Lista de Exercícios de Cálculo I
Professor Rodrigo
Turma T03
Números Reais e Funções ‐ 1ª Lista
1) Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica, na reta.
a) 3 – x < 5 + 3x
b)
3 x 1 4
x 3 3 1 5 x
2 − < + + −
c)
x 3
x x 2
1 x
+ < −
+
d) 4
3 x
x
<
−
e) |x – 3|≤ 5 f) |x – 1|≤ 2 g) |x – 1|≥ 1 h) |x – a|≤ δ
i) |x – a|≥ δ
2) Resolver as equações e inequações abaixo: a) |– 4 + 12x| = 7
b) 5
2 x
2 x =
−
+
c) 2x – 7= |x| + 1
d) 4
x 3
x 2 >
−
+
e) x+4 ≤ 2x−6 f) 3|x + 1|+ |x| < 1
3) Demonstrar que:
a) Se x < y, então x < ½(x + y) < y
b) |x| > a se, e somente se, x > a ou x < ‐a, onde a > 0.
4) Dada a função f(x) = |x| – 2x , calcular f(–1), f(1/2) e f(–2/3). Mostrar que f(|a|) = –|a|.
5) Dada a função f(x) = 1/x, mostrar que f(1 + h) – f(1) = ‐ h/(1 + h). Calcular f(a + h) – f(a).
6) Exprimir como função de x: a) a área de uma esfera de raio x b) a área de um cubo de aresta x.
c) a área total de uma caixa de volume dado V, sabendo‐se que a base é um quadrado de lado x.
7) Determinar o domínio das seguintes funções a) y= 4−x2
c)
1 x
x y
+
=
d) y= x+2 +4,−5≤x≤2
e)
x 1
1 y
+
=
8) A função g é definida por g(x)=x2. Defina uma função f tal que (fog)(x) = x, para x > 0 e uma função h, tal que (hog)(x) = x, para x≤0.
9) Se f(x)=x2 encontre duas funções g para as quais (fog)(x)=4x2−12x+9.
10)Se f(x)=x2−2x+1, encontre uma função g(x) tal que (f/g)(x) = x – 1.
11)Determinar para quais das seguintes funções são pares ou ímpares: a) f(x)=3x4−2x2 +1
b) f(x)=5x3−2x
c)
1 x
1 x ) x ( f
+ −
=
d) f(x)=ln(x+ 1+x2
12)Se f(x)=x3e g(x)=x4, mostre que fog=gof.
13)Sejam f(x)= x−1e g(x)=2x2 −5x+3,. Determine os domínios das funções fog e gof.
14)Considere as funções:
b ax ) x ( g
3 x 2 ) x ( f
+ =
+
=
Determine o conjunto C dos pontos (a,b)∈R2tais que fog=gof.
15)Dadas as funções f(x)=2x+me g(x)=ax+2, qual a relação que a e m devem satisfazer para que se tenha (fog)(x)=(gof)(x)?
16)Sejam as funções reais f(x)=3x−5e fog(x)=x2−3. Determine a lei da função g.
17)Sejam as funções reais g(x)=3x−2e fog(x)=9x2−3x+1. Determine a lei da função f.
18)Sejam as funções reais f e g definidas por:
⎩ ⎨ ⎧
< +
−
≥ −
=
0 x
se
2 x 3 x
0 x
se
3 x 4 ) x (
f 2 e
⎩ ⎨ ⎧
≤ > +
=
2 x
se
x
‐
1
2 x
se
1 x ) x (
g 2
Obtenha as leis que definem fog e gof .
19)O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos (‐3,4) e (3,0). Se f−1 é a função inversa de f, determine f−1(2).
20)Sejam os conjuntos A=
{
x∈R/x≥1}
e B={
y∈R/y≥2}
e a função f de A em B definida por 3x 2 x ) x (
21)Nas funções que seguem, construa num mesmo plano cartesiano os gráficos de f e f−1.
a)
1 x 2 ) x ( f
R R : f
+ =
→
b)
x 1 ) x ( f
R R
:
f * *
= →
22)Seja f:R→R a função dada por: f(x)=x2e seja g:R→R a função dada
por
h ) x ( f ) h x ( f ) x (
g = + − , com h≠0. Nessas condições, g(x)é igual a :
a) h b) x c) 2x d) 2x + h e) x + h
23) Em cada caso, a função dada abaixo por seu gráfico, é inversível? Em caso afirmativo, repre‐ sente, no mesmo par de eixos, o gráfico da inversa. Em caso negativo, justifique a não existência da inversa.
a) b)
c) d)
23) Estudar a função abaixo (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico): a) y=−3x+5
b) y=3x−4
c) x 2 x y
2 +
=
d)
2 1 x y
2 − −
=
e)
2 x
x 1 y
+ −
=
f) 2 x 4
x 3 y
−
=
