Proposta de tarefas

As tarefas 1 (Figura 4) e 2 (Figura 5) são formuladas em contexto matemático, na representação fracionária, tendo dez expressões de cálculo mental cada. A tarefa 1 envolve adição e subtração de frações e a tarefa 2 multiplicação e divisão. Estas tarefas estão enquadradas no tópico relações e regularidades. Optei por iniciar o cálculo mental com números racionais pela representação em fração, pelo facto da professora do ciclo de experimentação I (Margarida) ter terminado a abordagem os números racionais posi- tivos com a multiplicação e divisão de frações e ter iniciado relações e regularidades onde deu continuidade ao trabalho com frações no âmbito das expressões numéricas e proporcionalidade.

Na parte 1 da tarefa 1, os alunos têm de calcular mentalmente o resultado de uma operação simples. Em a), começam por calcular a soma de duas frações unitárias (de referência) com denominadores iguais que representam “metade”; em b) operam igualmente com frações de referência, com o mesmo denominador, para obter uma fra- ção ainda mais simples (“metade”); em c) voltam a operar com frações que representam um meio (“metade”) e equivalentes à expressão calculada em a), cujas frações têm denominadores diferentes; em d) operam com frações com denominadores diferentes que se relaciona com o que realizaram em b); e em e) voltam a operar com frações com

denominadores diferentes que representam um meio e cuja expressão é equivalente à apresentada em a) e em c). Tarefa 1 Parte 1 Parte 2

Figura 4. Proposta de tarefa 1 para o ciclo de experimentação I.

Na parte 2, os alunos têm que resolver expressões de valor em falta e indicar o valor que torna a igualdade verdadeira. Em f) surge uma expressão equivalente à apre- sentada em a) em que os alunos podem usar os conhecimentos discutidos em c) e em e) ou relacionar a parte-todo; em g) operam com frações decimais podendo recorrer à mudança de representação (de fração para decimal); em h) surge uma expressão equiva- lente à apresentada em f) envolvendo uma fração equivalente a um meio; em i) uma diferença que pretende relacionar “meios” e “quartos”; e em j) uma expressão que se relaciona com d) e que continua a relacionar “meios” e “quartos”. As expressões que apresentam frações com denominadores diferentes surgem com o intuito de verificar se os alunos cometem o erro de adicionar/subtrair denominadores e as que representam a unidade, para detetar eventuais dificuldades no estabelecimento da relação parte-todo.

Na tarefa 2 (Figura 5), na parte 1, em a) e c) os alunos multiplicam um número pelo seu inverso sendo que em a) se apresenta o inverso de um número inteiro (multipli- cação de um inteiro por uma fração) e em c) o inverso de um número fracionário (mul- tiplicação de duas frações); em b) operam com duas frações de denominadores diferen- tes, que podem ser simplificadas e cujo resultado corresponde a um meio ou fração equivalente; em d) dividem frações com denominadores iguais; e em e) dividem frações com denominadores múltiplos um do outro.

Na parte 2, surgem novamente expressões de valor em falta. Em f) uma expres- são que se relaciona com c) pois envolve a multiplicação de um número pelo seu inver-

so; em g) uma expressão que relaciona com , a divisão por com a multiplicação por 2 e onde não é possível recorrer à operação inversa da divisão para resolver a expressão; em h) uma expressão que potencia o uso da divisão como operação inversa da multipli- cação; em i) a relação entre e , onde não é possível recorrer à operação inversa da divisão; e em j) a multiplicação de duas frações onde o recurso à propriedade comutati- va apoia a simplificação do cálculo. Para esta tarefa, não foram previstos erros, uma vez que as regras da multiplicação de números naturais continuam a verificar-se quando multiplicamos frações (Lamon, 2006).

Tarefa 2 Parte 1 Parte 2

Figura 5. Proposta de tarefa 2 para o ciclo de experimentação I.

A tarefa 3 (Figura 6) marca uma mudança ao ser realizada na transição do tema Álgebra para a Geometria, com a introdução da representação decimal e da resolução de situações contextualizadas. A primeira parte desta tarefa é constituída por cinco expres- sões de cálculo mental envolvendo as quatro operações básicas com frações e numerais decimais. A representação decimal surge nesta fase, por ser uma representação dos números racionais forte no tópico volumes. A utilização das duas representações em simultâneo, pretende mostrar aos alunos a importância, no cálculo mental, da conversão entre representações dos números racionais e, por isso, privilegiei o uso de valores de referência como forma de facilitar o cálculo e a conversão.

Na parte 1 desta tarefa, em a) os alunos adicionam dois números de referência, um na representação fracionaria e outro na decimal surgindo assim mais uma represen- tação de “metade” ( ); em b) subtraem uma fração decimal e um numeral decimal; em c) dividem um numeral decimal par por para reforçar a relação com a multiplicação

por 2; em d) multiplicam uma fração unitária por um numeral decimal onde a conversão entre representações (de decimal para fração) pode facilitar o cálculo; e em e) dividem e relacionam quantidades divisíveis, uma na representação decimal e outra na representa- ção fracionária. Tarefa 3 Parte 1 Parte 2

Uma embalagem de 250g de cereais custa 0,80€. Qual o preço de 750g dos mesmos cereais?

Quatro livros de banda desenhada custam 12,8€. Qual o preço de cada livro? O João desenhou, numa folha de papel, a distância de casa à escola através de um segmento de . Sabendo que a escala que usou foi de 1:200, qual a dis- tância real de casa à escola?

Para fazer refresco de laranja é necessários

de concentrado por cada de

água. Que quantidade de concentrado se deve usar para fazer 1 de refresco.

Figura 6. Proposta de tarefa 3 para o ciclo de experimentação I.

Na parte 2, os alunos resolvem quatro situações contextualizadas envolvendo os conceitos de razão e proporção, uma vez que irão terminar o tópico relações e regulari- dades. A opção por uma tarefa mista (expressões e situações contextualizadas) surge com o intuito de diversificar contextos, de fazer perceber aos alunos que o cálculo men- tal não é possível apenas em contextos matemáticos e que a discussão de questões em contexto matemático pode apoiar a compreensão e escolha da operação adequada para resolver uma situação contextualizada. Em f) relacionam duas quantidades múltiplas uma da outra à semelhança do que fizeram em e), embora a operação a realizar não seja a mesma, e mobilizam conceitos de razão e proporção; em g) operam com dois números divisíveis, um numeral decimal e um número inteiro; em h) estabelecem relações entre distâncias reais e distâncias num mapa, usam o conceito de “metade de” ( é ) e voltam a mobilizar conceitos de razão e proporção; e em i) relacionam números racio-

nais em representações diferentes ( e podem multiplicar uma fração por um número inteiro.

A tarefa 4 (Figura 7) envolve adição e subtração e a tarefa 5 (Figura 8) multipli- cação e divisão de numerais decimais. Estas tarefas foram enquadradas no tópico volu- mes e, por isso, a opção pela representação decimal como já referido anteriormente. Sendo os processos de cálculo com numerais decimais semelhantes aos usados com números naturais é esperado que os alunos recorram com frequência à conversão entre representações não de decimal para fração mas para números naturais referentes a

,

ou seja, que operem com numerais decimais como se fossem números naturais, repondo o valor posicional dos algarismo aquando da indicação do resultado.

Tarefa 4 Parte 1 0 Parte 2

Figura 7. Proposta de tarefa 4 para o ciclo de experimentação I.

Tarefa 5 Parte 1 Parte 2

Na parte 1 da tarefa 4, em a) os alunos operam com dois numerais decimais de referência, que se relacionam com a operação realizada em j) na tarefa 1 na representa- ção fracionária; em b) subtraem centésimas de décimas realçando-se a importância do valor posicional dos algarismos; em c) adicionam dois numerais decimais de referência, cuja expressão se relaciona com a); em d) subtraem centésimas de décimas sendo possí- vel o recurso a estratégias de compensação; e em e) voltam a adicionar décimas com centésimas.

