Análise probabilística de robustez de estruturas de madeira

(1)

Análise Probabilísti a de

Robustez de Estruturas de Madeira

Dissertaçãoparaobtenção do Graude Mestre

em Engenharia Civil- Perl Estruturas

Orientador: Prof. Doutor Luís ArmandoCanhoto Neves, FCT-UNL

Júri:

Presidente: Prof. DoutorJoãoRo hadeAlmeida

Arguente: Prof. DoutorJoãoBurgueteCardoso

Vogal: Prof. DoutorLuísArmandoCanhotoNeves

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Análise Probabilísti a de

Robustez de Estruturas de Madeira

Dissertaçãoparaobtenção do Graude Mestre

em Engenharia Civil- Perl Estruturas

Orientador: Prof. Doutor Luís ArmandoCanhoto Neves, FCT-UNL

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AFa uldadedeCiên iaseTe nologiaeaUniversidadeNovadeLisboatêmodireito,

per-pétuoesemlimitesgeográ os, dearquivar epubli arestadissertaçãoatravésdeexemplares

impressosreproduzidos empapelou de formadigital, ou por qualquer outro meio onhe ido

ouquevenha aserinventado, edeadivulgaratravésderepositórios ientí osedeadmitira

sua ópiaedistribuição omobje tivosedu a ionaisoudeinvestigação,não omer iais,desde

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Arealização deste trabalho, que on luía minha formação a adémi a, ontou om a

olabo-raçãode algumaspessoasque,dire taouindire tamente, tornarampossívelasua

on retiza-ção. Assim, omeço por exprimir o meu agrade imento e re onhe imento aos autores que

ontribuíram ommaiorrelevân ia.

Em primeiro lugar, ao Prof. Doutor Luís Neves, orientador da dissertação, sem o qual

este trabalho nun a teria sido possível, dado que foi o seu onhe imento e experiên ia que

fomentou omeuinteressepelostemasabordados. Bem omopelotempo quedespendeu om

asminhasdúvidase,sobretudo,o apoioeorientação onstanteaolongode todootrabalho.

Aos membros do júri pelo tempo que dedi aram a analisar o meu trabalho e pelos seus

onselhos,quepermitiram aprimorar umpou o maisotrabalho desenvolvido.

Finalmente,atodososmeusamigos, pelasin eraamizade,pela ompreensão emtodosos

momentosepeloestímuloaolongodetodootrabalhoe,ainda,àminhafamília,emparti ular

aosmeuspais,por todoo arinho eapoioquere ebi.

(10)

(11)

O presente trabalho visa a riação de um programa de ál ulo que permita estudar, numa

perspe tivaprobabilísti a, a segurança de sistemas estruturaispara madresde obertura em

madeira, om parti ular in idên ia sobrea análiseda robustez, deforma a avaliar oimpa to

na segurança estrutural de defeitos ou a ções inesperadas. Deste modo, o programa in lui

modelosdeanáliseestrutural,assentesnateoriadaabilidade, ombinados omométodode

elementosnitos, apazesde simular o omportamento de madresbidimensionais.

Parademonstrar aspoten ialidades eaadequação doprograma desenvolvido, analisou-se

a robustez de dois modelos de madres de madeira, om tipologia regular, dimensionadas de

a ordo omométodo dos oe ientespar iais des ritonoEuro ódigo5,espe i amentepara

odesenvolvimento destetrabalho.

Para o estudo da robustez onsiderou-se a o orrên ia de três situações a identais, sendo

estassimuladaspelaremoção,inten ional, deapoios. Arobustezdosreferidosmodelos

estru-turaisfoi, então, avaliada atravésda omparação entre osíndi es de abilidade dosmodelos

inta tos e destes onsiderando as diferentes situações a identais. Desta forma, foi possível

determinar quais as situações a identais que provo am maior redução da segurança global

daestrutura, assim, omoos sistemasestruturais maissus eptíveis a erros. Para a obtenção

dosváriosíndi esdeabilidadere orreu-seaométododesimulaçãodeMonteCarlo, também

inseridono programadesenvolvido.

Fez-se ainda uma análise de ris o para os dois modelos estruturais, tendo em onta as

onsequên ias asso iadas aos referidos defeitos, sendo que neste estudo a onsequên ia se

traduzno omprimento dafra ção de madre olapsada.

Palavras- have: Análise Probabilísti a, Fiabilidade,Método de MonteCarlo, Robustez

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(13)

Probabilisti Robustness Analysisof Wood Stru tures

The present work aims to reate a program that allows to study the safety of stru tural

systemsfortimberpurlins overage,withparti ularfo usontheanalysisofrobustnessinorder

to evaluate the impa tof thedefe ts on thestru tural or unexpe ted a tions se urity. The

program in ludes models of stru tural analysis, based on the theory of reliability, ombined

withnite element methodto simulate thebehaviorof bidimensional beams.

To demonstrate the potential and the adequation of thedeveloped program, is analyzed

therobustness of two models of wood beams with regular typology, spe i ally designed for

thiswork a ordingto thepartial oe ients methoddes ribed inEuro ode 5.

For the study of robustness,three a idental situations were onsidered, whi h are

sim-ulated by the intentional removal of supports. The stru tural robustness of these models

wasanalyzedby omparingthe reliabilityindexofinta tmodelswithmodels onsidering the

a idental situations. It waspossible to determine whi h a idental situations ause further

redu tion of the global se urity stru ture, as well aswhi h systems are more sus eptible to

stru tural errors. To al ulate the reliability index was made ofthe method of Monte Carlo

simulation thatwasalso in luded intheprogram developed.

Ariskanalysisfor thetwo stru turalmodelswasalsodone, takinginto onsideration the

onsequen esasso iated tothese defe ts,whi h wereree ted inthelengthof thefra tionof

purlin ollapsed.

Keywords: Probabilisti Analysis, Reability, Monte Carlo Method, Robustness and

(14)

(15)

Conteúdo vii

Lista de Figuras xi

Lista de Quadros xiii

1 Introdução 1

1.1 Motivaçãoe enquadramento . . . 1

1.2 Obje tivos . . . 1

1.3 Estruturação dadissertação . . . 2

1.4 Notações. . . 4

2 Análise da Segurança Estrutural 5 2.1 Enquadramento . . . 7

2.2 Breve abordagem aosmétodosde análisede segurança estrutural . . . 7

2.3 In ertezasna análiseestrutural . . . 9

2.4 Con eito deestado limite . . . 10

2.5 Análiseprobabilísti ada segurança . . . 13

2.5.1 Considerações ini iais . . . 13

2.5.2 Prin ípiosbási os deabilidade . . . 15

2.5.3 Formulação doíndi e de abilidade . . . 16

2.5.4 Fiabilidade desistemas de estruturas . . . 20

2.5.5 Método desimulação de MonteCarlo . . . 22

2.5.6 Método detransformação deCholesky . . . 24

2.6 Análisesemi-probabilísti a desegurança . . . 26

(16)

2.6.2 Cara terização dasa ções ombaseno Euro ódigo1 . . . 26

2.6.3 Cara terização dasresistên ias om baseno Euro ódigo 1 . . . 27

2.7 Robustez . . . 28

2.7.1 Considerações gerais . . . 28

2.7.2 Critérios de dimensionamento . . . 29

2.7.3 Quanti ação darobustez . . . 30

2.7.4 Análisee de isãoda robustez . . . 31

3 Cara terísti as da Madeira Estrutural 35 3.1 Enquadramento . . . 36

3.2 Des riçãogeral damadeira . . . 36

3.3 Defeitosdaspeçasestruturais de madeira . . . 38

3.4 Propriedades damadeira . . . 39

3.4.2 Propriedades físi as . . . 40

3.4.3 Propriedades me âni as . . . 41

3.5 Classi ação damadeira . . . 42

3.6 Produtosestruturais derivados demadeira . . . 43

3.6.1 Considerações gerais . . . 43

3.6.2 Elementos estruturaisemmadeira lamelada olada . . . 44

3.6.3 Normasapli áveis a lamelados olados . . . 45

4 Método dos Elementos Finitos 47 4.1 Enquadramento . . . 48

4.2 Deniçãodomodelodis retizado utilizado . . . 49

4.3 Casoparti ular: Vigabidimensional om rigidezà exão . . . 50

4.3.2 Matriz de rigidezdo elemento de viga . . . 51

4.3.3 Montagemda matriz derigidez global . . . 54

4.3.4 Introdução das ondições deapoio . . . 56

4.4 Faseamento da análiseestrutural . . . 57

5 Des rição de um Exemplo de Apli ação ao Programa Desenvolvido 59 5.1 Enquadramento . . . 61

5.2 Exposição doproblema. . . 61

5.3 Modelação estrutural do problema . . . 62

5.4 Dimensionamento damadre de a ordo om Euro ódigo 5. . . 63

5.5 Avaliaçãodo problemamedianteanáliseprobabilísti a . . . 68

5.5.1 Considerações geraisparaapli açãodo programa desenvolvido . . . . 68

(17)

