Lista 5 de Exercícios de Álgebra I

Lista de Exercícios de Álgebra I 

Professor Rodrigo 

Turma T02 

Indução Finita, Divisores, Algoritmo de Euclides e MDC – 5ª Lista 

Observe que a desigualdade 2n > 3n não é válida para n = 1. O primeiro natural para o qual 2n

> 3n é n = 4. Enuncie um P.I.F. que possa ser utilizado para demonstrar que 2n > 3n, ∀n≥4.

Exercício 2:

Mostre, usando o princípio da indução sobre n, que

a) 1+3+5+...+(2n−1)=n2, ∀n≥1

b) 1⋅2+2⋅3+3⋅4+...+n⋅(n+1)=

[

]

c) n!>2n, ∀n≥4 d) 1n2 >2n+ , ∀n≥3

e) 1+8+27+...+n3 =

[

]

f) x(1+x)n >1+n⋅ , (Conhecida como Desigualdade de Bernoulli)

g) ,

2 1 1 2 1 ... 2 1 2 1 2 1 n n 3 2

1 + + + + = − ∀n≥1

h) ,

1 n 2 n ) 1 n 2 ( ) 1 n 2 ( 1 ... 7 5 1 5 3 1 3 1 1 + = + ⋅ − + + ⋅ + ⋅ +

⋅ ∀n≥1

i) Para todo a > 0, ln(an) = n.ln(a)

Exercício 3:

Calcule as seguintes somas, isto é, encontre em cada caso, uma "fórmula":

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n

b) 3 + 8 + 13 + ... + (5n-2)

Exercício 4:

Demonstre por indução sobre n que

a) 7|(23n −1), com n≥0

b) 8|(32n +7), com n≥0

c) 11|(22n−1⋅3n+2 +1), com n≥1 d) 7|(32n+1+2n+2), com n≥1 e) 3|(n3+2n), com n≥1

Exercício 5:

Seja P(n) a seguinte afirmação: 1+2+3+...+n =[(n−1)(n+2)]/2

Exercício 6:

Sejam m e n inteiros ímpares. Prove que

a) 4|(2m – 2n) b) 8|(m2 – n2) c) 24|(n3 – n)

Exercício 7:

Mostre que entre dois números pares consecutivos um é divisível por 4.

Exercício 8:

Prove que o produto de 3 inteiros consecutivos é divisível por 6.

Exercício 9:

Mostre que a diferença entre os quadrados de dois números ímpares consecutivos é sempre um número par.

Exercício 10: Prove que:

a) Um dos inteiros a, a + 2 e a + 4 é divisível por 3. b) Um dos inteiros a, a + 1, a + 2 e a + 3 é divisível por 4.

Exercício 11:

Prove que o produto de dois números inteiros é ímpar se, e somente se, ambos são ímpares.

Exercício 12:

Prove que, para quaisquer inteiros a e b, a expressão a + b + a2 + b2 é um número par.

Exercício 13:

Se o resto da divisão de um inteiro m por 8 é 5, qual é o resto da divisão de m por 4?

Exercício 14:

Se m é um número ímpar, mostre que o resto da divisão de m por 4 é 1.

Exercício 15:

Sabendo que o resto da divisão de um número inteiro b por 7 é 5, calcule o resto da divisão por 7 dos seguintes números:

a) – b b) 2b c) 3b + 7 d) b2 + b + 1

Exercício 16:

Mostre que, sendo n um inteiro, o número n⋅(n+1)⋅(n+2)⋅(n+3)+1 é um quadrado perfeito.

Exercício 17:

Exercício 18:

Prove que mdc(n,2n+1) = 1, para qualquer inteiro n.

Exercício 19:

Dados a e b inteiros com b≠0, mostre que existem inteiros q e r satisfazendo a =qb±r com

2 b r

0≤ ≤ .

Exercício 20:

Mostre que mdc(a,bc) = 1 se, e somente se, mdc(a,b) = mdc(a,c) = 1.

Exercício 21:

Mostre que se b|c então mdc(a+c,b) = mdc(a,b).

Exercício 22:

Mostre que mdc(a,b,c) = mdc(mdc(a,b),c).

Exercício 23:

Diga qual o maior número inteiro que pode ser somado ao dividendo sem alterar o quociente quando se divide 431 por 37.

Exercício 24:

Prove que se d = mdc(a,b) então d é o número de inteiros da seqüência a, 2a, 3a, ..., ba que são divisíveis por b.

Exercício 25:

Sejam a, b e c números naturais não-nulos, que não possuem divisores comuns, e que

satisfa-çam a equação a2 + b2 = c2:

a) Mostre que ou a ou b é par;

b) Mostre que ou a ou b é múltiplo de 3.

Exercício 26: