Os valores e as normas culturais são representados pelos que vivem e nascem dentro de uma determinada cultura, podendo ser “representados por personas, ya sea como individuos o como productos personales (escritos,
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Por exemplo, em uma "conversação ordinária" em nível informal, será usado expressões como "sempre" nunca”, “igual que”, mas geralmente não possuem os significados precisos que têm as Matemáticas, e as técnicas aritméticas rápidas que utilizam, por exemplo, os vendedores ambulantes, são derivados do simbolismo da tecnologia atual, mas não têm nenhum poder de generalização além do contexto específico.(tradução nossa)
artefactos, instituciones, etc.)”27 (Bishop, 1999, p. 118), sendo transmitida para
outras gerações.
Na escola, a aprendizagem cultural é um processo unidirecional que vai do professor para o aluno; mais do que isso, a enculturação matemática pressupõe a iniciação dos alunos nas conceituações, simbolizações e nos valores da cultura matemática. Sendo um processo interpessoal, a enculturação é importante, não apenas para centrar a atenção nos valores, mas também para distanciarmos de uma imagem da educação apenas como mera transmissão. Desse modo, o aluno constrói as ideias, cria, produz, tendo o entorno social o papel de permitir essa construção de ideias.
Considerando que a educação formal é assumida pelas escolas, o autor defende que a Enculturação Matemática formal deve levar em conta os conflitos do processo de cultura informal e transmitir o nível técnico da cultura matemática.
Bishop (1999) considera três aspectos da relação de enculturação: a natureza assimétrica da relação de enculturação, o aspecto intencional e o caráter ideacional.
A natureza assimétrica da relação de enculturação refere-se ao caráter dinâmico entre os participantes do processo de enculturação e o papel que cada um desempenha; desse modo o professor tem a tarefa de criar um tipo concreto de entorno social e o aluno em interação com esse entorno social, tem a tarefa de construir ideias e modificá-las.
O aspecto intencional está relacionado tanto com a natureza das atividades matemáticas como com as atitudes e valores. Neste processo “La imagen de las Matemáticas se transmitirá a los alumnos por médio de las actividades em las que participen”28 (BISHOP, 1999, p. 172).
O caráter ideacional refere-se às ideias matemáticas, centrando a atenção no fato de compartilhar e comunicar essas ideias e requer que se examine a oposição entre os significados individuais e os compartilhados; sendo um
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Representada por pessoas, seja como indivíduos ou como itens pessoais (cartas, artefatos, instituições, etc). (tradução nossa)
28
A imagem da Matemática se transmitirá aos alunos por meio de atividades das quais participem. (tradução nossa)
processo pessoal, é o contraste entre a nova ideia e as ideias já existentes na estrutura do indivíduo, mais do que isso, é uma maneira particular de conhecer.
Em texto posterior, Bishop (2002) considera que, no encontro entre a cultura formal e a cultura informal, podem surgir conflitos culturais gerados no ambiente escolar, provocando, assim, o processo de aculturação matemática. Para Wolcott29 (apud Bishop, 2002), a aculturação seria o processo de
modificação de uma cultura através de contatos contínuos com outra cultura. Nesse processo, o grupo cultural que se sobressai é tido como dominante e incorpora os elementos de sua cultura no grupo que adentrou.
Com relação às características de um currículo de Matemática que promova os processos de enculturação Matemática, Bishop (1988, 1999) defende a necessidade de tais currículos terem um enfoque cultural, os quais se caracterizam por cinco princípios desse enfoque: representatividade, formalismo, acessibilidade, poder explicativo, concepção ampla e elementar, e três componentes: simbólico, social e cultural, os quais passaremos discutir.
O princípio da representatividade pressupõe a reapresentação da cultura Matemática considerando não somente a tecnologia simbólica particular desenvolvida nas atividades universais (contar, localizar, medir, desenhar, jogar, explicar), mas, incluindo, também, os valores específicos próprios da cultura matemática: ideologia do racionalismo, ideologia do objetismo, controle dos sentidos, sentimento progresso, sociologia da abertura e sociologia do mistério.
A ideologia do racionalismo caracteriza-se pela ênfase na argumentação, análise lógica, processos de abstração, teorizações e explicações. Em sala de aula podemos perceber a presença desse valor quando, por exemplo, o professor desenvolve nos alunos habilidades de argumentação e raciocínio lógico, incentivando discussões por parte dos alunos na busca das explicações.
