3.5 Aplicac¸˜oes para a Bobina
4.1.2 Formulac¸˜ao do Problema
A calibrac¸˜ao de magnetˆometros normalmente ´e feita a partir da coleta de lotes de da- dos (batch methods). Estes dados s˜ao guardados e posteriormente utilizados para a determinac¸˜ao dos parˆametros necess´arios. Este processo pode ser repetido diversas vezes com o decorrer do tempo para melhorar a precis˜ao dos valores obtidos.
Conforme destacado por Markley e Crassidis (2014), a calibrac¸˜ao de sensores magn´eticos deve preferencialmente ser feita independente do conhecimento da atitude ou posic¸˜ao do sensor. Ou seja, diversas medidas devem ser feitas ao longo de um de- terminado tempo com o objeto em uso. Estes valores serem posteriormente utilizados
4.1 Calibrac¸˜ao de Magnetˆometros 45
para a estimac¸˜ao dos parˆametros, sem a necessidade de estruturas externas. Este fator tamb´em ´e importante para possibilitar a autocalibrac¸˜ao do sistema quando j´a em uso durante sua aplicac¸˜ao final.
Encontrar os parˆametros de calibrac¸˜ao somente com as medidas observadas pelo sensor ´e poss´ıvel pois o m´odulo da medida do campo geomagn´etico idealmente ´e cons- tante e independente da atitude do corpo. O vetor bem como o m´odulo do campo magn´etico podem ser determinados pelo WMM com o conhecimento da latitude, lon- gitude do sensor e tamb´em sua altitude em relac¸˜ao ao n´ıvel do mar.
Dado esta caracter´ıstica, os m´etodos tradicionais de calibrac¸˜ao consideram que as medidas de campo magn´etico no sensor a ser calibrado s˜ao quase-est´aticas (SPRING- MANN; CUTLER, 2012), ou seja, a Eq. (4.1) pode ser admitida.
u2x+ u2y+ u2z = |Bl| 2
, (4.1)
sendo ux, uy e uz as componentes verdadeiras do campo geomagn´etico em cada eixo
e Blo vetor do campo magn´etico local obtido atrav´es do WMM.
Como as leituras do sensor possuem erros em cada eixo, o objetivo ´e descrever um modelo matem´atico dos magnetˆometros que relacione o campo magn´etico terrestre com o campo magn´etico medido incluindo os parˆametros de calibrac¸˜ao. Apesar de certos trabalhos n˜ao descreverem o problema e o modelo de forma idˆentica (GEBRE- EGZIABHER et al., 2001; FOSTER; ELKAIM, 2008; BONNET et al., 2009; WU et al., 2013; PANG et al., 2013), o equacionamento final ´e equivalente.
Este trabalho ir´a discutir os dois modelos cl´assicos de calibrac¸˜ao, o primeiro que considera seis parˆametros de calibrac¸˜ao, sendo fator de escala e offset para cada eixo e o modelo que considera al´em destes os ˆangulos de alinhamento λ, ρ e φ. A Fig. 4.1 representa a correc¸˜ao dada pelos trˆes ˆangulos adicionais.
Figura 4.1: Representac¸˜ao dos ˆangulos de alinhamento λ, ρ e φ para o problema de calibrac¸˜ao com nove parˆametros.
46 4 Aplicac¸˜oes Propostas
4.1.2.1 Modelagem com Seis Parˆametros
O modelo considerando seis tipos de parˆametros ´e dado pela Eq. (4.2).
ˆ
Bk = CsfBl+ b + ek, k = 1, 2, ..., N, (4.2)
sendo ˆBk o k-´esimo vetor de observac¸˜oes do sensor magn´etico, Csf a matriz diago-
nal contentando os fatores de escala em sua diagonal principal, Bl o vetor do campo
magn´etico verdadeiro (que deve ser estimado), b o vetor de offsets e ek o vetor com
o ru´ıdo gaussiano associado com a medida k. Conforme discutido por Springmann (2013), sensores magn´eticos via de regra possuem ru´ıdo com distribuic¸˜ao gaussiana com m´edia zero.
