Minería y Geología
/ v.28 n.4 / octubre-diciembre / 2012 / p. 1-19
ISSN 1993 80121
Recibido: 3 m ayo 2012 / Aceptado: 24 septiem bre 2012
Modelación y simulación del proceso de
secado natural de la mena laterítica
Yoalbys Retirado- Mediacej a Arístides A. Legrá- Lobaina Marbelis Lam orú- Urgelles Enrique Torres- Tam ayo Héct or L. Laurencio- Alfonso Ever Góngora- Leyva
Resum en
Se m odeló y sim uló el secado natural de la m ena laterítica con el propósit o de obt ener la dist ribución de hum edad y su m ecanism o de m ovim ient o en las pilas de m ena. Los m odelos m atem áticos se obtuvieron resolviendo, m ediante el m étodo de separación de variables, la ecuación diferencial de int ercam bio de hum edad en un sólido poroso para las condiciones iniciales y de front era específicas del secado nat ural; las sim ulaciones se realizaron con una aplicación inform át ica creada para est os fines. Los result ados evidenciaron que durante el proceso se producen cam bios significat ivos en la hum edad del m at erial hast a las capas que se encuent ran separadas alrededor de 29 y 87 cm de la superficie de los t aludes est e y oest e de la pila, respect ivam ent e. Adem ás, se corroboró que el desplazam ient o de la hum edad en las pilas de m inerales se produce por la acción de un m ecanism o m ixto de transport e que incluye los efectos com binados de la difusión de vapor, la difusión líquida y el m ovim ient o de líquido.
Palabras clave
ISSN 1993 8012
2
Minería y Geología
/ v.28 n.4 / October-December / 2012 / p. 2-19
Received: 3 May 2012 / Accept ed: 24 Septem ber 2012
Modeling and simulation of the natural drying
process in lateritic ore deposits
Abst ract
The natural drying process of lateritic ore deposits was m odeled and sim ulated in order to obtain the m oisture distribution and the m oisture m ovem ent m echanism s in the ore piles. Mathem atical m odels were obtained by solving the differential equation of the hum idity exchange of porous solid m aterials for initial and specific boundary conditions of natural drying through the variable separation m ethod. The sim ulations were carried out using a com puter application created for this purpose. The results indicated that during the process significant changes occur in the m oisture of the m aterials with layers 29 and 87 cm apart from the east and west em bankm ents of the ore pile, respectively. I n addition, it was confirm ed that the m oisture m ovem ent in the ore piles occurs through a m ixed transport m echanism ; including com bined effects of vapor diffusion, liquid diffusion and liquid m ovem ent.
Keyw ords
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ISSN 1993 80123
1 . I N TRODUCCI ÓN
La m odelación m at em át ica perm it e el est udio t eórico del secado solar natural de la m ena laterít ica y posibilita sim ulaciones com putacionales de ese proceso m ediant e el em pleo de sist em as inform áticos adecuados. Ello const it uye una alt ernat iva, t ecnológicam ent e viable, para predecir el com port am ient o de la dist ribución de hum edad del m at erial cuando las variables independient es y los parám et ros de los m odelos m at em át icos t om an ciert os valores.
Al nivel int ernacional la m odelación m at em át ica del secado solar natural ha sido utilizada con diversos propósitos científico- técnicos. Se report an est udios sobre el secado de granos ( café, arroz) , m adera, pulpa de bagazo y lodos ( Hossain et al. 2005; Hernández et al. 2008;
Mont es et al. 2008; Morset t o et al. 2008; Salinas et al. 2008;
Ferreira & Costa 2009) .
En Cuba los t rabaj os publicados referent es a la m odelación del proceso de secado no contienen m odelos m atem át icos del secado solar natural para los m inerales laterít icos; se circunscriben m ayorm ente al análisis term oenergético y t erm odinám ico del secado solar.
En las últim as décadas entre los m ateriales que han sido objeto de estudio en investigaciones sobre secado se encuentran el café, las sem illas, las plantas m edicinales, la m adera y los productos varios (Ferro
et al. 1999, 2000; Fonseca et al. 2000, 2002, 2003; Abdala et al. 2003;
Griñán & Fonseca 2003; Bergues et al. 2002, 2003a y b, 2006; Pacheco et al. 2006).