5.5.3 Identi açãodasvariáveis aleatóriasdo problema . . . 69

5.5.4 Cara terização dasa çõeseresistên ia intervenientes . . . 70

5.5.5 Avaliaçãoda segurança estrutural . . . 72

6 Análise do Colapso Progressivo Apli ado ao Problemado Capítulo 5 77 6.1 Enquadramento . . . 78

6.2 Análiseda madreabordadano Capítulo 5 . . . 79

6.2.2 Avaliaçãoda segurança da madreao olapso . . . 81

6.2.3 Análiseda progressão do olapso do modelo ontínuo . . . 82

6.2.4 Análisedo ris o. . . 83

6.3 Implementação omputa ional. . . 88

6.4 Resultadose análisede resultados. . . 91

7 Con lusões e Sugestões para Desenvolvimentos Futuros 97 Bibliograa 101 A Modelação da A ção da Neve de a ordo om o Euro ódigo 1 105 B Funções de Distribuiçãode Probabilidade 109 B.1 Distribuição Normal,

N ∼ (µ, σ)

. . . 109

B.2 Distribuição Lognormal,

LN ∼ (λ, ξ)

. . . 109

B.3 Distribuição Gamma,

GM ∼ (a, b)

. . . 110

(18)

(19)

2.1 Forma geral deumafunção dedistribuição de probabilidade absoluta. . . 14

2.2 Zona defalha resultante da sobreposição dasfunçõesde densidade dasvariáveis. 16 2.3 Representaçãotridimensionaldafunçãoestadolimite(adaptadodeHenriques,1998). 18 2.4 Representaçãodo índi e de abilidade,

β

(adaptadode Faber,2007). . . 19

2.5 Sistema emsérie(Henriques, 1998).. . . 21

2.6 Sistemasemparalelo (Henriques, 1998). . . 21

2.7 Sistemasmistos (Henriques, 1998). . . 22

2.8 Apli ação dométodo deCholesky aduas funções dedistribuição Normal. . . 25

2.9 Representaçãotridimensional da apli açãodo métodode Cholesky. . . 25

2.10 Pista de i lismoSiemens Arena(Dinamar a), emJaneiro de2003. . . 28

2.11 Árvoredeeventosparaaquanti açãodarobustez(adaptadodeBakeretal.,2008). 31 3.1 Esquema ilustrativoda onstituiçãodo tron o deumaárvore(Fran o, 2008). . . 37

3.2 Relação tensão-deformação da madeirapara a situaçãode (a) tra ção e (b) om-pressão. . . 41

3.3 Esquema ilustrativo da uma madeira lamelada olada (adaptado de Porteous et al., 2007). . . 44

4.1 (a)Estrutura-tipodopresentetrabalhoe(b)Modeloilustrativoda orrespondente estrutura eindi ação domodelo dis retizadoda viga ontínua. . . 50

4.2 Representação do modelo estrutural da viga ontínua e parti ularização do ele-mento de viga (1). . . 52

4.3 Modelodo elemento de viga (1) omindi ação dasquatro omponentes de forças e dedeslo amentos. . . 52

(20)

4.5 Signi adofísi odosrestantes oe ientesda matrizderigidezdoelemento deviga. 53

4.6 Modelo estrutural da viga ontínua ilustrada na Figura 4.1(b) e enumeração dos

graus deliberdade. . . 54

5.1 Esquema ilustrativoda estrutura adoptadaneste trabalho. . . 62

5.2 Modelosestruturaisparaassituações: (a)madre ontínua(b)madresimplesmente apoiada. . . 63

5.3 Redis retizaçãodamadreparaassituações(a) ontínuae(b)simplesmenteapoiada. 69 5.4 Pro esso deobtenção doparâmetro

b

numa distribuiçãoGamma, sabendo ovalor ara terísti o

s

k

e o parâmetro

a

. . . 71

6.1 Modelosda madre paraassituações(a) ontínua e (b)simplesmenteapoiada. . . 79

6.2 Ilustraçãodastrêshipótesesde orrelaçãoadmitidaspara apropriedademe âni a do problema. . . 80

6.3 Situaçõesa identais onsideradas.. . . 82

6.4 Se ções ríti asdo modelo querepresenta a madre ontínua sujeitaà hipótese de falha1. . . 84

6.5 Árvoredeeventosparaasituaçãodeinexistên iade orrelaçãoentrepropriedades dasse ções. . . 86

6.6 Árvore de eventos para a situação de orrelação perfeita entre propriedades das se ções. . . 88

6.7 Fluxograma doprogramadesenvolvido. . . 91

A.1 Combinações dos oe ientes de formaa onsiderar(CEN, 2003a). . . 106

A.2 Valor

Z

,para aPenínsulaIbéri a (adaptadoCEN, 2003a). . . 108

(21)

2.1 Deniçãode lasses de onsequên ias (CEN,2001). . . 12

2.2 Valoresmínimosre omendadosparaoíndi edeabilidade,

β

,paraELU(adaptado de CEN, 2001). . . 20

2.3 Valoresmínimosparao índi e de abilidade,

β

,paraELU,numperíodo de refer-ên ia deumano (adaptado de JCSS, 2000). . . 20

2.4 Classesde duração dasa ções(CEN,2003b). . . 27

3.1 Propriedadesme âni as dolamelado oladohomogéneo24h(adaptadodeBran o, 2006). . . 45

4.1 Dimensões dassubmatrizes presentes no sistema de equações (4.6) (adaptado de Azevedo,2003). . . 56

5.1 Quanti ação admitidaparaasa çõespermanentes. . . 64

5.2 Quanti ação admitidaparaa a çãovariável. . . 65

5.3 Des riçãodasa ções onsideradas noproblema. . . 65

5.4 Valores do fa tor de modi ação da resistên ia,

k

mod

, para lamelados olados (adoptado de CEN, 2003b). . . 67

5.5 Dimensõesda madre es olhidasparaa veri ação da segurança, utilizadas poste-riormente numaanálise probabilísti a. . . 67

5.6 Es olhadostiposdedistribuiçõesdeprobabilidade utilizadaserespe tivasmédias e desvios padrão. . . 71

5.7 Veri açãoda segurança obtida pelo programa para osdoismodelos estruturais. 74 5.8 Valoresmínimosre omendadosparaoíndi edeabilidade,

β

,paraELU(adaptado de CEN, 2001). . . 74

(22)

6.1 Resultados daanálise probabilísti ado modelo ontínuo paraastrês hipótesesde

orrelação e astrêshipótesesde falha. . . 92

6.2 Resultados daanálise probabilísti arelativosao modelo simplesmente apoiado. . 92

6.3 Resultados daanálise probabilísti arelativosao modelo ontínuo. . . 94

6.4 Resultados daanálise probabilísti arelativosao modelo simplesmente apoiado. . 95

A.1 Coe ientes deforma da a çãode neve (CEN,2003a). . . 106

(23)

Introdução

1.1 Motivação e enquadramento

Nosúltimosanostemvindoamanifestar-seuma res ente ons ien ializaçãodaso iedadeem

questõesambientais e,emparti ular, omasustentabilidadedopatrimónio. Nesteaspe to,a

madeira omo material estruturalapresenta enormesvantagenssobre outrosmateriais. Além

deserummaterialnatural,é ompletamenterenovávelebastantedurável,podendosobreviver

muitosanos asonãosejasubmetida,frequentemente,agrandesvariaçõesdehumidade. Outra

dassuas vantagens prende-se om a reduzida energia despendida durante o seu pro esso de

produção.

No entanto, devido ao onjunto de a identes veri ados re entemente e à ompetição

de outros materiais mais inovadores, surge uma per epção generalizada de que a madeira

é um material om um elevado índi e de falên ia em serviço. Para reverter esta situação,

este trabalho surge, então, omo um pequeno ontributo, no sentido de promover amadeira

enquanto materialestrutural.

Este trabalho en ontra-se inserido no proje to de investigação COST E55

(Memoran-dumof Understanding), tendo em vista a análise da segurança de dois sistemas estruturais

de madres de madeira, em termos de robustez. Com efeito, a análise de robustez in ide na

avaliaçãodas onsequên iasasso iadasaumadadafalha,emtermosdeprobabilidadede

o or-rên iada mesma. Assim sendo, averi ação desegurança foirealizada medianteaapli ação

dométodode simulação dotipoMonteCarlo, assente emté ni asprobabilísti as.