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WOLCOTT, H. F. The teacher as an enemy. In: SPINDLER, G. D. (Ed.) Education and cultural process: towards an anthropology of education. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1974, p. 136-150.
A ideologia do objetismo30 é caracterizada por apresentar uma visão de
mundo dominada por imagens de objetos materiais. Neste princípio, as ideias se originam a partir da interação com o meio e os objetos materiais, o que proporciona as bases intuitivas e imaginativas para as ideias, proporcionando aos alunos a capacidade de abstrair.
Enquanto o Racionalismo se ocupa da lógica do raciocínio, encontramos no objetismo as bases intuitivas na busca do raciocínio, através da abstração. Em sala deaula, esse valor é demonstrado quando o professor propõe atividades que desenvolvam nos alunos habilidades práticas, uso de ideias, coleta de dados experimentais.
O controle dos sentidos é o valor referente ao poder do conhecimento matemático, domínio de regras e critérios estabelecidos, promovendo a busca pelo conhecimento e desenvolvendo habilidades para fazer predições. Bishop (1999) expõe que estudos relacionados ao comportamento dos planetas, por exemplo, comprovam que esses movimentos não são aleatórios nem tampouco imprevisíveis, portanto provocam o sentimento de segurança.
Em sala de aula, esse valor é demonstrado, quando o professor solicita que os alunos façam uma ordenação de números ou figuras, cuja ordenação só é possível por meio do controle que o aluno tem sobre esses números, a partir de estruturas matemáticas.
O sentimento progresso enfatiza o valor relacionado ao sentimento de crescimento, desenvolvimento e progresso. Um aspecto importante desse valor é que, a partir dele, se pode conhecer o desconhecido. Em sala de aula, percebemos a presença desse valor nas situações em que o aluno tem que utilizar definições, demonstrações, investigações, quando, através de uma situação-problema, esse aluno percebe novas propriedades e constrói um novo saber.
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Bishop utiliza o termo objectism, referindo-se a objetos, na publicação em inglês. Para o idioma espanhol o tradutor utilizou o termo objetismo. Optamos utilizar o termo na versão espanhola, pois não há tradução do referido termo no idioma português.
Quanto aos valores relacionados à abertura e ao mistério, tais valores se complementam e fazem relações entre as pessoas e às instituições sociais. Na perspectiva da abertura, o conhecimento matemático é acessível e pertence a todos, ao que Bishop (1999) assevera que estes “no dependem de um partido político, no varían de um país a outro, son universales y son conocimiento puro”31
(p. 103), portanto o conhecimento matemático configura-se como sendo universal. As situações de aprendizagem, que podem propiciar aos alunos desenvolverem esse valor, são aquelas em que são propostas que eles façam demonstrações, formalizando as ideias matemáticas.
Na perspectiva do mistério, o autor explicita que, embora a cultura matemática apresente os valores da abertura e da acessibilidade, sendo a Matemática a disciplina que mais se ensina em todo o mundo, muitas pessoas ainda se sentem envergonhadas por não compreendê-la. A esse fato, agrega-se também a ideia de se considerar que a Matemática é exclusiva a poucas pessoas. O mistério acerca das ideias matemáticas deve-se ao fato de que a matemática se ocupa de abstrações; portanto, em sala de aula é interessante que o professor propicie a construção do conhecimento, despertando no aluno o interesse pela busca do desconhecido e possibilitando a explicação e a socialização das descobertas, o que pode ser um elemento motivador para a construção de novas aprendizagens.