La búsqueda bibliográfica realizada reveló que el secado solar nat ural de los m inerales lateríticos es escasam ente tratado en las publicaciones científicas. En Cuba los aspectos teórico- experim entales, t ecnológicos y m inero- m etalúrgicos del proceso han sido est udiados por Estenoz et al. ( 2007a y b) ; Retirado et al. ( 2007, 2009, 2011) ;
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2 . MATERI ALES Y MÉTODOS
2 .1 . M ét odo de solución para la obt ención de los m odelos
La estrategia global para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales radica en reducirlas a una o m ás ecuaciones diferenciales ordinarias, las que se pueden resolver por las técnicas convencionales. Básicam ente, los m étodos de solución se pueden dividir en analíticos y num éricos (Edwards & Penney 1994; Jim énez 1999; Young et al. 2008).
En este trabaj o se em pleó, para la obtención de los m odelos m atem áticos, el m étodo de separación de variables, porque a través del m ism o se m uestra explícitam ente la dependencia entre las variables m ás influyentes en el proceso investigado.
Las sim ulaciones se realizaron con una aplicación inform ática creada para est e propósit o y se est udió el com port am ient o de la dist ribución de hum edad en una pila de m ena lat erít ica expuest a a secado nat ural. Las caract erísticas de la pila son las siguientes:
Masa de m aterial expuesta a secado natural: 700 t ;
Longit ud de la superficie lat eral: 140 m ;
Ancho de la base: 5,49 m ;
I nclinación de la superficie de secado de los taludes este y oeste respect o al plano horizont al: 61 grados sexagesim ales;
Form a geom étrica de la sección transversal: t riangular.
Las caract erísticas antes expuestas se corresponden con las que tienen las pilas ut ilizadas en la im plem ent ación práct ica del proceso de secado natural en las em presas cubanas productoras de níquel ( Estenoz
et al. 2007a y b; Est enoz 2009; Vinardell 2011) . 3 . MODELOS DEL PROCESO
3 .1 . M odelo general
Durant e el proceso de secado nat ural de la m ena lat erít ica, com o result ado de la incidencia de la radiación solar, en la superficie de secado de la pila se form a una película de vapor de agua, la hum edad del m at erial dism inuye y en el int erior de la pila surgen dos gradient es: el de hum edad (H) y el de t em perat ura (T) . En presencia de am bos gradient es se inicia el desplazam ient o de la hum edad desde las capas int eriores hast a la superficie de secado de la pila.
Para el est udio del proceso se considera que los coeficientes ku y son
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m odelo general que caract eriza la velocidad de cam bio de la hum edad en el int erior de un sólido poroso en un punt o de coordenadas ( x; y; z) en el t iem po , es por ello que ha sido sugerida y em pleada por varios invest igadores para el est udio del proceso de secado de m at eriales porosos ( Hernández & Quint o 2005; Hernández et al. 2008) .
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
z T
y T
x T
z H
y H
x H k
H
u
( 1)Donde:
H: hum edad del m at erial; kg/ kg. : t iem po de secado; s.
ku: coeficient e de conducción de hum edad; m2/ s.
: coeficient e t érm ico de conducción de hum edad; 1/ º C.
T: t em perat ura del m at erial; º C.
Mediant e la ecuación 1 sim plificada se det erm ina la dist ribución de hum edad en las pilas de m ena lat erít ica expuest as a secado nat ural ( ecuación 2) . Para ello se resuelve la m ism a usando las condiciones iniciales y de front era específicas ( problem as de contorno caract eríst icos) del proceso invest igado, según se m uest ra en el epígrafe que a cont inuación se expone.
3 .2 . M odelos part iculares
La expresión que caract eriza la dist ribución de hum edad [H( y,) ] en la
pila de m ena lat erít ica se det erm ina considerando que la ecuación 2, con las condiciones iniciales y de front era ( sistem a de ecuaciones 5) , se corresponde con el prim er problem a general de cont orno definido por Tij onov y Sam arsky ( 1980) .
2,
2
y
f
y
H
k
H
u
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Siendo:
2 2
,
y
T
k
y
f
u
( 3)
y l n sen
d d dT e
e l
n n
y T
n
s l
n l
n
1 0
2 2
2 2
2 cos ( )
2
( 4)
Condiciones iniciales y de frontera
s
H
l
H
H
H
y
y
H
,
,
0
0
,
0 ( 5)
Donde:
(y) : función que caract eriza el cam bio de H0 en cada inst ant e de
tiem po y posición “y” ; kg/ kg.
H0: hum edad inicial del m aterial; kg/ kg.