1.2 Obje tivos

Neste ontexto, pro urou-se desenvolver um estudo de madres de madeira lamelada olada

quepermita ontribuirparaummelhoramentodosmodelosde veri açãodasegurançadeste

(24)

A prin ipal questão do trabalho prende-se om a utilização de métodos de abilidade

na avaliação da segurança estrutural de madres de madeira, om parti ular destaque para

possíveis situações a identais. Para tal, pro urou-se on eber um programa que onjugue

métodos de abilidade om método probabilísti o de elementos nitos, permitindo, assim,

analisaraprogressãodo olapsode adasituaçãoa idental. Destemodo,épossíveldeterminar

quais as situações a identais mais sus eptíveis à redução da segurança global das madres.

Para o ál ulo da probabilidade de falha e dos ustos asso iados a ada situação a idental

re orreu-seao método de simulação de Monte Carlo.

Esta análise atende, também, à variabilidade dos diversosparâmetros que inuen iam o

omportamento deste tipo de estrutura, assim omo asa ções apli adas. Esta variabilidade

en ontra-sedistribuídaaolongodaestrutura, sendo,porisso,modeladaatravésdeum ampo

aleatório. Oprogramadesenvolvidolimita-seaestruturasbidimensionais om omportamento

linear, om algumassimpli açõesqueserão debitadasmaisadiante nestetexto.

Outro tema que se pro urou abranger neste trabalho foi a avaliação de duas soluções

onstrutivaspara madresde obertura, utilizando,umavez mais, oprograma desenvolvido.

1.3 Estruturação da dissertação

Dadaa omplexidade de obje tivosdelineados anteriormente tornou-se ne essárioorganizar

otrabalhoemsete apítulos diferentes,fazendo-sede seguidaumades rição sumáriade ada

umdos apítulos.

Capítulo 1

Identi a-se a pertinên ia do estudo, os obje tivos, a estrutura da dissertação e faz-se,

ainda,uma referên iaàsnotações utilizadasneste texto.

Capítulo 2

Ini ia-se o apítulo om umaabordagem geral dosprin ipaismétodosdeanálise de

segu-rançaestrutural, om parti ular ênfase para osmétodossemi-probabilísti o e probabilísti o,

e lari am-seasin ertezase ris osasso iadosa adamétodo. Sãoreferidos on eitos

proba-bilísti osquesejulgamrelevantesparaaapli açãodaabordagemprobabilísti a. Des reve-se,

ainda, o signi ado de índi e de abilidade e a té ni a de simulação baseada no método de

Monte Carlo, realçandoassuas prin ipaisvantagens e desvantagens.

Con lui-seeste apítulo omaintrodução dateoriada robustez,doseuobje tivo e

quan-ti ação. É,ainda,abordadaateoriadade isãodemodoaforne erlinhasdeorientaçãonum

(25)

Capítulo 3

Apresenta-seprimeiramenteumades riçãogeraldas ara terísti asdamadeira,

nomeada-mente a estrutura interna, as propriedades estruturais, assim omo as relações de

interde-pendên ia dessaspropriedades om as a ções e, ainda, osdefeitos da mesma. Este apítulo

termina omumaanálisedasvantagenselimitaçõesdautilizaçãodamadeiralamelada olada

omoelemento estrutural, bem omoasnormas a queestão sujeitas.

Capítulo 4

Faz-se referên ia ao on eitode dis retização,à formulação bási a de elementos nitos,e

parti ulariza-se a des rição da metodologia utilizada para a quanti ação de esforços,

medi-ante uma análise elásti a linear de barras bidimensionais om apenas rigidez à exão,

apli- andoométododosdeslo amentos. Sãointroduzidosdeforma on isaosaspe tos

fundamen-tais rela ionados om assimpli ações onsideradas na des rição da geometria, bem omoa

onsideração dasleis fundamentais, nomeadamente o equilíbrio de forças,a ompatibilidade

dedeslo amentos e a ompatibilidade domaterial.

Capítulo 5

Este apítuloapresentaumaanáliseprobabilísti adasegurançadeumamadre omquatro

vãos, baseada numa análise elásti a linear, que utiliza dois modelos de sistemas estruturais:

barras ontínuas e barras simplesmente apoiadas. As prin ipais a ções a que a madre está

sujeita, om espe ial destaque para a a ção da neve, o peso próprio dos elementos

estrutu-rais de madeira e outros inerentes à obertura, são modelados segundo o ódigo modelo do

JCSS(2000). A propriedadede estudo damadeira lamelada olada, quesetraduzna tensão

resistente àexão éanalisada de modosemelhante. Esta abordagem permitiu,assim,in luir

asvárias in ertezas ditadas no apítulo2 segundovariáveis aleatórias bási asdo problema.

Para a análise do omportamento estrutural utilizou-se o programa desenvolvido, o qual

integraométododoselementosnitos, omasparti ularidadesdes ritasno apítuloanterior,

om o método de simulação de Monte Carlo. Assim, o programa permite analisar o

om-portamento estrutural onsiderando, não só as veri ações de segurança pretendidas, omo

a importân ia do tipo de ligações onsideradas. Este método de simulação tem sido muito

usado nosúltimos anos, em on ordân ia om o aumento da a essibilidade a omputadores

adavez mais potentes.

Todosos omentários que sejulgam oportunos em ada fasede resultados são, também,

(26)

Capítulo 6

Este apítulo in ide naavaliação do olapso progressivodosdois modelos estruturais

uti-lizados no apítulo ante edente, numa perspe tiva probabilísti a, aquando da existên ia de

imperfeições oufalhas lo alizadas,sendo estes modelados por remoção de apoios estruturais

da madre. Faz-se ainda uma avaliação da robustez destes modelos estruturais do ponto de

vistade ris o, através dos on eitos de probabilidade de falha e do usto asso iado des ritos

neste trabalho. Todo o tratamento de dados é realizado, uma vez mais, om o auxílio do

programadesenvolvido.

Dado que a madre a analisar orresponde à des rita no Capítulo 5, as de isões sobre

o valor das a ções permanentes e variável prevale em, no entanto o valor da propriedade

resistenteintrínse aaesteproblemafoiajustadoasituaçõesa identais. Apresenta-se,ainda,o

pro edimentousadoparaimplementaromodelodeanálisedamadrenummodelodeelementos

nitos.

Capítulo 7

Porm,neste apítuloapresentam-sesumariamenteas on lusõesmaisimportantes

revis-tadasnotrabalhoeindi am-sealgumaspropostasparadesenvolvimentosfuturos. Otrabalho

termina omasreferên iasbibliográ aseosanexos,emparti ularoAnexoA,quedes rimina

ospretextosdasde isõestomadasnopro edimento de ál uloda a çãovariáveldoproblema

destetrabalho, eo Anexo Cqueexpõe omodo de utilização doprograma desenvolvido.

1.4 Notações

Dadaa variedade de temas que sãoabordados nesta dissertação, o mesmo símbolopode ter

diferentes signi ados,deste modo optou-sepor denirossímbolos usadosem ada apítulo,

sendo o seu signi ado redenido sempre que lhe seja atribuído diferente sentido.

Relati-vamente às matrizes e aos ve tores, estes são identi ados por letras maiús ulas dentro de

parêntesisre tose havetas, respe tivamente.

Abreviaturas:

[CEN (2001)℄Euro ódigo0

[CEN (2003a)℄Euro ódigo1

[CEN (2003b)℄Euro ódigo5

Sigla:

(27)

Análise da Segurança Estrutural

Lista de símbolos

Letras maiús ulas latinas

C

usto

C

Dir

usto dire to

C

Ind

ustoindire to

CoV [X]

oe iente devariação da variávelaleatória

X

D

domínio dafalha

E [X]

valoresperado

I

R

índi e de robustez

L

triângulode Cholesky

N

número desimulações

R

resistên ia

R

d

valorde ál uloda resistên ia

R

k

valor ara terísti oda resistên ia

R

Dir

ris odire to

R

Ind

ris oindire to

S

efeito dasa ções

S

d

valor de ál ulodaa ção

S

k

valor ara terísti o daa ção

V

índi e devulnerabilidade

(28)

X

ve tor dasvariáveis bási as

Z

função margemde segurança

Letras minús ulas latinas

c

nívelde onançada estimativada probabilidade de falha

cor(a

i

, a

j

)

oe ientede orrelação entre ovalor

a

i

e o valor

a

j

f

R

função densidade de probabilidade de

R

f

S

função densidade deprobabilidade de

S

f

R,S

função densidade de probabilidade onjunta

f

X

(x)

função dedistribuição de probabilidade davariávelaleatória

X

g(.)

função de estadolimite

k

h

fa tor deforma

k

mod

fa torde modi ação da resistên ia

n

f

número defalhas

p(E)

probabilidade de exposição aumadada o orrên ia

p(D)

probabilidade dedanosrelativos aumadada o orrên ia

p

f

probabilidade de falha

p

f,i

probabilidade de falhade umelemento

i

p

f,sist

probabilidade de falhade umsistemaestrutural

r

d

resistên ia da estruturadani ada

r

0

resistên ia daestrutura inta ta

Letras gregas maiús ulas

Φ(.)

função de distribuição dalei Normalreduzida

Letras gregas minús ulas

β

índi ede abilidade

β

i

índi e deabilidade do sistemaestrutural inta to

β

d

índi e de abilidadedo sistemaestrutural dani ado

β

r

índi e de abilidade dosistemadesprovido de robustez

γ

R

oe iente par ialde segurança asso iadoàsresistên ias

γ

S

oe iente par ialde segurança asso iadoàsa ções

µ

X

média da variável aleatória

X

ρ

onsequên ias defalha

(29)

2.1 Enquadramento

Aavaliaçãoda segurança deestruturas temvindo aevoluir ao longodostemposini iando-se

om as formulações empíri as, onde muitas dasde isõesdependiam da experiên ia pessoal,

daintuição edo juízo ríti o,atéàsvariadasapli açõesde métodosde abilidadeestrutural,

omanalidade detornar a avaliaçãoestrutural maisrigorosa e onsistente.