Na parte 2, resolvem expressões de valor em falta e em f) e h) relacionam um numeral decimal com a unidade através da relação parte-todo, sendo que em h) podem manifestar a correção, ou não, de um possível erro cometido em e) onde o não respeito pelo valor posicional pode levar a que os alunos indiquem que ; em g) podem recorrer à relação entre as operações adição e subtração; em i) relacionam múlti- plos de (caso operem com numerais decimais como se fossem números naturais) e esta expressão com a apresentada em c); e em j) mobilizam a operação inversa da adi- ção.

Na parte 1 da tarefa 5, em a) os alunos multiplicam um numeral decimal de refe- rência por um número inteiro obtendo a unidade, onde a quarta parte da unidade é evi- denciada; em b) dividem um decimal par por reforçando a relação com a divisão por

e a multiplicação por 2; em c) multiplicam numerais decimais que representam déci- mas e centésimas para enfatizar a importância do valor posicional e o sentido de opera- ção; e em d) e e) operam com numerais decimais pares sendo que em d) são divisíveis.

Na parte 2, em f) surge uma expressão que pretende de novo enfatizar a relação entre o multiplicar por e o dividir por 2 ou o recurso à operação inversa da multipli- cação; em g) uma expressão que se relaciona com b) uma vez que envolve a divisão por ou e que sendo trabalhada depois de f) mostra a diferença entre multiplicar por e dividir por ; em h) a relação entre dois numerais decimais com casas decimais dife- rentes para reforçar a importância do valor posicional; em i) reforçam-se as relações numéricas trabalhadas em b) e g); e em j) a relação entre dois numerais decimais e entre operações inversas. Todas as expressões da tarefa 5 têm um forte intuito de trabalhar e discutir o sentido de operação multiplicação e divisão de números racionais.

A tarefa 6 (Figura 9) envolve resolução de situações contextualizadas com as quatro operações básicas e a representação decimal e fracionária uma vez que tinham

sido estas as representações usadas até ao momento no cálculo mental. Mais uma vez, estas duas representações surgem em simultâneo, mas agora na resolução de situações contextualizadas e com o objetivo de perceber se os alunos se têm vindo a apropriar das estratégias partilhadas e discutidas até ao momento e de que forma as mobilizam na resolução de situações em contexto, uma vez que o nível de exigência em termos de interpretação e relações numéricas é superior. As situações envolvem contextos de medida uma vez que é previsível que Margarida se encontre a trabalhar o tópico volu- mes com os alunos.

Tarefa 6 Parte 1

O Luís encheu de um depósito de água e a Joana desse mesmo depósito. Quem colocou mais água no depósito?

O perímetro da face de um tanque cúbico é . Qual a medida do lado? O avô do João já gastou

da capacidade de um depósito de água na rega do

jardim. Quanto lhe falta para esvaziar o depósito?

A Rita construiu um cubo em que a área da base era . Qual a medida do lado?

Parte 2

O sólido A tem de capacidade e o sólido B tem da capacidade do sólido A. Calcula a capacidade do sólido B

Uma tina tem de capacidade . Quantos baldes de são necessários encher para despejar por completo a tina?

A área da base de um paralelepípedo retângulo é de . Sabendo que a altura é , qual o volume do paralelepípedo?

A área da base de um cilindro é e o seu volume . Calcula a altu- ra.

Na parte 1 da tarefa 6, em a) surge uma situação de comparação envolvendo a representação fracionária e decimal; em b) o conceito de perímetro associado à divisão de um decimal por um inteiro; em c) uma situação que pode ser resolvida recorrendo a uma expressão de valor em falta, onde se pretende reconstruir a unidade e que se rela- ciona com a questão f) da parte 1 da tarefa 1; e em d) o conceito de área associado ao produto de dois fatores iguais e que se relaciona com a questão h) da parte 2 da tarefa 5. Nesta última questão a importância do valor posicional será reforçada através do cálculo do produto entre dois numerais decimais inferiores a 1.

