seguinte expressão para a probabilidade acumulada de falha

𝑃𝑓 = 1 − exp[−constante ∙ 𝐵 ∙ 𝐾𝐼𝑐

4_{] (2.123𝑎)}

em que o valor igual a 4 corresponde ao parâmetro de forma estimado teoericamente com base na solução HRR. Levando-se em consideração a existência de um valor mínima abaixo do qual a fratura por clivagem não ocorre (𝐾𝑚𝑖𝑛), Wallin [39] propõe uma aproximação para a

Eq. (2.123a) ao introduzir o parâmetro 𝐾_𝑚𝑖𝑛, passando a ser expressa por

𝑃𝑓 = 1 − exp [−constante ∙ 𝐵 ∙ (𝐾𝐼𝑐− 𝐾𝑚𝑖𝑛)

4

] (2.123𝑏)

de forma que, ao se introduzir o valor de 𝐾_𝑚𝑖𝑛, a função que descreve a dispersão dos dados de tenacidade pode ser reescrita como

𝑃_𝑓(𝐾_𝐽𝑐) = 1 − exp [−𝐵𝑛𝑇 𝐵_1𝑇( 𝐾_𝐽𝑐− 𝐾_𝑚𝑖𝑛 𝐾₀− 𝐾_𝑚𝑖𝑛) 4 ] (2.123𝑐)

em que 𝐵1𝑇 e 𝐾0 são constantes normalizadoras. Deve-se ressaltar que a espessura de

normalização 𝐵_1𝑇 pode ser igual a qualquer espessura de referência desejada. Além disso, o parâmetro de escala 𝐾₀ corresponde a uma probabilidade de fratura de 63,2% para uma espessura 𝐵1𝑇 e pode ser aproximadamente dada por 𝐾0 = 1,1𝐾𝑚𝑒𝑎𝑛. Detalhes adicionais

dessa abordagem são discutidos nas próximas seções.

Posteriormente, A&S [40] também demonstram que os dados de 𝐽_𝑐, obtidos no regime de dominância 𝐽 e com crescimento estável de trinca desprezível (i.e., quando as tensões na ponta da trinca seguem a singularidade HRR), podem ser bem descritos pela distribuição de Weibull biparamétrica, por meio da seguinte expressão geral

𝑃𝑓 = 1 − exp [− (

tenacidade à fratura constante do material)

𝛼

] (2.124)

de forma que o valor do módulo de Weibull (𝛼) pode ser considerado o mesmo para todos os aços ferríticos que falhem por clivagem (vide Fig. 1 em Anderson e Stienstra [40]). Com base nessas considerações, Anderson e Stienstra (A&S) [40] demonstram analiticamente que, para uma distribuição de valores de tenacidade derivada de um regime de carregamento em condições SSY, 𝛼 = 2 para valores de tenacidade expressos em termos da integral 𝐽 (𝐽𝑐) ou do

parâmetro CTOD (𝛿_𝑐), e 𝛼 = 4 quando a tenacidade é dada em termos do fator 𝐾 (𝐾_𝐼𝑐). No entanto, A&S [40] ressaltam que essas análises não são válidas quando a instabilidade por clivagem é precedida por uma extensa deformação plástica ou crescimento estável de trinca, uma vez que sob tais condições, as tensões à frente da trinca são inferiores às previstas pela singularidade HRR, o que causa uma diminuição no valor de 𝛼 previsto pelo regime SSY.

Emboras as expressões descritas anteriormente sejam capazes de escalar os valores de tenacidade com razoável acurácia, vide Tabela 2.2, é importante ressaltar que uma das limitações associada às formulações baseadas na estatística do elo mais fraco está relacionada à hipótese de que o nível de triaxialidade é exatamente o mesmo em toda a extensão da frente de trinca, independente da espessura. Em outras palavras, significa dizer que essas formulações, vide Eq. (2.123c), não levam em consideração a contribuição individual de todos os pontos material (i.e., os quais são discretizados pequenos volumes) ao longo da frente de trinca na probabilidade acumulada de falha, uma vez que atribui peso igual a todos esses pontos. Dessa forma, o uso direto da espessura real do corpo de prova nessas formulações pode subestimar os valores de tenacidade e, consequentemente, acarretar análises de integridade estrutural demasiadamente conservadoras. Com o intuito de atenuar esse efeito, Nevalainen e Dodds [25] propõe o uso de uma espessura efetiva, 𝐵_𝑒𝑓𝑓, na Eq. (2.123c) em vez de se utilizar a espessura nominal do corpo de prova para escalar, de forma mais realística, os efeitos de espessura sobre os valores de tenacidade.