Todo o pro esso de exe ução de uma estrutura ontempla um grande onjunto de

fa -tores, os quais não são possíveis onhe er na totalidade, podendo apenas ser espe ulados.

Estain apa idade gera, assim,in ertezas no estudo da segurança estrutural, onde osvalores

onsiderados omodeterminísti osou de ál ulosurgem omovaloresnão determinísti os.

Asso iadaaestanoçãodeinsu iên iasurgem ritériosdesegurança omprin ípios

prob-abilísti os,ondeseponderaavariabilidadedosfa toresintervenientesnoproblema (variáveis

não determinísti as) mediante a utilização de distribuição de probabilidade. A segurança é,

então, analisada om base no on eito de probabilidade de falha para os eventuais estados

limites,ou seja,aprobabilidade daestruturanão apresentarum omportamento satisfatório.

Neste ontexto,passaaexistiro on eitodeabilidadeestrutural,quedenea apa idade

de umaestrutura para exer er osrequisitos espe i ados paraa qual foi on ebida, durante

a sua vida útil. De a ordo om a a tual regulamentação, entende-se por vida útil de uma

estrutura,operíododetempoa eitávelparaautilizaçãodareferidaestrutura, dea ordo om

osns estabele idos pelo proje tista, sem existir ne essidade de trabalhos que não sejam os

demanutenção.

Dado que este trabalho trata de avaliação da segurança baseada em modelos de análise

linearelásti aatravésdeumaabordagemprobabilísti a,optou-seporumades riçãodetalhada

de ertos on eitoseté ni asprobabilísti as,deformaafa ilitara ompreensãodesteassunto.

Finalmente, rera-se que o presente trabalho visa a análise da segurança de um sistema

estrutural, ou seja, de um onjunto de elementos interligados, julgando-se por issooportuno

a realização, também, de um estudo da robustez do sistema estrutural, através do on eito

deabilidade estrutural.

2.2 Breve abordagem aos métodos de análise de segurança

estrutural

De a ordo om os pressupostos anteriormente des ritos, na avaliação da segurança de uma

estruturaexisteminúmerasin ertezas asso iadas àsvariáveis queintervêm na ara terização

dasa çõese dasresistên ias, sendo quemuitas destas não são onhe idas nasua totalidade.

Os métodos de veri ação da segurança visam, então, estimar um valor paraessas variáveis

(30)

As in ertezas asso iadas às variáveis intervenientes e a forma omo elas ondi ionam o

omportamento da estrutura são ru iais para a determinação da probabilidade de falha.

Dependendo do método es olhido para o estudo da análise de segurança, as variáveis são

abordadas de diferentes formas, podendo ir desde uma análise puramente determinísti a a

umaanálise puramente probabilísti a, ontudo os métodos queapresentam maior relevân ia

paraa a tual engenhariasãoosmétodossemi-probabilísti oe probabilísti o.

Os métodosde análise de segurança estrutural podem dividir-se, então, em quatro níveis

(CruzeNeves,2001):

- Nível0

Corresponde aanálises puramente determinísti asnaqual asvariáveis obede em a

val-ores estritamentedeterminísti os, sendoasin ertezas ponderadas no ál uloatravésde

um oe iente de segurança global. Destaforma, o oe iente visa representar

simul-taneamente a variabilidade dasa ções e dasresistên ias, tornando, por isso, o método

um pou o desajustado. Usualmente, este oe iente global é estimado através de

ex-periên ias passadasou daintuição do engenheirofa eao problemaem ausa;

- Nível1

Diz respeito a métodos titulados de semi-probabilísti os. A variabilidade dasa çõese

das resistên ias é ontabilizada por meio de valores representativos (nominais ou

ar-a terísti os) afe tadospor oe ientes par iaisde segurança. Osvalores ara terísti os

são denidos a partir de estudo estatísti o da distribuição das variáveis bási as

(nor-malmente,valoresmédios edesvios padrão);

- Nível2

Refere-seaosmétodosprobabilísti osque ara terizamasvariáveisbási asqueintervêm

no pro esso, através de medidas estatísti as, as quais des revem a tendên ia entral

(geralmente osvaloresmédios) e asuadispersão (e.g. variân ia), sendoa relaçãoentre

as variáveis medidas pela ovariân ia. No ál ulo da probabilidade de falha

re orre-se a hipóteses simpli adas, nomeadamente na denição de umafunção estado limite.

Nestes métodos, a medida de segurança empreguedesigna-se por índi e de abilidade,

que estádire tamente rela ionado om aprobabilidade de falha;

- Nível3

Corresponde a métodos puramente probabilísti os baseados em té ni as que têm em

onta a distribuição onjunta de todas as variáveis bási as. As variáveis aleatórias

re-sultamdedistribuiçõesestatísti as onhe idasatravésdaobservação. Aapli açãodeste

(31)

ne essi-dadedere orreramétodos omputa ionaispesados. Destaforma,estemétodotorna-se

viável somentepara asos muito simples, limitando,assim,a suaapli ação.

Des rição geral dos métodos utilizados

Método semi-probabilísti o

Como dito anteriormente, o método semi-probabilísti o éo mais omum na orrente

reg-ulamentação interna ional, sendo por onsequên ia o método om maior apli ação. É um

método om rigor satisfatório e relativamente simples, não exigindo grande re olha de

in-formação. No entanto, a apli ação deste método pode tornar-se omplexa, nomeadamente

sempre que se estude um omportamento não-linear ou uma estrutura já existente. Nestes

asosopta-seporaumentara margemde segurança,de modoa evitarsituaçõesindesejáveis.

Resumidamente, este método majora o valor ara terísti o das a ções e minora o valor

ara terísti o das resistên ias, obtendo um valor de ál ulo para as a ções e outro para as

resistên ias. A segurança é, então, averiguada pela omparação dosreferidos valores de

ál- ulo,sendo que, paraumnível de abilidadeadequado, seovalor de ál ulo dasresistên ias

superarou igualarovalor de ál ulo dasa çõesasegurança está assegurada.

Método probabilísti o

Ométodo probabilísti o dene que umaestrutura deve resistir om segurança su iente

para ada estado limite- Estado Limite Último ede Utilização - e,ainda, estabele e valores

deabilidade, tendoem onta as onsequên ias previstas paraoseunão umprimento.

Estetipodemétododeneasa çõeseosmateriaisestruturaismediantevariáveisaleatórias.

Para tal, onsideram-se asdistribuições reais daspropriedades me âni as dosmateriais, das

a ções e dos seus efeitos, bem omo de todos os parâmetros que se apresentem relevantes.

Umavez determinadasasa çõesea resposta orrespondente, pro ede-seentãoao ál uloda

probabilidade de falha do sistema. O intervalo de valoresa eitáveis para a probabilidade de

falhadepende do tipo de estrutura, bem omo das onsequên ias defalha.

