2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.3 AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DA INTEGRAL J
2.3.3 Metodologia baseada no fator eta
Quando a integral 𝐽 é definida à luz da termodinâmica como a taxa de variação da energia potencial (𝜕𝒰) em relação ao crescimento da trinca (𝜕𝑎), a força motriz 𝐽 pode ser relacionada à taxa de variação da área definida sob a curva 𝑃-∆ (ou 𝑃-𝑉) em relação à variação da área da trinca; isto é, pela variação11 da energia de deformação armazenada no sólido [160] 𝐽 =𝜕𝐴𝑡 𝜕𝒜 = − 1 𝐵( 𝜕𝐴𝑡 𝜕𝑎) (2.86)
em que 𝐴𝑡 é a área total sob curva 𝑃-∆. Antes da iniciação do crescimento da trinca, a área 𝐴𝑡 é numericamente igual ao trabalho das forças externas realizado sobre o corpo de prova de modo que, por manipulação algébrica, a força motriz 𝐽 pode ser relacionada ao trabalho realizado em uma dado tipo de corpo de prova tal como, por exemplo, o SE(B) conforme já abordado pelas Equações. (2.82) e (2.83). Dessa forma, a relação estabelecida pela Eq. (2.86) permite explicar a variação da energia de superfície específica (nominal) definida por 𝐴𝑡⁄𝐵𝑏
(em que a espessura 𝐵 e o ligamento remanescente 𝑏 definem a área líquida da seção trincada) para diferentes geometrias e a diferença marcante no comportamento de tal relação quando analisada para geometrias idênticas de corpos de prova, porém de comprimentos de trinca distintos (i.e., trinca rasa e trinca profunda) [160,161]. Embora os procedimentos propostos por Rice et al. [92] e B&L [68] fossem fundamentados na relação expressa pela Eq. (2.86), ambas abordagens ficavam restritas somente ao uso de corpos de prova com trinca profunda.
Visando ampliar a metodologia de avaliação experimental da integral 𝐽 para aplicações que necessitavam do uso de corpos contendo trincas rasas, tais como no caso de juntas soldadas, Sumpter e Turner (S&T) [21] propuseram um equacionamento mais amplo da Eq. (2.84) ao especificar as contribuições das parcelas elástica e plástica no valor da integral 𝐽, conforme expressões a seguir
𝐽 = 𝐽𝑒+ 𝐽𝑝 (2.87𝑎)
11 Devido à relação de igualdade entre as Eqs. (2.24) e (2.86), 𝐽 pode ser expresso tanto em termos da variação da
𝐽 = 𝜂𝑒𝑈𝑒 (𝑊 − 𝑎)𝐵+
𝜂𝑝𝑈𝑝
(𝑊 − 𝑎)𝐵 (2.87𝑏)
em que 𝑈𝑒 e 𝑈𝑝 correspondem, respectivamente, às parcelas elástica e plástica da energia de deformação total, 𝜂𝑒 e 𝜂𝑝 são dois fatores dependentes da geometria e da relação 𝑎 𝑊⁄ , mas que independem das propriedades mecânicas do material. O fator-𝜂 é o fator que relaciona a força motriz 𝐽, durante o carregamento de um dado componente trincado, ao trabalho por unidade de área do ligamento remanescente [162]. Deve-se ressaltar que as parcelas elástica (𝑈𝑒) e plástica (𝑈𝑝), as quais são numericamente equivalentes às áreas elástica (𝐴𝑒) e plástica (𝐴𝑝) da curva 𝑃-∆ (conforme Fig. 2.27), nada mais são do que os valores de energia
associados às quantidades 𝑈𝑛𝑐 e 𝑈𝑐, respectivamente, abordadas na seção anterior. Para maiores detalhes recomenda-se consultar a referência [92]. Sumpter e Turner [21] também demonstram que a Eq. (2.87) se reduz à Eq. (2.85) para os casos em que 𝜂𝑒 ≈ 𝜂𝑝, tais como nas geometrias C(T) (com 𝑎/𝑊 > 0,6) e SE(B) (com 0,4 < 𝑎/𝑊 < 0,7). A metodologia proposta por S&T [21] por meio da Eq. (2.87) deixa evidente que tal procedimento é totalmente compatível tanto para regimes de carregamento em condições SSY quanto para regimes elasto-plásticos em que a relação 𝐽𝑐 = 𝐾𝐼𝑐2(1 − 𝜈) 𝐸⁄ deixa de ser exclusiva para níveis mais elevados de plasticidade.