Na parte 2 desta tarefa, em e) surge uma situação que envolve o produto de um numeral decimal por uma fração, à semelhança do que foi realizado na questão d) da parte 1 da tarefa 3; em f) a divisão de um numeral decimal por uma fração que represen- ta “metade” enfatizando relações numéricas trabalhadas na tarefa 5; em g) a multiplica- ção de um numeral decimal por e cujo objetivo é incentivar a conversão entre representações ( ); e em h) uma situação que pode ser resolvida recorrendo a uma expressão de valor em falta, semelhante à apresentada na questão f) da parte 2 da tarefa 5, e que envolve a operação inversa da multiplicação.

Na tarefa 7 (Figura 10) surge pela primeira vez a representação em percentagem. Os alunos resolvem dez expressões de cálculo mental com diferentes níveis de exigên- cia cognitiva tal como sugerido por Parker e Leinhardt (1995). São privilegiadas percen- tagens de referência múltiplas de 5 e de 10.

Tarefa 7 Parte 1 Parte 2

Na parte 1 da tarefa 7, em a) os alunos calculam 50% de um valor, reforçando assim o trabalho com “metades” que tem vindo a ser realizado ao longo da experiência de ensino mas antes com a representação fracionária e decimal; em b) e c) pretendo incentivar o recurso à divisão por 4 para o cálculo de 25% e percentagens múltiplas de 25, ou o recurso ao cálculo de “metade de metade” partindo de conceitos discutidos na questão a); em d) o cálculo de 10%associado à divisão por 10 (uma regra memorizada); em e) o calculo de uma percentagem próximas do todo (100%) incentivando o cálculo não de 90%, mas sim do valor que falta para obter o todo, relacionando-se este cálculo com o realizado em d). Na parte 2, as questões envolvem essencialmente a relação par- te-todo ou parte-parte permitindo assim, aos alunos, desenvolverem múltiplas relações numéricas.

Na tarefa 8 (Figura 11) os alunos têm de resolver dez expressões, envolvendo as três representações dos números racionais, cujo principal objetivo é perceber de que forma a conversão entre representações é potenciada nas estratégias que partilham e mais uma vez reforçar esta conversão.

Tarefa 8 Parte 1

Parte 2

Figura 11. Proposta de tarefa 8 para o ciclo de experimentação I,

Na tarefa 8 não foram propostas expressões de valor em falta e os números racionais surgem com o significado de operador. Pretendo essencialmente fazer a ponte entre as representações fracionária e decimal e a percentagem, uma vez que esta última representação surge com o significado de operador. Em a) os alunos calculam o produto de uma fração de referência por um número inteiro; em b) o produto de um numeral decimal por um inteiro, em que o decimal pode ser convertido em ; em c) o cálculo de de um valor, uma fração que tem sido pouco usada por representar uma dizima infinita

mas que surge nesta tarefa com o intuito de perceber quais as estratégias dos alunos com este tipo de números racionais; em d) o cálculo de uma percentagem múltipla de 10; e em e) o produto entre duas frações que representam dízimas infinitas, mantendo-se o intuito referido em c).

Na parte 2, em f) é retomado o conceito de “metade de” relacionado a multipli- cação por com a divisão por 2, como tem vindo a ser trabalhado em tarefas anteriores; em g) o produto de um numeral decimal por um número inteiro e que se relaciona com expressões anteriormente trabalhadas (i.e., questão b) da tarefa 7); em h) uma expressão semelhante à apresentada em e) na tarefa 7 que pretende reforçar o cálculo da parte que falta para o todo em vez do cálculo direto de 90%; em i) o cálculo, pela primeira vez, de percentagens de pequeno valor para promover a construção de estratégias de reconstru- ção do todo, eficientes e que podem passar pelo recurso a múltiplos de 10; e em j) uma expressão que se relaciona com b) e d) desta tarefa e com a) da tarefa 2.

A tarefa 9 (Figura 12) proporciona aos alunos o cálculo mental com as três representações e com as quatro operações básicas, através de dez expressões com e sem valor em falta. Esta tarefa pretende revisitar relações numéricas trabalhadas ao longo da experiência de ensino e assim perceber que estratégias desenvolveram os alunos e que opções fazem em termos de estratégias tendo em conta as representações e as operações envolvidas. Apesar dos erros dos alunos serem alvo de análise e discussão ao longo de toda a experiência de ensino, esta tarefa permitirá também perceber se esses erros conti- nuam a surgir quando os alunos têm que tomar opções perante propostas de trabalho mais complexas. Tarefa 9 Parte 1 Parte 2

Figura 12. Proposta de tarefa 9 para o ciclo de experimentação I.