Quanto ao princípio do formalismo, Bishop (1999), afirma que este deve objetivar o nível formal da cultura Matemática, conectando-se com o nível informal e introduzindo o nível técnico. Desse modo, o professor pode fazer uma conexão das ideias matemáticas com aquelas presentes em situações do cotidiano do aluno, enfatizando o autor que
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Não dependem de um partido político, não variam de um país a outro, são universais e são conhecimento puro. (tradução nossa)
Mediante esta estructura cultural es fácil hacer referencia a las ideas Matemáticas de otras culturas. Parte de la dificultad experimenta em la actualidad por vários educadores que tratan de representar las Matemáticas como uma matéria multicultural es que, em geral, carecen de uma buena estructura para reconocer similitudes entre ideas matemáticas. Para hacer que um currículo sea multicultural, primero hay que culturizarlo32. (BISHOP, 1999, p. 128)
O princípio da acessibilidade ressalta que o conteúdo curricular deve ter ser acessível a todos os alunos, na direção de “baixo para cima”, criando oportunidades para que possam estabelecer relações com elementos de sua cultura, de acordo com seus interesses. Partindo, portanto, de uma situação simples o professor pode possibilitar que os alunos criem conexões para entender situações mais complexas, respeitando as capacidades intelectuais de cada aluno. Desse modo, na perspectiva de um currículo enculturador
por desgracia, la educación puede ser um proceso que fracase em la práctica com determinados alumnos, pero no tiene ninguna lógica planificar um currículo de enculturación que este diseñado para que los alumnos fracasen. La enculturación debe ser para todos: La educación Matemática deberia ser para todos. [...] Aquí el imperativo moral, que también se encuentra em El enfoque formativo, es encontrar maneras de llegar a todos lós ninos33. (BISHOP, 1999, p. 128)
O princípio do poder explicativo enfatiza o aspecto explicativo da Matemática, que deve estar em conformidade com os significados importantes, os quais devem surgir a partir do currículo, pois isso possibilita o entendimento das situações do cotidiano, podendo o aluno dar significado aos conceitos matemáticos aprendidos. Mas, para que esse poder se transmita, é necessário que seja acessível a todos os alunos, de modo que o autor assevera:
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Mediante esta estrutura cultural é fácil fazer referência às ideias Matemáticas de outras culturas. Parte da dificuldade experimentada na atualidade por vários educadores que tratam de representar a Matemática como uma matéria multicultural é que, em geral, necessitam de uma boa estrutura para reconhecer similitudes entre ideias matemáticas. Para fazer com que um currículo seja multicultural, primeiro tem-se que culturalizá-lo. (tradução nossa)
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Infelizmente, a educação pode ser um processo falhe na prática com determinados alunos, mas não tem nenhuma lógica planificar um currículo de enculturação que está desenhado para que os alunos fracassem. A enculturação Matemática deve ser para todos: A educação Matemática deveria ser para todos.(tradução nossa).
No se trata de un currículo técnico [...] aunque es evidente que el poder de explicar sólo se transmitirá por medio de la actividad de explicar que, necesariamente, conllevará en cierta medida hacer varias actividades Matemáticas. El problema es que, en la actualidad, los objetivos de la mayoría de los currículos Matemáticos se centran por completo em hacer y casi nada en explicar”34. (BISHOP, 1999, p. 129)
O quinto e último princípio proposto refere-se à concepção ampla e elementar, e propõe que, ao invés de ser limitado e tecnicamente exigente, o currículo de enculturação deve ser amplo, visando oferecer vários contextos para a manifestação do poder explicativo, e básico, entendendo que este possui um certo tempo. Desse modo, “la limitación de um tiempo finito para la enseñanza significa que si amplitud de la explicación y del contexto es um objetivo importante, entonces el contenido Matemático debe ser relativamente elemental”(Bishop, 1999, p. 130)35. Em sala de aula, o professor, ao abordar diferentes contextos, pode proporcionar situações de aprendizagem que favoreçam o poder de explicação. Desse modo,
el pode de explicación, que se deriva de la capacidad de lãs Matemáticas para se conectar entre sí grupos de fenómenos aparentemente dispares, se debe manifestar por completo[...] Pero si el objetivo es la enculturación y si la explicación es el poder de la tecnología simbólica de la cultura, entonces uma tecnologia com uma complejidade desmedida no podrá explicar, no podrá convencer y, em última isntancia, no podrá enculturar. Además, me atrevo a afirmar que incluso lós futuros Matemáticos (y, de hecho puede que precisamente lós futuros Matemáticos) necesitan uma sólida base enculturadora em esta matéria36. (BISHOP, 1999, p. 130).
Desse modo, no entender desse autor, os cinco princípios que caracterizam o currículo de enculturação Matemática
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Não se trata de um currículo técnico [...] embora seja evidente que o poder de explicar só pode ser transmitido por meio de atividade de explicar o que, necessariamente, implica fazer varias atividades matemáticas. O problema é que, na atualidade, os objetivos da maioria dos currículos de Matemática centram por completo em fazer e quase nada em explicar.
35 A limitação de um tempo finito para o ensino significa que se a amplitude da explicação e do contexto é um
objetivo importante, então o conteúdo matemático deve ser relativamente elementar. (tradução nossa).