2.3 In ertezas na análise estrutural

Como referido anteriormente, devido aos avanços que se têm registado na engenharia, os

sistemas estruturais são ada vez mais omplexos e om um elevado número de parâmetros

envolvidos, não sendo possível onhe er om rigor todos estes parâmetros. Torna-se, por

isso, impossível garantir a segurança absoluta de um sistema estrutural. Esta se ção visa,

assim, es lare er as prin ipais fontes de in erteza, que intervêm na análise de segurança e

que ondi ionam o ál ulo do omportamento das estruturas, de forma a ompreender os

(32)

Deumaformageral,asfontesdein ertezaemproblemasdeengenhariaestruturalquetêm

sido dis utidas e estudadas por diversos autores (Henriques (1998) e Faber (2007)), podem

seragrupadas daseguinteforma:

- In erteza físi a

Este grupo está asso iado à impossibilidade de prever a variabilidade e

simultanei-dade das a ções que a tuam sobre uma estrutura, assim omo a diversi ação das

propriedades dos materiais, da geometria dos elementos, entre outros. Este tipo de

in erteza pode ser estimado através do ontrolo de qualidade e de bases de dados de

dimensõesadequadas;

- In erteza na modelação

De orre da utilização de modelos om algumas simpli ações teóri as, nomeadamente

na onsideração das a ções e dos seus efeitos e, ainda, no omportamento efe tivo da

estrutura. Este tipo de in erteza pode ser onsiderado através de uma variável que

simula arelaçãoentrea verdadeira respostae a respostaestimada pelomodelo;

- In erteza estatísti a

Este tipo de in erteza deriva da restrição da quantidade de dados disponíveis para as

estimativas dos parâmetros que ara terizam os modelos probabilísti os. A in erteza

estatísti a pode serminimizada obtendoummaior númerode informaçõese utilizando

té ni asdeinferên iaestatísti a omo,porexemplo,utilizaçãodefunçõesdedistribuição

de probabilidade;

Algunsautores a res entam, ainda,uma quarta fontede in erteza,

- In erteza devida a fa toreshumanos

Este tipo de in erteza deve-se ao envolvimento humano nas várias etapas de exe ução

de umaestrutura, desdeo pro esso de do umentação, aodimensionamento, onstrução

e utilizaçãoda estrutura. Devidoàsuaprópria natureza, o onhe imento destetipode

in erteza é limitadosendo, portanto,difí il de quanti ar.

2.4 Con eito de estado limite

Asegurançaestruturaltememvista,essen ialmente,areduçãodoris ode olapsoestrutural,

bem omoumadequadofun ionamentodaestruturaaolongodasuavidaútil, omomínimo

ustopossível. O on eitode estado limitesurge, então, omo medida de separação entre as

eventuaissituaçõesdesejáveis e asindesejáveis para asestruturas.

Assituaçõesindesejáveispodemresultarnumadiminuiçãoda apa idadede umprimento

das funções da estrutura para a qual foi on ebida ou, até mesmo, num olapso. Estas

(33)

sendoquea ausadoreferidoa onte imentopodeserreversívelouirreversível(Euro ódigo0).

No aso da ausa serreversível, o dano existente naestrutura apenaspermane eráenquanto

a ausa queo provo ou esteja presentee no aso da ausa serirreversível, odano provo ado

permane erá atéquea estruturaseja reparada.

Estados limitesde a ordo om aregulamentação Europeia

Os regulamentos em vigor em Portugal separam os estados limites em dois níveis de

exigên ia:

- Estado Limite deUtilização (ELUt)

Dene-se omoo estado que orresponde às ondições para além das quais os requisitos

de utilizações espe í as para uma estrutura, ou parte dela, deixam de ser satisfeitos

(CEN, 2001). Na práti a, este estado está asso iado a danos estruturais que, apenas,

reduzem a apa idade de fun ionamento ou a durabilidade paraa qual a estrutura foi

on ebida, podendo,ainda, afe tara suaestéti a. Estes danosnão resultam emperdas

humanas,mas,de ummodo geral,emperdase onómi as;

- Estado Limite Último(ELU)

De a ordo om o Euro ódigo 0 manifesta o estado asso iado ao olapso ou a outras

formas semelhantes de ruína estrutural. Este estado está, assim,asso iado a possíveis

enáriosde olapsototaloupar ialdaestrutura, omperdashumanasoumateriais om

grandeexpressão. O olapso advém, por exemplo,deperdadeequilíbrio estáti o,falha

da fundação, falhade elementos estruturais devido a deformações ex essivasou fadiga

dosmateriais.

Independentemente do método de análise de segurança es olhido, o nível de segurança

mínimoa eitável, quetraduzo valor máximoadmissívelda probabilidadede falhapara ada

estadolimite, não deve ser igual para todasasestruturas e emtodas assituações. Assim,o

nívelde segurançadepende domaquesedestinaaestrutura, bem omodas onsequên ias

asso iadas a um enário defalha oudo períodode vida útil quea mesmaapresenta.

Níveis de segurança mínimos a eitáveis

Euro ódigo0

Segundo osprin ípiosexpostos anteriormente, oEuro ódigo0 quanti adiferentes níveis

desegurança paraaanálisedosEstadosLimitesÚltimos, onsoanteas onsequên iasem aso

defalha,designadamenteos ustosdeumapossívelreparaçãoou,mesmo,deumare onstrução

total ou par ial e os fa tores políti o-so iais. Este regulamento sugere, assim, a adopção de

(34)

es olhadograudeabilidade mínimoemfunçãodafrequên ia deutilizaçãoedomodo omo

aestrutura atingea falha.

Quadro 2.1: Deniçãode lasses de onsequên ias(CEN, 2001).

Classe de

Des rição

Exemplos de edifí iose

onsequên ia de obras deengenharia ivil

CC3

Consequên ia elevada emtermos Ban adas, edifí iospúbli osem

de perdas devidas humanas;ou que as onsequên iasde olapso

onsequên ias e onómi as,so iais sãoelevadas(por exemplo,uma

ou ambientais muitoimportantes. sala de on ertos).

CC2

Consequên ia média emtermosde Edifí ios de habitação e de

es ri-perdas de vidashumanas; onse- tórios, edifí iospúbli os emque

quên ias e onómi as,so iaisou as onsequên ias do olapso são

ambientais medianamente impor- médias (porexemplo, umedifí io

tantes. de es ritórios).

CC1

Consequên ia baixaem termosde Edifí ios agrí olas normalmente

perdas de vidashumanas; e não o upadospermanentemente

onsequên ias e onómi as,so iais por pessoas(por exemplo,

arma-ou ambientais pou o importantes zéns eestufas).

ou desprezáveis.

CódigomodeloJCSS

ApesardoEuro ódigopermitirautilizaçãodediferentesníveisdesegurançaparaaanálise

dosEstados Limites Últimos, onsoanteo aso em questão, não apresenta qualquer método

semi-probabilísti o que quantique estes diferentes níveis de abilidade. O ódigo modelo

Joint Committee on Stru tural Safety, JCSS (2000), permite essa utilização denindo os

níveis de segurança mínimos, em função das onsequên ias da falha e dos ustosasso iados

omoaumento desegurança.

Relativamente às onsequên ias da falha,

ρ

,estassãodeterminadas pelarelação entre os ustostotais, que ontemplam os ustosda onstrução somados aos ustos de umaeventual

falha,eos ustosda onstrução. Destemodo,o ódigomodeloJCSS(2000)deneasseguintes

lassesde onsequên ias:

- Classe 1: Consequên iasreduzidas (

ρ < 2

)

Apresenta onsequên iasbaixasrelativamenteaperdashumanase onsequên ias

e onómi- as, so iaisou ambientais pou o importantes ou desprezáveis. Esta lasseabrange,

so-bretudo, estruturas de ará ter agrí ola normalmente não o upadas permanentemente

(35)

- Classe 2: Consequên iasmoderadas(

2 < ρ < 5

)

Está asso iada a onsequên ias médias ao nível de perdas humanas e onsequên ias

e onómi as, so iaisouambientais medianamente importantes. Esta lassein luí,

essen- ialmente, edifí ios de habitação, es ritórios e indústrias em que as onsequên ias do

olapso são médias;

- Classe 3: Consequên iasgraves (

ρ > 5

)

Cara teriza-se por onsequên ias elevadasno que to a aperdas humanas e

onsequên- ias e onómi as, so iais ou ambientais muito signi ativas. Dentro desta lasse estão

ompreendidos oshospitais,grandespontese salasde espe tá ulos,nosquaisas

onse-quên ias de olapso sãoelevadas.

Em situaçõesdeestruturas espe iais omo,por exemplo,barragensou entraisnu leares,

é onveniente realizarpréviamenteumestudodetalhado dos ustos/benefí ios,vistoqueuma

eventualfalhapodetraduzir-se em onsequên iasextremas.

Quanto aos ustos inerentes ao aumento da segurança, estes estão dire tamente

rela- ionados om diversos fa tores omo as in ertezas in luídas no ál ulodas variáveis bási as,

nomeadamente, na es olha apropriada do oe iente de variação, no ontrolo de qualidade

paraestruturas onstruídasderaizou,atémesmo, nasinspe çõesemestruturasjáexistentes,

entre outros fa tores. Posto isto, o mesmo ódigo modelo estabele e, então, três lasses por

ordemde res ente de ustos: ClasseA,ClasseBeClasse C.Contudo, aúni a lassede usto

que é denida om maior detalhe orresponde à Classe B, a qual traduz as a ções e as

re-sistên ias omuma variabilidade média - oe ientes de variação ompreendidos entre 0,1e

0,3- para umperíodo de 50 anos, ando por quanti ar os intervalos a onsiderar para as

restantes lasses de usto.