Assumindo as vari´aveis a, b e c para os fatores de escala, x0, y0 e z0 para os
offsets, as relac¸˜oes entre as leituras dos sensores (ˆux, ˆuy e ˆuz) e a grandeza esperada
(campo magn´etico verdadeiro) (ux, uye uz) ser˜ao dados pelas Eqs. (4.3), (4.4) e (4.5),
respectivamente. Note que o ru´ıdo gaussiano passa a ser desconsiderado na modelagem adiante. ˆ ux = aux+ x0 (4.3) ˆ uy = buy + y0 (4.4) ˆ uz = cuz+ z0 (4.5)
Reescrevendo as Eqs. (4.3), (4.4) e (4.5) em func¸˜ao da grandeza esperada, s˜ao obtidas as Eqs. (4.6), (4.7) e (4.8), respectivamente.
ux= ˆ ux− x0 a (4.6) uy = ˆ uy− y0 b (4.7) uz = ˆ uz− z0 c (4.8)
Com os valores da grandeza esperada em func¸˜ao dos parˆametros de calibrac¸˜ao, as Eqs. (4.6), (4.7) e (4.8) podem ser substitu´ıdas na Eq. 4.1 que descreve a problem´atica.
ˆux− x0 a 2 + ˆuy− y0 b 2 + ˆuz− z0 c 2 ≈ |Bl|2 (4.9)
Obviamente que devido aos erros e ao ru´ıdo existente, a equac¸˜ao acima ´e uma aproximac¸˜ao. Uma vez que ser˜ao admitidas k medidas do sensor magn´etico, este pro- blema pode ser observado como um problema de minimizac¸˜ao, onde deve-se mini- mizar o res´ıduo entre a diferenc¸a do valor esperado e o valor das leituras do sensor
4.1 Calibrac¸˜ao de Magnetˆometros 47
corrigidas pelos parˆametros de calibrac¸˜ao.
A Eq. (4.10) representa a maneira formal de representac¸˜ao deste problema.
min a,b,c,x,y,z k X i=1 " ˆux− x0 a 2 + ˆuy− y0 b 2 + ˆuz− z0 c 2 − |Bl|2 #2 , (4.10)
sendo ˆu as medidas dos sensores na respectiva coordenada indicada , Bl o campo
magn´etico esperado e k o n´umero de medic¸˜oes do sensor.
4.1.2.2 Modelagem com Nove Parˆametros
O modelo de nove parˆametros adiciona os ˆangulos representados na Fig. 4.1 `a dis- cuss˜ao feita anteriormente. A coordenada x ´e escolhida como referˆencia, φ descreve o ˆangulo de ajuste entre os planos x-y, ρ o ˆangulo entre os planos x-y e λ o ajuste entre os planos x-z.
A partir do racioc´ınio apresentado anteriormente, a Eq. 4.11 mostra o modelo considerado para nove parˆametros.
ˆ
Bk = CsfCmaBl+ b + ek, k = 1, 2, ..., N, (4.11)
onde ˆBk s˜ao as medidas obtidas pelos sensores, Bl o campo magn´etico verdadeiro,
b o vetor com os trˆes offsets a serem estimados, ek o vetor com o ru´ıdo gaussiano
associado a medida, Csf a matriz diagonal contendo os fatores de escala e Cma a
matriz que descreve os ˆangulos de alinhamentos da Fig. 4.1.
Assumindo as mesmas vari´aveis descritas para o modelo de seis parˆametros em conjunto com os ˆangulos de alinhamento, as relac¸˜oes entre as leituras dos sensores (ˆux, ˆuy e ˆuz) e a grandeza esperada (campo magn´etico verdadeira) (ux, uy e uz) ser˜ao
dadas pelas Eqs. (4.12), (4.13) e (4.14), respectivamente, para o problema de nove parˆametros. ˆ ux = aux+ x0 (4.12) ˆ uy = b uycos (ρ) + uxsin (ρ) + y0 (4.13) ˆ
uz = c uzcos (φ) cos (λ) + uysin (λ) cos (φ) + uxsin (φ) cos (λ) + z0 (4.14)
Reescrevendo as Eqs. (4.12), (4.13) e (4.14) em func¸˜ao da grandeza esperada, s˜ao obtidas as Eqs. (4.15), (4.16) e (4.17), respectivamente.
48 4 Aplicac¸˜oes Propostas ux= ˆ ux− x0 a (4.15) uy = a ˆuy − y0 − b sin (ρ) (ˆux− x0) ab cos (ρ) (4.16) uz =
ab cos (ρ)(ˆuz− z0) − ac cos (φ) sin (λ)(ˆuy− y0)
abc cos (ρ) cos (φ) cos (λ) + ... bcsin (ρ) cos (φ) sin (λ) − cos (ρ) sin (φ) cos (λ) (ˆux− x0)
abc cos (ρ) cos (φ) cos (λ)