36 O poder de explicação que deriva da capacidade da Matemática para se conectar entre grupos
aparentemente diferentes, e deve-se manifestar por completo [...] Mas se o objetivo é a enculturação e se a explicação é o poder da tecnologia simbólica da cultura, então uma tecnologia com uma complexidade desmedida não poderá explicar, não poderá convencer e, em última instância, não poderá enculturar. Além disso, atrevo-me a afirmar que, inclusive os futuros Matemáticos (e, de fato, pode ser que precisamente os futuros Matemáticos), necessitam uma sólida base enculturadora nesta matéria. (tradução nossa)
• Debería representar la cultura Matemática, tanto desde la perspectiva de sus valores como de sua tecnologia simbólica.
• Debería objetivar el nível formal de esta cultura. • Debería ser accesible para todos loss niños.
• Debería enfatizar lass Matemáticas como explicación.
• Debería ser relativamente amplio y elemental em vez de limitado y exigente em su concepción.37 (BISHOP, 1999, p. 130)
Além de apresentar esses princípios gerais, o autor descreve os três componentes desse enfoque curricular: o componente simbólico, o componente social e o componente cultural.
O componente simbólico é baseado nas conceitualizações explicativas significativas da Matemática. Esse componente organiza-se em torno de seis atividades universais – contar, localizar, medir, desenhar, jogar e explicar – e se ocupa da tecnologia simbólica que deriva dessas atividades. Essas atividades possuem grande valor para o desenvolvimento das ideias matemáticas, estimulando diversos processos cognitivos, cada uma com seu grau de importância, podendo-se trabalhar com essas atividades, tanto de uma maneira individualizada, como interagindo entre si.
A estruturação desse componente garante uma cobertura ampla e elementar das ideias matemáticas importantes e possibilita fazer uma analogia com as ideias matemáticas de outras culturas. O autor pondera que, devido à importância simbólica que representam esses conceitos não devem ser tratados como temas, mas como conceitos organizadores do currículo, os quais devem ser abordados em atividades com contextos ricos, relacionados com o entorno dos alunos, possibilitando explorar seu significado, sua lógica, e fazer conexões com as ideias matemáticas, o que possibilita exemplificar e validar o poder explicativo.
Contar é a primeira atividade universal para Bishop (1999). Essa é a atividade em Matemática mais investigada na literatura cultural, pois desenvolve a linguagem, as imagens e os sistemas numéricos. A necessidade de contar e
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Deveria representar a cultura matemática, tanto na perspectiva de seus valores como de sua tecnologia simbólica. Deveria objetivar o nível formal desta cultura. Deveria ser acessível a todos os alunos. Deveria enfatizar a Matemática como explicação. Deveria ser relativamente ampla e elementar ao invés de limitado e exigente em sua concepção. (tradução nossa)
associar objetos com números, e registrar informações sobre quantidades, fez com que fossem criados diversos métodos de representar as quantidades em diversas sociedades; podemos, portanto, dizer que a atividade de contar está relacionada com as necessidades vinculadas ao entorno do indivíduo, podendo ir desde datas de aniversários, a situações mais estruturadas, como a resolução de problemas de combinatória, ou o uso da calculadora. que pode oferecer possibilidades para descobrir relações numéricas.
Menninger (1969)38 em seu livro Numer words and Number Symbols apoia
o pensamento de Bishop (1999) nesse campo e faz uma análise da universalidade de contar e da importância da ideias de números.
Esta atividade possibilita quantificar, comparar e ordenar fenômenos discretos, englobando os aspectos:
Cuantificadores (cada, algunos, muchos, ninguno). Adjetivos numéricos. Contar con los dedos y con el cuerpo. Correspondencia. Números. Valor posicional. Cero. Base 10. Operaciones con números. Combinatoria. Precision. Aproximacion Errores. Fracciones. Decimales. Positivos, Negativos. Infinitamente grande, pequeño. Límite. Pautas numéricas. Potencias. Relaciones numéricas. Diagramas de flechas. Representaciones algebraicas. Sucesos. Probabilidades. Representaciones de frecuencias39. (BISHOP, 1999, p. 132)
Localizar é a segunda atividade universal em Matemática, proposta por Bishop. Esta atividade enfatiza a geometria espacial, relacionando o homem com seu entorno numa perspectiva espacial. Descreve a relação entre lugares e objetos, envolvendo noções de direção, ordem, e a simbolização desses ambientes através de modelos e diagramas.