2.5 Análise probabilísti a da segurança

2.5.1 Considerações ini iais

Osmétodos probabilísti os paraa avaliação da segurança estrutural in idem essen ialmente

naestimativadaprobabilidadedefalhadaestrutura,tendoem onsideraçãoasreais ondições

aque a estruturaestá sujeita, utilizando paraissoté ni as baseadas na teoriada abilidade

estrutural.

Julga-se,por isso, importanteter presente alguns on eitos de teoria dasprobabilidades,

visto que as a ções in identes e a resistên ia do material da estrutura são modeladas omo

variáveis aleatórias, de a ordo om as reais distribuições das mesmas. Deste modo, as

in- ertezasenun iadas na Se ção2.3 são então ontabilizadas nasvariáveis aleatóriaspor meio

(36)

omliteratura espe ializada. Posto isto, nasse çõessubsequentes sãoapresentados, de uma

formageneralizada, algunsdos on eitos probabilísti os dateoria daabilidade estrutural.

Cara terização dasvariáveisaleatórias

Naanálisedasegurançaestrutural,o onjuntodevariáveisabrangevariáveis

determinísti- asealeatórias,podendoestasúltimasserdotipodis retoou ontínuo. Nopresentetrabalho

asvariáveisaleatóriassãoapenasdotipo ontínuas,namedidaemqueosparâmetros

envolvi-dosno problema sãode natureza ontínua, nomeadamente forças e tensões. Estas variáveis

aleatóriassãodenidaspormedidasestatísti as, usualmente onhe idaspormédiasedesvios

padrão,e por funçõesde distribuição, podendo tomar qualquer valor dentro do intervalo em

queestãodenidas.

Existem dois tipos de funções de distribuição de variáveis aleatórias: as absolutas e as

a umuladas. Contudo, neste trabalho utilizou-se somenteo primeiro tipo dedistribuiçõesde

probabilidade,sendo, porisso, aúni a distribuiçãodes rita nesta se ção.

Afunção dedistribuiçãoabsolutapode serobtidadividindooeixo dasab issasemvários

intervalosinnitesimais,assim,aprobabilidadedeumdadoa onte imento

X

estarnumdado intervaloinnitesimal orrespondeàárea ompreendidapeloreferidointervalo,ouseja,àárea

restringidapeloslimitesdoseixos

x

e

x+dx

dasab issasepelaprópriafunçãodedistribuição. Traduzindomatemati amente,adistribuiçãodeprobabilidadeabsolutaobtém-sepelaseguinte

equação:

P (x ≤ X ≤ x + dx) =

Z

x+dx

x

f

X

(x)dx

(2.1)

onde

x

e

x + dx

são os pontos que delimitam o intervalo innitesimal. Dado que a função de distribuição de probabilidade,

f

X

(x)

, assume valores iguais ou superiores a zero, entãoa probabilidade deumdado a onte imento

X

o orrer nun a assumevaloresnegativos.

Figura2.1: Forma geralde umafunção de distribuição deprobabilidade absoluta.

Outra propriedade deste tipo de função de distribuição de probabilidade é a

impossibil-idade de tomar valores superiores à unidade, ou seja, a probabilidade de qualquer

a onte -imento a restringida a valores entre zero e a unidade, independentemente do intervalo de

integração. A Figura 2.1ilustra, de uma forma genéri a, umadistribuição de probabilidade

(37)

Parâmetros dasdistribuiçõesde probabilidade

Geralmente as variáveis aleatórias são des ritas pela onguração da sua função de

dis-tribuição-lei deprobabilidade -epelosseus parâmetros. Osparâmetrosmais orrentemente

utilizadossãoamédiaeodesviopadrão. Amédiadeumadadavariável

X

,

µ

X

,também on-he idapor valoresperado,

E[X]

, des reve a tendên ia entral da distribuição dessa variável, oseuvaloré determinado através daseguinteequação:

µ

X

= E[X] =

Z

+∞

−∞

xf

X

(x)dx

(2.2)

Relativamente à variân ia da mesma variável,

V ar[X]

,esta traduz a dispersão em torno damédia e éexpressa pelaseguinteequação:

V ar[X] = σ

_X

2 =

Z

+∞

−∞

(x − µ

X

)

2 f

X

(x)dx

(2.3)

Odesviopadrãode umadada variável aleatória

X

,

σ

X

,que orresponde àraiz quadrada positivadavariân ia, éumparâmetro ombastante interesse umavezquepossibilita a

om-paraçãodire tadesta medida oma variável

X

,dado queasunidades são ompatíveis. Este parâmetropermite,ainda,denirum oe ientedevariação adimensional,de formaaavaliar

a dispersão relativa da variável

X

, denominado de oe iente de variação,

CoV [X]

, pelo quo iente entreo desviopadrãoe a média davariável

X

:

CoV [X] =

σ

X

µ

X

(2.4)

Note-se que estamedida estatísti a assume parti ular importân ia no presentetrabalho,

na medida emque paraas a ções e as resistên ias se admitiu que o seu valor é onstante e

independente dovalor médio.

As funções de distribuição de probabilidade utilizadas neste trabalho en ontram-se

de-s riminadasno AnexoB.

2.5.2 Prin ípios bási os de abilidade

Existemváriasdeniçõespossíveisparaotermoabilidade. Aa tualregulamentaçãoforne e

umadeniçãoque orrespondeaoqueéa eiteemmuitospaísesEuropeus,queselê: abilidade

omouma medidada apa idade daestrutura para desempenhar devidamente asfunçõespara

asquais foi proje tada, aolongo da suavida útil.

Essamedida traduz-sena probabilidadede nãoviolação dosestadoslimites, estando,por

isso,intimamente ligada àdeterminaçãodeprobabilidade defalhaestruturalou,

(38)

Note-se que, ex luindo o aso de olapso por fadiga, o olapso de uma estrutura está,

normalmente, asso iadoà o orrên ia deumvalor extraordinariamente elevado dasa çõesou

ao fa to da estrutura apresentar uma resistên ia anormalmente baixa, situações estas que

resultam numa probabilidade de o orrên ia baixa. Assim, a abilidade obriga,

ne essaria-mente,à onsideraçãode in ertezasasso iadasàsa çõese resistên iaatravésdedistribuições

deprobabilidade.

Neste ontexto, anoçãode abilidadetraduz-senumaqualidadeintrínse ade uma

estru-tura, devendo esta ser tida em onta não apenas na fasede proje to, mas, também, na fase

de onstrução, armazenamento de materiais eutilização ao longo davida útil.

Aavaliaçãodaabilidade estrutural envolve, essen ialmente, osseguintesaspe tos:

iden-ti açãodos possíveis enários de falhas, avaliação das probabilidades de falha asso iadas a

adaumdesses enários,asso iaçãodetodosos enáriospossíveisdefalhae,porm,avaliação

daabilidade estrutural (Faber, 2007).

2.5.3 Formulação do índi e de abilidade

A teoria da abilidade pode ser expressa no traçado da função densidade de probabilidade

querepresenta asresistên ias,

f

R

,edafunçãodensidade deprobabilidadequetraduzoefeito das a ções,

f

S

. A inter epção destas duas funções é instituída de zona de falha (Caldeira, 2007).

A Figura 2.2 identi a a zona de falha, ompreendida pela sobreposição da função de

densidade deprobabilidade dasa ções, urva

S

,e dasresistên ias, urva

R

.

Figura2.2: Zonade falharesultante dasobreposição dasfunçõesde densidade dasvariáveis.

Otraçadodestasfunçõesdensidade,

f

R

e

f

S

,estáintimamenteligado aosparâmetros das distribuições de probabilidade des ritos anteriormente, ou seja, om a lei de distribuição, a

(39)

Probabilidade de falha

Aprobabilidadedefalha,

p

f

,resultantedaapli açãodeumproblemabási odeabilidade estrutural podeser formulada atravésda seguinteequação:

p

f

= p(R ≤ S)

(2.5)

onde

R

é a variável aleatória que ara teriza as resistên ias e

S

é a variável aleatória que traduzo efeitodasa ções,des ritaspelas respe tivasfunçõesdensidade de probabilidade

f

R

e

f

S

,respe tivamente.

A diferença entre estas duas variáveis, titulada de margem de segurança,

Z

, permite quanti ar amargem desegurança daestrutura:

Z = R − S

(2.6)

Como é presumível, a falha o orre sempre que a margem de segurança assume valores

inferioresa zero, ou seja, sempreque a resistên ia do sistemaestrutural,

R

,é menor do que asa çõesa tuantes,

S

.

