O modelo linear de Greenshields

As situações apresentadas a seguir são generalizações do modelo matemático pioneiro na teoria do fluxo de tráfego, estabelecido por Greenshields em 1934, em sua tese de Doutorado, nos Estados Unidos.

Trata-se de modelo teórico, cujo meio de observações do tráfego foi com a utilização de uma câmera fotográfica em disparos sincronizados em intervalos de tempo por meio de um cronômetro [182].

O objeto é a corrente de tráfego como um todo, ou seja, considera que as correntes de tráfego são um meio contínuo. Foi idealizado para aplicação em situações de fluxo ininterrupto, como as vias expressas e rodovias.

Parte do embasamento teórico vem das leis da hidrodinâmica, conhecido analogamente como Hidrodinâmica do Tráfego.

No Brasil, os idealizadores do Plano de Avenidas na cidade de São Paulo tinham também a formação em engenharia civil e especializações na área de hidráulica; isto evidencia as proximidades conceituais no emprego da engenharia de tráfego na cidade de São Paulo.

Desde o modelo macroscópico e conceitual do engenheiro Greenshields, outros modelos de simulação do fluxo de tráfego surgiram, aproximando-se cada vez mais da realidade.

Também houve um desenvolvimento de modelos com outras abordagens, como as microscópi- cas, relativas às interações entre veículos determinados dentro de um fluxo de tráfego e as mesoscópi- cas, que analisam os comportamentos dos pelotões de veículos formados no deslocamento em uma via, o qual se pode tomar como exemplo de simulador no âmbito nacional, o SIRI.

O SIRI é um simulador mesoscópico, na forma de programa de computador, cuja função é calcular programações de semáforos coordenados operando na estratégia de tempos fixos. O programa otimiza o desempenho dos semáforos no que tange ao atraso e ao número de paradas. Foi desenvolvido pela CET de São Paulo e seu lançamento ocorreu no início de 2004 [183].

O modelo de Greenshields permite uma abordagem didática e de grandezas escalares do com- portamento do tráfego. Para tanto utiliza-se as variáveis de densidade, espaçamento, intervalo e suas associações com a capacidade veicular.

A seguir é utilizado o conceito de regime normal e de regime forçado, também conhecido como saturado, em diferentes graus. A densidade D é a distribuição dos veículos em um trecho ou extensão da via e pode ser descrita com a equação 1 [184]:

Equação 1 Onde:

D = densidade;

N = número de veículos; e L = trecho medido médio.

O espaçamento E é a distância entre as partes dianteiras de 2 veículos sucessivos, na mesma faixa, como se pode demonstrar na equação 2 [184]:

Equação 2 Onde:

D = densidade; e

E = espaçamento médio.

O E é o espaçamento médio dos veículos em um trecho de via, em um determinado período, de modo que a unidade utilizada está em m por veículo. Este é o primeiro ponto que deve ser analisado, isto é, as dimensões dos veículos. Pelo Manual Brasileiro de Sinalização de Trânsito o comprimento do veículo, denominada com a letra “c”, é de 5,0 m [181].

O tamanho do veículo impacta significativamente no cálculo inicial, que é a relação do quanto a via suporta em quantidade, dependendo da modalidade de transporte.

N D = L 1 D = E

O intervalo I, referente ao tempo, é medido entre as passagens de 2 veículos sucessivos por uma seção de via, na mesma faixa.

Os cálculos de densidade, intervalo e espaçamento são variáveis de difícil mensuração e estão intrinsecamente ligados nas primeiras análises. Embora seja possível relacionar essas variáveis à capa- cidade, em geral, esta última é obtida por três formas: por modelos matemáticos, por tabelas ou por coletas de dados em campo. Na tese será feita a análise no capítulo 6 a partir dos dados oficiais de coleta de dados obtidas em campo. A figura 4.1 apresenta uma imagem esquemática entre dois veículos.

Figura 4.1: espaçamento entre dois veículos, E = 5,5 m e comprimento do veículo c = 5,0 m.

Considerando um trecho com extensão L, o número de veículos N, trafegando com velocidade V de uma via com seção A, em um determinado intervalo I, todos os veículos terão passado pela seção A, de modo que pode ser representada na equação 3:

Equação 3

Onde: I = intervalo; L = extensão; e

Vm = velocidade média.

A figura 4.2 apresenta a relação da extensão e velocidade de grandeza vetorial na seção A de- vido à orientação do sentido.

Figura 4.2: relação entre extensão e velocidade em seção A.

L I =

Sabendo que o fluxo é a quantidade ou número de veículos que passa em uma seção, em um determinado período, como mostra na equação 4 [184]:

Equação 4 Onde:

F = fluxo;

N = número de veículos; e I = intervalo.

Portanto, substituindo a equação 3 na 4, temos:

Equação 5 F = Vm x D Onde: F = fluxo; N = número de veículos; L = extensão; e Vm = velocidade média.

A partir da analogia com a teoria da hidrodinâmica, foi estabelecida a equação da continuidade do fluxo de tráfego, também conhecida como relação fundamental do tráfego [184]. Trata-se de uma equação de primeiro grau e representada conforme o gráfico 4.1.

Da equação 5, temos: Equação 6 Onde: F = fluxo; Vm = velocidade média; e E = espaçamento.

O modelo linear de Greenshields está representado na equação 7:

Equação 7 N F = L x Vm Vm F = E D 1 = Dsat + Vm Vlivre N F = I

Onde:

D = densidade;

Dsat = densidade de saturação;

Vm = velocidade média; e

Vlivre = velocidade livre.

A figura 4.3 apresenta o modelo linear de Greenshields [184].

Figura 4.3: modelo linear de Greenshields, equação 7.

A representação matemática do modelo de Greenshields é dada:

Equação 8 Onde:

D = densidade;

Dsat = densidade de saturação;

V = velocidade média; e Vlivre = velocidade livre.

Igualando-se a equação 5 em 8, temos:

Equação 9 V = Vlivre x ( 1 - ) D Dsat F = Vlivre x D - ( ) x D² Vlivre Dsat

Onde: F = fluxo; D = densidade;

Dsat = densidade de saturação; e

Vlivre = velocidade livre.

Ou:

Equação 10 Onde:

V = velocidade média; F = fluxo;

Dsat = densidade de saturação; e

Vlivre = velocidade livre.

As expressões 9 e 10, ambas de segundo grau, permitem representar as relações: Fluxo versus Densidade e Fluxo versus Velocidade.

As figuras 4.4 e 4.5 são apresentadas as relações Fluxo versus Densidade e Fluxo versus Velocidade [184].

Figura 4.4: relação Fluxo versus Densidade.

V² = Vlivre x V - ( ) x F

Vlivre

Figura 4.5: relação Fluxo versus Velocidade.

Por Fluxo Livre entende-se a situação em que um veículo não recebe nenhuma influência em seu deslocamento devido à presença de outro veículo.

A Velocidade de Fluxo Livre usualmente considerada é a estabelecida como o limite superior da velocidade regulamentada para a via representada em 11.

VF = Vregulamentada Equação 11

Analogamente se tem: Fluxo versus Densidade ou Fluxo versus Velocidade. A relação entre fluxo e densidade são utilizados em vias expressas, com fluxo contínuo e, em vias arteriais, com fluxos interrompidos, por meio do controle das densidades com o objetivo de otimizar a passagem de veículos [184].