Na parte 1 da tarefa 9, em a) surge a adição de duas frações de denominadores diferentes em que uma representa “metade” e que se relaciona com questões realizadas na tarefa 1; em b) a diferença entre dois numerais decimais, como realizado na tarefa 4; em c) o produto de duas frações onde é possível recorrer à propriedade comutativa para simplificar o cálculo; em d) o quociente entre duas frações com denominadores iguais, como realizado na tarefa 2; e em e) o cálculo de uma percentagem múltipla de 25 como realizado na tarefa 7.

Na parte 2, em f) surgem expressões de valor em falta envolvendo frações equi- valentes a (metade) tal como na tarefa 1; em g) a relação entre as operações subtração e adição, tal como na tarefa 4; em h) o produto de um número racional pelo seu inverso como na tarefa 2; em i) a relação entre dividendo e quociente como na tarefa 5; e em j) a relação parte-todo ou parte-parte envolvendo percentagens múltiplas de 10 como reali- zado na tarefa 7.

A última tarefa da experiência de ensino, a tarefa 10 (Figura 13), volta a propor- cionar aos alunos a realização de oito situações contextualizadas. As quatro primeiras situações enquadram-se no tópico representação e interpretação de dados e as quatro situações seguintes referem-se a volume e relações e regularidades, tópicos estes traba- lhados durante a experiência de ensino. À semelhança da tarefa 9, mas agora com situa- ções contextualizadas, o objetivo desta tarefa é revisitar algumas das estratégias usadas pelos alunos durante a experiência e perceber que tipos de erros ainda persistem nas estratégias que apresentam.

Na parte 1 da tarefa 10, em a) a situação contextualizada envolve o conceito de frequência relativa em que os alunos podem recorrer a uma expressão de valor em falta para resolver problema situação e pensar na reconstrução da unidade, tal como realizado em questões da parte 2 da tarefa 4; em b) surgem duas representações diferentes de um número racional e os conceitos de “metade” e quarta parte onde é necessário reconstruir o todo; em c) tal como na tarefa 8, surge a fração como operador; e em d) a diferença entre numerais decimais como na tarefa 4.

Na parte 2, em g) uma situação de adição/subtração de frações e de comparação onde a expressão que resolve esta situação é semelhante às apresentadas e discutidas na tarefa 1; em h) o produto entre um numeral decimal e uma fração tal como realizado na tarefa 3; em i) uma situação envolvendo percentagens e que pode ser resolvida com

recurso a expressões apresentadas na tarefa 7; e em j) o quociente entre duas frações com denominadores múltiplos um do outro como realizado na tarefa 2.

Tarefa 10 Parte 1

Lançou-se uma moeda ao ar 20 vezes e registaram-se os valores numa tabela de frequências relativas. Se à face Euro corresponder 0,40 de frequência relativa, qual a frequência relativa da face nacional?

Na turma da Rita dos alunos pratica futebol e pratica natação. Que per- centagem de alunos não pratica qualquer modalidade?

Diariamente, 400 alunos almoçam no refeitório da escola do João. Destes alu- nos, comem sempre sopa. Quantos alunos comem sopa?

Durante o verão de 2010, a temperatura máxima em Lisboa foi de e a temperatura mínima de . Qual a amplitude térmica?

Parte 2

A mãe da Catarina fez um bolo de chocolate. Ao almoço a Catarina comeu

e

o pai .Ambos comeram mais ou menos de metade do bolo de chocolate? A avó da Sofia vai-lhe fazer uma saia. De uma peça de tecido com retirou . Que porção de tecido usou?

Uma camisola custa 25€. O Vasco comprou-a com 20% de desconto. Calcula o valor do desconto.

A Ana quer encher copos com refresco. Cada copo tem de capacidade. Quantos copos consegue encher a Ana com de refresco?

Figura 13. Tarefa 10 do ciclo de experimentação I.