Nesta perspe tiva, a probabilidade de falha pode ser al ulada pelo integral da função

densidadede probabilidade onjuntadasvariáveis aleatórias

R

e

S

,

f

R,S

,dentrododomínio defalha

D = {R, S : G(R, S) ≤ 0}

:

p

f

= p(R ≤ S) =

Z

D

f

R,S

(r, s)drds

(2.7)

Usualmente onsidera-se que as variáveis aleatórias,

R

e

S

, são estatisti amente inde-pendentes entre si, assim,a função densidade de probabilidade onjunta expostana equação

(2.7)podesersubstituídapeloprodutodasrespe tivasfunçõesdedensidadedeprobabilidade

marginais(Henriques,1998):

p

f

= p(R ≤ S) =

Z

D

f

R

(r)f

S

(s)drds

(2.8)

AFigura2.3pretenderepresentartridimensionalmenteumasituaçãogenéri aqueenvolve

asfunções densidade

f

R

e

f

S

para as variáveis

R

e

S

, respe tivamente, em onjunto om a funçãodensidade deprobabilidade onjunta

f

R,S

. Amesmaguramostra,ainda,os on eitos dezona defalha, zona desegurança, função estadolimitee funçãode densidade de

probabil-idade onjunta das a ções e das resistên ias. Note-se que a função de estado limite,

g = 0

, separao domíniode segurança do domíniode falha.

(40)

Figura 2.3: Representação tridimensional da função estado limite (adaptado de Henriques,

1998).

Para alguns asos espe iais a equação (2.8) pode ser al ulada om fa ilidade sem ter

de se resolver o integral. Considere-se, novamente, uma formulação do problema bási o da

abilidade estrutural que envolve apenas a resistên ia,

R

, e a a ção,

S

. Admita-se que as variáveisaleatórias

R

e

S

sãodenidas omdistribuição Normaleindependentes, ommédia

µ

R

e

µ

S

e desviopadrão

σ

R

e

σ

S

,respe tivamente:

R ∼ N(µ

R

, σ

R

)

(2.9)

S ∼ N(µ

S

, σ

S

)

(2.10)

Dea ordo omaspropriedades probabilísti as de variáveis aleatórias normais e

indepen-dentes, é possívelobter amédia e odesvio padrãoda margemde segurança:

Z ∼ N(µ

R

− µ

S

,

q

σ

_R

2 + σ

_S

2 )

(2.11)

Assimsendo, a probabilidade de falhaédeterminada por:

p

f

= p (Z ≤ 0) = Φ

0 − µ

Z

σ

Z

= 1 − Φ

µ

_σ

Z

(2.12)

onde

Φ(.)

é afunção distribuição dadistribuição Normalreduzida. Índi ede abilidade

Aquanti açãodasegurançaestruturalpode,ainda,serfeitamedianteumíndi e

denomi-nadoporíndi edeabilidade,

β

. Esteíndi epodeserdeterminadopelainversadadistribuição Normalreduzida ( omvalor médio nuloe desviopadrão unitário)da probabilidade de falha:

(41)

ou,ainda,pelainversa da probabilidade desobrevivên ia,

p

s

:

β = Φ

−1

(p

s

)

(2.14)

Quanto maior for o índi e de abilidade,

β

, menor será a probabilidade de falha,

p

f

,ou seja, oris o asso iadonesse aso será menor. A Figura2.4 ilustra o signi ado do índi e de

abilidade.

Figura 2.4: Representaçãodo índi e de abilidade,

β

(adaptado de Faber,2007).

Nos problemas reais, as variáveis bási as não são, ne essariamente, ara terizadas por

distribuiçõesdeprobabilidade Normalou Lognormal, nemsãoindependentes entresi. Outro

dosin onvenientesnopro esso de ál ulodaprobabilidadedefalhadeumaestrutura

prende-se om o fa to de, na maioria dos asos, as funções estado limite não apresentarem um

omportamento linear.

Estaslimitaçõesdi ultamaresoluçãodointegraldaequação(2.8),levandoporissoaque

nasúltimas dé adas se tenham vindo a desenvolver vários métodos para determinar índi es

deabilidade, nomeadamente métodosdeabilidade de primeira e segundaordem e método

desimulação deMétodoCarlo.

Noentanto, nestetextoapenaséabordadoométododesimulaçãodeMétodoCarlo, visto

este ser bastante usado em estruturas om umaprobabilidade de falha muito elevada. Este

método édes rito om maisdetalhe numase ção adiante.

Valores mínimos re omendados para o índi e de abilidade

Euro ódigo0

O Euro ódigo 0 (CEN, 2001), omo foi referido na Se ção 2.4, dene, de uma forma

análoga ao ódigo modelo JCSS, três níveis mínimos a eitáveis de onsequên ia. O Quadro

2.2apresenta osvalores mínimosre omendados parao índi e de abilidade, paraosEstados

(42)

Quadro2.2: Valoresmínimosre omendadospara oíndi e deabilidade,

β

,paraELU (adap-tadode CEN, 2001).

Classesde onsequên ias Período de referên iade 1 ano Período dereferên ia de 50 anos

CC3

β = 5, 2

β = 4, 3

CC2

β = 4, 7

β = 3, 8

CC1

β = 4, 2

β = 3, 3

Nota: As lasses deabilidade doselementos estruturaisa ima de CC3não são

onsideradas neste quadro,pois ada umdesseselementos exige-seumestudo espe í o.

CódigomodeloJCSS (2000)

Àimagem doqueé apresentadono Euro ódigo0 (CEN,2001), tambémo ódigomodelo

JCSS (2000) exibe níveis de abilidade mínimos. No entanto, estes são apresentados em

funçãodas onsequên ias defalha,

p

f

,e dos ustosasso iados ao aumento dasegurança (ver Quadro2.3).

Quadro 2.3: Valores mínimos para o índi e de abilidade,

β

, para ELU, num período de referên iade umano (adaptadode JCSS, 2000).

Custos asso iados a Consequên ias Consequên ias Consequên ias

medidasde segurança reduzidas CC1 moderadas CC2 gravesCC3

Elevado

β = 3, 1

β = 3, 3

β = 3, 7

(p

f

= 10

−3

)

(p

f

= 5 × 10

−4

)

(p

f

= 10

−4

)

Médio

β = 3, 7

β = 4, 2

β = 4, 4

(p

f

= 10

−4

)

(p

f

= 10

−5

)

(p

f

= 5 × 10

−6

)

Reduzido

β = 4, 2

β = 4, 4

β = 4, 7

(p

f

= 10

−5

)

(p

f

= 5 × 10

−6

)

(p

f

= 10

−6

)

Relativamente aosEstados Limitesde Utilização, ELUt, dado queestes estãoasso iados

adanosestruturaismenosgraves,osquaisprovo amapenasdes onfortoaosutilizadores,não

impli ando por issoperdas humanas, o nívelde segurança a eitável depende ex lusivamente

do usto asso iado aumaumento de segurança.

2.5.4 Fiabilidade de sistemas de estruturas

O método de abilidade anteriormente des rito é geralmente apli ável a elementos

estrutu-rais isolados. Contudo as estruturas orrentes omportam-se omo onjuntos de elementos,

tornando-se,porisso,importante lassi arossistemasestruturaisdea ordo omadisposição

doselementosestruturais. Asestruturas podem,então, quali ar-se omosistemas emsérie,

(43)

Sistemasemsérie

Parasistemas estruturais emsérie,a falhade qualquer elemento resulta nafalha detodo

o sistema, independentemente do seu omportamento ser dú til ou frágil(Henriques, 1998).

Admita-se umsistemagenéri o de

n

elementosemsérie, omo ilustrado pelaFigura2.5.

Figura 2.5: Sistema emsérie(Henriques, 1998).

Seja

p

f,sist

a probabilidade de falhado sistema estrutural e

p

f,i

a probabilidade de falha asso iadaa adaelemento

i

, omtodososelemento independentesentresi, entãoa probabil-idadede falhadosistema édenidapelaseguinteequação:

p

f,sist

= p(

n

[

i=1

p

f,i

)

(2.15)

Deste modo, quando se veri a a o orrên ia de uma falha de um sistema estrutural em

série, a probabilidade de falha de todo o sistema é maior que a probabilidade de falha de

adaelemento tomadoindependentemente, oqueimpli a umíndi e deabilidade dosistema

menorque oíndi e de abilidade de ada elemento isoladamente. Ainda, a probabilidade de

falhaaumenta omo aumento do númerode elementos.

Sistemasemparalelo

Contrariamenteaosistemaestruturalemsérie,numsistemaemparalelo(verFigura2.6)a

falhadeumelementonãoprovo ane essariamenteumafalhaglobal dosistemaestrutural,na

medidaemqueosrestanteselementosdosistemapodem onseguirresistiràsa çõesexteriores.