Figura 2.27– Definição das parcelas elástica e plástica da curva 𝑃-∆
Na proposta de S&T [21], além do equacionamento não envolver a subtração do termo 𝑈𝑛𝑐, tal método pode ser aplicável a qualquer geometria de corpo de prova desde que
conhecidas as expressões da flexibilidade elástica (𝐶) e da carga limite (𝑃0). Além, disso, o conceito do fator 𝜂 passa a ser introduzido explicitamente pela primeira vez na estimativa experimental da integral 𝐽, embora tal fator tenha aparecido de modo implícito na Eq. (2.82) por meio do procedimento analítico apresentado por Rice et al. [92]. O fator 𝜂, por sua vez, pode ser expresso em termos da flexibilidade, carga ou deslocamento em vez do trabalho das forças externas, sendo que o mesmo pode ser determinado experimentalmente ou analiticamente [160]. Roos et al. [163] apresenta expressões para os fatores 𝜂𝑒 e 𝜂𝑝 obtidos analiticamente e expressos em termos da flexibilidade (𝐶) do componente.
De forma geral, os fatores eta elástico (𝜂𝑒) e plástico (𝜂𝑝) não são iguais e devem ser calculados separadamente para uma dada geometria de corpo de prova, conforme demonstrado por Turner [160] e Roos et al. [163]. O fator 𝜂𝑒 pode ser determinado a partir da flexibilidade elástica e do fator 𝐾𝐼 [160,161,163]. Baseando-se na geometria SE(B), durante o carregamento por flexão em 3 pontos em regime elástico-linear, pode-se verificar que
𝐽𝑒 = 𝒢 = −1 𝐵 𝜕𝑈𝑒 𝜕𝑎 = − 𝜕𝑈𝑒 𝜕𝒜 (2.88) 𝐾𝐼2 = 𝐸′𝐽 𝑒 (2.89)
em que 𝐸′= 𝐸 para tensão plana e 𝐸′= 𝐸 (1 − 𝜈⁄ 2). Para um carregamento em regime elástico, a energia de deformação elástica, a qual é definida por uma força 𝑃 e deflexão Δ, por unidade de espessura é dada por
𝑈𝑒 =
𝑃Δ
2𝐵 (2.90𝑎)
ou, conforme representação esquemática da Fig. 2.27, de forma alternativa por
𝑈𝑒 = 𝑃Δ 2𝐵=
𝑃𝑐(Δ𝑡− Δ𝑝)
2𝐵 (2.90𝑏)
Assim, 𝑎 taxa de dissipação de energia, 𝒢, associada ao crescimento infinitesimal 𝑑𝑎 de uma trinca de comprimento inicial 𝑎, é dada por
𝒢 = 1 2𝐵( 𝜕𝑃 𝜕𝑎Δ + P 𝜕Δ 𝜕𝑎) (2.91)
em que a flexibilidade elástica é definida como o inverso da rigidez elástica (𝑘), ou seja,
𝐶 = 𝑘−1 = Δ 𝑃⁄ (2.92)
Dessa forma, para um carregamento controlado por força, a Eq. (2.91) é dada por
𝒢 = 1 2𝐵[( 𝜕𝑃 𝜕𝑎Δ)𝑃+ (𝑃 𝜕Δ 𝜕𝑎)𝑃] = 1 2𝐵[P 𝜕(𝐶𝑃) 𝜕𝑎 ]𝑃 = = 𝑃 2𝐵( 𝜕𝐶 𝜕𝑎𝑃 + C 𝜕𝑃 𝜕𝑎) = 𝑃2 2𝐵 𝜕𝐶 𝜕𝑎 (2.93)
Logo, a componente elástica da integral 𝐽 pode ser dada por
𝐽𝑒 = 𝑃2 2𝐵 𝜕𝐶 𝜕𝑎 = 𝑃2 2 𝜕𝐶 𝜕𝒜 (2.94)
Alternativamente, a Eq. (2.93) pode ser expressa em termos da rigidez 𝑘 de forma que, para um carregamento em controle de deslocamento, tal equação passa a ser expressa por
𝒢 = Δ 2 2𝐵 𝜕𝑘 𝜕𝑎 = Δ2 2 𝜕𝑘 𝜕𝒜 (2.95)
Caso as formulações das Eqs. (2.93) e (2.95) sejam definidas por controle de deslocamento (em termos da flexibilidade) e de força (em termos da rigidez), respectivamente, basta adicionar um sinal negativo à frente de tais equações para se obter as correspondentes expressões.
