O Problema de Programação Não-Linear Primal

Nesta seção é desenvolvido o modelo baseado em um problema de programação não-linear. Inicialmente são descritas as variáveis utilizadas no modelo. A seguir, é apre-sentada a função objetivo a ser maximizada, as restrições impostas ao modelo, bem como a função Lagrangeana e as condições de Kuhn-Tucker. Simultaneamente, são analisadas as condições de Kuhn-Tucker obtidas a partir do processo de otimização.

Inicialmente, as variáveis utilizadas no modelo são descritas a seguir.

d

In

w: capacidade máxima de estocagem no armazém (w);

w

t

i_, : custo de transporte da região i para o armazém w;

j

t

w_, : custo de transporte do armazém w para a região j;

c

w: custo unitário de armazenagem no armazém w;

i t,

ϕ

: multiplicador de Lagrange: preço-sombra para o arroz na região produtora i, para o período t = 1,..., T;

j t,

λ

: multiplicador de Lagrange: preço-sombra para o arroz na região consumidora j, para o período t = 1,..., T;

w

γ

t, : multiplicador de Lagrange: preço-sombra associado ao valor do produto durante a estocagem no armazém w, para o período t = 1,..., T;

w t,

µ

: multiplicador de Lagrange: preço-sombra associado ao limite na capacidade de es-tocagem do armazém w, no período t = 1,..., T.

Definidas as variáveis que são utilizadas no modelo de equilíbrio espacial e tempo-ral, é apresentada a função objetivo a ser maximizada (NSP), conforme a seguinte função:

(6.1)

∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑

A restrição 6.2 determina que o comércio de produto entre a fazenda e os armazéns não possa superar a produção doméstica na região “i” em cada período “t”. Por sua vez, a equação 6.3 exige que o fluxo comercial dos armazéns em direção aos cons umidores seja maior ou igual à quantidade consumida internamente na região “j” em cada período “t”. Ou seja, nenhuma região pode produzir mais do que a soma do consumo doméstico e suas ex-portações, e nenhuma região pode consumir além do equivalente a sua produção mais as importações. Já a equação 6.4 estabelece que a diferença entre a entrada e a saída de produ-tos dos armazéns deve ser igual à variação nos estoques entre períodos subseqüentes. A equação 6.5 limita a formação dos estoques à capacidade de armazenagem em cada região, isto é, nenhuma região pode armazenar acima da sua capacidade em cada período “t”. E as

últimas restrições (6.6) definem a condição de não-negatividade para a produção, consumo, estoques e fluxo comercial entre regiões.

Neste problema os estoques iniciais (Ei) e finais (Ef) são dados; em cada perí odo (t) os preços e estoques são utilizados para o próximo período (t+1)⁴². A análise considera o est oque armazenado entre anos (não considerando o aspecto de sazonalidade), a razão para isto deve-se ao fato de, neste trabalho, não existir interesse em comparar as diferenças en-tre os custos de armazenagem e de transporte nas regiões analisadas, e sim o efeito das políticas internacionais sobre a formação de preços ao longo dos anos.

A seguir, o problema de otimização com restrições é apresentado na forma Lagran-geana com o propósito de obter as condições de Kuhn-Tucker necessárias e suficientes para a obtenção do equilíbrio de mercado⁴³.

A função Lagrangeana:

42 No caso específico da equação 6.4, como os estoques iniciais (t = 1) e finais (t = T) são exógenos, existem dois casos onde a função pode ser reapresentada da seguinte forma:

a) _, 0

43 Para um problema de programação não-linear, onde a função objetivo é diferenciável e côncava, com res-trições lineares (diferenciáveis e convexas), os resultados obtidos são um máximo global, desde que os pontos ótimos obedeçam às condições de Kuhn-Tucker.

Os resultados, apresentados a seguir, mostram as condições de Kuhn-Tucker asso-ciadas ao problema. Estas condições são necessárias e suficientes para que haja um máxi-mo da função NSP, o que , por sua vez, implica equilíbrio em todas as regiões e períodos estudados . A cada período analisado são obtidos os preços e as quantidades demandadas, ofertadas, comercializadas e armazenadas em cada região. A seguir são apresentadas e dis-cutidas as condições de Kuhn-Tucker.

(6.8)

Neste caso, o preço que o consumidor está disposto a pagar não poderá ser maior que o preço de mercado (preço-sombra) em nenhuma região ou período de tempo. Quando a qua ntidade consumida na região “j”, para qualquer período de tempo, for maior do que zero, então o preço pago pelo produto (

p

_t^d_,j) será igual ao preço-sombra (

λ

_t,j). Contudo, se o preço que o consumidor está disposto a pagar, para uma dada região “j” e período “t”, for menor do que o preço de mercado (preço-sombra) , então a quantidade demandada será igual a zero.