Figura2.6: Sistemasemparalelo (Henriques,1998).

Desta forma, se se veri ar falha em todos os elementos estruturais, o sistema olapsa,

sendoaprobabilidadedefalhadenidapelasomadasprobabilidadesdefalhados

n

elementos:

p

f,sist

= p(

n

\

i=1

p

f,i

)

(2.16)

(44)

Sistemasmistos

Ossistemas estruturais orrentes revelam seruma ombinação dossistemasmen ionados

anteriormente (verFigura2.7). Destemodo,no ál ulodaprobabilidade de falhado sistema

é ne essário analisar os possíveis enários de falha do mesmo, ombinando entre os vários

elementososdiversos enáriosquepodemoriginaro olapso global.

Figura 2.7: Sistemasmistos (Henriques, 1998).

2.5.5 Método de simulação de Monte Carlo

ConformeaSe ção2.5.3,aprobabilidadedefalha,nasuaformamaisgeral,édenidaatravés

dointegralduplo dafunção densidade de probabilidade onjunta dasvariáveis aleatórias, no

domínioda falhadenidapelafunção de estadolimite.

De fa to, geralmente, a determinação deste integral é imprati ável mesmo nos asos em

quea função estado limiteé linear ou, atémesmo, nos asos dasa çõese resistên ias terem

distribuições Normais. Para lidar om todos os possíveis asos utilizam-se té ni as de

sim-ulação, que permitem obter estimativasdo integral da equação (2.7) em problemas para os

quais a função de estado limite pode ter qualquer forma e as variáveis aleatórias qualquer

distribuição.

Asté ni asde simulação usualmenteutilizadas sãobaseadas nométodo deMonteCarlo.

De uma forma genéri a, este método simula todas as variáveis aleatórias intervenientes ao

problema estrutural, tendo em onta as respe tivas distribuições, e quanti a todas as

re-spostas estruturais asso iadas aos onjuntos das variáveis simuladas, também, numa forma

dedistribuição.

Em termos omputa ionais, utiliza-se um algoritmo pré-denido para gerar sequên ias

de números aleatórios, om distribuições de probabilidade idênti as às respe tivas variáveis

bási asdaestruturaa analisar. Cadasequên iade númeroé,posteriormente, introduzidano

modelode análise, o qual permite avaliar a segurança da mesma, produzindo-se as variáveis

desaída. Com basenosvaloresdasvariáveis desaída de todosos

N

i los, épossível avaliar asegurança da estrutura, estimando aprobabilidade de falha, atravésda violação da função

(45)

Da ontabilização do número de situações em que a função estado limite foi violada,

resultandonumafalha,

n

f

,pode-seobter a probabilidade defalha,

p

f

,a partir da equação:

p

f

=

n

f

N

(2.17)

onde

N

orresponde aototal de simulações realizadas (i.enúmero total de i los).

Onúmero de simulações ne essárias para obter resultados dedignos depende,

essen ial-mente,da probabilidade de falhae daestrutura emanálise, ouseja, da função estadolimite.

Como épresumível, o número de simulações aumenta signi ativamenteparaprobabilidades

muitoreduzidas,sendoesteoprin ipalin onvenientedométododesimulaçãodeMonteCarlo.

Torna-se,então,imperativodenironúmerodesimulaçõesindispensáveisnumaavaliação

da abilidade estrutural. Existem vários limites defendidos por autores omo, por exemplo,

Faber(2007) quepropõeque, parasituaçõesonde sepretende estimar umaprobabilidade de

falhanaordemde

10 −6

,sejamne essáriosaproximadamente

10

8

simulações, om oe ientes

de variação de

10%

. Broding (1964) sugeriu que o número de simulações,

N

, seja estimado atravésde (Laranja eBrito, 2003):

N ≥ −

ln(1 − c)

_p

f

(2.18)

onde

c

traduzo nívelde onança daestimativa daprobabilidade de falha.

Existem,ainda, outrosautoresquere omendam formasdeestimar oerro, omoo asode

Shooman (1968) que propõe a equação (2.19) para obter a probabilidade de falha,

p

f

, om um intervalo de onança de

95%

, utilizando uma função que rela iona a probabilidade de falha omo número total de simulações:

erro(%) = 200 ×

s

1 − p

f

N × p

f

(2.19)

Em suma, a apli ação do método de Monte Carlo na avaliação da abilidade estrutural

assume algumas qualidades e limitações, que estiveram na origem da es olha deste método

paraa realização do trabalho (Henriques, 1998):

- Generalidade de apli ação

Este método pode ser apli ado aqualquer estrutura, para todasas distribuições

prob-abilísti as das variáveis aleatórias e para qualquer que seja a onguração da função

estado limite, ouseja, pararelações onstitutivaslineares ounão lineares;

- Rigor

Veri a-se que para um número de simulações que tende para innito,

N → ∞

, o método de simulação de Monte Carlo onverge para uma estimativa da probabilidade

(46)

- Simpli idade

É um método que permite reproduzir um número relativamente vasto de vezes, a

pos-sibilidade de umdado a onte imento ser onsiderado válido;

- Limitações

OmétododesimulaçãodeMonteCarlo,nãoapresentagrandeslimitações,sendoaúni a

limitação relativa às té ni as de omputação. Devido ao elevado número de amostras,

a omputação deste método torna-se morosa, apelando-se, muitas vezes,a té ni as

al-ternativasderedução uidadada variân iadasvariáveis aleatórias,de formaatornaro

mesmo maise iente.

Em problemas omapli ação dométodo doselementosnitos,o métodode MonteCarlo

exige um ex essivo tempo de omputação. Contudo, as té ni as de abilidade alternativas

apresentam algumaslimitaçõesemproblemaslineares omumnúmero degraus deliberdade

da estrutura elevado (Henriques, 1998). Para a simulação de estruturas om múltiplas

var-iáveis orrela ionadas é omumutilizar ade omposição deCholesky,aqualserá apresentada

deimediato.

2.5.6 Método de transformação de Cholesky

Existeminúmerosmétodosdetransformaçãodevariáveisaleatóriasnormalmentedistribuídas

em orrela ionadas, sendo o mais usual o método de Cholesky, devido à sua fa ilidade de

apli açãoee iên ia. Nestase çãosão,então,apresentadas,deumaformageral,as ondições

intrínse asaeste método,assim omo asuaapli abilidade.

Dea ordo om Cholesky,seumamatriz

A

(n×n)

for simétri a edenida positiva,então,é possívelde ompor esta matrizno produto de duasoutras matrizes,nomeadamente:

[A] = [L]×[L]

T

⇒







a

11 a

21 . . . a

n1

a

21 a

22 . . . a

n2

. . . . . . . . . . . .

a

n1

a

n2

. . . a

nn







=







l

11

0 . . .

0 l

21 l

22 . . .

0

. . . . . . . . . . . .

l

n1

l

n2

. . . l

nn







×







l

11 l

12 . . . l

1n

0 l

22 . . . l

2n

. . . . . . . . . . . .

0

0 . . . l

nn







(2.20)

onde

[L]

é uma matriz triangular inferior om elementos positivos na diagonal prin ipal, onhe idapor triângulode Cholesky da matriz

[A]

e

[L]

T

é atranspostada matriz

[L]

. Estaté ni apermite,assim,a resoluçãodesistemas deequaçõeslinearesdo tipo

Ax = b

, resolvendo, primeiramente, o sistema

Ly = b

de formaa obter

y

e, posteriormente,

L

T

_{x = y}

paraobter

x

.

Paraopresentetrabalho,amatriz

[A]

,tituladadematrizde orrelação,traduza orrelação desejadadosvaloresda variável aleatória. Resta, portanto, denir os oe ientes da referida

(47)

matriz. Deumaforma genéri a,o oe iente

cor(a

i

, a

j

)

representa a orrelaçãoentreo valor

a

i

eo valor

a

j

davariável, queserá,sujeitaaeste pro esso de transformação.

[A] =







cor(a

1 , a

1 ) cor(a

1 , a

2 ) . . . cor(a

1 , a

n

1)

cor(a

2 , a

1 ) cor(a

2 , a

2 ) . . .

cor(a

n

, a

2 )

. . . . . . . . . . . .

cor(a

n

, a

1 ) cor(a

n

, a

2 ) . . .

cor(a

n

, a

n

)







(2.21)

Deformaa lari aropropósitodestemétodo,aFigura2.8ilustraparaasituaçãodeduas

variáveis aleatórias om distribuição Normal reduzida, asituação (a) querepresenta asduas

variáveisindependenteseasituação(b)quemostraasmesmasvariáveis,mas orrela ionadas

entre si. A Figura2.9traduz asmesmas situaçõesemtrês dimensões.

Figura2.8: Apli ação dométodo deCholesky a duasfunçõesdedistribuição Normal.