Hs(): hum edad del m at erial en la superficie de secado de la pila ( para
cuando se cum ple la condición que y = l) ; kg/ kg.
Miner
7
x Fi Pa va fu
v
SU
La
Co
v
v
v
ría y Geolo
y
x
igura 1 . Es m a
ara resolv ariables y unción incó
y
,
H
y
iendo:
y
,
H
0U
a función
)
,
(
2 2
y
f
y
v
u
k
v
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,
,
0
,
0
0
,
l
H
l
H
y
H
y
gía
/ v.28 n
a)
squem a pa m ena laterí nalizada en
ver la ecu se em ple ógnit a ( y,
,
,
U
y
y
0H
l
y
s
( y,) se d
2
u
k
d
s
dH
l
y
k
H
v
ndiciones c
,
,
0
,
0
0
,
0
,
l
U
U
y
U
y
n.4 / octubre
ra el anális ít ica; b) : C n el corte.
uación 2 ea la Figu
,), según
H
0
det erm ina
0
(
2 2y
f
u
y
H
u
k
com plem e
0
0
H
H
H
H
y
s
e-diciembre
-bo/2 zsis de la dis Corte de la
se aplica ura 1, par
la expres
com o la s
)
,
d
dH
l
y
y
u
k
U
ntarias:
0
0 0 0
H
H
H
H
l
y
H
s s
/ 2012
y 0 b)st ribución d a sección t
el m ét od ra ello se sión 6.
solución de
(
2 2
R
y
d
s
dH
y
U
0
0
0 0
H
H
bo/2 xde hum edad ransversal;
do de sep int roduce
e la ecuaci
)
,
xi xf y = l y
x 0
c)
d. a) : Pila ; c) : Secci
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Luego el problem a ant erior se reduce a la ecuación 10 y las condiciones represent adas en 11.
)
,
(
2 2
y
R
y
v
u
k
v
( 10)
,
0
0
,
0
0
0
,
0
,
0
,
0 0
l
v
v
y
H
H
l
y
H
y
y
U
y
H
y
v
s ( 11)Este últim o problem a ( ecuación 10 con las condiciones representadas en 11) se resuelve suponiendo que la solución t iene la form a de una Serie de Fourier; para ello se plant ea la expresión 12.
y
l
n
sen
v
y
v
n n
1,
( 12)Luego se designa la función R( y,) a t ravés de la expresión 13.
y
l
n
sen
R
y
R
n n
1,
( 13)Siendo:
y dyl n sen d dH l y y f l dy y l n sen y R l R l s l n
0 0 , 2 , 2 ( 14)Por tant o:
y l n sen dy y l n sen y R l y R nl
1 0
, 2
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Sust it uyendo las expresiones 12 y 15 en la ecuación 10 se obt iene:
y l n sen R y l n sen v k y l n sen v n n yy n n u n n
1 1 1 ( 16)Derivando y agrupando los t érm inos de la ecuación ant erior result a:
0´ 1 2
y l n sen R v l n k v n n n u n
( 17)Est a expresión es válida si para t odo n = 1,2,3, … , se cum ple que:
u
n
n
n
v
R
l
n
k
v
2´
( 18)Nót ese que se t rat a de encontrar n() com o solución de la ecuación
diferencial 18. Conociendo que:
y
l
n
sen
v
H
H
l
y
H
y
y
y
v
n n s
0
0
0
,
1 0
0 ( 19)
Se agrupa la expresión ant erior y se aplica el concept o de la Serie de Fourier, obt eniéndose la expresión 20 para el cálculo de n( 0).
y dyl n sen y l v l n
0 2Minería y Geología
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Si se considera que (y) es una función variable respecto a la longitud (l),
entonces se obtiene que:
l
n
l
H
dy
y
l
n
sen
y
H
n
n
n
sen
s
H
H
n
n
s
H
n
v
l
0 0 1 2 22
0
0
2
cos
0
2
0
( 21)Al resolver la ecuación diferencial 18 con la condición expuest a en 21 se obtiene:
B
n
H
A
n
l
n
u
k
e
n
v
s
cos
2
0
2
( 22) Siendo:
n
s
H
H
d
n
R
l
n
u
k
e
A
0
0
2
2
2
1 ( 23)
l n l H dy y l n sen y H n n n sen H H B l s
0 0 1 2 2 0 2 0 2 ( 24) Luego:
y l n sen B n H A n l n u k e y v n s
1 0 2 cos 2, ( 25)
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para el cálculo de la dist ribución de hum edad del m at erial [ H( y,) ] en una pila de m ena lat erít ica expuest a a secado nat ural.
