Lista de Exercícios de Cálculo I
Professor Rodrigo
Turma T03
Limites no Infinito, Limites Infinitos, Continuidade e Teoremas de
Bolzano (Anulamento), do Valor Intermediário e de Weiestrass ‐ 4ª Lista
1) Calcule os seguintes limites, se eles existirem. Em caso negativo, justifique sua resposta.
a) 2
x x
1 lim
∞ +
→
b) 3
x x
1 lim
∞ −
→
c)
1 x
3 x 2 lim
x +
+
∞ +
→
d)
1 x
3 x 2 lim
x +
+ −
∞ −
→
e)
1 x x 3
3 x 2 x lim 2
2
x + +
+ −
∞ −
→
f)
1 x 3 x
x lim 2
x→+∞ + +
g)
2 x 3
1 x lim
2
x +
+
∞ +
→
h)
5 x
x x lim 2
3
x +
−
∞ +
→
i) lim x x2 1
x→+∞ − +
j)
x 3 lim
x→+∞
k)
1 x 5 x 8
10 x 7 x
lim 4 2
3
x + +
− +
∞ −
→
l)
2 x 3
7 x 2 x lim
2
3 3
x +
+ +
∞ +
→
m) lim x 1 x 3
x→+∞ + − +
n) x
xlim→+∞e
o) x
x
x 1 3
2 1 lim
− −
∞ +
→
p) lim [ex e x]
x
− ∞
+
→ +
q) lim [ex e x]
x
− ∞
−
→ +
r) lim ln(x)
x→+∞
s) ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
∞ +
→ x x 1
x ln
lim 2
2
x
t) lim [ln(2x 1) ln(x 3)]
x→+∞ + − +
u) ⎟⎟
⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
→ x 1
1 x ln lim
2 1
x
v) ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ ⋅ +
+ +
∞ +
→ x x 1 sen(x ) 1
x ln
lim 3 3
x
x) lim x x2 3
x→+∞ − +
y) lim 2x x2 3
x→−∞ − +
w) lim [ x x x 5]
x→+∞ − − −
2) Dê exemplos de funções f(x) e g(x) tal que = =+∞
∞ + → ∞
+
→ f(x) limg(x)
lim
x
x e g(x) k 1
) x ( f lim
x→+∞ = ≠ .
3) Seja f(x) = x5+x−1. Justifique a afirmação: “f(x) tem ao menos uma raiz no intervalo [0,1].”
5) Sejaαa menor raiz positiva da equação x3 – 4x + 2 = 0. Determine intervalos de raios 2
1 , 14 e 8
1 que contenham α.
6) Prove que cada um dos conjuntos abaixo possui máximo e mínimo (Sugestão: Argumente que a função é contínua no domínio dado e use o teorema de Weiestrass).
a)
⎭ ⎬ ⎫ ⎩
⎨
⎧ − ≤ ≤
+
= ,talque 2 x 2
x 1
x
A 2
b)
⎭ ⎬ ⎫ ⎩
⎨ ⎧
≤ ≤ − +
+
= ,talque 1 x 1
x 1
x x
A 2
2
7) Seja f(x) uma função contínua do intervalo [0,1] nos reais. Sabe‐se que f(0) = 1 e que a imagem f(x) é racional para todo x em [0,1]. Argumente que para satisfazer todas estas condições f(x) só pode ser a função constante igual a 1. (Sugestão: Use o teorema do Valor Intermediário e a con‐ dição que entre dois números racionais quaisquer sempre existe um irracional).
8) Discuta sobre a continuidade, classifique os pontos de descontinuidade, analise a existência de assíntotas e esboce os gráficos das funções abaixo:
(Sugestão: Não se esqueça de levar em consideração as raízes do numerador da função (*), pois mesmo que existam outras assíntotas na função, ela tem que cruzar o eixo x nestes valores, a menos que haja uma indeterminação. Use o Winplot ou programa similar para tirar a prova real do esboço do gráfico)
a)
2 x
1 ) x ( f
+
=
b) 2
) 2 x (
1 ) x ( f
+
=
c)
9 x
1 ) x (
f 2
−
=
d)
9 x
x ) x (
f 2
−
= (*)
e)
9 x
x ) x (
f 2
2 −
= (*)
f)
2 x x
2 x ) x (
f 2
2 − −
−
= (*)
g)
1 x
1 x ) x ( f
− +
= (*)
h)
1 x
1 x ) x ( f
2 +
−
= (*)
i)
⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧
≥ −
− < − =
1 x , 1 x
1 x
1 x , 2 x ) x (
f 2
j)
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≥ + +
< + =
1 x , 1 x
1 x
1 x , 1 x ) x ( f
2