Conforme os resultados acima (6.9), o preço que a firma se dispõe a vender o pr o-duto não poderá ser menor do que o preço de mercado (preço-sombra) em nenhuma região ou período de tempo. No caso da quantidade ofertada na região “i” para qualquer perí odo (t) for maior do que zero, então o preço-sombra (

ϕ

_t,i ) será igual ao preço de venda do produto (

p

_t^s_,i). Caso contrário, quando o preço que a firma deseja vender o produto for

maior do que o preço de mercado, então, para uma dada região (i) e período (t), a quant

w-ésimo armazém no período “t” deverá ser menor ou igual à soma do preço do produto ofe r-tado na i-ésima região e o custo de transporte entre a região produtora e o armazém. A se-gunda equação envolve dois aspectos: quando o valor do produto a ser armazenado for menor do que o preço de venda mais os custos de transporte, então não haverá fluxo co-mercial entre a região produtora (i) e o armazém (w); contudo, quando o valor do produto a ser armazenado for igual ao preço de venda mais o custo de transporte, então haverá uma quantidade comercializada maior do que zero.

Similarmente, a terceira equação mostra que o valor do produto ao sair do armazém equivale ao preço de mercado menos o custo de transporte até a região de consumo. Qua n-do houver fluxo comercial entre o armazém (w) e a região consumin-dora (j), então o valor do produto armazenado será igual ao preço pago pelo consumidor menos o custo de trans-porte. Caso mantenha-se a desigualdade entre valor do produto armazenado e preço pago pelo consumidor menos custo de transporte, o produto continuará armazenado, não haven-do comércio entre as regiões w e j.

Considerando todas as equações em (6.10), simultaneamente, observa-se que a dif e-rença entre os preços das duas regiões deverá ser menor ou igual ao custo de transporte.

Quando a quantidade total comercializada for maior do que zero, ter-se-á a seguinte ex-pressão:

λ

_t,j

− ϕ

_t,i

= t

_i,j . Neste caso, a diferença entre o preço de mercado na região consumidora (j) e o preço de mercado na região produt ora (i) deverá ser igual ao custo de transporte. Pode ocorrer também que a diferença entre o preço ao consumidor na região (j)

e o preço ao produtor na região (i) seja menor do que o custo de transporte, neste caso, não existe fluxo comercial entre as regiões analisadas.

A condição apresentada a seguir é chamada de “lucro zero” (no-profit condition)⁴⁴. Ela estabelece que não pode ocorrer lucro desde o momento em que o produto está vindo de um ponto de oferta (i) para o armazém (w) até o momento em que sai do armazém para um certo ponto de demanda (j).

(6.11)

Quando existe a valorização de uma unidade de produto de um período ao outro (

γ

_t+1,w

− γ

_t,w), esta não pode exceder o custo de estocagem de uma unidade adicional mais o preço-sombra relacionado com a capacidade de armazenagem (

c

_w

+ µ

_t,w^{). Em}

outras palavras, a valorização do produto não pode ser maior do que o custo total de arma-zenagem, pois, caso contrário, haveria lucro. No caso do produto ser armazenado, entã o:

w nenhu-ma quantidade vai ser adicionada ao estoque. Ainda que os preços cresçam a unenhu-ma taxa in-ferior ao montante (

c

_w

+ µ

_t,w) nenhuma unidade de produto será acrescentada ao arma-zém. Ou seja, valores positivos somente serão acrescentados ao armazém quando o pr eço cresce a uma taxa igual ao custo total de armazenagem.

As condições apresentadas a seguir, nas equações 6. 12, 6. 13 e 6. 14, garantem que os mercados de todas as regiões (i, j), em qualquer período (t), estão em equilíbrio. Neste sentido, a equação 6. 12 exige que, no momento em que o preço pago pelos consumidores é maior do que zero, a quantidade demandada na região (j) é igual ao volume total comercia-lizado.

44 Esta condição é exigida em função da análise pressupor concorrência perfeita.

(6.12)

Da mesma forma, conforme apresentado a seguir, quando o preço recebido pelos produtores for maior do que zero, então a quantidade ofertada na região (i) é igual ao vo-lume total comercializado, para cada período (t).

(6.13)

Já as equações em 6.14 determinam que a diferença entre a quantidade de produto que entra nos armazéns e a quantidade que sai em direção aos pontos de venda deve ser igual à diferença entre a quantidade do produto armazenado para o próximo período e a quantidade de produto utilizado no período corrente. Desta forma, está garantido o equil í-brio entre a entrada e a saída de produto dos armazéns para cada região em cada período de tempo.

Por último, a quantidade armazenada em cada armazém (w), em cada período (t), não pode exceder a capacidade de armazenagem. Quando o preço-sombra relacionado com a capacidade restrita de armazenagem for maior do que zero, então o armazém estará che i-o. Caso contrário, quando o armazém estiver vazio, o preço-sombra será igual a zeri-o.

(6.15)

A partir da apresentação do método de otimização pela abordagem primal para um modelo de alocação espacial e temporal, é desenvolvido o problema sob a forma de um Problema Complementar Misto não-linear. Especificamente neste caso, as curvas de de-manda e oferta, bem como as condições necessárias e suficientes para alcançar o equilíbrio de mercado são apresentadas a seguir.

6.1.2 O Problema de Complementaridade Mista: um modelo de alocação espacial e

No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA (páginas 120-127)