0
0 1 0 2 cos 2 , H H l y H y l n sen B n H A n l n u k e y H s n s
( 26)Para el caso part icular en que ( y) = H1 = const ant e se procede de
form a análoga al caso general ant eriorm ent e expuest o [ donde ( y) = variable] y se obt ienen las expresiones 27- 32.
n
H
H
n
n
sen
s
H
H
n
n
H
s
H
n
v
0 12 2 0
1
cos
2
0
2
0
2
0
( 27)
cos
* *
2 B A n l n u k e nv
( 28)Siendo:
n
s
H
H
d
n
R
l
n
u
k
e
A
0
0
2
2
2
*
1 ( 29)
n
H
H
n
n
sen
H
H
B
s 0 12 2
0
0
2
2
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Luego se obt iene que:
y l n sen B
A n l
n u k
e y
v
n
1
* * cos
2
, ( 31)
Y por t ant o:
0
0 1
* * cos
2
,
H H
l y H
y l n sen B
A n l
n u k
e y
H
s n
( 32)
El m odelo m at em át ico represent ado en la ecuación 32 es análogo al obt enido para el caso general ( ecuación 26) , sin em bargo, el m ism o
solo debe ser ut ilizado para el caso en que la hum edad inicial del m at erial (H0) en cada inst ante de tiem po y posición “y”
perm anezca const ant e.
4 . SI MULACI ÓN
4 .1 . Dist ribución de hum edad del m at erial en la pila
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ISSN 1993 801213
Figura 2 . Com portam iento de la distribución de hum edad de la m ena lat erít ica en el t alud est e de la pila, desde la base hast a la superficie de secado.
En la Figura 2 se observa que en el t alud est e de la pila se obt ienen reducciones en el cont enido de hum edad del m at erial a part ir de las 9 y hast a las 13: 30 horas. Sin em bargo, en el horario rest ant e la hum edad de la m ena lat erít ica perm anece práct icam ent e const ant e. En la m añana ( desde las 6 hasta las 9 horas) se debe a los baj os niveles de radiación solar exist ent es en ese horario y en la t arde ( de las 13: 30 a las 18 horas) el com port am ient o puede ser at ribuido al efect o de la som bra que se genera product o de la inclinación de la superficie de secado de la pila y del m ovim iento diario del sol.
En el t alud oest e de la pila ( Figura 3) para las capas de m ena lat erít ica ubicadas entre 0 y 2,428 m de altura se obtienen reducciones en el cont enido de hum edad inferiores al 2,5 % , m ient ras que en las capas m ás cercanas a la superficie de secado de la pila ( desde h = 3,884 m hasta h = 4,758 m ) los niveles de reducción de la hum edad oscilan ent re 3,2 y 4,2 % . Sin em bargo, com o prom edio en los t aludes est e y oeste la hum edad se reduj o en 0,429 y 0,694 % , respectivam ente, y en la pila com plet a la reducción fue de 0,562 % .
34 35 36 37
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
H
u
m
eda
d de
l m
ate
ri
al
(%
)
Hora del día
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Figura 3 . Com portam iento de la distribución de hum edad de la m ena lat erít ica en el t alud oest e de la pila, desde la base hast a la superficie de secado.
Lo anterior sugiere que para reducir la hum edad entre 5 y 6 % en la pila com pleta, la m ism a se debe som eter al proceso de secado natural por un tiem po aproxim ado de 10 días si las condiciones m eteorológicas se m antienen sim ilares a las utilizadas en las sim ulaciones. De lo contrario puede que se requiera m ás o m enos tiem po, según sea el caso, para lograr los m ism os niveles de reducción de hum edad en el m aterial. Resultados sim ilares a los expuestos en este epígrafe han sidos obtenidos en la im plem entación práctica del proceso estudiado y en las pruebas experim entales de secado natural que constan en las investigaciones consultadas (Estenoz et al. 2007a y b; Retirado et al. 2007, 2009, 2011).
En las Figuras 4 y 5 se graficaron los valores de hum edad obt enidos para las capas de m at erial m ás cercanas a la superficie de la pila. En las figuras se aprecian reducciones not ables de hum edad ( m ayor de 1,5 y 3,5 % , según el t alud del que se t rat e) , hast a las capas que se encuent ran a una dist ancia de 29,1 y 87,4 cm de la superficie de los taludes est e y oeste, respectivam ent e.