Conforme demonstrado na literatura [72], é possível calcular 𝐾𝐼 para diversas geometrias de corpo de prova [e.g., M(T) (ou CCT), DENT, SENT, SENB, C(T) etc.] e
demais tipos de estruturas (e.g., barras circulares, cascas esféricas, cascas cilíndricas, etc.), a partir da seguinte expressão geral
𝐾𝐼 = 𝜎√𝜋𝑎𝑓 (𝑎
𝑊) (2.96)
em que 𝑓(𝑎 𝑊⁄ ) é o fator de intensidade de tensão adimensional cujo valor é dependente da geometria do corpo de prova.
Tomando-se como referência a Eq. (2.93), ao relacionar as Eqs. (2.89), (2.94) e (2.96), a flexibilidade passa a ser expressa por
𝜕𝐶 𝜕𝑎 =
2𝐵𝜎2𝜋𝑎𝑓2(𝑎 𝑊⁄ )
𝐸′𝑃2 (2.97)
sendo que, pela teoria de vigas, a tensão normal máxima atuante na seção transversal de uma viga flexionada em 3 pontos (i.e., 𝑃 é aplicada no centro do comprimento da viga) é dada por
𝜎 = 6𝑃𝑆
4𝐵𝑊2 (2.98)
em que 𝐵 e 𝑊 representam a espessura e a largura da seção transversal da viga e 𝑆 a distância entre os apoios (também denominada de span).
Assim, a Equação (2.97) pode ser dada por
𝜕𝐶 𝜕𝑎 =
9𝑆2𝜋𝑎𝑓2(𝑎 𝑊⁄ )
2𝐵𝑊4𝐸′ (2.99)
Para o caso em que os limites de integração sejam definidos entre 0 e um comprimento final arbitrário de trinca 𝑎𝑓, a flexibilidade é dada por
𝐶 = 9𝜋𝑆2
2𝐵𝑊4𝐸′∫ 𝑎𝑓2(𝑎 𝑊⁄ ) 𝑎𝑓
0
+ 𝐶0 (2.100)
em que 𝐶0 é a constante de integração representativa da flexibilidade elástica de um corpo de prova sem a presença de trinca (i.e., de uma viga elástica) e que pode ser determinado
experimentalmente ou teoricamente. Pela teoria de vigas [164], o deslocamento máximo no ponto de aplicação da força 𝑃, no caso de uma viga flexionada em 3 pontos, é dado por
∆𝑚𝑎𝑥= 𝑃𝑆3 48𝐸′𝐼=
𝑃𝑆3
4𝐸′𝐵𝑊3 (2.101)
Portanto, a flexibilidade do corpo de prova sem a presença da trinca pode ser dada por
𝐶0 =∆0 𝑃 =
𝑆3
4𝐸′𝐵𝑊3 (2.102)
Pela definição do fator 𝜂𝑒 dada por S&T [21] tem-se que
𝜂𝑒 = 𝐽𝑒(𝑊 − 𝑎)𝐵
𝑈𝑒 (2.103)
Fazendo a substituição das Eqs. (2.94), (2.96), (2.97), (2.98), (2.99), (2.100) e (2.102) é possível representar o fator 𝜂𝑒 em termos da flexibilidade elástica por meio da seguinte
expressão 𝜂𝑒 =9 2 𝜋𝑆2(𝑊 − 𝑎)𝑎𝑓2(𝑎 𝑊⁄ ) 𝐵𝑊4𝐸′[ 9𝜋𝑆2 2𝐵𝑊4𝐸′∫ 𝑎𝑓2(𝑎 𝑊⁄ ) 𝑎𝑓 0 + 𝑆3 4𝐸′𝐵𝑊3] (2.104)
A componente elástica da integral 𝐽 avaliada por controle de deslocamento pode ser expressa por 𝐽𝑒 = −1 𝐵( 𝜕𝑈𝑒 𝜕𝑎 )∆𝑒 = − 𝐶𝑃 2𝐵 𝜕𝑃 𝜕𝑎 (2.105)
Com base na definição de 𝐽𝑒 proposta por S&T [21] e considerando um modelo linear- elástico, o fator 𝜂𝑒 pode ser expresso em termos de 𝑃 por
𝜂𝑒 = − 𝑏 𝑈𝑒 𝜕𝑈𝑒 𝜕𝑎|∆𝑒 = − 𝑏 𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑎|∆𝑒 = 𝑏 𝐶 𝜕𝐶 𝜕𝑎 (2.106)
Dessa forma, Turner [160,161] e Roos et al. [163] demonstram, por meio de uma abordagem alternativa à metodologia baseada na taxa de dissipação de energia de formação elástica 𝒢 [vide Eq. (2.22)], que o cálculo da componente elástica de 𝐽, 𝐽𝑒, sempre será
possível bastando para isso a determinação do fator 𝜂𝑒 e da energia de deformação elástica (𝑈𝑒) absorvida durante o processo de fratura, conforme a seguinte expressão
𝐽𝑒 = 𝒢𝐼 =𝜂𝑒𝑈𝑒 𝐵𝑏 =
𝜂𝑒𝐴𝑒
𝐵𝑏 (2.107)
Além disso, Turner [161] demonstrou que a energia de fratura específica (𝑈𝑒⁄𝐵𝑏)
poderia ser utilizada como uma medida da tenacidade à fratura em materiais frágeis, ao demonstrar que essa energia de fratura correspondia aproximadamente à taxa crítica de dissipação da energia de deformação elástica-linear (𝒢𝐼𝑐).