Segundo Bishop (1999), um importante trabalho relacionado a essa atividade e que examina com detalhe a maneira de conceitualizar o espaço de uma cultura determinada e que serve de base para seus estudos, é aquele
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MENNINGER, K., Number Words and Number Symbols - A Cultural History of Numbers, MIT Press, Cambridge, Mass, 1969.
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Quantificadores (cada, alguns, muitos, nenhum). Adjetivos numéricos. Contar com os dedos e com o corpo. Correspondência. Números. Valor posicional. Zero. Base 10. Operações com números. Combinatória. Precisão. Aproximação. Erros. Frações. Decimais. Positivos, Negativos. Infinitamente grande, pequeno / Limite. Pautas numérica. Potências. Relações numéricas. Diagramas de flechas. Representações algébricas. Sucessos. Probabilidades. Representações de frequências. (tradução nossa).
proposto por Pinxten (1983)40, o qual relaciona as noções espaciais em contextos
culturais diferentes.
Atividades que podem ser produtivas são as de explorar e traçar mapas e, quando a localização já é conhecida, pode-se trabalhar com situações relacionadas ao entorno do aluno, cabendo, também, propor atividades relacionadas ao estudo das coordenadas cartesianas, situações de viagens e navegação.
A localização engloba os aspectos de:
Preposicines Descripciones do recorridos. Localización em el entorno. N.S.E.O. Orientación en la brújula. Arriba/abajo. Izquierda/derecha/ Delante/detrás. Viajes (distância). Línhas retas y curvas. El ángulo como giro. Rotaciones. Sistemas de localización: Coordenadas polares Coordenadas 2D-3D. Mapas. Latitude/ longitud. Lugar geométrico. Mecanismos articulados. Círculo. Elipse. Vetor. Espiral.41 (BISHOP, 1999, p. 133)
Medir é a terceira atividade universal. Encontramos nessa atividade conceitos relacionados a comparar, ordenar e quantificar. Os conceitos de medição envolvem algumas das habilidades mentais, usadas para contar, mas desenvolvem, também, habilidades para comparar.
Atividades que podem ser proveitosas são as que fazem comparações utilizando partes do corpo para medir. Pode-se, por exemplo, calcular as dimensões dos objetos da sala de aula, explorar os conceitos de área e volume, a medição do tempo, encontrar áreas de figuras irregulares, como a comparação de continentes, por exemplo. A utilização de algumas ferramentas de medição podem ser interessantes, despertando a curiosidade dos alunos, como a balança, o pêndulo a bússola e relógios.
As ideias matemáticas derivadas dessa atividade são:
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Pinxten, R., van Dooren, I. y Harvey, F., The Antropology of Space, University of Pensylvania Press,1983.
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Preposições. Descrições de percursos. Localização do entorno. N.S.E.O. Orientação com a bússola. Em cima/Em baixo. Esquerda/Direita. De frente/De trás. Viagem (distância). Linhas retas e curvas. O ângulo como giro. Rotações. Sistemas de localização: Coordenadas polares. Coordenadas 2D-3D. Mapas. Longitude/ latitude. Lugar geométrico. Mecanismos articulados. Círculos. Elipse. Vetor. Espiral.
Cuantificadores comparativos (más rápido, más degaldo). Ordenación. Cualidades. Desarrolo de unidades (pesado - el más pesado - peso). Precision de las unidades. Estimación. Longitud. Área. Volumen. Tiempo. Temperatura. Peso. Unidades convencionales. Unidades normalizadas. Sistema de unidades (métrico). Dinero. Unidades Compuestas.42. (BISHOP, 1999, p. 134)
Desenhar é a quarta atividade universal relacionada à Matemática. Em nosso cotidiano, estamos cercados de formas geométricas; desenhar, portanto, é a atividade que mais estabelece conexões perceptivas relacionadas com a interação matemática e seu entorno. Atividades interessantes são as que envolvem proporção, semelhança, congruência e transformações, fazendo correspondência e comparação. A partir da observação das formas geométricas, tanto as que estão no ambiente, como as que podem ser construídas, podem-se estudar suas propriedades e verificar sua interação. Assim, a atividade desenhar possibilita fazer relações entre a forma imaginada e a relação espacial percebida,