31 32 33 34 35 36 37
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Humedad del
mater
ial
(%
)
Hora del día
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Figura 4 . Com portam iento de la hum edad en el talud este de la pila en función del espesor de secado.
Figura 5 . Com portam iento de la hum edad en el talud oeste de la pila en función del espesor de secado.
Los result ados ant eriores confirm an que durant e el proceso de secado nat ural de la m ena lat erít ica el t ransport e de la hum edad se produce por los efectos com binados de los gradientes de tem peratura y de hum edad. El prim ero act úa, fundam ent alm ent e, en las capas cercanas a la superficie de secado de la pila com o result ado del calent am ient o que experim ent a el m at erial en esa zona; el segundo act úa en las
34 35 36 37
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Hu
me
d
ad
d
el ma
te
ria
l (
%
)
Hora del día
h = 3,787 m h = 3,884 m h = 3,981 m h = 4,078 m h = 4,175 m h = 4,272 m h = 4,370 m h = 4,467 m h = 4,564 m h = 4,661 m h = 4,758 m
31 32 33 34 35 36 37
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Humedad del
mater
ial
(%
)
Hora del día
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capas int eriores com o consecuencia de la diferencia de concent ración de hum edad exist ent e ent re las diferent es zonas de la pila.
Est os com port am ient os sugieren que durant e el proceso de secado nat ural el m ecanism o de m ovim ient o de la hum edad es m ixt o e incluye los efect os com binados de la difusión de vapor debido a los gradient es de presión parcial del vapor, la difusión líquida debido a los gradientes de concent ración de hum edad y el m ovim ient o de líquido debido a las fuerzas capilares y gravitatorias.
5 . CON CLUSI ON ES
Los m odelos m atem áticos establecidos ( expresiones 26 y 32) perm iten calcular apropiadam ent e la dist ribución de hum edad que experim enta la m ena laterít ica durante el secado natural y posibilit an pronost icar el t iem po de secado al que debe som et erse el m at erial para reducir su hum edad desde un valor inicial conocido hast a ot ro valor final deseado. Los m ism os se obt ienen al resolver analít icam ent e la ecuación diferencial de int ercam bio de hum edad en un sólido poroso, para los problem as de contorno específicos del proceso investigado.
El m ovim ient o de la hum edad durant e el secado nat ural se produce, fundam ent alm ent e, por la acción de los gradient es de t em perat ura y de concent ración de hum edad que se generan durant e el proceso, y por las fuerzas capilares y gravitatorias que actúan sobre la colum na de líquido present e en la pila de m ena lat erít ica. Lo ant erior det erm inó el surgim ient o y predom inio de un m ecanism o m ixt o de t ransport e de la hum edad que incluye los efect os com binados de la difusión de vapor, la difusión líquida y el m ovim ient o de líquido.
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6 . REFEREN CI AS
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Yoalbys Retirado Mediaceja
Profesor Auxiliar. Máster en Electromecánica. Centro de Estudio de Energía y Tecnología Avanzada de Moa. Instituto Superior Minero Metalúrgico. Moa, Holguín, Cuba.
Arístides A. Legrá Lobaina
Profesor Auxiliar. Doctor en Ciencias Técnicas. Centro de Estudio de Energía y Tecnología Avanzada de Moa. Instituto Superior Minero Metalúrgico. Moa, Holguín, Cuba.
Marbelis Lamorú Urgelles
Profesora Asistente. Máster en Electromecánica. Departamento de Ingeniería Mecánica. Instituto Superior Minero Metalúrgico. Moa, Holguín, Cuba.
Enrique Torres Tamayo
Profesor Titular. Doctor en Ciencias Técnicas. Centro de Estudio de Energía y Tecnología Avanzada de Moa. Instituto Superior Minero Metalúrgico. Moa, Holguín, Cuba.
Héctor L. Laurencio Alfonso
Profesor Auxiliar. Doctor en Ciencias Técnicas. Departamento de Ingeniería Mecánica. Instituto Superior Minero Metalúrgico. Moa, Holguín, Cuba.
Ever Góngora Leyva
Profesor Auxiliar. Máster en Electromecánica. Centro de Estudio de Energía y Tecnología Avanzada de Moa. Instituto Superior Minero Metalúrgico. Moa, Holguín, Cuba.