Detalhes do procedimento discorrido acima podem ser consultados em [160,161,163]. Roos et al. [163] também apresenta as expressões para o cálculo de 𝜂𝑒 para as geometrias
CCT, SENT e DENT.
Todavia, uma vez que 𝐽𝑒 pode ser determinado diretamente a partir de 𝐾, conforme Eq. (2.23) discutida na Seção 2.1.2.2, a determinação do fator 𝜂𝑒 torna-se desnecessária. Dessa forma, a Eq. (2.87b) pode ser convenientemente representada por
𝐽 =𝐾𝐼
2
𝐸′ +
𝜂𝑝𝑈𝑝
(𝑊 − 𝑎)𝐵 (2.108)
Como resultado, a determinação do fator eta plástico (𝜂𝑝) torna-se um parâmetro chave na avaliação experimental da integral 𝐽. As primeiras abordagens [21,163] para determinar 𝜂𝑝
eram baseadas em análises plásticas envolvendo o uso da carga limite (𝑃0) [155,158,159]. A
componente 𝐽𝑝 avaliada por controle de deslocamento pode ser expressa por
𝐽𝑝 = − 1 𝐵( 𝜕𝑈𝑝 𝜕𝑎 )∆ 𝑝 (2.109)
Com base na definição de 𝐽𝑝 proposta por S&T [21] e considerando um modelo rígido- perfeitamente plástico, o fator 𝜂𝑝 pode ser dado em termos 𝑃0 pela seguinte expressão
𝜂𝑝 = − 𝑏 𝑃0
𝜕𝑃0
𝜕𝑎|∆𝑝 (2.110)
Dessa forma, para que o fator 𝜂𝑝 possa ser determinado, basta conhecer a relação entre a carga limite e o comprimento da trinca. No caso da geometria SE(B), contanto que a deformação plástica fique contida na seção líquida da barra (i.e., no ligamento remanescente 𝑏 = 𝑊 − 𝑎), a carga limite 𝑃0 é dada por
𝑃0 = 𝐶𝑛𝜎𝑦𝑠𝐵(𝑊 − 𝑎)
2
𝑆 (2.111)
em que 𝐶𝑛 é o fator de restrição intrinsicamente associado aos fatores geométricos da trinca (tais como a espessura, ligamento remanescente, distância entre os apoios), critério de escoamento associado ao colapso plástico, estado de deformação (i.e., plana ou triaxial), dentre outros conforme descrito em Miller [159]. Para um componente submetido a condições de carregamento controlado por deslocamento (vide Eq. 2.24a) e cujo material apresente um comportamento rígido-perfeitamente plástico (sem capacidade de encruamento), conforme exemplificado por S&T [21], a componente plástica da integral 𝐽 pode ser expressa por
𝐽𝑝 = −1 𝐵( 𝜕𝑈𝑝 𝜕𝑎)∆= − 1 𝐵( 𝜕[𝑃0∆𝑝] 𝜕𝑎 )∆= − 1 𝐵[( 𝜕𝑃0 𝜕𝑎)∆∆𝑝+ 𝑃0( 𝜕∆𝑝 𝜕𝑎 )∆] = = −1 𝐵{ 𝜕 𝜕𝑎[ 𝐶𝑛𝜎𝑦𝑠𝐵(𝑊 − 𝑎)2 𝑆 ] ∆𝑝} = − 𝐶𝑛𝜎𝑦𝑠 𝑆 𝜕 𝜕𝑎(𝑊 − 𝑎)2∆𝑝= = 𝐶𝑛𝜎𝑦𝑠 𝑆 2(𝑊 − 𝑎)∆𝑝= 𝑃0 𝐵(𝑊 − 𝑎)22(𝑊 − 𝑎)∆𝑝= 𝐽𝑝 = 2𝑈𝑝 (𝑊 − 𝑎)𝐵 (2.112)
Pela análise da Eq. (2.110) fica evidente o fator 𝜂𝑝 é igual a 2 e é idêntico ao valor obtido por Rice et al. [92], vide Eq. (2.84), para geometrias com trinca profunda e cujo ligamento remanescente fosse solicitado majoritariamente por esforços flexionais (i.e., SE(B)
e C(T) com 𝑎/𝑊 = 0,6). O valor de 𝜂𝑝 = 2 pode ser facilmente verificado ao se substituir a
Eq. (2.111) na Eq. (2.110).
Baseando-se na expressão geral da carga limite, a qual é dada pela Eq. (2.113), Turner [160] fornece uma expressão para o fator 𝜂𝑝 em termos da variação do fator de restrição 𝐶𝑛 em função do tamanho da trinca, conforme a seguinte expressão
𝑃0 = 𝐶𝑛𝜎𝑦𝑠𝐵(𝑊 − 𝑎)
𝒩
𝒟𝒩−1 (2.113)
em que 𝒩 = 1 para esforços de tração e 𝒩 = 2 para esforços de fexão, sendo 𝒟 o comprimento da região de solicitação, de forma que na flexão por 3 pontos de vigas de seção transversal retangular tem-se que 𝒟 = 𝑆 (span). Dessa forma, expressão geral de 𝜂𝑝 é obtida
pela substituição da Eq. (2.113) na Eq. (2.110), conforme expressão a seguir
𝜂𝑝 = 𝒩 − 𝑏 𝐶𝑛
𝑑𝐶𝑛
𝑑𝑎 (2.114)
Paris et al. [162] demonstram analiticamente que, de forma geral, os fatores 𝜂 existem somente se a suas relações de dependência ao comprimento da trinca (𝑎/𝑊) e ao deslocamento plástico (∆𝑝⁄ ) podem ser separadas e expressas por funções dependentes da 𝑊 carga 𝑃. Nesses casos, a existência do fator 𝜂𝑝 fica condicionada a uma separação de
variáveis expressa na forma
𝒫𝜂 = ( ∆𝑝 𝑊, 𝑎 𝑊, … ) = ℱ𝜂( ∆𝑝 𝑊, … ) ℋ𝜂( 𝑎 𝑊, … ) (2.115)
em que ℱ𝜂 e ℋ𝜂 representam, respectivamente, as funções da deformação (dependente do
deslocamento plástico) e da geometria do componente (dependente do comprimento da trinca). Paris et al. [162] também demonstram as condições nas quais o fator 𝜂𝑝 não existe precisamente. Tais condições estão associados aos casos em que a localização da plasticidade presente em uma dada região do componente (tal como, por exemplo, no ligamento remanescente) varia drasticamente durante o carregamento. Um exemplo de tal situação envolve os casos em que a plasticidade localizada ocorre em alguma região remota do ligamento remanescente em algum estágio do processo de deformação.
O trabalho de Sumpter e Turner [21] demonstrou fortes evidências de que a estimativa da tenacidade à fratura baseada na integral 𝐽 era totalmente viável ao se utilizar a metodologia do fator-𝜂 de forma que o seu uso passou a simplificar consideravelmente a determinação experimental de 𝐽. Portanto, a Eq. (2.108) fornece uma maneira muito conveniente para a avaliação experimental de 𝐽 para qualquer geometria de corpo de prova a partir de um único registro de deslocamento de carga, contanto que o fator 𝐾𝐼 e o fator 𝜂𝑝 sejam determinados a priori para aquela geometria de corpo de prova. Além disso, Paris et al. [162] demonstram que a metodologia 𝜂, até então utilizada somente na avaliação experimental de 𝐽 para trincas estacionárias, também pode ser utilizada nas avaliações de 𝐽 em condições de crescimento estável de trinca, ampliando ainda mais o escopo do procedimento da metodologia-𝜂 e a consolidando como uma importante metodologia na avaliação experimental de tenacidade à fratura.